MATLAB应用第七章多元函数微分学
微分方程的Matlab求解ppt课件
注意: 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，
m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.
2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须 变换成等价的一阶微分方程组.
例4
d2x dt 2
1000(1
x2
)
dx dt
x
0
x(0) 2; x'(0) 0
解: 令 y1=x，y2=y1’
由待解 方程写 成的m-
ts=[t0，tf]， t0、tf为自
函数的 初值
变量的初
文件名 值和终值
ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法
用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.
z = (-C1+exp(4*t)*C1-2*exp(4*t)+C2+exp(4*t)*C3)*exp(-2*t)
用Matlab软件求常微分方程的数值解
[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）
自变 函数 量值 值
ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s
matlab在微积分中的应用
matlab在微积分中的应用MATLAB在微积分中的应用一、MATLAB在求导和积分中的应用MATLAB集成了丰富的数学函数库，可以在求导和积分等方面帮助学生更好地理解微积分知识。
举例来说，MATLAB中的diff函数可以对一个函数或矩阵进行求导，计算结果准确可靠。
通过MATLAB可以解决一些手动计算困难的问题，有助于提高学生对微积分的理解。
在数值积分过程中，MATLAB也可以很好地发挥作用。
MATLAB中的quad函数可以用来求解函数在给定区间内的数值积分，通过对函数的积分计算，可以更好地理解微积分中的面积和曲线等概念。
在讲解微积分的面积和曲线时，使用MATLAB可以展示较多的面积和曲线实例，有助于学生理解具体实例。
二、MATLAB在微积分三维空间中的应用微积分中的三维空间部分，一般使用手工计算的方式进行，但是这种方式难度较大而且操作繁琐。
而MATLAB可以很方便地模拟三维空间中的曲线表面、曲面、向量场和曲线积分等，为学生提供更具体、直观的视觉体验。
MATLAB还可以使用画图函数，将许多计算步骤集成在一个命令窗口中，方便学生学习和理解三维空间的微积分。
三、MATLAB在微积分应用中的优点1. 计算精度高：MATLAB的计算精度非常高，可以解决许多手动计算困难的问题。
在使用MATLAB计算微积分时，可以快速得出精确的计算结果。
2. 操作简便：MATLAB界面友好，操作简便。
学生可以很容易地进行操作，快速理解微积分中的概念和原理。
3. 可视化更强：MATLAB可以将微积分的概念可视化，将微积分的理论和实际应用结合起来。
这样的教学方式更加形象直观，可以帮助学生更好地理解微积分的知识体系。
四、总结综合以上述，MATLAB在微积分中的应用，可以帮助学生更好地理解和掌握微积分的基本原理和概念，提高学生学习效率和学习兴趣。
MATLAB也为教师提供了一个新的教学工具，可以更加灵活地设计和授课，提高教学质量和教学效果。
matlab的多元函数微积分学
例 1、已知二元函数 f ( x, y) sin( xy) cos 2 ( x 3 y 2 )
syms x y dx dy f df f=sin(x*y)+(cos(x^3+y^2))^2; fx=diff(f,x) %求f x fy=diff(f,y) %求f y df=fx*dx+fy*dy %求全微分 f2x2=diff(fx,x) %求f’’ xx f2xy=diff(fx,y) %求f’’ xy f3xyx=diff(f2xy,x) %求f’’’ xyx
3、二元函数简捷绘图指令 1) 绘制网格图函数ezmesh ① ezmesh(f)：生成二元函数f(x, y) 网格图，其中f为一个字 符串. ② ezmesh(f,domain)：绘制二元函数f(x, y) 在指定邻域上的 网格图，该邻域可以是4×1 向量[xmin, xmax, ymin, ymax] 或 2×1 向量[min, max] (其中, min < x < max, min < y < max). ③ ezmesh(x, y, z)：绘制在默认邻域-2 < s < 2, -2 < t < 2上的 参数方程x = x(s,t)，y = y(s,t)和z = z(s,t)确定的曲面. ④ ezmesh(x, y, z, [smin, smax, tmin, tmax]) or ezmesh(x, y, z, [min, max])：绘制在指定邻域上的参数方程x = x(s,t)，y = y(s,t) 和z = z(s,t)确定的曲面 ⑤ ezmesh(...,n)：在默认邻域上绘制n×n网格的函数f图像， 默认n=60. ⑥ ezmesh(...,'circ')：在圆域上绘制函数f图像.
如何使用MATLAB求解微分方程(组)ppt课件
差,输出参数,事件等，可缺省。 9
使用ODE?时如何编 写微分方程 ？
方式一：带额外参数，使用时需对参数进行赋值
function odefun(t,x,flag,R,L,C) %用flag说明R、L、C为变 量
xdot=zeros(2,1);
%表明其为列向量
xdot(1)=-R/L*x(1)-1/L*x(2)+1/L*f(t);
2
Where ?
工程控制
ODE
医学生理
航空航天
金融分析
3
Where ?
算法开发 数据分析
数值计算 MAT LAB
数据可视化
4
When ?
