第七章多元函数微积分学
微积分第七章空间解析几何与向量代数
第七章 空间解析几何与向量代数 为了学习多元函数微积分的需要，本章首先建立空间直角坐标系，并引进在工程技术 上有着广泛应用的向量，介绍向量的一些运算．然后以向量为工具来讨论空间的平面与直线 方程，最后介绍空间曲面与空间曲线及二次曲面.第一节 空间直角坐标系一、 空间直角坐标系众所周知，实数x 与数轴上的点是一一对应的，二元数组(x ,y )与坐标平面上的点是一一对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间中的点与一个三元有序数组(x ,y ,z )建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.1.空间直角坐标系的建立过空间定点O 作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点，并且通常取相同的长度单位．这三条数轴分别称为x 轴、y 轴、z 轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以右手握住z 轴，让右手的四指从x 轴的正向以π/2的角度转向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向．这个法则叫做右手法则(图7-1)．这样就组成了空间直角坐标系．O 称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面．类似地有yOz 坐标面、zOx 坐标面．这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限(图7-2)．x 、y 、z 轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始，从z 轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。
图7-1 图7-22.空间中点的直角坐标设M 为空间的一点，若过点M 分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于P ，Q ，R 三点，且这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ，则点M 唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．反之，设给定一个有序数组(x ，y ，z )，且它们分别在x 轴、y 轴和z 轴上依次对应于P ，Q 和R 点，若过P ，Q 和R 点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面确定了唯一的交点M ．这样，空间的点就与一个有序数组(x ，y ，z )之间建立了一一对应关系(图7-3)．有序数组(x ，y ，z )就称为点M 的坐标，记为M (x ，y ，z )，它们分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点O的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0．例如，在x轴上的点，均有y＝z＝０；在xOy坐标面上的点，均有z ＝０．图7-3 图7-4二、空间两点间的距离公式设空间两点M１（x1, y1, z1)、M2 (x2, y2, z2),求它们之间的距离d=12M M．过点M 1,M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图7-4所示的长方体．易知 2222121212()d M M M Q QM M QM==+∆是直角三角形222121()M P PQ QM M PQ=++∆是直角三角形222122M P P M QM''''=++()()()222212121x x y y z z=-+-+-所以d=（7-1-1 ）特别地，点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)的距离(图7-3)d OM==例1在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点．解因所求的点M在z轴上，故设该点坐标为M(0，0，z)，依题意MA MB=，即=解得z＝149，所求点为M ( 0，0，149)．习题7-11．在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A (1，3，2)，B (1，2，-1)，C (-1，-2，3)，D(0，-2，0)，E (-3，0，1)．2． 求点(a ,b ,c )关于(1) 各坐标面；(2) 各坐标轴；(3) 坐标原点的对称点的坐标．3． 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．4． 求点M (4，-3，5)到各坐标轴间的距离．5． 在y Ｏz 面上，求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，-2，2)和C (0，5，1)等距离的点．6． 试证明以三点A (4，1，9)，B (10，-1，6)，C (2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．第二节 向量及其运算一、 向量的概念在物理学和工程技术中经常会碰到一些既有大小又有方向的量，如力、速度等，我们把这类量称为向量(或矢量)．空间中的向量常用具有一定长度且标有方向的线段(称为有向线段)来表示。
第七讲 多元函数微分学(基础班 专转本第七章)
类似地，当 x固定在 x 0，而 y 在 y 0处有改变量 y ，如 极 限 lim
y0
存在，则称此极限为函
z f ( x, y )在点（ x 0 ，y 0 ）处对 y 的偏导数，记为
则称二元函数 z f ( x , y) 在点 P0 ( x 0 , y 0 )处连续．如果 f ( x , y) 在区域 D 内的每一点都连续, 则称 f ( x , y) 在区域 D 上连续． 注：类似的，我们也可以定义二元函数间断点的概念 二、偏导数与全微分 引例 一定量理想气体的压强 P，体积 V，热力学 度 T 三者之间的关系为 RT P (R 为常量 ).
第七讲 多元函数微分学 §1 多元函数微分学 一、多元函数的概念 人们在实践中，还会遇到许多依赖与两个或两个以上自变 量的函数，称这种函数为多元函数。
2
RT
定量理想气体的压强 p V （R是常数） 1.二元函数的定义 设有三个变量 x, y和 z,如果当变量 x, y在它们的
(V , T ) V 0, T T
x 0 0 y
xy 1 1
,
f y
x 0 0 y
,zy
x 0 y 0
或f y ( x 0 , y 0 )
.
