离散-图

(3) 若S=P，则终止；否则令S=S∪{ui}， S’=S’-{ui},对 S’中每一个顶点v，计算
l(v)
min {l(v),
vS'
l(u i )
w(u i , v)}
转到(2)。
41
Dijkstra算法
f
2
e
71 2
35 1
a
8
7
2
u0 4
4
3
g3
46
b
6
c
d
42
Dijkstra算法执行过程
31
➢如果图G仅有一个分支，则称图G是连 通的。
➢对于图G，我们用W(G)记其连通分支数。
➢显然，一个图G是连通的，当且仅当G 中任意两点都是相连的。
a
ba
b
c
c
e
g
dd
f
f
e
G
H
32
§4.1.2 权图 Dijkstra算法
➢定义4.1.7 设G＝(P, L)是有限图，如果 对L(G)中任一条边l，都规定一个实数 w(l)附在其上，则称G为有限权图(网络), 称w(l)为边l的权。规定w(uu)=0(其中 uP(G)), w(uv)＝∞(其中uvL(G))。
d(u
0
,
S'
)
min
vS'
{d(u
0
,
v)}
实现上述距离的路称为u0到S’的最短路。 上述点到点集距离的定义等价于
d(u
0
,
S'
)
min
uS
{d(u
0
,
u)
w(u,
v)}
vS'
37
例:
如图所示，令S={a, b, f}，则S’={c, d, e}， 求d(a, S’)？
S
S’
f2e
a
1 10
1
4
13
a a1
d1 d a
a1
d1 d
b
b1 母 c1 图
c
b
b1
支 撑
c1
子 图
c
a a1
d a
b b1
子 图
c b
d1 d
b1
诱 导
子
图
c
14
定义4.1.3
➢设G是图，vP(G)，L(G)中以v为端点的
边的条数称为点v的度，记为dG(v)。
dG( a1)=0 ; dG( c )=1 ; dG( a )=2 ; dG( c1)=3 ;
44
➢ 4：l(a)=min{l(a), l(d)+w(d,a)}=min{8, 3+∞}=8 l(b)=min{l(b), l(d)+w(d,b)}=min{4, 3+∞}=4 l(c)=min{l(c), l(d)+w(d,c)}=min{∞, 3+6}=9 l(g)=min{l(g), l(d)+w(d,g)}=min{7, 3+3}=6
➢这里v，v’是图G中未必不同的两点， v0,v1,…, vn中也允许有重复。
26
例：
B AF
E
➢路(A,B,C,D) C 长度为3；
➢路(A,B,F,C,B) D 长度为4；
➢路(A,E,D,A) 长度为3.
27
定义 4.1.5
➢设G＝(P，L)是图，(v0,v1,…,vn)是G中 从v0到vn的路，称此路为简单路，如果 1) v0,…,vn－1互不相同； 2) v1,…,vn互不相同。
Байду номын сангаас
0 aij 1
当v
i不是l
的端点
j
当v
i是l
的端点
j
➢显然，M(G)是m×n阶矩阵。
18
例：
v1
l1
v2
l4
v1 v2
v3
l1
v4
l3l5
l2
l4
l5l2
v5
M(MG()G) 110011000
01 10
0
10
01
00 10
0
11
01
01 10
0
00
11
110001100
v4
l3
v3
19
相邻矩阵(adjacency matrix)
➢ 设G＝(P，L)是有限图，集合P的元数 为m，不妨设P(G)＝v1，…，vm。矩阵 A(G) ＝bij称为G的相邻矩阵，其中
0 bij 1
当vi与v
不相邻
j
当vi与v
相邻
j
➢ 显然，A(G)是m×m阶矩阵。
20
例：
v1
v4
v2
0 1 1 1
A(G)
1 1
0 1
1 0
0 1
1 0 1 0
v3
21
➢ 设G＝(P, L)是一个图，今后，我们用P(G) 表示G的(节)点集，用L(G)表示G的边集。 设lL(G)，并假设l是连接G中点u、点v的边， 则称u、v是l的端点，并称u与v相邻。 若l1L(G)，l2L(G)，且l1和l2有公共的端点， 则称边l1与l2相邻。有时，在不致引起 混乱的情况下，将l记为uv。
3
d
6
b5
1
c
38
设u0=a，
取u=a，则w(ac)=∞，w(ad)=10，w(ae)=∞，
min {d(a, a) w(av)} min {w(av)} 10
vS'
vS'
取 u=b，则d(a,b)=6，w(bc)=5，w(bd)=∞，
w(be)=4，min {d(a, b) w(bv)} 6 4 10 vS'
取 u=f, 则d(a,f)=1, w(fc)=1, w(fd)=∞, w(fe)=2
min {d(a, f) w(fv)} 11 2
vS'
f2e
因而d(a, S’)=2，
a到S’的最短路为 a
1 10
1
4
3
d
(a, f, c)。
6
1
b5 c
39
Dijkstra算法