当对问题进行建模后，有常微分方程 需要求解时。
在生物建模中，经常需要求解常微分 方程。如药物动力学的房室模型的建模 仿真。
5
方法 ode23
ode45
数 ode113
当无法藉由微积分技巧求 得解析解时，这时便只能利 用数值分析的方式来求得其 数值解了。实际情况下，常 微分方程往往只能求解出其
数值解。
在数学中，刚性方程是指一 个微分方程，其数值分析的解 只有在时间间隔很小时才会稳 定，只要时间间隔略大，其解 就会不稳定。
目前很难去精确地去定义哪 些微分方程是刚性方程，但是 大体的想法是：这个方程的解
y(1)=x(2);
y1
y2
y(2)= -t*x(1)+exp(t)*x(2)+3*sin(2*t);
end
1000
求解程序ห้องสมุดไป่ตู้键步骤
[t,y]=ode45('odefun',[3.9 4.0],[2 8])
y
第七章 MATLAB微积分数值计算
相同维数的向量U，且 1 U1 2 ( V4 4V3 5V2 2V1 ) h 1 U i 2 (Vi 1 2Vi Vi 1 ), (1 i n) h 1 U n 2 (2Vn 5Vn 1 4Vn 2 Vn 3 ) h 默认的步长为1。 U=4*del2(V,h1,h2)，对矩阵V，横向(x方向)以步长h1，纵向(y方
diff调用格式为：
Dy=diff(Y)：计算向量Y的向前差分，并把结果赋值给向量Dy Dy(i)=Y(i+1)-Y(i)，i=1,2,…,n-1。注意向量Dy元素个数比Y少一个
Dy=diff(Y,n)：计算向量Y的n阶向前差分。注意向量Dy元素个数比Y少n个.例如：
diff(Y,2)=diff(diff(Y))=DX(i+1)-DX(i)= Y(i+2)-2Y(i+1)+Y(i) ， i=1,2 ……n-2。
计算积分，可以采取逐步缩小步长h的办法。即先任
取步长h进行计算，然后取较小步长 h’ 进行计算，如果两
次计算结果相差较大，则取更小步长进行计算，如此下去， 直到相邻两次计算结果相差不大为止，取最小步长算出的 结果作为积分值。这种方法称为变步长积分法。 利用两种步长计算积分时，通常取h’=h/2 。而每次
x
4
精度为O(∆X4)的高阶中心差分算法
yi yi yi yi 2 8 yi 1 8 yi 1 yi 2 12 x yi 2 16 yi 1 30 yi 16 yi 1 yi 2 12 x
2
yi 3 8 yi 2 13 yi 1 13 yi 1 8 yi 2 yi 3 8 x
7.1 数值微分 7.2 数值积分 7.3 常微分方程的数值解法
微积分(多元微积分)实验matlab作图
errorbar
ezplot
误差棒图
符号函数二维曲线
ribbon
scatter
带状图
点图（与plot相似， 但只有数据点）
feather
fill quiver
沿x轴分布的复数向量 图
平面多边形填色 箭图
stem
stairs zoom
火柴杆图
阶梯图 图形缩放
实例
• • • • • • 条形图：4-18，4-19 误差图：4-20 直方图：4-21 茎状图：4-23 扇形图：2-24 等
表4-2 标记清单描述
符号 + o(小写字母o) 标记类型 加号符号 圆符号
*
. x(小写字母x)
星号
点号 叉符号
'square' or s
'diamond' or d ^ v > < 'pentagram' or p
方形符号
菱形符号 上三角符号 下三角符号 右三角符号 左三角符号 五角星符号
'hexagram' or h
– 在x-y 平面上指定一个长方形区域，采用与坐标轴 平行的直线将其分格； – 计算矩形网格点上的函数值，即z 轴的值，得到三 维空间的数据点； – 将这些数据点分别用于处于x-z 或者平行面内的曲 线和处于y-z 或者其平行面内的曲面连接起来，即 形成网格图。
• 见例4-29,4-30等
mesh函数介绍
x t sin t y t cos t ,0 t 6 z t
x t cos t y t sin t ,0 t 6 z t
【求解】创建myplot301.m文件
Matlab基础及其应用-数值微积分与常微分方程求解
6
6
6
1 −19
6 −19
6
7.2 数值积分
MATLAB基础与应用教程
7.2.1 数值积分的原理
基本思想是将整个积分区间[a，b]分成n个子区间[xi，xi + 1]， i = 1，2，…，n，其中x1 = a，xn + 1 = b。这样求定积分问题
就分解为下面的求和问题：
矩形法是用矩形面积近似曲边梯形的面积，如图7.2（aБайду номын сангаас所 示；梯形法是用斜边梯形面积近似曲边梯形的面积，如图 7.2（b）所示；而辛普生法是用抛物线近似曲边。
7.1 数值微分
MATLAB基础与应用教程
【例7.1】设f(x) = sinx，用不同的方法求函数f(x)的数值 导数，并在同一个坐标系中绘制f '(x)的三种方法所得导数
曲线。
x=0:pi/24:pi; %用5次多项式p拟合f(x),并对拟合多项式p求导数dp在假设点的函数值 p=polyfit(x,sin(x),5); dp=polyder(p); dpx=polyval(dp,x); %直接对sin(x)求数值导数 dx=diff(sin([x,pi+pi/24]))/(pi/24); %求函数f的导函数g在假设点的导数 gx=cos(x); plot(x,dpx,'b-',x,dx,'ko',x,gx,'r+');
的形式，即形参t为时间参量，形参y为待求解问题的自变量。
tspan指定求解区间，用二元向量[t0 tf ]表示。 y0是初始状态列向量。
options用于设置积分求解过程和结果的属性。
7.4 常微分方程的数值求解
第7章 MATLAB在微积分中的应用
《数学分析》实验课
例：
