数值积分考核要求

数值积分

一、考核知识点：

内插求积公式， 代数精度，梯形公式及其余项，辛卜生公式及其余项，复化梯形公式及其余项，复化辛卜生公式及其余项。

二、考核要求：

1

2

3

．熟练掌握梯形、复化梯形公式及其余项；熟练掌握辛卜生、复化辛卜生公式及其余

三、重、难点分析

例1 在区间]1,1[-上，求以1,0,1321==-=x x x 为节点的内插求积公式。 解：由系数计算公式得

⎰⎰⎰---=++==-+-+==----=1121111

1031)11()1(,34)10)(10()1)(1(,31)11()1(dx x x A dx x x A dx x x A 所以求积公式为)1(3

1)0(34)1(31)(1

1f f f dx x f ++-≈⎰- 例2求积公式)2(3

1)1(34)0(31)(2

0f f f dx x f ++≈⎰的代数精确度为（）。 解 由于此公式为3个节点的内插求积公式，代数精度至少为2。

令3)(x x f =，代入内插求积公式得

左边=441204203==⎰

x dx x ，右边4231134)0(31333=++=， 所以左边=右边 再令4)(x x f =，代入内插求积公式得 左边=532204=⎰dx x ，右边=3

20231134031444=++ 所以左边≠右边 所以此公式具有3次代数精度。 例3用梯形公式和4=n 的复化梯形公式求积分

⎰+101x dx ，并估计误差。 解 （1） 梯形公式

因为 1,0==b a ，11)(+=

x x f ，代入梯形公式得 则75.0]1

11101[21)]1()0([21111

0=+++=+≈+⎰f f dx x （2） 复化梯形公式

因为 414=-=

a b h 和复化梯形公式得 )]1())4

3()21()41((2)0([811110f f f f f dx x ++++≈+⎰ 697.0]21)746454(21[81≈+++

⨯+= 因为 1

1)(+=x x f ， 3)1(2)(x x f +='' ， 2)(max 102=''=≤≤x f M x 所以96

116122)3(12)()(23=⨯≤''-=f n a b f R 注意：在用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 积分时注意系数的排列。 例4用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算 积分

⎰+101x dx ，使误差小于310- 解（1） 辛卜生公式

因为1,0==b a ，11)(+=

x x f ，代入辛卜生公式得 694.0]11112

114101[61)1()21(4)0(61110=+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≈+⎰f f f x dx 4 （2） 复化辛卜生公式 因为24)

1(24)(max 5)4(104=+==≤≤x x f M x 解不等式345441012012880-<=-≤m

a b m M f R ）（ 得2≥m ，用41,4,2=

==n n m ，复化辛卜生公式计算得 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++++≈+⎰)1()21(2)43(4)41(4)0(121110f f f f f x dx

69325.0)1()21(2)43(4)41(4)0(121≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=

f f f f f 例5设),,1,0(n i A i =为内插求积公式系数 证明 ∑=>-=

n i i i n a b x A 0443)2()(4

1 证明：设3)(x x f = ，因为0)(,24=>x R n

所以

∑⎰

∑⎰===-==n i i i b a n i i i b

a x A a

b dx x x A dx x 034430

33

)(41 。