复数复习课导学案

复习学案《复数》

一.考纲要求

1.理解复数的有关概念

2.了解复数的几何意义。

3.掌握复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则。

4.了解从复数加减运算的几何意义。

二.命题趋势

高考对于复数的考查较简单，一般只有一个选择题，以代数形式运算为主，另外还有时考查复数的有关概念，复数的几何意义基础。

三．知识梳理：

1.复数的有关概念：

（1）复数z =a+bi ⎪⎩

⎪⎨⎧）（纯虚数）（非纯虚数虚数（）

实数（){ 其中i 是虚数单位，i 就是－1的一个平方根，i 2=–1，实数可以与它进行四则运算，原有的加、乘运算律仍成立；

（2）若Z 1=a 1+b 1i,Z 2=a 2+b 2i,当Z 1=Z 2⇔ ；

（3）若z=a+bi （a,b ∈R ）①则z=0⇔ ；

②Z 的共轭复数：z ＝ （实部相等，虚部互为相反数） ③2||||||z a bi OZ a =+==,Z 对应复平面上的点Z( , )

（4）|z 1－z 2|表示在复平面内 的距离。

2. 复数的运算：

（1）(a +bi ) ±(c +di )= ；（2）(a +bi )(c +di )= ；

（3）(a +bi )÷(c +di )= ；

（4）①i 具有周期性: i 4n = ；i 4n+1= ；i 4n+2= ； i 4n+3= ；

i n +i n+1+i n+2+i n+3 = （n ∈N ）

②(1+i)2＝ ; (1-i)2＝ ; ③i i -+11

＝ ；i i

=-11＝ ；

④１的一个立方根w=21+23i; 则w =-212

3i; w 3=1。 题型一：复数的概念

例1设复数z=lg(m 2–2m –2)+( m 2+3m+2)i ，

试求实数m 取何值时，（1）z 是纯虚数；

（2）z 是实数；

（3）z 对应的点位于复平面的第二象限.

题型二：复数的运算

例2(1)(2011·新课标全国卷)复数212i i

+-的共轭复数是（ ） （A ）35i - （B ）3

5i （C ）i - （D ）

(2)（2011·浙江卷）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )

（A ）31 （B ）41 （C ）61 （D ）12

1 题型三：复数的几何意义

例3（2010·陕西卷）复数1i z i =

+在复平面上对应的点位于（ ）

A. 第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

例4 已知点集D ＝{z||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C}，试求|z|的最小值和最大值．

【解】点集D 的图象为以点C (－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一

点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z|.

由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，

与圆交于点A 、B ，

则|z |的最小值是|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z|min ＝1； |z|的最大值是|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z|max ＝3.

举一反三：

1. （上海春季卷·16）已知C ∈z ，且i ,1|i 22|=--z 为虚线单位，则|i 22|-+z 的最小值是 （ ）

（A ）2. （B ）3. （C ）4. （D ）5.

2. |34|2z i ++≤，则||z 的最大值为（ ）

A 3

B 7

C 9

D 5

四.知能升华

1 了解数系的扩大， （填常用数集）

2. 两个复数(不全为实数时)不能比较大小，但它们的模可以比较大小

3. 复数的运算符合多项式的四则运算法则，满足加、乘的交换律、结合律、分配律，只是在运算中含有虚数单位i

4. 掌握复数的有关概念，特别是纯虚数易忽视b ≠0致错。

五.巩固练习

1. （2011·湖南卷）若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）

A ．1,1a b ==

B ．1,1a b =-=

C ．1,1a b =-=-

D ．1,1a b ==- 2（2011·江西卷）若i

z i 1+2=，则复数z =（ ）

A ． i -2-

B ． i -2+

C ． i 2-

D ． i 2+

3.（2011·安徽卷）设i 是虚数单位，复数2i ai

i +-为纯虚数，则实数a 为（

） A ．2 B.-2 C.12- D.1

2

4. 若复数z =(x 2-1)+(x -1)i 为纯虚数，则实数x 的值为 ( )

A. -1

B. 0

C. 1

D. -1或1