lim
lim
xy 1 1
t 11
2
lim f ( x , y ) f ( x 0 , y0 )
dPT常数
第七讲 多元函数微分学
e x cos y
x 1 o y x 2 yo 2
求 极 限 例4 求极限 lim
xy
l i m
解： 这里 就不能直 接带入 x 0, y 0
高三数学知识点：多元函数和多元微积分
高三数学知识点：多元函数和多元微积分1. 多元函数1.1 定义多元函数是指含有两个或两个上面所述变量的函数。
通常表示为f(x1,x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是变量，称为自变量。
1.2 多元函数的图形多元函数的图形是多元函数的图像。
在平面上，我们可以画出二元函数的图像。
对于二元函数f(x, y)，我们可以固定一个变量的值，然后画出另一个变量的值随该变量变化的曲线。
这些曲线称为等值线。
1.3 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指对一个变量的导数，而将其他变量视为常数。
对于函数f(x1, x2, ..., xn)，其偏导数可以表示为：•∂f/∂x1：表示对x1的偏导数。
•∂f/∂x2：表示对x2的偏导数。
•∂f/∂xn：表示对xn的偏导数。
1.4 多元函数的极值多元函数的极值是指在某个区域内，函数取得最大值或最小值的情况。
通过求偏导数并解方程组，可以找到多元函数的极值。
2. 多元微积分2.1 多元积分多元积分是指对多元函数进行积分。
根据积分变量的不同，可以分为二重积分、三重积分和四重积分等。
2.1.1 二重积分二重积分是指对二元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫_D f(x, y) dA其中，D表示积分区域，f(x, y)是被积函数，dA是面积元素。
2.1.2 三重积分三重积分是指对三元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫_D f(x, y, z) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z)是被积函数，dV是体积元素。
2.1.3 四重积分四重积分是指对四元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫∫_D f(x, y, z, w) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z, w)是被积函数，dV是体积元素。
2.2 向量微积分向量微积分包括向量的导数和向量的积分。
2.2.1 向量的导数向量的导数是指对向量场的导数。
对于向量场F(x, y, z)，其导数可以表示为：∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z2.2.2 向量的积分向量的积分是指对向量场进行积分。
多元微积分
多元微积分多元微积分是数学的一个分支，旨在研究多元空间内的微积分。
在多元微积分中，我们将会学习多元函数的概念及其性质、偏导数和导数矩阵的定义、多元微分学中的极值问题及拉格朗日乘数法、多元积分学及其应用等。
首先，我们来了解一下多元函数的概念。
在单变量微积分中，我们研究的是只有一个自变量的函数，而在多元微积分中，函数可能有多个自变量。
例如，$z=f(x,y)$ 就是一个双变量函数，$f(x,y,z)$ 就是一个三元函数。
在多元函数中，我们可以用等高线图来表示函数在平面上的变化情况。
等高线上的任意一点表示函数在该点的取值相同，等高线间的高度差就代表着函数值的变化。
接下来，我们可以学习偏导数和导数矩阵的概念。
在单变量函数中，导数表示函数在某个点上的瞬时变化率。
在多元函数中，每个自变量都可以影响函数的取值，所以我们需要从每个自变量方向上来研究函数的变化，而这就是偏导数的概念。
偏导数描述了函数在某个点沿某一方向的变化速率。
导数矩阵是由多个偏导数组成的矩阵，表示函数在所有方向上的变化情况。
导数矩阵在多元函数的极值问题中起着重要的作用。
接下来，我们将学习多元微分学中的极值问题以及拉格朗日乘数法。
在单变量函数中，我们用导数来判断函数的极值，而在多元函数中，我们将使用导数矩阵和二次型矩阵来判断函数的极值。
二次型矩阵描述了函数取得极值的形状。
如果二次型矩阵为正定或负定，那么函数的极值就是极小值或极大值；如果二次型矩阵是一个不定矩阵，那么我们无法得出该函数的极值。
当我们需要研究函数的极值时，常常需要引入拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法通过引入一个限制条件来确定函数的极值，这个限制条件可以是在某个区域内的限制性条件，例如体积、表面积等。
最后，我们将学习多元积分学和它的应用。
多元积分学是研究多元空间内面积、体积、质心等问题的数学学科。
在多元积分学中，我们将学习三种类型的积分：二重积分、三重积分和曲线积分。
二重积分用于计算一个平面区域内的面积；三重积分用于计算三维空间内的体积；曲线积分则用于计算空间内曲线的长度、质心等。
《高等数学C》课程教学大纲
《高等数学C》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标本课程的学习可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。
同时，通过各教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力，综合运用所学知识分析和解决实践问题的能力，初步抽象概括问题的能力，自学能力以及一定的逻辑推理能力。
第一，通过课程学习，提高学生的计算能力，主要是提高学生求极限、求微分、求积分的计算能力。
第二，通过课程学习，提高学生的自学能力，主要是提高学生自主学习的能力。
第三，通过课程学习，提高学生的分析问题与解决问题的能力，主要是提高学生能利用所学的高数知识去分析和解决一些实际问题的能力。
第四，通过课程学习，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力要进一步提高。
三、教学学时分配《高等数学C》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。
四、教学内容和教学要求第一章函数、极限与连续（12学时）（一）教学要求1．理解函数、初等函数概念，熟练掌握基本初等函数表达式、定义域、图形和性质。
2．了解反函数概念，理解复合函数与分段函数的概念，熟练掌握复合函数的分解与复合过程。
3．理解数列极限与函数极限概念，了解极限的精确定义。