syms a b t x y z; f=sqrt(1+exp(x)); diff(f) %求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理 %求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理 f=x*cos(x);diff(f,x,2) %求(2)。求f对x的二阶导数 %求(2)。求f f1=a*cos(t);f2=b*sin(t); diff(f2)/diff(f1) %求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数 %求(3)。按参数方程求导公式求y (diff(f1)*diff(f2,2)(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2))/(diff(f1))^3 %求(3)。求y对x的二阶导数 (3)。求y f=x^2+y^2+z^2f=x^2+y^2+z^2-a^2; zx=-diff(f,x)/diff(f,z)%求(5)。 按隐函数求导公式求z zx=-diff(f,x)/diff(f,z)%求(5)。%按隐函数求导公式求z对x的偏 导数
《数学分析》实验课
积分问题
1.不定积分 1.不定积分
在MATLAB中，求不定积分的函数是int， 其调用格式为： int(f,x) int函数求函数f对变量x的不定积分。参数x 可以缺省，缺省原则与diff函数相同。
《数学分析》实验课
例：求不定积分。 命令如下： x=sym('x'); f=(3f=(3-x^2)^3; int(f) %求不定积分(1) %求不定积分(1) f=sqrt(x^3+x^4); int(f) %求不定积分(2) %求不定积分(2) g=simple(ans) %调用simple函数对结果化 %调用simple函数对结果化 简
matlab在微积分中的应用PPT课件
湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案
22
命令形式4：solve（s1,s2, …,sn,v1,v2, …,vn） 功能：对n个方程的制定变量v1,v2, …,vn求解。
命令形式5：[x1,x2, …,xn]=solve （s1,s2, …,sn,v1,v2, …,vn） 功能：将n个方程的指定变量v1,v2, …,vn求解的结果赋给 x1,x2, …,xn
注意：fun可以是字符串，内联函数或M函数文件名。
湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案
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例14．计算 xydxdy，其中D是y=1，x=4，x=0，y=0所围
成的区域。 D
解：dblquad('x*y',0,4,0,1)
例15．计算
1
dy
1
x2 y
dx
0
0
ff=inline('x.^2+y','x','y'); dblquad(ff,0,1,0,1)
x0054xminfvalfminsearchmyfunx0湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案34湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案35湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案36湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案37湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案38湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案39湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案40湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案41湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案lnsinlimsincos43湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案44湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案45数学建模种常用的线性代数知识在matlab中的实现线性方程组的迭代求解法湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案46数组运算指令说明指令说明非共轭转置相当于conja两数组对应元素相乘不左式相同湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案47数组运算指令说明指令说明按线性代数的矩阵乘法xab的解湖北师范学院数学与统计学院数学建模实验电子教案inv求矩阵的逆矩阵
MATLAB数学实验100例题解
一元函数微分学实验1 一元函数的图形（基础实验）实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解， 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法，建立数形结合的思想; 掌握用Matlab 作平面曲线图性的方法与技巧。
初等函数的图形2 作出函数x y tan =和x y cot =的图形观察其周期性和变化趋势。
解：程序代码：>〉 x=linspace （0,2＊pi,600）; t=sin （x)。
/(cos （x ）+eps ）;plot(x ，t)；title （’tan （x ）')；axis (［0，2*pi ，-50,50]）; 图象:程序代码: 〉〉 x=linspace （0,2*pi,100); ct=cos （x)。
/（sin(x)+eps ）； plot(x,ct ）；title(’cot(x)')；axis (［0,2＊pi ，—50,50])； 图象：cot(x)4在区间]1,1[-画出函数xy 1sin =的图形。
解：程序代码:>> x=linspace （-1，1，10000）;y=sin(1。
/x ）; plot （x,y ）; axis （［-1，1，—2,2］） 图象：二维参数方程作图6画出参数方程⎩⎨⎧==t t t y tt t x 3cos sin )(5cos cos )(的图形：解：程序代码:>〉 t=linspace(0,2＊pi,100)； plot(cos(t ）.＊cos （5＊t ），sin(t ）。
