高级数字信号处理大作业 2016

高级数字信号处理大作业

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2016年月日

1.仿真题目

For this computer experiment involving the LMS algorithm, use a first-order, autoregressive (AR) process to study the effects of ensemble averaging on the transient characteristics of the LMS algorithm for real data.

Consider an AR process of order one, described by the difference equation

x n ax n v n

=-+

()(1)()

where a is the (one and only) parameter of the process and ()

v n is a zero-mean

σ. To estimate the parameter a, use an adaptive white-noise process of variance2

v

predictor of order one, as depicted in Fig. P4.

Fig. P4 Adaptive first-ordor predictor

Given different sets of AR parameters, fixed the step-size parameter, and the initial conditionˆ(0)0

w=.

·Please plot the transient behavior of weight ˆ()

w n including the single realization and ensemble-averaged result.

·The transient behavior of the squared prediction error.

·Draw the experimental learning curves, what is the result when the step-size parameter is reduced.

2.题目分析

已知()

x n满足一阶AR过程，其差分方程为

=-+（2-1）

x n ax n v n

()(1)()

这里a 是这个过程的参数，()v n 是零均值，方差为2v σ的白噪声。为了估计参

数a,我们使用一阶自适应预测器，初始值ˆ(0)0w =，自适应算法采用LMS 算法。

预测器抽头权值的LMS 自适应算法形式为

ˆˆ(1)()(1)()w

n w n x n f n μ+=+- （2-2） 其中

ˆ()()()(1)f n x n w

n x n =-- （2-3） 是预测误差。

题目要求我们用计算机对一阶AR 过程随机信号的LMS 滤波进行仿真，通

过绘制不同过程参数情况下，单一实现和集平均时一阶自适应预测器权值和平方预测误差的瞬态特性图，来研究实时数据集平均对LMS 算法瞬态特性的影响。最后，绘出不同步长因子情况的学习曲线图后，分析学习曲线在步长因子减小情况下的变化情况。

仿真的目的是通过计算机仿真来研究输入到LMS 滤波器的信号参数、步长

因子对LMS 算法性能的影响。因此在仿真实验中需要改变题目中的AR 参数a 和步长因子μ，并对实验得到的权系数和均方误差的瞬态特性进行分析，来获得这些因素对LMS 算法性能的影响情况。

3.仿真原理

（1）. LMS 算法

LMS （Least-Mean-Square ）又称最小均方算法是自适应滤波器中常用的一种算法，与维纳算法不同的是，其系统的系数是随输入序列而改变的。维纳算法中截取输入序列自相关函数的一段构造系统的最佳系数。而LMS 算法则是对初始化的滤波器系数依据最小均方误差准则进行不断修正来实现的。因此，理论上讲LMS 算法的性能在同等条件下要优于维纳算法，但是LMS 算法是在一个初始化值的基础上进行逐步跟踪调整得到的，这就使得系统在进入稳定之前有了一个调整的时间，这个时间受到算法步长因子μ的控制，在一定数值范围内，增大μ会减小调整时间，但超过这个值范围时系统收效性能会降低或者不再收敛，μ的最大取值为R 的迹。

LMS 算法表达式： ①设计参数：

()x n n =时刻的输入数据矢量 ()y n n =时刻的期望响应 ()c n n =时刻的滤波器系数矢量

M =系数的数目

μ=步长参数

②初始化：

(1)(1)0c x -=-= （3-1）

③计算：对于0,1,2,

,n =有

ˆ()(1)()H y n c n x n =- （3-2） ˆ()()()e n y n y

n =- （3-3） *()(1)2()()c n c n x n e n μ=-+ （3-4）

（2）. 实验数据的产生

()v n 的方差未知，步长因子未知，这两个需要我们自己给定。输入数据()

x n 和噪声()v n 也没有给出，需要我们自己产生。

()x n 的产生：由()(1)()x n ax n v n =-+知，给定(1)x ，对于1n ≥的()x n 全部唯一确定。

()v n 的产生：由Yule-Walker 方程

2(0)(1)1(1)(0)0v r r r r a σ⎡⎤

⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（3-5） 可以得到

2222(1)(0)(1)v x a r a σσ=-=- （3-6）

4.仿真过程