4．理解左、右极限概念，了解极限存在的充分必要条件。
5．理解无穷小量与无穷大量的概念，会对无穷小量进行比较。
6．掌握无穷小量运算法则及函数极限与无穷小量的关系定理。
7．掌握极限四则运算法则。
8．了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），熟练掌握和应用两个重要极限。
9．理解函数连续与间断的概念，掌握判断函数连续性的方法。
10．理解闭区间上连续函数的性质和初等函数的连续性。
（二）教学重点与难点重点：极限概念、运算，连续概念，闭区间上连续函数的性质和初等函数的连续性。
难点：极限概念、运算，两个重要极限。
（三）教学内容第一节集合与函数1．函数概念2．基本初等函数表达式、定义域、图形和简单性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）3．反函数概念，复合函数与分段函数的概念，复合函数的分解与复合过程4．初等函数概念第二节极限的概念1．数列极限概念2．函数极限概念3．左、右极限概念，极限存在的充分必要条件第三节无穷小与无穷大1．无穷小与无穷大的概念2．无穷小的性质3．无穷小量阶的比较第四节函数极限的性质与运算法则1．函数极限的性质2．极限四则运算法则第五节极限存在的两个准则，两个重要极限1．极限存在的两个准则2．两个重要极限第六节函数连续与间断1．连续函数的概念2．初等函数的连续性3．函数的间断点第七节闭区间上连续函数的性质1．最值性定理2．有界性定理3．介值定理4．零点定理本章习题要点：1．极限2．连续，间断点3．零点定理第二章导数与微分（8学时）(一)教学要求1. 理解导数与微分的概念，理解导数的几何意义及函数可导与连续的关系。
微积分第2版-朱文莉第7章 多元函数微分学习题祥解
习题7.1(A)1、求点(2,1,3)A -关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。
解 (1)(2,1,3)--,(2,1,3)--, (2,1,3)；(2)x 轴：(2,1,3)-，y 轴：(2,1,3)---，z 轴：(2,1,3)-； (3) (2,1,3)--。
2、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(4,3,5)A -，(2,3,4)B -，(2,3,4)C --，(2,3,1)D --并求点(4,3,5)A -分别到(1)坐标原点；(2)各坐标轴；(3)各坐标面的距离。
解 A 点在第4卦限； B 点在第5卦限；C 点在第8卦限；D 点在第3卦限。
(1) A =(4,3,5)-(2) A 到x =A 到y =A 到z 5=；(3) A 到坐标面xy 5=；A 到坐标面yz 4=；A 到坐标面xz 3=。
3、在z 轴上求一点M ，使该点与点(4,1,7)A 和(3,5,2)B 的距离相等。
解 因为所求点在z 轴上, 所以设该点为(0,0,)M z , 由题意有MA MB , 即222222(4)1(7)35(2)z z两边平方, 解得149z, 于是所求点为14(0,0,)9M . 4、写出球心在点(1,3,2)--处，且通过点(1,1,1)-的球面方程。
解 由2222000()()()xx yy zz R ，得2222(1())(113())(12)R则3R ，从而球面方程为2222(1)(3)(2)3x yz5、下列各题中方程组各表示什么曲线？(1)2248,8;x y z z(2)2225,3;x y z x(3)2224936,1;x y z y (4)2244,2.x y z y解 (1) 双曲线；(2) 圆；(3) 椭圆；(4) 抛物线。
6、描绘下列各组曲面在第一卦限内所围成的立体的图形。
(1) 0,0,0,1x y z x y z ===++=；(2) 2222220,0,0,,x y z x y R y z R ===+=+=。
多元函数微分学的几何应用
多元函数微分学的几何应用一、多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个分支，研究的是多个自变量的函数的导数、微分和全微分等概念。
与一元函数微分学不同的是，多元函数在求导时需要通过偏导数来计算，而全微分可以看做多元函数在某一点上的线性近似。
多元函数微分学在实际生活中有着广泛的应用，尤其是在几何学方面。
二、几何应用1. 向量场和梯度向量场是一个函数与向量的映射关系，在几何学中经常用于描述速度场、磁场等。
其中，梯度是向量场的一个重要概念。
梯度表示在某一点上函数变化增加最快的方向。
例如，在平面上的某一点上，一个函数的梯度表示了函数值增加最快的方向及增加的速率。
2. 方向导数和梯度的应用方向导数表示函数在某一点上沿着某一给定方向上的导数。
在平面几何中，方向导数可以用来求解曲面的切平面方程。
具体来说，可以通过梯度和方向向量的点积计算出方向导数，从而得到曲面上某一点的切平面方程。
3. 曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分，类似于线积分。
在计算曲面积分时，需要用到曲面的面积元素，这里面积元素的计算需要用到微积分中的偏微分。
具体来说，可以通过将曲面分成小的面元，计算每个面元的面积和函数值，然后将它们累加起来，从而得到曲面上的积分值。
4. 极值和拐点在多元函数中，类似于一元函数中的极值和拐点的概念。
在平面几何中，可以将这些概念应用于曲线的局部特征的分析中。
通过极值和拐点的计算，可以得到曲线上的最大和最小值，以及拐点的位置和拐点的类型等信息。
总之，多元函数微分学在几何学中有着广泛的应用。
通过对向量场、梯度、方向导数、曲面积分、极值和拐点等概念的研究，可以深入分析曲线、曲面的本质特征和局部特征，从而为实际问题的求解提供了精确的数学工具。
微积分第七章-多元函数微分学习题
总结词
理解偏导数与全微分的关系，掌握二者之间 的转换方法。
详细描述
偏导数是全微分的线性近似，即当 自变量改变量Δx、Δy等趋于0时， 全微分等于偏导数乘以自变量改变 量。因此，在求函数在某一点的切 线斜率时，可以使用偏导数；而在 计算函数在某一点的微小改变量时， 则使用全微分。
03
习题三：方向导数与梯度
THANKS
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Delta y]
计算多元函数的梯度
总结词
梯度是多元函数在某点处的方向导数的最大值，表示函数在该点处沿梯度方向变 化最快。
详细描述
梯度的计算公式为：[nabla f(x_0, y_0) = left( frac{partial f}{partial x}(x_0, y_0), frac{partial f}{partial y}(x_0, y_0) right)]梯度向量的长度即为函数在该点 的变化率。