➢ 指导思想：设u0P, v0P ,要求u0到v0点的距离， 我们通过求u0到图中其它各点的距离。先把P 分成两个子集，一个设为S, S={v|vP, u0到v的 距离已求出}，另一个是S’=P-S。显然，S， 因为至少u0S，算法不断扩大S，直到S=P(或 者v0 S)
9
6
7 u0 fedbag c
9
8 u0 fedbagc
43
➢ l(v) = min{ l(v), l(ui)+w(ui, v) } ➢ 2：l(a)=min{l(a), l(f)+w(f,a)}=min{8, 1+7}=8
l(b)=min{l(b), l(f)+w(f,b)}=min{4, 1+∞}=4 l(c)=min{l(c), l(f)+w(f,c)}=min{∞, 1+∞}=∞ l(d)=min{l(d), l(f)+w(f,d)}=min{∞, 1+3}=4 l(e)=min{l(e), l(f)+w(f,e)}=min{2, 1+2}=2 l(g)=min{l(g), l(f)+w(f,g)}=min{7, 1+∞}=7 ➢ 3：l(a)=min{l(a), l(e)+w(e,a)}=min{8, 2+∞}=8 l(b)=min{l(b), l(e)+w(e,b)}=min{4, 2+∞}=4 l(c)=min{l(c), l(e)+w(e,c)}=min{∞, 2+∞}=∞ l(d)=min{l(d), l(e)+w(e,d)}=min{4, 2+1}=3 l(g)=min{l(g), l(e)+w(e,g)}=min{7, 2+5}=7
➢(a,b,c,a)、 (a,c,d,a) 、 c (a,b,c,d,a)都是回路。
30
定义
➢设G＝(P，L)是图，G中两点u,v，如果 从u到v有一条路，则称u与v是相连的。
➢我们认为点v与自身是相连的，则显然G 中两点之间的相连关系是一个等价关系。 在此等价关系下，集合P(G)必分成一些 等价类，不妨设为S1,…,Sn,…。显然，每 一个Si和G中所有以Si中的点为端点的边 一起，组成G的一个子图Gi。每个Gi称 为G的一个连通分支。
➢ 对任意的vP-{u0}，设l(v)表示从u0仅经过S中 点到v的最短路的带权长度。若不存在这样的 路，置l(v)=∞。
40
Dijkstra算法
(1) 初始化，令S={u0}，S’=P-S，对 S’中每一个 顶点v, 令l(v)=w(u0,v)；
(2)
找到uiS’，满足l(u
i
)
min
vS'
{l(v)}
6
§4.1.1 图的基本概念
➢ 没有任何边(L(G)=)的图称为零图； ➢ 只有一个点的图称为平凡图； ➢ 任意两点之间都有边的图称为完全图。
(a) 图
(b) 零图
(c) 完全图
7
§4.1.1 图的基本概念
➢ 容许有平行边和反身边的图称为无向图； ➢ 不允许有反身边和平行边的图称为简单图.
8
图的同构(isomorphism)
✓§4.1 图 ✓§4.2 树 ✓§4.3 有向图 Euler路 ✓§4.4 Hamilton图
§4.5 平面图 §4.6 匹配 二部图 §4.7 Konig无限性引理
4
§4.1 图(Graphs)
5
§4.1.1 图的基本概念
➢ 定义4.1.1 G＝(P, L)称为图。如果P是点的非 空集合，L是连接某些不同点对的边集合，并 且任意一对不同点之间最多有一条边。当P为 有限集时，G称为有限图。
定理 4.1.1
➢设G＝(P, L)是有限图，不妨设L(G)含有 m个元素，于是
dG(v) 2m
vP (G)
22
证明：设M(G)是G的关联矩阵，因为G 中 代某表点点vv的的度那d一G行(v)中恰1是的M个(数G)，中故的
dG(v) M(G)中1的个数
vP (G)
而M(G)中每列恰有两个1， M(G) 共m列，故M(G)中1的个数为2m。 所以:
10
图的同构(isomorphism)
11
例：
➢判断下列图是否同构。
12
定义4.1.2
➢设G、H是图，如果P(H)P(G)， L(H)L(G)，则称H是G的子图，G是 H的母图。如果H是G的子图，并且 P(H)＝P(G)，则称H是G的支撑子图。 如果H是G的子图，且L(G)中两个端点 都在P(H)中的边都在L(H)中，则称H 为点集P(H)在G中诱导的子图。
dG(v) dG(v)
vS1
vS2
是偶数。因为 dG(v)是偶数。所以 vS2
dG(v)是偶数，故S1的元数是偶数。
vS1
25
定义 4.1.4
➢设G＝(P，L)是图，v、v’是G中两点。 由G中点组成的序列(v0,v1,…,vn)称为从 v到v’的长度为n的路，如果 (1) v0=v，vn=v’； (2) vi与vi+1相邻，0 i＜n。
35
例: 最短路
a5
b
8
12 4
20
d
c
a到c的路有： (1) (a,b,c)长度为
5+4=9; (2) (a,c)长度为12; (3) (a,d,c)长度为
8+20= 28。 最短路为：(a,b,c), 因此a到c的距离为9.