*cos(3*t)); 图象：极坐标方程作图8 作出极坐标方程为10/t e r =的对数螺线的图形. 解：程序代码：〉〉 t=0:0.01:2*pi ； r=exp （t/10);polar(log(t+eps ）,log （r+eps)); 图象：90270分段函数作图10 作出符号函数x y sgn =的图形。
Matlab在多元函数积分计算中的应用研究
Matlab在多元函数积分计算中的应用研究作者：杨真真来源：《软件导刊》2017年第08期摘要：Matlab作为目前使用最为广泛的科学计算类软件之一，被广泛应用于工程计算、控制设计等诸多领域。
针对多元积分学中的重积分、曲线积分和曲面积分计算等问题，在多元函数积分运算教学中利用Matlab进行辅助教学，以激发学生学习兴趣，加深其对所学知识的理解，提高教学效果。
关键词：三重积分；曲线积分；曲面积分；Matlab；多元函数DOIDOI：10.11907/rjdk.171983中图分类号：TP319文献标识码：A 文章编号文章编号：1672-7800（2017）008-0149-040 引言随着“互联网+”和大数据技术的蓬勃发展，当今社会已进入全民信息时代[1]，传统的“粉笔—黑板”式的教学已不再适应时代发展。
高等数学教学也在教授学生基本知识的同时，引入Matlab进行辅助教学[2-5]。
在高等数学教学中，多元函数积分学是高等数学的重点和难点，它涉及的概念、性质和公式十分复杂，包括重积分、曲线积分和曲面积分3大部分内容[6-8]，学生往往把握不住重点，有些内容难以区分，计算时更是无从下手。
因此，如何激发学生学习兴趣，提高教学效果，成为高校教授高等数学课程教师关注的重点。
众所周知，多元函数积分计算的总体思想是转化为定积分进行计算，例如将重积分转化为累次积分，将曲线积分根据曲线方程转化为定积分，然后将曲面积分根据曲面方程转化为重积分，进而再转化为定积分。
在多元函数积分的具体计算中，要想快速顺利地计算出正确结果，除了掌握定积分转化思想外，还要注意换元法、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式等的合理运用。
为了提高教学效果，激发学生学习兴趣，本文在多元函数积分学的重积分、曲线积分和曲面积分的计算教学中利用Matlab进行辅助教学，以加深学生对多元函数积分学计算方法的理解。
在高等数学教学中，利用Matlab进行辅助教学，不仅给学生提供了一个快速有效的计算结果检验工具，让其看到数学理论不是那么枯燥无味，还可以使用数学软件进行处理，而且让其认识到Matlab的强大功能，为后期学生进行数学实验、参加数学建模竞赛打下基础。
高等数学习题详解-第7章多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。
2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。
多元函数微分学的MATLAB求解
则称函数
在点
有极大（小）值
，点
称为函数
的极大（小）值点。极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点。
具有二阶连续偏导数的函数
的极值的求法：
第一步 解方程
求得一切实数解，即求得一切驻点；
第二步 对于每一个驻点
，求出二阶偏导数的值
；
第三步 定出
的符号，按照函数取得极值的充分条件判定
，是极大值还是极小值。
12.2 偏导数
1.偏导数的定义 设函数
在点
的某一领域内有定义，当 固定
在 而 在 处有增量 时，相应的函数有增量
如果 对 x 的偏导数，记作
存在，则称此极限为函数
在点
处
或
2.偏导数的几何意义 以二元函数
几何意义。设
为曲面
截此曲面得一曲线，此曲线在平面
，即偏导数
，就是这曲线在点
如图所示。
为例，其在点
是不是极值
2.条件极值 对于对自变量有附加条件的极值称为条件极值。对于有些条件极值，我
们可以通过代入手段将其化为无条件极值，但很大一部分是不能转化的，此时我们可以采 用拉格朗日乘数法求解。
要找函数
在附加条件
下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数
后与 得到的
其中 联立起来： 就是函数
为参数，求其对
的一阶偏导数，并使之为零，然
恒有
成立，则称当
，记作
或
的某邻域内有定义（ 可以除
，使当
时，
时，函数
以常数 A 为极限
为了区别于一元函数的极限，我们将二元函数的极限叫做二重极限。
4.多元函数的连续性
的某邻域内有定义；极限
MATLAB实验04多元函数微积分-8页word资料
实验04 多元函数微积分一实验目的 (2)二实验内容 (2)三实验准备 (2)四实验方法与步骤 (3)五练习与思考 (7)一 实验目的1 了解多元函数、多元函数积分的基本概念，多元函数的极值及其求法；2 理解多元函数的偏导数、全微分等概念，掌握积分在计算空间立体体积或表面积等问题中的应用；3 掌握MATLAB 软件有关求导数的命令；4 掌握MATLAB 软件有关的命令.二 实验内容1 多元函数的偏导数，极值；2 计算多元函数数值积分；3计算曲线积分，计算曲面积分.三 实验准备1 建立符号变量命令为sym 和syms ，调用格式为: x=sym('x') 建立符号变量x ；syms x y z 建立多个符号变量x ，y ，z ； 2 matlab 求导命令diff 的调用格式: diff(函数(,)f x y ,变量名x)求(,)f x y 对x 的偏导数fx∂∂； diff(函数(,)f x y ,变量名x,n) 求(,)f x y 对x 的n 阶偏导数n n fx∂∂；3 matlab 求雅可比矩阵命令jacobian 的调用格式： jacobian([f;g;h],[],,x y z )给出矩阵f f f x y zg g g x y zh h h xyz ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭4 MATLAB 中主要用int 进行符号积分，常用格式如下： ① int(s)表示求符号表达式s 的不定积分② int(s,x)表示求符号表达式s 关于变量x 的不定积分③ int(s,a,b)表示求符号表达式s 的定积分，a ，b 分别为积分的上、下限④ int(s,x,a,b)表示求符号表达式s 关于变量x 的定积分，a,b 分别为积分的上、下限5 MATLAB 中主要用trapz,quad,quad8等进行数值积分，常用格式如下：① trapz(x,y)采用梯形积分法，其中x 是积分区间的离散化向量，y 是与x 同维数的向量、用来表示被积函数.