讨论多元函数极值的性质
要点一
总结词
极值的性质包括局部最大值和最小值、鞍点的存在以及多 变量函数的极值与一元函数的极值之间的关系。
要点二
详细描述
在多元函数中，极值具有局部性，即在一个小的区域内， 一个函数可能达到其最大值或最小值。鞍点是函数值在某 方向上增加而在另一方向上减少的点。此外，多变量函数 的极值与一元函数的极值之间存在一些关系，例如，在一 元函数中，可微函数在区间上的最大值和最小值必然在驻 点处取得，但在多元函数中，这一性质不再成立。
利用二阶条件求多元函数的极值
总结词
二阶条件是进一步确定极值点的工具，通过判断二阶偏导数的符号，我们可以确定是否为极值点。
详细描述
在得到临界点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。这需要检查二阶偏导数的符号。如果所 有二阶偏导数在临界点处都为正，则该点为极小值点；如果所有二阶偏导数在临界点处都为负，则该 点为极大值点；如果既有正又有负，则该点不是极值点。
多元函数微分学相关概念
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如 果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
⑥会求多元函数极值
一、多元函数的概念
是某 设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点， 的点P ( x , y ) 一正数，与点 P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于 邻域，记为U ( P0 , ) ， 的全体，称为点P0 的
U ( P0 , )
（1）邻域
设两点为
P ( x1 , x2 ,, xn ), Q( y1 , y2 ,, yn ),
| PQ | ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离． n维空间中邻域、区域等概念
{( x , y ) | 0 x 2 y 2 1}
(0,0)既是边界点也是聚点．
点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E ． 2 2 {( x , y ) | 0 x y 1} 例如, (0,0) 是聚点但不属于集合． 例如,
{( x , y ) | x 2 y 2 1}
解 取
0, , 当 0 2
x y 时
2 2
f ( x , y ) f (0,0) 2
( x , y ) ( 0 , 0 )
lim
f ( x , y ) f (0,0),
多元微积分
y = kx ,
3
lim
x x
6
x→ 0 y→ 0
y 2 + y
3
x3 kx3 k = lim 6 2 6 = , 2 x→0 x + k x 1+ k y=kx3
其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 其值随 的不同而变化， 故极限不存在． 的不同而变化
确定极限不存在的方法： 确定极限不存在的方法： 不存在的方法
{
}
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义． 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义 ）
是平面上的一个点集， 设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P( x, y) ∈ D，变量z 按照一定的法则总有确定的值 和它对应， 的二元函数， 和它对应，则称z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z = f ( x, y)（或记为z = f (P)）.
说明： 说明：
Rn ; n维空间的记号为 维空间的记号为
n维空间中两点间距离公式 维空间中两点间距离公式
设两点为
P( x1, x2,, xn), Q( y1, y2,, yn ),
| PQ|= ( y1 x1 )2 + ( y2 x2 )2 + + ( yn xn )2 .
便为数轴、平面、 特殊地当 n = 1, 2, 3 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离． 空间两点间的距离． n维空间中邻域、区域等概念 维空间中邻域、 维空间中邻域 邻域： 邻域： U ( P0 , δ ) = P | PP0 |< δ , P ∈ R n
{( x , y ) | x + y = 1}
2 2
边界上的点都是聚点也都属于集合． 边界上的点都是聚点也都属于集合．
多元函数微积分初步
多元函数微积分初步微积分是数学的一门重要学科，包括单变量微积分和多变量微积分。
而多元函数微积分是其中的重要分支，掌握这门学科将有助于我们理解许多自然现象和实际问题。
一、向量和函数我们先来回顾一下向量和函数的定义。
向量是具有大小和方向的量，通常表示为箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
函数是一种映射关系，将一个变量的取值映射到另一个变量的取值。
对于多元函数，一个变量可以对应多个取值。
对于$R^n$空间内的向量$\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和向量$\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，定义向量的加法为$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b _n)$$同时，定义向量的数乘为$$k\boldsymbol{a}=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$$其中$k$为一个实数。
这些定义也可以推广到更一般的向量空间中。
而对于多元函数$f:D \subseteq R^n \rightarrow R$，我们可以将其表示为$$z=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$其中$D$表示定义域，$R$表示实数集合。
有时候也将向量$\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$表示为$\boldsymbol{x} \in D$，$\boldsymbol{y}=f(\boldsymbol{x})$表示为函数在向量$\boldsymbol{x}$处的取值。
