MATLAB应用第七章多元函数微分学
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diff(diff(f(x,y,z),x),x) 或者diff(f(x,y,z),x,2) 若求f(x,y,z)对x,y的混合偏导数，输入
diff(diff(f(x,y,z),x),y) 其余类推。
7.1.2 在xoy平面上作二元函数 z=f(x,y)等高线的命令
contour的命令格式类似于mesh和surf这两个命令。 例如输入:
【例3】设 z (a xy)y，其中a 是常数，求 z , z 。 x y
输入: syms x y z='(a+x*y)^y'; diff(z,x) diff(z,y)
输出为:
ans=y^2*(a+x*y)^(y-1)
ans=log(a+x*y)*(a+x*y)^y+x*y*(a+x*y)^(y-1)
MATLAB
高等数学实验
实验七 多元函数微分学
实验目的 掌握用MATLAB计算多元函数偏导数和全
微分的方法，并掌握计算二元函数极值和 条件极值的方法。理解和掌握曲面的切平 面的作法。通过作图和观察，理解方向导 数、梯度和等高线的概念。
7.1 学习MATLAB命令
7.1.1 求偏导数命令命令
它对方程组eq1，eq2，…，eqN中指定的N个变量var1， var2，…，varN求解。s返回解的结构，其内容通过阅读 其域得到(输入s.var1，s.var2，…，等等)。当系统求不 出解析解时，会自动求原点附近的一个近似解。
例如，输入: s=solve(‘x^2+x*y+y=3’,‘x^2-4*x+3=0’) %或者 s=solve('x^2+x*y+y-3','x^2-4*x+3')
g=diff(G,u); h=diff(G,v); A=[a,e;d,h]; B=[b,f;d,h]; C=[c,g;a,e]; D=[c,g;b,f]; E=[c,g;d,h]; uduix=-det(A)/det(E) uduiy=-det(B)/det(E) vduix=-det(C)/det(E) vduiy=-det(D)/det(E)
【例2】设 z (1 xy)y ，求 z , z 。
x y
输入: syms x y z='(1+x*y)^y'; diff(z,x) diff(z,y)
则有输出: ans=y^2*(x*y+1)^(y-1) ans=log(x*y+1)*(x*y+1)^y+x*y*(x*y+1)^(y-1)
[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2); z=x.^2-y.^2+0.5; contour(x,y,z,20) %参数20是等高线的数量 便作出了函数z=x^2-y^2的等高线(见图7.1)。
图7.1
7.1.3 解符号形式的代数方程组的命令
solve命令用于求解符号形式的代数方程组，其格式如下。 s=solve(eq1,eq2,…,eqN,var1,var2,…,varN)
输出依次得
uduix=(u*sin(v))/(u*cos(v)^2u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v))
uduiy=-(u*cos(v))/(u*cos(v)^2u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v))
【例4】设
x y
eu eu
u u
sin v cos v
，求u ，u ，v ，v x y x y
。
wk.baidu.com
输入: syms x y u v F='exp(u)+u*sin(v)-x'; G='exp(u)-u*cos(v)-y'; a=diff(F,x); b=diff(F,y); c=diff(F,u); d=diff(F,v); e=diff(G,x); f=diff(G,y);
输出为: x= 1 3 y= 1 -3/2
7.2 实验内容
7.2.1 求多元函数的偏导数与全微分
【例1】设
z
sin(xy) cos2 (xy)
，求
z
,
z
2z ,
,
2z
x y x2 xy
输入: syms x y z='sin(x*y)+(cos(x*y))^2' diff(z,x) diff(z,y) diff(z,x,2) diff(diff(z,x),y)
便依次得到函数表达式及所求的四个偏导数结果: z=sin(x*y)+(cos(x*y))^2 ans=y*cos(x*y)-2*y*cos(x*y)*sin(x*y) ans=x*cos(x*y)-2*x*cos(x*y)*sin(x*y) ans=-2*y^2*cos(x*y)^2+2*y^2*sin(x*y)^2y^2*sin(x*y) ans=-2*x*y*cos(x*y)^22*cos(x*y)*sin(x*y)+cos(x*y)+2*x*y*sin(x*y) ^2-x*y*sin(x*y)
vduix=(cos(v)-exp(u))/(u*cos(v)^2u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v))
vduiy=(exp(u)+sin(v))/(u*cos(v)^2u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v))
输出为: s= x: [2x1 sym] y: [2x1 sym]
输入: s.x,s.y %结构的具体内容
输出为: ans= 1 3 ans= 1 -3/2
solve有另外一种输出形式。输入: [x,y]=solve(‘x^2+x*y+y=3’,‘x^2-4*x+3=0’)
%或者 [x,y]=solve('x^2+x*y+y-3','x^2-4*x+3')
7.2.2 微分学的几何应用
diff既可以用于求一元函数的导数，也可用于求多元函数 的偏导数。用于求偏导数时，可根据需要分别采用如下几 种形式。