② quad8('fun',a,b,tol)采用变步长数值积分，其中fun 为被积函数的M 函数名，a,b 分别为积分上、下限，tol 为精度，缺省值为1e-3.③ dblquad('fun',a,b,c,d)表示求矩形区域的二重数值积分，其中fun 为被积函数的M 函数名，a ，b 分别为x 的上、下限，c ，d 分别为y 的上、下限.使用help int ，help trapz ，help quad 等查阅有关这些命令的详细信息.四 实验方法与步骤例1 定义二元函数23z x y =+.解 （1）方法一：syms x y;z=x.^2+y.^3; （2）方法二：编写M 文件fun7.m 定义函数function z=fun7(x,y) z=x.^2+y.^3;（3）方法三：利用inline 函数：f=inline('x.^2+y.^3'). 注：不同定义方式，调用格式不完全相同. 例2 绘出函数23z x y =+的图形.解 程序为：x=linspace(-10,10,40);y=x;[X,Y]=meshgrid(x, y); Z=fun7(X,Y);surf(X,Y,Z),shading interp 结果如图2-10所示.图2-10例3 设222u x y yz =++，求uy∂∂.解 输入命令：syms x y z;diff(x^2+2*y^2+y*z,y)，得ans=4*y+z.利用jacobian 命令：jacobian(x^2+2*y^2+y*z,[x y])，得ans=[2*x,4*y+z]，即矩阵,u u x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭例4 设642232z x y x y =-+，求22222,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.解 求22zx∂∂的程序为：syms x y;diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x,2)结果为: ans=30*x^4+4*y^2 求22zy ∂∂的程序为：syms x y;diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,y,2) 结果为：ans=-36*y^2+4*x^2 求2z x y ∂∂∂的程序为：syms x y;diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x),y) 结果：为ans=8*x*y.注：diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x,y)是求zy∂∂，而不是求2z x y ∂∂∂例5 设由,x y 所确定的z 的隐函数为2225xy y z ++=，求,z zx y∂∂∂∂.解 令()22,,25F x y z xy y z =++-''/x z zF F x∂=-∂ 输入命令:syms x y z;a=jacobian(x*y+y^2+2*z^2-5,[x,y,z])可得矩阵()''',,x y z F F F =[y,x+2*y,4*z] 利用公式''''/,/x z y z z zF F F F x y∂∂=-=-∂∂可得 求zx ∂∂的程序为：-a(1)/a(3)，结果为：-1/4*y/z ； 求zy∂∂的程序为：-a(2)/a(3)，结果为：1/4*(-x-2*y)/z. 例6 求（1）()222122()312(12)f x x x x =-+-在点()2,2-临近的极小值.（2）222()()(1)f x y x x =-+-在55x -≤≤内的极值.解 求多元函数(,)z f x y =的极值点X 和极小值minf ，可用如下方法 方法一：X=fminsearch('f',x0)，用的是Nelder-Mead 单纯形搜索法求解； 方法二：X=fminunc('f',x0)，用的是BFGS 拟牛顿迭代法求解. 其中[](1),(2),(3),,()X x x x x n =，x0是初始点. 若求极大值点，用（-1）乘函数，再求极小值点.（1）程序如下：f='(x(1)^2-3*x(2))^2+12*(1-2*x(2))^2'; x=fminsearch(f,[-2,2]),minf=eval(f) 结果为：x =-1.2247 0.5000, minf =2.1879e-009结果说明在1 1.2247x =-,20.5x =时，函数的极小值为0.（2）先作函数的图形，程序如下： [x,y]=meshgrid(-5:0.5:5); f=(y-x.^2).^2+(1-x).^2; surf(x,y,f);结果如图2-11所示. 以下程序为求函数的极小值： 图2-11f='(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2';x=fminsearch(f,[0.2,0.3]),minf=eval(f),shading interp 结果为：x=[1.0000,1.0000],minf=4.1546e-010 说明在1,1x y ==时，函数的极小值为0. 例8 计算积分221(1)d d x y xy x y +≤+⎰⎰.解 先将被积函数转化为二次积分：)22111(1)d d 1d d x y x y x y x y y x -+≤⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，程序为：clear; syms x y;iy=int(1+x*y,y,-sqrt(1-x^2),sqrt(1-x^2));int(iy,x,-1,1) 结果为：ans=π.例9 求对弧长的曲线积分：（1）计算2d ,:2cos ,3sin Ly s L x t y t ==⎰。
Matlab在微积分中的应用
降幂排列法（collect） collect(A) collect(A,name_of_varible)
展开法（expand） 将代数式中所有的括号打开，将变量 释放出来，但得出的结果并不进行任何 整理和幂次排列，只将其凌乱的堆在一 起