同理，我们也可以将定义域和值域扩展到复数域。
二、偏导数和方向导数在单变量函数的微积分中，我们知道了导数的概念，通过求解导数，我们可以得到函数在某一点的切线斜率，也就是函数变化的快慢。
同样，在多元函数的微积分中，我们也可以定义导数的概念。
但是，由于多元函数的变量数量增加，直接求导数并不容易，需要借助一些新的概念。
多元函数微积分(课件)
zx f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ) ，
如果极限
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 处对 x 的偏导数，记为
z
x (x0 , y0 ) 或 f x (x0 , y0 ) 。
求函数的二阶偏导数，并验证
2z x2
2z y2
0。
解 MATLAB求解代码如下：
程序运行结果为：
>>syms x y >>z = log(sqrt(x^2+y^2)) >>dz_dx2 = diff(diff(z,x),x) >>dz_dy2 = diff(diff(z,y),y) >>dz_dxdy = diff(diff(z,x),y) >>dz_dydx = diff(diff(z,y),x) >>a = simplify(dz_dx2+dz_dy2)
MATLAB求解代码如下：
z xy ln x 。 y
>>syms x y >>f = x^y; >>dfx = diff(f,x) >>dfy = diff(f,y)
17
第、 二节 偏导数与全微分
、
3．高阶偏导数
对于二元函数 z f (x, y) 来说，如果它的一阶偏导数 fx (x, y) 、 f y (x, y) 仍是关于每个自变 量的函数，并且一阶偏导数对每个自变量的偏导数存在，则称这个二元函数具有二阶偏导数。
12
目录
1
多元函数的概念、极限与连续性
对多元函数微分学的认识
对多元函数微分学的认识多元函数微分学是微积分的一个重要分支，主要研究多元函数的微分、偏导数、全微分、偏导数的连续性、可微性以及它们之间的关系。
在一元函数微积分中，我们研究的是只涉及一个自变量的函数。
而在多元函数微分学中，我们考虑的是涉及多个自变量的函数。
一个多元函数可以写为f(x1, x2, ..., xn)的形式，其中x1, x2, ...,xn是自变量，而f是一个依赖于这些自变量的函数。
在多元函数微分学中，我们首先需要定义偏导数。
偏导数衡量了一个多元函数在某一点沿着某个特定的方向的变化率。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其关于第i个自变量xi的偏导数记作∂f/∂xi。
然后，我们可以推广一元函数的微分的概念到多元函数上，得到多元函数的全微分。
全微分表示了一个多元函数在某一点附近的线性近似。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其全微分可以表示为df = ∂f/∂x1dx1 + ∂f/∂x2dx2 + ... + ∂f/∂nxdxn。
多元函数的可微性与偏导数的连续性紧密相关。
如果多元函数在某一点可微，则其所有偏导数必须存在且连续。
可微性的定义还包括了全微分在该点附近的线性近似误差与自变量的增量之间的关系。
多元函数微分学的应用非常广泛，特别是在物理、经济、工程等领域中的数学模型建立和求解中扮演着重要的角色。
它不仅是微积分理论的重要组成部分，也是解决实际问题的数学工具之一。
通过多元函数微分学的研究，我们能够更深入地理解多变量函数的行为和性质，从而为问题的分析和求解提供有力的数学支持。
第七章-多元函数微积分简介-自测题
第七章-多元函数微积分简介-自测题第七章 多元函数微积分简介 自测题一．选择题1．二元函数z=f(x,y)在点(0,x y )处可微的充分条件是 （ ）A f(x,y)在点（0,x y ）处连续；B 00(,),(,),x y f x y f x y x y ''在（）的某邻域存在；C 220000(,)(,),0x y f x y x f x y y x y ''∆∆-∆∆+∆→z-当时，是无穷小量；D2222(,)(,)0f x y x f x y yx y x y''∆∆-∆∆+∆∆+∆z-，当时，是无穷小量。
2．22221()sin ,(,)0,x y x y f x y ⎧+⎪+=⎨⎪⎩222200x y x y +≠+=，。
则在原点（0,0）处f(x,y) ( )A 偏导数不存在；B 不可微C 偏导数存在且连续D 可微3．设x ϕ（）为任意一个x 的可微函数，ψ（y ）为任意一个y 的可微函数，若已知22F f,(,)F x y x y x y∂∂≠∂∂∂∂则是 （ ） A f(x,y)+x ϕ（） B f(x,y)+ψ（y ）C f(x,y)+x ϕ（）+ψ（y ）D f(x,y)+ x ϕ（）ψ（y ）4．已知3222（axy -y cosx ）dx+(1+bysinx+3x y )dy 为某一函数f(x,y)的全微分，则a 和b 的值分别是 （ ） A -2和2， B 2和-2， C -3和3 D 3和-3. 5．设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y（ ）(A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续；(C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续6．函数z f x y =(,)在点(,)x y 0处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ ）(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 7．设函数z x y =-+122，则点(,)00是函数 z 的（ ）（A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点；（C ）极小值点但非最小值点； （D ）极小值点且是最小值点。
第七章 多元函数微积分
