函数的极值及其求法归纳.ppt

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例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
f ( x) 0来自0极极
f (x)
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
不存在的点(称为可疑极值点).
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2
函数极值的求法
定理1(函数取得极值的必要条件)(费马定理) 设 f ( x) 在点 x0 处具有导数, 且在 x0 处取得极值,
则 f ( x0 ) 0.
定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
提示:
f (x0 ) 4 f (x0 ) 0
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4. 设 f ( x )连续，且 f ( a )是 f ( x )的极值， 问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值 .
证 不妨设 f ( a )是 f ( x )的极小值 ,
则 0, 使当x U (a, )时，有
f (x) f (a), i) 当 f (a) 0时, 有 f 2( x) f 2(a),
注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
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定理2 (第一充分条件) 设 f ( x) 在点 x0 处连续 ,
(1) 若 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0, 而 x ( x0 , x0 )
f (2) 18 0, 故极小值 f (2) 48.
f ( x) x3 3x2 24x 20 图形如下
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11
M
m
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0处不一定取极值, 仍用定理2.
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例5. 求函数
的极值 .
解: f ( x) 6 x ( x 2 1)2 , f ( x) 6 ( x 2 1)(5 x 2 1)
f (x)
0
f (x)
拐点
(3, 26) 9
极值点
3
间 断 点
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补充点: (1 3,0), (1 3,0);
A (1,2), 作图
B (1,6), C (2,1). y
6B
1
C
3 2 1 o 1 2
2
A
3
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x
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小结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
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例7
作函数
f (x)
4(
x x2
1)
2
的图形.
解 定义域（-∞，+ ∞ ）\{0}, 非奇非偶函数,且无对称性.
f
(
x)
4(
x x3
2)
,
f
(
x)
8(
x x4
3)
.
令 f ( x) 0, 得驻点 x 2,
令 f ( x) 0, 得特殊点 x 3.
i) a 2 时, f (0) 2 a 0, f (0) 为 f (x)的极小值 ;
ii) a 2时, f (0) 2 a 0, f (0) 为 f (x)的极大值 ; iii) a 2时, f ( x) x sin x, f (0) 0,
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f ( x) sin x x cos x,
3 并指出它是极大
3
还是极小.
解: f (x)
由题意应有
f (2 ) a cos(2 ) cos 3(2 )
3
3
3
a2
又 f (x) 2sin x 3sin 3x ,
f (x) 取得极大值为 f (32 ) 3
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练习题
一、 填空题： 1、 极值反映的是函数的 ________性质.
第十节 函数的极值与最值 一、函数的极值及其求法
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
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1
定义
使得
有
则称 为 的一个极大值点 (或极小值点 )
称
为 的一个极大值 (或极小值 )
极大值点与极小值点统称为极值点 .
极大值与极小值统称为极值 .
注意 1) 函数的极值是函数的局部性质.
0, 使 当0
(
x) x
x
f ( x0 ) x0
x0
lim x x0
时,
f
x
f
x
( x)
(
x0
x)
x0
0, 0
当x ( x0 , x0 )时，f ( x) 0;
当x ( x0 , x0 )时，f ( x) 0;
所以，函数 f ( x) 在x0 处取得极大值．同理可证(2).
lim
x
f (x)
lim[
x
4(
x x2
1)
2]
2,
得水平渐近线 y 2;
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20
lim
x0
f
(x)
4( x 1)
lim[
x0
x2
2]
,
得铅直渐近线 x 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f ( x)
0 不存在
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例4 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
2) 当 n为奇数时, 不是极值点 ,
点
为拐点 。
证
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o(( x x0 )n )
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故
lim
x x0
f
( x) f ( x0 ( x x0 )n
得 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的极小值;
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ii) 当 f (a) 0时,
由 f ( x )在 x = a 处连续，得 lim f ( x) f (a) 0
xa
由极限的保号性 , 知
1 0,使当 x U(a,1 )时，有 f ( x) 0
令 min{ ,1}, 则当 x U(a, )时，
提示: 利用极限的保号性 .
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3. 设 y f (x) 是方程 y 2 y 4 y 0 的一个解,
若 f (x0 ) 0, 且 f (x0 ) 0, 则 f (x) 在 x0 ( A )
(A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 .
f (0) 0,
f (4) ( x) cos x cos x x sin x, f (4)(0) 2 0,
f (0) 为 f (x)的极大值.
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函数图形的描绘
步骤 :
1. 确定函数 期性 ;
的定义域 , 并考察其对称性及周
2. 求
并求出 及
为 0 和不存在
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
时, f ( x) 0, 则 f ( x) 在点 x0 处取得极大值;
(2) 若 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0, 而 x ( x0 , x0 )
时, f ( x) 0, 则 f ( x) 在点 x0 处取得极小值;
(3) 若 x U ( x0 , ) 时, f ( x) 的符号相同, 则 f ( x)
在点 x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
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x (是极值点情形)
4
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
(1) 求导数 f ( x),并求出f ( x)的全部驻点与
不可导点;
(2) 根据 f ( x) 在每个驻点或不可导点的左右
邻近的正负号, 判断是否为极值点;
(3) 求极值.
令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1
因 f (0) 6 0 , 故
为极小值 ;
又 f (1) f (1) 0 ,
y
故需用极值的第一充分条件来判别.
1
1x
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定理4 设 f (x) 在点 x0 处 具有n 阶导数，且
f (n)( x0 ) 0, 则 1) 当 n为偶数时, 为极值点 , 且
当x 2时， f ( x) 0;
M
当x 2时， f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
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例3 求函数