13
重叠法（horner） 重叠法使一种很特别的代数式的整理 化简方法。它的化简方法是将代数式 尽量化为 ax(bx(cx(…(zx+z’)+y’)+…)+b’)+a’ 的形式。 horner（A）
D为D={(x,y,z)|x2/3+y1/2+z2/5≤1} 5.对方程解进行替换代入,方程解为：
t=sovle(‘a*x^6+b*x^2+c’) 6.级数求和(3n+1)(z-1)n z∈C,n=1→∞ 7.求解方程组：
x+y+z=0 2
x +yz+x=10190
x/y+z/y+y/x+y/z=16327/225
可以用前面讲的limit命令来求各种函数的 导数，但利用导数的基本概念，可以轻松地 进行计算。
4
diff命令
（1）函数f(x)=log(x) (即lgx)的求导 diff（f）
（2）求函数的高阶导数 diff（f，n）
（3）多元函数的求导 diff（function，’variable’,n） 其中n为求导阶数
29
Байду номын сангаас
（2）非线性方程组的求解fsolve
X=fsolve(‘functions_name’,X0) 其中functions_name是预先以m函数 格式写入Matlab的函数组的函数名。 X0是当函数组均等于零时对各变量的 解的估计。
微分方程的Matlab求解ppt课件
y1' y2 y3
y2 ' y1 y3 y3' 0.51y1 y2
y1(0) 0, y2 (0) 1, y3(0) 1
解 1、建立m-文件如下：
function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);
s.z x=simple(s.x) %简化结果
y=simple(s.y)
z=simple(s.z)
结 果 为：
x =-(-C1-C2*exp(-3*t)+C2-C3+C3*exp(-3*t))*exp(2*t)
y =(-C1*exp(-4*t)+C1+C2*exp(-4*t)+C2*exp(-3*t)-C2+C3-C3*exp(-3*t))*exp(2*t)
x(0) 0, y(0) 0
返回
2. 模型求解
(1) w=20时,建立m-文件如下: function dy=eq3(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt ((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2); dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt ((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);
注意: 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，
m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.
2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须 变换成等价的一阶微分方程组.
MATLAB_实验04 多元函数微积分
实验04 多元函数微积分一实验目的 (2)二实验内容 (2)三实验准备 (2)四实验方法与步骤 (3)五练习与思考 (7)一 实验目的1 了解多元函数、多元函数积分的基本概念，多元函数的极值及其求法；2 理解多元函数的偏导数、全微分等概念，掌握积分在计算空间立体体积或表面积等问题中的应用；3 掌握MATLAB 软件有关求导数的命令；4 掌握MATLAB 软件有关的命令.二 实验内容1 多元函数的偏导数，极值；2 计算多元函数数值积分；3计算曲线积分，计算曲面积分.三 实验准备1 建立符号变量命令为sym 和syms ，调用格式为: x=sym('x') 建立符号变量x ；syms x y z 建立多个符号变量x ，y ，z ； 2 matlab 求导命令diff 的调用格式: diff(函数(,)f x y ,变量名x)求(,)f x y 对x 的偏导数f x∂∂； diff(函数(,)f x y ,变量名x,n) 求(,)f x y 对x 的n 阶偏导数n n fx∂∂；3 matlab 求雅可比矩阵命令jacobian 的调用格式： jacobian([f;g;h],[],,x y z )给出矩阵f f f x y zg g g x y zh h h xyz ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭4 MATLAB 中主要用int 进行符号积分，常用格式如下： ① int(s)表示求符号表达式s 的不定积分② int(s,x)表示求符号表达式s 关于变量x 的不定积分③ int(s,a,b)表示求符号表达式s 的定积分，a ，b 分别为积分的上、下限④ int(s,x,a,b)表示求符号表达式s 关于变量x 的定积分，a,b 分别为积分的上、下限5 MATLAB 中主要用trapz,quad,quad8等进行数值积分，常用格式如下：① trapz(x,y)采用梯形积分法，其中x 是积分区间的离散化向量，y 是与x 同维数的向量、用来表示被积函数.② quad8('fun',a,b,tol)采用变步长数值积分，其中fun 为被积函数的M 函数名，a,b 分别为积分上、下限，tol 为精度，缺省值为1e-3.③ dblquad('fun',a,b,c,d)表示求矩形区域的二重数值积分，其中fun 为被积函数的M 函数名，a ，b 分别为x 的上、下限，c ，d 分别为y 的上、下限.使用help int ，help trapz ，help quad 等查阅有关这些命令的详细信息.四 实验方法与步骤例1 定义二元函数23z x y =+.解 （1）方法一：syms x y;z=x.^2+y.^3; （2）方法二：编写M 文件fun7.m 定义函数function z=fun7(x,y) z=x.^2+y.^3;（3）方法三：利用inline 函数：f=inline('x.^2+y.^3'). 注：不同定义方式，调用格式不完全相同. 例2 绘出函数23z x y =+的图形.