离散-图

S
S’ l(a) l(b) l(c) l(d) l(e) l(f) l(g)
1 u0
abcdefg 8 4 ∞ ∞ 2 1 7
2 u0 f
abcdeg 8 4 ∞ 4 2
7
3 u0 fe
abcdg 8 4 ∞ 3
7
4 u0 fed
abcg
849
6
5 u0 fedb
acg
6
9
6
6 u0 fedba cg
13
a a1
d1 d a
a1
d1 d
b
b1 母 c1 图
c
b
b1
支 撑
c1
子 图
c
a a1
d a
b b1
子 图
c b
d1 d
b1
诱 导
子
图
c
14
定义4.1.3
➢设G是图，vP(G)，L(G)中以v为端点的
边的条数称为点v的度，记为dG(v)。
dG( a1)=0 ; dG( c )=1 ; dG( a )=2 ; dG( c1)=3 ;
33
例: 权图
a5
b
8
12 4
20
d
c
w(ab)=5， w(Байду номын сангаасa)=0， w(bd)=∞， w(ad)=8
34
定义
➢在一个权图G中，任给两点u，v，从u到 v可能有多条路，在这些路中，所带的权 和最小的那条路称为图中从u到v的最短 路。这条最短路所带的权和称为u到v的 距离，记为d(u,v)。
➢显然两点间的最短路一定简单路（为什 么？），所以在网络中找最短路只需在 简单路中找。
6
§4.1.1 图的基本概念
➢ 没有任何边(L(G)=)的图称为零图； ➢ 只有一个点的图称为平凡图； ➢ 任意两点之间都有边的图称为完全图。
(a) 图
(b) 零图
(c) 完全图
7
§4.1.1 图的基本概念
➢ 容许有平行边和反身边的图称为无向图； ➢ 不允许有反身边和平行边的图称为简单图.
8
图的同构(isomorphism)
35
例: 最短路
a5
b
8
12 4
20
d
c
a到c的路有： (1) (a,b,c)长度为
5+4=9; (2) (a,c)长度为12; (3) (a,d,c)长度为
8+20= 28。 最短路为：(a,b,c), 因此a到c的距离为9.
36
Dijkstra算法
➢ 定义：设G是有限权图，SP(G)，u0S， S’=P-S，定义u0到S’的距离为
第四章 图与网络
1
图论的应用
➢物种竞争问题：
浣熊 负鼠
鹰 猫头鹰
松鼠 乌鸦
➢浣熊与松鼠、 鹰、猫头鹰存在 竞争；
➢乌鸦与啄木鸟、 负鼠不存在竞争；
啄木鸟
2
图论的应用
A
B
CE D
➢地图着色问题: 确定可以用来 给一幅地图着 色的颜色的最 小数目，使得 相邻的区域永 远没有相同的 颜色。
3
第四章 图与网络
d(u
0
,
S'
)
min
vS'
{d(u
0
,
v)}
实现上述距离的路称为u0到S’的最短路。 上述点到点集距离的定义等价于
d(u
0
,
S'
)
min
uS
{d(u
0
,
u)
w(u,
v)}
vS'
37
例:
如图所示，令S={a, b, f}，则S’={c, d, e}， 求d(a, S’)？
S
S’
f2e
a
1 10
1
4
➢ 对任意的vP-{u0}，设l(v)表示从u0仅经过S中 点到v的最短路的带权长度。若不存在这样的 路，置l(v)=∞。
40
Dijkstra算法
(1) 初始化，令S={u0}，S’=P-S，对 S’中每一个 顶点v, 令l(v)=w(u0,v)；
(2)
找到uiS’，满足l(u
i
)
min
vS'
{l(v)}
➢显然，一条简单路(v0,v1,…,vn)，除v0与 vn可以相同外，其它任意两点都不相同。
28
定义 4.1.6
➢设G＝(P，L)是图。G中从点v到自身的 其长度不小于3的简单路，称为回路。
29
例：
a
d
b ➢(a,b,c,d)是一条长度为 3的路(简单路)
➢(a,b,c,a,d,c,b)是一条 长度为6的路(不是简 单路)
➢(a,b,c,a)、 (a,c,d,a) 、 c (a,b,c,d,a)都是回路。
30
定义
