2020届安徽省合肥市高三三模数学(文)试题解析

基本事件总数 ，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数 ,由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区的概率.
解：
由题意，基本事件总数 ，
每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数 ，
每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为 ,
故选：B
点评：
本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
4．若 ，则 是 成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
根据 ，解出不等式可得： 成立；反之，举例可知不成立．
解：
由于 或 ，
所以 ，反之不成立，例如 ，满足 ，而 不成立．
所以 是 成立的必要不充分条件．
故选：B．
点评：
本题考查了充分必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
故选：C.
点评：
主要考查复数的概念及复数的运算．属于容易题.
3．在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为（）
A． B． C． D．
答案：B
解：
解：因为
所以 ，所以
故答案为：
点评：
本题考查分段函数求值，属于基础题.
14．某高中各年级男、女生人数统计如表：
年级
人数
性别
高一
高二
高三
男生
592
563
520
女生
528
517
a
按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a＝_____．
答案：480；
根据分层抽样满足每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果.
①存在点 ，使得 ；
②不存在点 ，使得 ；
③当点E为BC中点时，满足条件的点F有3个；
④当点F为CC1中点时，满足条件的点E有3个；
⑤四面体A1B1EF四个面所在平面，有4对相互垂直．
答案：①②④
①②利用假设存在，推出条件正确，推出矛盾，则不存在；③④建立空间坐标系，利用已知条件设 ，写坐标，利用垂直关系，求出 的值，即可得出结论；⑤利用线面垂直推面面垂直关系即可得出结论.
A．C的最大值为 B．C的最大值为
C．C的最小值为 D．C的最小值为
答案：A
由商数关系，可得 ，结合辅助角公式，化简整理为 ，于是 ，由均值不等式可知， ，由余弦定理知， ，将所得结论代入进行运算可得 ，结合三角形内角关系，即可求解．
解：
由题可知， ，
所以 ，
由正弦定理知， ，所以 ，
由均值不等式可知， ，
即 ；
建立如图所示的坐标系，则 ，
设 ，故 ；
；
；
故点 的轨迹是圆的一部分．
故选：A．
点评：
本题的考点是轨迹方程，主要考查立体几何中的轨迹问题，关键是将题意合理转化．
12．若关于x的不等式（a+2）x≤x2+alnx在区间[ ，e]（e为自然对数的底数）上有实数解，则实数a的最大值是（）
A．﹣1B． C． D．
解：
由题意知 面 ，则 ，
则 为直角三角形，
在 中，由题意知 不能垂直 ，
又 为直角三角形，
则 或 ；
①假设存在点 ，使得 ，
又 ，
则 面 ，
即 ，满足题意，①正确；
②假设存在点 ，使得 ，
又 ， ，
则 面 ，
则 这与 不能垂直 矛盾，
所以不存在点 ，使得 ，②正确；
③建立如图所示的空间坐标系，设 ，则 ， ，
由题意得 ，
,
若 ，则 ，
即 ，整理得： ，
，所以方程无实根；③不正确.
④ ， ，
若 ，则 ，
则 ，
若 ，则 ，
则 或 ，
故④正确；
⑤由题意知 面 ，若 面 ，由图形观察可知：有 对相互垂直，分别为面 面 ，面 面 ，面 面 .则⑤不正确.
故答案为：①②④.
点评：
本题主要考查线面垂直判定定理性质定理以及利用空间向量求值的问题.属于较难题.
，
， ，
面 面 ，
取 的中点 ，连接 ，
面 ， 面 ，
由（1）知，面 面 ，
点 到面 的距离为 ，
又点 到面 的距离为 ，连接 ，
则 .
点评：
本题主要考查线面和面面平行以及垂直的判定定理和性质定理，求多面体的体积问题.属于中档题.
19．已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
6．已知向量 ， 满足 ，其中 是单位向量，则 在 方向上的投影是（）
A．1B． C． D．
答案：C
由条件 平方求出 ，利用向量在向量上的投影公式计算即可.
解：
，
，
，
是单位向量，
，
在 方向上的投影为 ，
故选：C
点评：
本题主要考查了向量数量积的运算性质，向量在向量上的投影公式，属于中档题.
7．公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米（）
A． 斗B． 斗
C． 斗D． 斗
答案：B
直接根据等比数列的求和公式求解即可．
解：
由题意可知，每人所得玉米数构成公比为 的等比数列；且数列的前 项和为 ；
设首项为 ；
则 ；
∴ .
故选：B．
点评：
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
8．在△ABC中，若 ，则（）
则 .
故选：B.
点评：
本题考查了集合的交集运算，属于基础题.
2．已知i是虚数单位，则复数 在复平面上所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：C
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，从而可得结果.
解：
由于复数 ，
在复平面的对应点坐标为 .
在第三象限.
绝密★启用前
数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．若集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|﹣2＜x＜2}，则A∩B＝（）
A．（﹣2，2）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣1，3）
答案：B
直接用交集运算求解.
解：
作示意图如图所示：
解：
由数列 的前 项和 得，
当 时，有 ，
当 时，有 也适合上式，
故 ，
， ，
，
，
由 得：
，
即 .
又 对于 都成立，
所以 ,故实数 的最小值等于 .
故答案为：4.
点评：
本题主要考查数列求通项公式和数列求和问题.属于中档题.
16．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1＝2，AD＝3，点E，F分别为棱BC，CC1上的动点．若四面体A1B1EF的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是_____．（写出所有正确命题的编号）
三、解答题
17．某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：
空气质量指数
（0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
（200，300]
故 ，故 ，
即实数 的最大值为 .
故选：D.
点评：
本题考查了不等式有解的问题，并多次利用导数研究函数的单调性求最值，考查了学生的转化能力，逻辑思维能力，运算能力，难度较大.
二、填空题
13．设函数 （其中e为自然对数的底数），则f（f（3））的值等于_____．
答案：2e2
直接根据分段函数解析式计算可得；
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
答案：A
根据题意得，动点 到侧棱 的距离实际上是 点到点 的距离，点 到侧棱 的距离就是 到点 的距离；根据面积比转化为高的比，建立平面直角坐标系求解即可得到结论．
解：
由题意得，若 与 的面积之比等于 ，
因为两个三角形的底相等；故对应的高之比为 ；
动点 到侧棱 的距离实际上是 点到点 的距离，点 到侧棱 的距离就是 到点 的距离．
答案：（1）证明见详解；（2） .
（1）先利用已知条件得到线面平行，再证面 面 ，即可得出结论；（2）利用已知条件分别求出三棱锥 和四棱锥 的体积，相加即为多面体 的体积.
解：
（1） 四边形 是菱形，
，又 面 , 面 ，
面 ,
同理得， 面 ，
面 ，且 ，
面 面 ，
又 面 ，
平面 ；
（2） ，
，
，
在菱形 中，
答案：D
先对 化简， ，用导数判断 在 的符号为正，可转化为 ，在 有解，设 ，利用导数求函数 的最大值 ，则 ，即实数 的最大值为 .
解：
由 ，得 ，令 ， ，
则 ，则 在 递减，在 递增，则 ，
即由 ，得 ， 有解，
设 ， ，
则 ，
令 ， ，则 ，
故 在 递减，在 递增，故 ，
故 在 递减，在 递增，又 ， ，
则 ，整理可得 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号，
故 的最小值为9.
故选：C
点评：
本题考查了直线与抛物线的位置关系、焦点弦公式以及基本不等式求最值，属于基础题.