36
Dijkstra算法
➢ 定义：设G是有限权图，SP(G)，u0S， S’=P-S，定义u0到S’的距离为
➢称图G和H是同构的：如果存在P(G)到 P(H)的双射，使对任意的u,vP(G)， u与v在G中相邻, 当且仅当(u)与(v) 在H中相邻。
➢我们把同构的图看成是一个图。
9
图的同构(isomorphism)
a1
a d1
d a1
d1 a
b1 b
c1 c
b1
b
c1
a a1 d1
d
d
c
b b1 c1
c
33
例: 权图
a5
b
8
12 4
20
d
c
w(ab)=5， w(aa)=0， w(bd)=∞， w(ad)=8
34
定义
➢在一个权图G中，任给两点u，v，从u到 v可能有多条路，在这些路中，所带的权 和最小的那条路称为图中从u到v的最短 路。这条最短路所带的权和称为u到v的 距离，记为d(u,v)。
➢显然两点间的最短路一定简单路（为什 么？），所以在网络中找最短路只需在 简单路中找。
dG(v) 2m
vP (G)
23
例：
➢ 是否存在带有下列度 的有5个点的简单图？ 若有，画出这样的图。
1) 0, 1, 2, 2, 3 2) 3, 4, 3, 4, 3 3) 1, 2, 3, 4, 4
24
定理 4.1.2
➢任一有限图中，奇数度的点的个数为偶数。
证明：设S1，S2分别是图G中有奇数度的点和 有偶数度的点的集合，由定理4.1.1知
a a1
d1 d
b
b1 c1
c
15
今后，为简便计，有时也将图G中的 点v，边l，写成vG，lG。
16
图的表示
➢关联矩阵 ➢相邻矩阵(邻接矩阵)
17
关联矩阵(incidence matrix)
➢设G＝(P，L)是有限图，集合P的元数为m, 集合L的元数为n，不妨设P(G)＝{v1，…， vm，L(G) ＝l1，…，ln。矩阵M(G) ＝ aij称为G的关联矩阵，其中
第四章 图与网络
1
图论的应用
➢物种竞争问题：
浣熊 负鼠
鹰 猫头鹰
松鼠 乌鸦
➢浣熊与松鼠、 鹰、猫头鹰存在 竞争；
➢乌鸦与啄木鸟、 负鼠不存在竞争；
啄木鸟
2
图论的应用
A
B
CE D
➢地图着色问题: 确定可以用来 给一幅地图着 色的颜色的最 小数目，使得 相邻的区域永 远没有相同的 颜色。
3
第四章 图与网络
➢显然，一条简单路(v0,v1,…,vn)，除v0与 vn可以相同外，其它任意两点都不相同。
28
定义 4.1.6
➢设G＝(P，L)是图。G中从点v到自身的 其长度不小于3的简单路，称为回路。
29
例：
a
d
b ➢(a,b,c,d)是一条长度为 3的路(简单路)
➢(a,b,c,a,d,c,b)是一条 长度为6的路(不是简 单路)
S
S’ l(a) l(b) l(c) l(d) l(e) l(f) l(g)
1 u0
abcdefg 8 4 ∞ ∞ 2 1 7
2 u0 f
abcdeg 8 4 ∞ 4 2
7
3 u0 fe
abcdg 8 4 ∞ 3
7
4 u0 fed
abcg
849
6
5 u0 fedb
acg
6
9
6
6 u0 fedba cg