解 程序为：x=linspace(-10,10,40);y=x;[X,Y]=meshgrid(x, y); Z=fun7(X,Y);surf(X,Y,Z),shading interp 结果如图2-10所示.图2-10例3 设222u x y yz =++，求u y∂∂. 解 输入命令：syms x y z;diff(x^2+2*y^2+y*z,y)，得ans=4*y+z.利用jacobian 命令：jacobian(x^2+2*y^2+y*z,[x y])，得ans=[2*x,4*y+z]，即矩阵,u u x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭例4 设642232z x y x y =-+，求22222,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.解 求22zx∂∂的程序为：syms x y;diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x,2)结果为: ans=30*x^4+4*y^2 求22zy ∂∂的程序为：syms x y;diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,y,2) 结果为：ans=-36*y^2+4*x^2求2z x y∂∂∂的程序为：syms x y;diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x),y) 结果：为ans=8*x*y.注：diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x,y)是求zy∂∂，而不是求2z x y ∂∂∂例5 设由,x y 所确定的z 的隐函数为2225xy y z ++=，求,z zx y∂∂∂∂.解 令()22,,25F x y z xy y z =++- ''/x z zF F x∂=-∂ 输入命令:syms x y z;a=jacobian(x*y+y^2+2*z^2-5,[x,y,z]) 可得矩阵()''',,x y z F F F =[y,x+2*y,4*z] 利用公式''''/,/x z y z z zF F F F x y∂∂=-=-∂∂可得 求zx ∂∂的程序为：-a(1)/a(3)，结果为：-1/4*y/z ； 求zy∂∂的程序为：-a(2)/a(3)，结果为：1/4*(-x-2*y)/z. 例6 求（1）()222122()312(12)f x x x x =-+-在点()2,2-临近的极小值.（2）222()()(1)f x y x x =-+-在55x -≤≤内的极值.解 求多元函数(,)z f x y =的极值点X 和极小值minf ，可用如下方法 方法一：X=fminsearch('f',x0)，用的是Nelder-Mead 单纯形搜索法求解； 方法二：X=fminunc('f',x0)，用的是BFGS 拟牛顿迭代法求解. 其中[](1),(2),(3),,()X x x x x n =，x0是初始点. 若求极大值点，用（-1）乘函数，再求极小值点.（1）程序如下：f='(x(1)^2-3*x(2))^2+12*(1-2*x(2))^2'; x=fminsearch(f,[-2,2]),minf=eval(f) 结果为：x =-1.2247 0.5000, minf =2.1879e-009结果说明在1 1.2247x =-,20.5x =时，函数的极小值为0. （2）先作函数的图形，程序如下：[x,y]=meshgrid(-5:0.5:5); f=(y-x.^2).^2+(1-x).^2; surf(x,y,f);结果如图2-11所示.以下程序为求函数的极小值：图2-11f='(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2';x=fminsearch(f,[0.2,0.3]),minf=eval(f),shading interp结果为：x=[1.0000,1.0000],minf=4.1546e-010 说明在1,1x y ==时，函数的极小值为0. 例8 计算积分221(1)d d x y xy x y +≤+⎰⎰.解 先将被积函数转化为二次积分：)22111(1)d d 1d d x y x y x y x y y x -+≤⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰， 程序为：clear; syms x y;iy=int(1+x*y,y,-sqrt(1-x^2),sqrt(1-x^2));int(iy,x,-1,1) 结果为：ans=π.例9 求对弧长的曲线积分：（1）计算2d ,:2cos ,3sin Ly s L x t y t ==⎰。
matlab 多元积分
matlab 多元积分
MATLAB是一种重要的数学软件，可用于解决各种数学问题，包括多元积分。
多元积分是对多元函数在给定区域上求解的积分，是数学分析中重要的一部分。
MATLAB中提供了多种方法来计算多元积分，例如利用quad、dblquad、triplequad等函数来实现。
用户可以通过使用这些函数来计算不同维度的多元积分，比如二重积分、三重积分等。
在使用这些函数时，需要注意参数的设置和计算的精度，以保证计算的准确性。
MATLAB中还可以使用符号计算工具箱进行多元积分的符号计算，以便更好地理解和解决数学问题。
- 1 -。
MATLAB应用第七章多元函数微分学
diff(diff(f(x,y,z),x),y) 其余类推。
7.1.2 在xoy平面上作二元函数 z=f(x,y)等高线的命令
contour的命令格式类似于mesh和surf这两个命令。 例如输入:
输出为: lx=2*x+r*(2*x+1) ly=2*y+r*(2*y+1) lr=x^2+x+y^2+y-1
输入: s=solve('2*x+r*(2*x+1)=0','2*y+r*(2*y+1)=0', 'x^2+x+y^2+y-1=0','x,y,r')
得到输出: ans= r: [2x1 sym] x: [2x1 sym] y: [2x1 sym]
再输入:
x0=roots([3,6,-9])
y0=roots([-3,6,0])
输出为驻点:
x0=-3.0000 1.0000
y0=0
2