若求f(x,y,z)对x的偏导数，输入diff(f(x,y,z),x) 若求f(x,y,z)对y的偏导数，输入diff(f(x,y,z),y) 若求f(x,y,z)对x的二阶偏导数，输入
diff(diff(f(x,y,z),x),y) 其余类推。
7.1.2 在xoy平面上作二元函数 z=f(x,y)等高线的命令
contour的命令格式类似于mesh和surf这两个命令。 例如输入:
【例3】设 z (a xy)y，其中a 是常数，求 z , z 。 x y
输入: syms x y z='(a+x*y)^y'; diff(z,x) diff(z,y)
输出为:
ans=y^2*(a+x*y)^(y-1)
ans=log(a+x*y)*(a+x*y)^y+x*y*(a+x*y)^(y-1)
MATLAB
高等数学实验
实验七 多元函数微分学
实验目的 掌握用MATLAB计算多元函数偏导数和全
微分的方法，并掌握计算二元函数极值和 条件极值的方法。理解和掌握曲面的切平 面的作法。通过作图和观察，理解方向导 数、梯度和等高线的概念。
7.1 学习MATLAB命令
7.1.1 求偏导数命令命令
它对方程组eq1，eq2，…，eqN中指定的N个变量var1， var2，…，varN求解。s返回解的结构，其内容通过阅读 其域得到(输入s.var1，s.var2，…，等等)。当系统求不 出解析解时，会自动求原点附近的一个近似解。
例如，输入: s=solve(‘x^2+x*y+y=3’,‘x^2-4*x+3=0’) %或者 s=solve('x^2+x*y+y-3','x^2-4*x+3')
g=diff(G,u); h=diff(G,v); A=[a,e;d,h]; B=[b,f;d,h]; C=[c,g;a,e]; D=[c,g;b,f]; E=[c,g;d,h]; uduix=-det(A)/det(E) uduiy=-det(B)/det(E) vduix=-det(C)/det(E) vduiy=-det(D)/det(E)
【例2】设 z (1 xy)y ，求 z , z 。
x y
输入: syms x y z='(1+x*y)^y'; diff(z,x) diff(z,y)
则有输出: ans=y^2*(x*y+1)^(y-1) ans=log(x*y+1)*(x*y+1)^y+x*y*(x*y+1)^(y-1)
[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2); z=x.^2-y.^2+0.5; contour(x,y,z,20) %参数20是等高线的数量 便作出了函数z=x^2-y^2的等高线(见图7.1)。
图7.1
7.1.3 解符号形式的代数方程组的命令
solve命令用于求解符号形式的代数方程组，其格式如下。 s=solve(eq1,eq2,…,eqN,var1,var2,…,varN)
输出依次得
uduix=(u*sin(v))/(u*cos(v)^2u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v))
uduiy=-(u*cos(v))/(u*cos(v)^2u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v))
【例4】设
x y
eu eu
u u
sin v cos v
，求u ，u ，v ，v x y x y
。
wk.baidu.com
输入: syms x y u v F='exp(u)+u*sin(v)-x'; G='exp(u)-u*cos(v)-y'; a=diff(F,x); b=diff(F,y); c=diff(F,u); d=diff(F,v); e=diff(G,x); f=diff(G,y);
输出为: x= 1 3 y= 1 -3/2
7.2 实验内容
7.2.1 求多元函数的偏导数与全微分
【例1】设
z
sin(xy) cos2 (xy)
，求
z
,
z
2z ,
,
2z
x y x2 xy
输入: syms x y z='sin(x*y)+(cos(x*y))^2' diff(z,x) diff(z,y) diff(z,x,2) diff(diff(z,x),y)
便依次得到函数表达式及所求的四个偏导数结果: z=sin(x*y)+(cos(x*y))^2 ans=y*cos(x*y)-2*y*cos(x*y)*sin(x*y) ans=x*cos(x*y)-2*x*cos(x*y)*sin(x*y) ans=-2*y^2*cos(x*y)^2+2*y^2*sin(x*y)^2y^2*sin(x*y) ans=-2*x*y*cos(x*y)^22*cos(x*y)*sin(x*y)+cos(x*y)+2*x*y*sin(x*y) ^2-x*y*sin(x*y)
vduix=(cos(v)-exp(u))/(u*cos(v)^2u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v))
vduiy=(exp(u)+sin(v))/(u*cos(v)^2u*exp(u)*cos(v)+u*sin(v)^2+u*exp(u)*sin(v))
输出为: s= x: [2x1 sym] y: [2x1 sym]
输入: s.x,s.y %结构的具体内容
输出为: ans= 1 3 ans= 1 -3/2
solve有另外一种输出形式。输入: [x,y]=solve(‘x^2+x*y+y=3’,‘x^2-4*x+3=0’)
%或者 [x,y]=solve('x^2+x*y+y-3','x^2-4*x+3')
7.2.2 微分学的几何应用
diff既可以用于求一元函数的导数，也可用于求多元函数 的偏导数。用于求偏导数时，可根据需要分别采用如下几 种形式。
若求f(x,y,z)对x的偏导数，输入diff(f(x,y,z),x) 若求f(x,y,z)对y的偏导数，输入diff(f(x,y,z),y) 若求f(x,y,z)对x的二阶偏导数，输入