中考总复习数与式教案
安徽中考数学总复习教学案：第一章数与式
第一章数与式第一章数与式第1讲实数及其运算～安徽中考命题分析安徽中考命题预测预测安徽省中考仍将主要考查：有理数、数轴、相反数、绝对值、平方根、算数平方根、立方根、无理数、实数、近似数等的相关概念；有理数的加、减、乘方运算；有理数的大小比较，用科学记数法表示数等．题型多以选择题、填空题为主，偶尔也有解答题出现，但难度都属于基础题的要求．科学记数法、实数的运算，都是安徽中考的重点考查对象，要求考生熟练掌握.年份考察内容题型题号分值有理数的乘法选择题14科学记数法填空题115倒数选择题14科学记数法选择题24有理数的加法选择题14科学记数法填空题11 51．实数的有关概念(1)数轴：规定了__原点__，__正方向__和__单位长度__的直线叫做数轴，数轴上所有的点与全体__实数__一一对应．(2)相反数：只有__符号__不同，而__绝对值__相同的两个数称为互为相反数．a ，b 互为相反数⇔a ＋b ＝__0__．(3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的__商__，叫做这个数的倒数．a ，b 互为倒数⇔ab ＝__1__．(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的__距离__，叫做这个数的绝对值．|a |＝⎩⎨⎧ a ，（a ＞0） 0 ，（a ＝0） －a ，（a ＜0）|a |是一个非负数，即|a |__≥0__． (5)科学记数法，近似数：科学记数法就是把一个数表示成__±a ×10n __(1≤a ＜10，n 是整数)的形式；一个近似数，__四舍五入__到哪一位，就说这个数精确到哪一位．(6)平方根，算术平方根，立方根：如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，记作__x ＝±a __；正数a 的正的平方根，叫做这个数的算术平方根；如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，记作__x ＝3a __.(7)识记：112＝________，122＝________，132＝________，142＝________，152＝________，162＝________，172＝________，182＝________，192＝________，202＝________，212＝________，222＝__________，232＝________，242＝________，252＝__________．13＝________，23＝________，33＝__________，43＝________，53＝________，63＝__________，73＝________，83＝________，93＝__________，103＝________．2．实数的分类按实数的定义分类：实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫整数⎩⎨⎧ ⎭⎪⎬⎪⎫ 正整数 零 自然数负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧ 正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ 正无理数负无理数 无限不循环小数根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数零负实数3．零指数幂，负整数指数幂任何非零数的零次幂都等于1，即__a 0＝1(a ≠0)__；任何不等于零的数的－p 次幂，等于这个数p 次幂的倒数，即__a －p ＝1ap (a ≠0，p 为正整数)__．4．实数的运算实数的运算顺序是先算__乘方和开方__，再算__乘除__，最后算__加减__，如果有括号，先算__小括号__，再算__中括号__，最后算__大括号__，同级运算应__从左到右依次进行__．五种大小比较方法实数的大小比较常用以下五种方法：(1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大． (2)代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的数反而小．(3)差值比较法：设a ，b 是两个任意实数，则：a －b ＞0⇒a ＞b ；a －b ＝0⇒a ＝b ；a －b ＜0⇒a ＜b .(4)倒数比较法：若1a ＞1b，a ＞0，b ＞0，则a ＜b .(5)平方比较法：∵由a ＞b ＞0，可得a ＞b ，∴可以把a 与b 的大小问题转化成比较a 和b 的大小问题．1．(·安徽)(－2)×3的结果是( C )A ．－5B ．1C ．－6D ．6 2．(·安徽)－2的倒数是( A ) A ．－12 B .12C ．2D ．－23．(·安徽)下面的数中，与－3的和为0的是( A ) A ．3 B ．－3 C .13 D ．－134．(·安徽)据报载，我国将发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为__2.5×107__．5．(·安徽)安徽省棉花产量约37800吨，将37800用科学记数法表示应是__3.78×104__．