高等数学练习题 第七章 多元函数微积分系 专业 班 姓名 学号 第一节 空间解析几何基础知识 第二节 多元函数的概念一．选择题1．方程22480x y z +-+=表示 （D ） （A ）平面 （B ）柱面 （C ）球 （D ）抛物面 2．函数)ln(1y x z +=的定义域 （ C ）（A ）0>+y x （B ）0)ln(≠+y x （C ）1>+y x （D ）1≠+y x 3．设)1(-+=x f y z ，且当1=y x z =时，则)(y f = （ D ）（A ）1-y （B ）y （C ）2+y （D ）)2(+y y4．若)0()l n(),(22>>--=y x y x x y x f ，则),(y x y x f -+= （ B ）（A ）)ln(y x - （B ）)ln(2y x -（C ）)ln (ln 21y x - （D ）)ln(2y x - 二．填空题1．点(4,3,5)M -到x 轴的距离d2．若一球面以点(1,3,2)-为球心且过原点，则其方程为3．与Z 轴和点)1,3,1(-A 等距离的点的轨迹方程是_____ _ ___4． 球面：07442222=--+-++z y x z y x 的球心是点__________，半径=R __； 5. ln()z y x =-+的定义域6．设函数32(,)23f x y x xy y =-+，则(x f y =7．已知22),(y x xy y x f -=+，则=),(y x f 8．已知vu ww u w v u f ++=),,(，则),,(xy y x y x f -+=222(1)(3)(2)14x y z -+-++=2262110z x y z --++=(1,2,2)-422{(,)|1,0}x y x y y x +<>≥3()3x xy y -+2222(1)1(1)x xy x y y y --=++2()()xy xx y xy ++三．计算题1．y xy y x )sin(lim)0,2(),(→解：sin()xy xy ≤∴ 当(,)(2,0)x y →时，sin()2xy y→ 则原式＝2 2．24lim)0,0(),(-+→xy xy y x解：2==∴原式＝(,)(0,0)lim 2)4x y →=3．2222222)0,0(),()(cos 1limy x y x ey x y x +→++-解：2211()2x y -+∴原式＝2222222(,)(0,0)1()2lim ()x y x y x y x y e+→++ ＝222(,)(0,0)1lim2x y x y e+→＝12高等数学练习题 第七章 多元函数微积分系 专业 班 姓名 学号第三节 偏导数 第四节 全微分一．选择题1．设),(y x f z =，则),(00y x xz ∂∂= （ B ）（A ）x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000（B ）xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000（C ）x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim0000（D ）xy x f y y x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 000002．若xy z ln =，则dz 等于 （ B ）（A ）y x y x y y x x ln ln ln ln + （B ）dy yxy dx x y y x x ln ln ln ln +（C ）ln ln ln ln x xy x y ydx dy x + （D ）xyy x ln ln 3．设22()z yf x y =-，则 11z zx y y∂∂+=∂∂ （ A ） （A ）221()f x y y -； （B ）4f yf y '+； （C ）0； （D ）1y二．填空题1．设)cos(2y x z =，则yz∂∂= 2．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f3．设)sin(),(223y x ey x y x f xy--+=，则=)1,1(x f4．设432),,(z y x z y x f =，则),,(z y x f z =5．设函数2sin()(1y z y xy y e -=+-，则(1,0)|z x∂=∂6．设2232),(y xy x y x f -+=，则),(y x f xy''= 7．设y x e u xsin -=，则yx u∂∂∂2在点)1,2(π处的值为22sin()x x y -251e +2234x y z 14322e π-8．函数y x xy z ++=22arctan 的全微分=dz三．计算题 1．设xzyau ）（1=, 求z y x u u u '''，，解： 1()'ln ln xz xzyx u zayy a -=-⋅ 1()1'ln xz xz yy u xzyaa --=- 1()'ln ln xz xzyz u xy aa y -=-⋅2．设)ln(2y x z +=，求在点（1，0）处的全微分 解：22dx ydydz x y+=+ (1,0)|d z d x = 3．设)11(yx ez +-=，求证z yz y x z x222=∂∂+∂∂ 证：11()21x y z e x x -+∂=∂ 11()21x y z ey y-+∂=∂ 1111()()22222211x yx yz z x y x e y ex y x y-+-+∂∂+=+∂∂＝11()22x yez -+=4．验证 nx ey tkn sin 2-=满足22xyk t y ∂∂=∂∂证：22sin kn t y kn e nx t -∂=-∂ 2c o s k n t y n e n x x -∂=∂ 2222s i n k n ty n e n x x-∂=-∂ ∴22xy k t y ∂∂=∂∂22(4)(1)1()1()y x x dx dy xy xy +++++高等数学练习题 第七章 多元函数微积分系 专业 班 姓名 学号第五节 多元复合函数与隐函数微分法（一）一．选择题1．设)(),,(,ln 2y v y x u v u z ψϕ===均为可微函数，则=∂∂yz（ C ） （A ）vu v u 2ln 2+（B ）v u v y 2ln 2+ϕ （C ）ψϕ'+v u v u y 2ln 2 （D ）vu y ψϕ'22．设(,)2323z f x y x y =+，f 具有二阶连续偏导数，则2zx y∂=∂∂ （B ）（A ）226621112222615276f x y f x y f x yf '''''''+++ （B ）()235211122226666f xy x y f x y f xy f '''''''++++ （C ）()235111222666f xy x y f x y f ''''''+++ （D ）226611122261527f x y f x y f ''''''++ 二．填空题1．设22v u z +=，而y x v y x u -=+=,，则yzx z ∂∂+∂∂= 2．设yx ez 2-=，而t x sin =，3t y =，则dtdz = 3．