数据结构常见题型

数据结构常见解答题

1：二叉树性质3的证明 二叉树性质3：：对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点、n2 个度为 2 的结点，则必存在关系式：n0 = n2+1。

证明：设二叉树中结点总数为n ，n1为二叉树中度为1的结点数。则n=n0+n1+n2（1） 设二叉树中分支数目为B ，因为二叉树中的分支都是由度为1和度为2的结点发出，所以分支数目为：B=n1+2n2（2）

因为除根结点外，每个结点均对应一个进入它的分支，所以有：n=B+1。（3） 将（1）（2）代入（3）中，得n0+n1+n2=n1+2n2+1，整理后得n0=n2+1，故结论成立。 2：已知二叉树先序遍历序列和中序遍历序列画出二叉树（或是已知后序和中序） 例如

已知一棵二叉树的先序序列为A B C D E F G H I

中序序列为：B C A E D G H F I

试画出二叉树。

先序遍历是根左右，中序是左根右。

做法：先确定根结点，然后确定左子树的结点，和右子树结点，画出左右子树。

首先，由先序序列可知，结点A 是二叉树的根结点。其次，根据中序序列，在A 之前的所有结点都是根结点左子树的结点，在A 之后的所有结点都是根结点右子树的结点，由此得到图(a)所示的状态。然后，再对左子树进行分解，得知B 是左子树的根结点，又从中序序列知道，B 的左子树为空，B 的右子树只有一个结点C 。接着对A 的右子树进行分解，得知A 的右子树的根结点为D ；而结点D 把其余结点分成两部分，即左子树为E ，右子树为F 、G 、H 、I ，如图(b)所示。接下去的工作就是按上述原则对D 的右子树继续分解下去，最后得到如图(c)的整棵二叉树。

(a)

3：线索二叉树：

对下图所示的二叉树进行线索化。

将没有左孩子的结点用虚线指向遍历序列的前驱，将没有右孩子的结点用虚线指向遍历序列的后继。

中序线索与后序线索类似

4

转化的二叉树记住左是孩子，右是兄弟。

森林转换为二叉树

森林转换为二叉树的方法如下：

（1）将森林中的每棵树转换成相应的二叉树。

（2）第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子，当所有二叉树连起来后，此时所得到的二叉树就是由森林转换

(a) 一个森林

(b) 森林中每棵树转换为二叉树(c) 所有二叉树连接后的二叉树

5：赫夫曼树构造及赫夫曼编码 赫夫曼树构造：（1）由给定的n 个权值{W1，W2，…，Wn}构造n 棵只有一个叶结点的二叉树，从而得到一个二叉树的集合F ＝{T1，T2，…，Tn}；

（2）在F 中选取根结点的权值最小和次小的两棵二叉树作为左、右子树构造一棵新的二叉树，这棵新的二叉树根结点的权值为其左、右子树根结点权值之和；

（3）在集合F 中删除作为左、右子树的两棵二叉树，并将新建立的二叉树加入到集合F 中；（4）重复（2）（3）两步，直到F 中只剩下一棵二叉树时，这棵二叉树就是赫夫曼树。 例如: 假定用于通讯的电文仅有8个字母C1，C2，…，C8组成，各个字母在电文中出现的频率分别为5，25，3，6，10，11，36，4，试画出赫夫曼树并进行对这8个字母设计赫夫曼编码。

虽然赫夫曼树的带权

本题中各字母编码如下：c1:0110 c2:10 c3:0010 c4:0111 c5:000 c6:010 c7:11 c8:0011 6：邻接矩阵 所谓邻接矩阵（Adjacency Matrix ）的存储结构， 就是用一维数组存储图中顶点的信息， 用矩阵表示图中各顶点之间的邻接关系。 假设图G ＝（V ，E ）有n 个确定的顶点， 即V ＝{v 0,v 1,…,v n-1},则表示G 中各顶点相邻关系为一个n ×n 的矩阵，矩阵的元素为： A[i][j]=

若G 是网图，则邻接矩阵可定义为： A[i][j]=

其中，w ij 表示边(v i ,v j )或上的权值；∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的数。

例：

0 1 0 1

A ＝ 1 0 1 1 0 1 0 0

1 1 0 0

一个无向图的邻接矩阵表示

∞ 9 6 3 ∞ 9 ∞ 4 5 ∞

A ＝ 6 4 ∞ ∞ 7 3 5 ∞ ∞ 8 ∞ ∞ 7 8 ∞

一个网图的邻接矩阵表示

{ 1 若(v i ,v j )或是E(G)中的边

0 若(v i ,v j )或不是E(G)中的边

{

w ij 若(v i ,v j )或是E(G)中的边

0或∞ 若(v i ,v j )或不是E(G)中的边

c c 8 c 1

c

7

7：邻接表

给出上图无向图对应的邻接表表示。

vertex firstedge

图的邻接表表示

例如有向图

邻接表和逆邻接表为：

(a) 邻接表(b) 逆邻接表

8：已知有向图或无向图，给出深度优先遍历序列或广度优先遍历序列（生成树）

遍历序列要知道两点：初始点和存储结构，特别采用邻接表的存储结构表结点的顺序不同，得到的遍历序列可能不同。深度优先搜索可从图中某个顶点发v出发，访问此顶点，然后依次从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到；若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。

以上图为例，进行图的深度优先搜索。假设从顶点v1出发进行搜索，邻接点的顺序由小到大排列。在访问了顶点v1之后，找到第一个邻接点v2。因为v2未曾访问，则从v2出发进行搜索。依次类推，接着从v4 、v8 、v5 出发进行搜索。在访问了v5之后，由于v5