再输入: fxx=diff(f,x,2); fyy=diff(f,y,2); fxy=diff(fx,y); A=(fxx)*(fyy)-(fxy)^2; x=-3; y=0;
3
2
2
r 1 (3 3), x 1 (1 3), y 1 (1 3)
3
2
2
因此有两个极值可疑点。再输入: x=3^(1/2)/2-1/2; y=3^(1/2)/2-1/2; f1=eval(g) x=-3^(1/2)/2-1/2; y=-3^(1/2)/2-1/2; f2=eval(g)
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图7.1
7.1.3 解符号形式的代数方程组的命令
solve命令用于求解符号形式的代数方程组，其格式如下。 s=solve(eq1,eq2,…,eqN,var1,var2,…,varN)
【例2】设 z (1 xy)y ，求 z , z 。
x y
输入: syms x y z='(1+x*y)^y'; diff(z,x) diff(z,y)
则有输出: ans=y^2*(x*y+1)^(y-1) ans=log(x*y+1)*(x*y+1)^y+x*y*(x*y+1)^(y-1)
输出为: x= 1 3 y= 1 -3/2
7.2 实验内容
7.2.1 求多元函数的偏导数与全微分
【例1】设
z
sin(xy) cos2 (xy)
，求
z
,
z
2z ,
,
2z
x y x2 xy
输入: syms x y z='sin(x*y)+(cos(x*y))^2' diff(z,x) diff(z,y) diff(z,x,2) diff(diff(z,x),y)
【例3】设 z (a xy)y，其中a 是常数，求 z , z 。 x y
输入: syms x y z='(a+x*y)^y'; diff(z,x) diff(z,y)
输出为:
ans=y^2*(a+x*y)^(y-1)
ans=log(a+x*y)*(a+x*y)^y+x*y*(a+x*y)^(y-1)
vduix=(cos(v)-exp(u))/(u*cos(v)^2u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v))
vduiy=(exp(u)+sin(v))/(u*cos(v)^2u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v))
便依次得到函数表达式及所求的四个偏导数结果: z=sin(x*y)+(cos(x*y))^2 ans=y*cos(x*y)-2*y*cos(x*y)*sin(x*y) ans=x*cos(x*y)-2*x*cos(x*y)*sin(x*y) ans=-2*y^2*cos(x*y)^2+2*y^2*sin(x*y)^2y^2*sin(x*y) ans=-2*x*y*cos(x*y)^22*cos(x*y)*sin(x*y)+cos(x*y)+2*x*y*sin(x*y) ^2-x*y*sin(x*y)
diff既可以用于求一元函数的导数，也可用于求多元函数 的偏导数。用于求偏导数时，可根据需要分别采用如下几 种形式。
若求f(x,y,z)对x的偏导数，输入diff(f(x,y,z),x) 若求f(x,y,z)对y的偏导数，输入diff(f(x,y,z),y) 若求f(x,y,z)对x的二阶偏导数，输入
7.2.2 微分学的几何应用
输出依次得
uduix=(u*sin(v))/(u*cos(v)^2u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v))
uduiy=-(u*cos(v))/(u*cos(v)^2u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v))
diff(diff(f(x,y,z),x),x) 或者diff(f(x,y,z),x,2) 若求f(x,y,z)对x,y的混合偏导数，输入
diff(diff(f(x,y,z),x),y) 其余类推。
7.1.2 在xoy平面上作二元函数 z=f(x,y)等高线的命令
contour的命令格式类似于mesh和surf这两个命令。 例如输入:
g=diff(G,u); h=diff(G,v); A=[a,e;d,h]; B=[b,f;d,h]; C=[c,g;a,e]; D=[c,g;b,f]; E=[c,g;d,h]; uduix=-det(A)/det(E) uduiy=-det(B)/det(E) vduix=-det(C)/det(E) vduiy=-det(D)/det(E)
MATLAB
高等数学实验
实验七 多元函数微分学
实验目的 掌握用MATLAB计算多元函数偏导数和全
微分的方法，并掌握计算二元函数极值和 条件极值的方法。理解和掌握曲面的切平 面的作法。通过作图和观察，理解方向导 数、梯度和等高线的概念。
7.1 学习MATLAB命令
7.1.1 求偏导数命令命令
它对方程组eq1，eq2，…，eqN中指定的N个变量var1， var2，…，varN求解。s返回解的结构，其内容通过阅读 其域得到(输入s.var1，s.var2，…，等等)。当系统求不 出解析解时，会自动求原点附近的一个近似解。
例如，输入: s=solve(‘x^2+x*y+y=3’,‘x^2-4*x+3=0’) %或者 s=solve('x^2+x*y+y-3','x^2-4*x+3')
输出为: s= x: [2x1 sym] y: [2x1 sym]
输入: s.x,s.y %结构的具体内容
输出为: ans= 1 3 ans= 1 -3/2
solve有另外一种输出形式。输入: [x,y]=solve(‘x^2+x*y+y=3’,‘x^2-4*x+3=0’)
%或者 [x,y]=solve('x^2+x*y+y-3','x^2-4*x+3')
【例4】设
x y
eu eu
u u
sin v cos v
，求u ，u ，v ，v x y x y
。ห้องสมุดไป่ตู้
输入: syms x y u v F='exp(u)+u*sin(v)-x'; G='exp(u)-u*cos(v)-y'; a=diff(F,x); b=diff(F,y); c=diff(F,u); d=diff(F,v); e=diff(G,x); f=diff(G,y);