设z =)()(1y x y xy f x ++ϕ，f 和ϕ具有二阶连续导数，则yx z ∂∂∂2= '''()''(y f x y y x yϕϕ++++ 4．设f 具有一阶连续偏导数，),(22xye y xf u -=，则u x∂=∂ ；uy∂=∂ . 三．计算题1．设y x z arctan =，而v u x +=，v u y -=，求vz u z ∂∂+∂∂ 解：2211[]1()xz u x y yy∂=-∂+2211[]1()z x v y y y ∂=+∂+ 4()x y +22(cos 6)x y t t e--122''xy xf ye f +122''xy yf xe f -+222z z y u v x y ∂∂+=∂∂+2．设1)(2--=a z y e u ax ，而x a y sin =，xz cos =，求dx du 解：222cos sin ()111ax ax ax du a ae x e xe y z dx a a a =-++--- 2()1ax e yay az az a a=-++- 2222(1)sin (1)(1)1ax axa e x a e y a a a ++==-- 3．设sin()(,)x z xy x y =+ϕ，求2zx y∂∂∂，其中(,)u v ϕ有二阶偏导数。
高等数学课后习题答案--第七章
11、证明：函数 u ( x, t ) =
1 2a πt
e
−
( x −b ) 2 4 a 2t
满足热传导方程
∂u ∂ 2u = a2 2 。 ∂t ∂x
【解】
− ∂u ( x, t ) 1 =− e ∂t 8a 3 πt 5
( x −b ) 2 4 a 2t
(− x 2 + 2bx + 2a 2 t − b 2 )
x ⎧ ⎪u = e cos y, （1） ⎨ x ⎪ ⎩v = e sin y;
⎛ e x cos y − e x sin y ⎞ ⎟ 【答案】 (1) J = ⎜ ⎜ e x sin y e x cos y ⎟ ; ⎝ ⎠
⎧u = ln x 2 + y 2 , ⎪ （2） ⎨ y ⎪v = arctan . x ⎩ x y ⎞ ⎛ ⎜ 2 ⎟ 2 2 x +y x + y2 ⎟ ⎜ . (2) J = y x ⎟ ⎜ − ⎜ x2 + y2 x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠
（1） u = sin(ax − by ); （2） u = e ax cos bx; （3） u = ye xy ; （4） u = x ln y . 【答案】 (1) a 2 sin( −ax + by ) , − ab sin(− ax + by ) , b 2 sin(− ax + by ) ; (2) a 2e ax cos(by ) , − abe ax sin(by ) , − b 2e ax cos(by ) ; (3) y 3e xy , ( xy 2 + 2 y )e xy , ( x 2 y + 2 x)e xy ;
多元函数的积分
多元函数的积分多元函数的积分是微积分中的一个重要分支，它与单变量函数的积分有很大的不同之处。
在单变量函数的积分中，我们只需要考虑一维空间中的积分问题，而在多元函数的积分中，则必须考虑多维空间的积分问题。
由于空间维度增加，函数的复杂度也随之增加，多元函数的积分也因此变得更加复杂和困难。
多元函数的积分可以分为两类，一类是定积分，即计算函数在一个有限区域内的积分值；另一类是无限积分，即计算函数在无穷区间内的积分值。
无限积分和定积分的计算方法略有不同，有些技巧和方法只适用于其中的一种类型，因此了解两种积分类型的区别和计算方法是必要的。
在多元函数的积分中，常用的计算方法之一是变量代换法。
在单变量的积分中，我们常用变量代换法将积分限制在一段特定的区间内，以此来简化积分的计算。
在多元函数的积分中，变量代换法同样具有重要作用。
通过变量代换，可以将原本复杂的积分转化为更简单的积分。
变量代换的关键在于选择合适的变换方式和变换原理，这需要一定的数学功底和经验。
除了变量代换法外，还有其他很多重要的积分技巧。
例如，积分的分部积分法、换元积分法、极坐标系下的积分等等。
这些方法可以帮助我们计算各种复杂的积分，是多元函数积分中的重要一环。
需要注意的是，多元函数的积分在物理学、工程学、统计学等领域中有很广泛的应用。
例如在热力学中，我们需要计算体积和温度之间的积分以求出物质的热容量；在材料力学中，需要计算弹性应变能密度积分以求解固体材料的力学性能；在概率统计学中，需要计算概率密度函数积分以求出随机变量的期望值等等。
由于多元函数积分在实际应用中有很大的价值，因此学习多元函数积分的相关技巧和方法也是很有意义的。
总之，多元函数积分是一门很重要的学科，与单变量函数积分有很大的不同和区别。
了解多元函数积分的计算方法和技巧对于各种实际应用具有重要意义。
需要注意的是，掌握多元函数积分需要一定的数学功底和经验，需要耐心和勤奋的学习过程。
多元函数微分
多元函数微分在结束了一段旅途之后，我们重新回到了微积分的世界中。
但你我都知道，经历过线性代数世界的我们，有些事已经发生了改变。
在将微积分从一元推广向多元以前，先来重新复习一下导数与微分的概念。
导数与可微我们知道，对于一元函数，其在一点 x_0 处的导数定义为：f\prime(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}如果我们切换一下视角，实际上可以将这个式子看作：f(x)-f(x_0)\approx f\prime(x_0)(x-x_0)换句话说， x_0 处的导数 f\prime(x_0) 实际上起到的作用是使得在该点处附近的自变量差值与函数差值近似的形成一个倍乘关系。
如果我们将 f\prime(x_0) 记作一个确定数值，比如 k ，而后将 x_0 附近的自变量差值记作为新的自变量，比如\delta ，则我们可以将导数的这个近似函数写作：\Delta f(x)=g(\delta)\approx k\cdot \delta这个简单而熟悉的倍乘关系，一下子就能让你联想到我们在《线性代数-0.线性》一文中提到的线性性质之一——齐次性，即 f(kx)=kf(x)而，微分的定义，函数增量（差值）的线性主部，即将这个函数中的近似符号改为等号：df(x)=k\cdot \delta可以看到，当我们说函数在一点处可微，实际上就是将函数在一点处附近看作是线性的。
不过由于对于一元函数，其定义域与值域一般来说是实数域到实数域的映射，即标量到标量的映射，故一般只能体现出线性的齐次性。
但是，当我们从一元推广到二元后，定义域与值域的情况就有了新的变化。
对于二元函数 f(x,y) ，参照一元函数的导数定义进行推广，即在一点 (x_0,y_0) 处的函数差值与自变量差值的比值。