➢设G＝(P，L)是图，G中两点u,v，如果 从u到v有一条路，则称u与v是相连的。
➢我们认为点v与自身是相连的，则显然G 中两点之间的相连关系是一个等价关系。 在此等价关系下，集合P(G)必分成一些 等价类，不妨设为S1,…,Sn,…。显然，每 一个Si和G中所有以Si中的点为端点的边 一起，组成G的一个子图Gi。每个Gi称 为G的一个连通分支。
3
d
6
b5
1
c
38
设u0=a，
取u=a，则w(ac)=∞，w(ad)=10，w(ae)=∞，
min {d(a, a) w(av)} min {w(av)} 10
vS'
vS'
取 u=b，则d(a,b)=6，w(bc)=5，w(bd)=∞，
w(be)=4，min {d(a, b) w(bv)} 6 4 10 vS'
31
➢如果图G仅有一个分支，则称图G是连 通的。
➢对于图G，我们用W(G)记其连通分支数。
➢显然，一个图G是连通的，当且仅当G 中任意两点都是相连的。
a
ba
b
c
c
e
g
dd
f
f
e
G
H
32
§4.1.2 权图 Dijkstra算法
➢定义4.1.7 设G＝(P, L)是有限图，如果 对L(G)中任一条边l，都规定一个实数 w(l)附在其上，则称G为有限权图(网络), 称w(l)为边l的权。规定w(uu)=0(其中 uP(G)), w(uv)＝∞(其中uvL(G))。
➢称图G和H是同构的：如果存在P(G)到 P(H)的双射，使对任意的u,vP(G)， u与v在G中相邻, 当且仅当(u)与(v) 在H中相邻。
➢我们把同构的图看成是一个图。
9
图的同构(isomorphism)
a1
a d1
d a1
d1 a
b1 b
c1 c
b1
b
c1
a a1 d1
d
d
c
b b1 c1
c
0 aij 1
当v
i不是l
的端点
j
当v
i是l
的端点
j
➢显然，M(G)是m×n阶矩阵。
18
例：
v1
l1
v2
l4
v1 v2
v3
l1
v4
l3l5
l2
l4
l5l2
v5
M(MG()G) 110011000
01 10
0
10
01
00 10
0
11
01
01 10
0
00
11
110001100
v4
l3
v3
19
相邻矩阵(adjacency matrix)
a a1
d1 d
b
b1 c1
c
15
今后，为简便计，有时也将图G中的 点v，边l，写成vG，lG。
16
图的表示
➢关联矩阵 ➢相邻矩阵(邻接矩阵)
17
关联矩阵(incidence matrix)
➢设G＝(P，L)是有限图，集合P的元数为m, 集合L的元数为n，不妨设P(G)＝{v1，…， vm，L(G) ＝l1，…，ln。矩阵M(G) ＝ aij称为G的关联矩阵，其中
10
图的同构(isomorphism)
11
例：
➢判断下列图是否同构。
12
定义4.1.2
➢设G、H是图，如果P(H)P(G)， L(H)L(G)，则称H是G的子图，G是 H的母图。如果H是G的子图，并且 P(H)＝P(G)，则称H是G的支撑子图。 如果H是G的子图，且L(G)中两个端点 都在P(H)中的边都在L(H)中，则称H 为点集P(H)在G中诱导的子图。
(3) 若S=P，则终止；否则令S=S∪{ui}， S’=S’-{ui},对 S’中每一个顶点v，计算
l(v)
min {l(v),
vS'
l(u i )
w(u i , v)}
转到(2)。
41
Dijkstra算法
f
2
e
71 2
35 1
a
8
7
2
u0 4
4
3
g3
46
b
6
c
d
42
Dijkstra算法执行过程
44
➢ 4：l(a)=min{l(a), l(d)+w(d,a)}=min{8, 3+∞}=8 l(b)=min{l(b), l(d)+w(d,b)}=min{4, 3+∞}=4 l(c)=min{l(c), l(d)+w(d,c)}=min{∞, 3+6}=9 l(g)=min{l(g), l(d)+w(d,g)}=min{7, 3+3}=6