其中，函数差值的部分没有问题，即 f(x,y)-f(x_0,y_0) ，但自变量的差值就出现了变化，即该如何定义 (x,y)-(x_0,y_0) 的差值。
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第七章 多元函数微分法及应用
第一节 多元函数的基本概念（1课时）
要求：掌握二元函数及其定义域的概念，会用平面图形表示定义域，知道二元函数的几何意义。
了解二元函数的极限余连续的概念，并且知道它与一元函数的差别。
重点： 二元函数极限的概念，它与一元函数的差别。
难点：二元函数极限的定义与计算。
在现实中，许多客观现象或过程的发生和发展都是受多种因素制约的，在数学上表现为一个变量依赖于多个变量的问题，涉及多个变量的函数称为多元函数．本章多元函数微分学及应用，我们主要针对二元函数展开讨论，这不仅因为有关的概念和方法有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然地推广到二元以上的多元函数．讨论一元函数时，常用到邻域和区间概念，由于讨论多元函数的需要，首先把邻域和区间概念加以推广称邻域和区域．
一．区域 1．邻域
定义1 设),(000y x P 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点
),(000y x P 距离小于δ的点),(y x P 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ．即
{}{}
δδδ<-+-=<=2
02
000)()(|),(|),(y y x x y x PP P P U
几何解释：),(0δP U 是xoy 平面上以),(000y x P 点为中心，0>δ为半径圆的内部点),(y x P 的全体．
去心邻域：点0P 的去心邻域
{}00()|0U P P PP δ∧
=<<={}
2200(,)|0()()x y x x y y δ<-+-<
2．区域
设E 是平面上的一点集，P 是平面上的一点．
内点：如果存在点P 的某一邻域)(P U ，使得E P U ⊂)(，则称P 为E 的内点． 开集：如果点集E 的点都是内点，则称E 为开集．
如 {}41|),(221<+<=y x y x E 是开集
边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点， 也有不属于E 的点，则称P 为E 的边界点． 边界：E 的边界点的全体称为E 的边界．
如 1E 的边界是122=+y x 和422=+y x
二．二元函数概念
以前所研究的函数都依赖于一个自变量，即一元函数，但在许多自然现象和实际问题中所遇到的函数关系，常依赖于两个或两个以上自变量．
下面举几例子．
例1. 圆柱体的体积V 和它的底半径r ，高h 之间有关系式
h r V 2π=
这里，当h r ,在集合{}0,0|),(>>h r h r 内取定一对值),(h r 时，V 的对应值就随之确定．
1．二元函数定义
定义2 设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点D y x P ∈),(，变量z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称z 是变量y x ,的二元函数(或点P 的点函数)，记为
),(y x f z =，(或)(P f z =)
其中y x ,称为自变量，z 称因变量，D 称该函数的定义域．数集
{}D y x y x f z z ∈=),(),,(|称该函数的值域．
2．二元函数定义域求法
二元函数定义域与一元函数的定义域求法相类似．
（1）用算式表达的二元函数),(y x f z =，那么使这个算式表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域；
（2）当函数的自变量具有某种实际意义时，应根据实际意义确定其定义域．
如：在例1中，0,0>>h r ．
例3．求二元函数)ln(y x z +=的定义域． 解 要使对数有意义，必须0>+y x ． 所以{}0|),(>+=y x y x D 满足0>+y x 的点的全体在几何上如何画出:
（1）先找边界0=+y x ， （2）再以点示面，确定位置．
函数的定义域{}0|),(>+=y x y x D 是无界开区域．
例4．求函数)arcsin(22y x z +=的定义域．
x z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆)
,,(),,(lim
),,(0000000
，
0000000
(,,)(,,)
(,,)lim
y y f x y y z f x y z f x y z y
∆→+∆-=∆，
0000000(,,)(,,)
(,,)lim
z z f x y z z f x y z f x y z z
∆→+∆-=∆．
3．偏导数的几何意义
设)),(,,(00000y x f y x M 为曲面),(y x f z = 上的一点，过0M 作平面0y y =截此曲面得一 条曲线，此曲线在平面0y y =上的方程为),(0y x f z =， 则),(0y x f z =对x 偏导数
0000(,)|(,)tan x x x d
f x y f x y dx
α=== 就是曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率（即对x 的变化率）．
同样偏导数
0000(,)|(,)tan y y y d
f x y f x y dy
β===就是曲线在点0M 处的切线0y M T 对y 轴的斜率（即对y 的变化率）．
例5．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=
442
2y y x z 在点)5,4,2(处的切线对于x 轴的倾角是多少？
解 因为1|2|)42(|tan 22)5,4,2(===∂∂===x x x x x z α，所以4
πα=． 三．高阶偏导数
定义 设函数),(y x f z =在区域D 内具有偏导数
),(y x f x
z
x =∂∂，),(y x f y z y =∂∂ (它们仍是D 上的二元函数) ，若这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数
),(y x f z =的二阶偏导数．
按对变量求偏导数的次序不同，有下列四个二阶偏导数
),()(22y x f x
z
x z x xx =∂∂=∂∂∂∂，),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂，。