实数的分类【例1】 (·合肥模拟)实数π，15，0，－1中，无理数是( A )A ．πB .15C ．0D ．－1【点评】 判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循环小数，初中常见的无理数共分三种类型：(1)化简后含π(圆周率)的式子；(2)含根号且开不尽方的数；(3)有规律但不循环的无限小数．掌握常见无理数类型有助于识别无理数．1．(1)(·安顺)下列各数中，3.14159，－38，0.131131113…，－π，25，－17无理数的个数有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 (2)(·安庆模拟)下列各数中，为负数的是( B )A ．0B ．－2C ．1D .12实数的运算【例2】 (·重庆)计算：4＋(－3)2－0×|－4|＋(16)－1.解：原式＝2＋9－1×4＋6＝11－4＋6＝13【点评】 实数运算要严格按照法则进行，特别是混合运算，注意符号和顺序是非常重要的．2．(·东营)计算：(－1)＋(sin 30°)－1＋(35－2)0－|3－18|＋83×(－0.125)3.解：原式＝1＋2＋1－32＋3－1＝6－3 2科学记数法与近似值、有效数字【例3】 (1)(·芜湖模拟)餐桌上的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为( A )A ．5×1010千克B ．50×109千克C ．5×109千克D ．0.5×1011千克(2)下列近似数中精确到千位的是( C ) A ．90200 B ．3.450×102 C ．3.4×104 D ．3.4×102【点评】 (1)科学记数法一般表示的数较大或很小，所以解题时一定要仔细，确定n 的值时，把大数的总位数减1即为n 的值，较小的数表示时就数第1个有效数字前所有“0”的个数(含小数点前的那个“0”)即为n 的值；(2)科学记数法写出这个数后可还原成原数进行检验；(3)用有效数字表示的数，在确定其精确度时，要还原成原数后再进行处理判断．3．(1)近似数2.5万精确到__千__位． (2)(·内江)一种微粒的半径是0.00004米，这个数据用科学记数法表示为( C )A ．4×106B ．4×10－6C ．4×10－5 D ．4×105与实数相关的概念【例4】 (1)(·河北)－2是2的( B )A ．倒数B ．相反数C ．绝对值D ．平方根(2)已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，那么a ＋b －c ＝__2或0__．【点评】 (1)互为相反数的两个数和为0；(2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；(3)两个非负数的和为0，则这两个数分别等于0.4．(1)计算：－(－12)＝__12__；|－12|＝__12__；(－12)0＝__1__；(－12)－1＝__－2__． (2)若ab ＞0，则|a |a ＋|b |b －|ab |ab的值等于__1或－3__．数轴【例5】 (·呼和浩特)实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是( D )A ．ac ＞bcB ．|a －b|＝a －bC ．－a ＜－b ＜cD ．－a －c ＞－b －c【点评】 数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上的点的位置及其相反数的位置，再根据数轴上右边的数大于左边的数，确定各数的大小或根据大减小为正，小减大为负，以及有理数的加法、乘法法则来确定数的运算后的符号．5．(1)(·蚌埠模拟)在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A ，B 两点对应的实数分别是3和－1，则点C 所对应的实数是( D )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．23－1D ．23＋1 (2)(·宁夏)实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是( D )A ．a ＋b ＝0B ．b ＜aC ．ab ＞0D ．|b|＜|a|实数的大小比较【例6】 (1)(·绍兴)比较－3，1，－2的大小，下列判断正确的是( A ) A ．－3＜－2＜1 B ．－2＜－3＜1 C ．1＜－2＜－3 D ．1＜－3＜－2(2)(·河北)a ，b 是两个连续整数，若a ＜7＜b ，则a ，b 分别是( A ) A ．2，3 B ．3，2 C ．3，4 D ．6，8【点评】 实数的大小比较要依据数值特点来灵活运用比较大小的几种方法来进行．6．(1)(·阜阳模拟)比较大小：－2__＞__－3. (2)比较2.5，－3，7的大小，正确的是( A ) A ．－3＜2.5＜7 B ．2.5＜－3＜7 C ．－3＜7＜2.5 D .7＜2.5＜－3第2讲整式及其运算～安徽中考命题分析安徽中考命题预测预测安徽省中考仍将主要考查：用字母表示数，代数式的实际背景或几何意义，求代数式的值，代数式的分类，整式加、减、乘、除运算，运用乘法公式进行计算，整数指数幂的简单计算，这里要重点指出的是用字母表示数中渗透合情推理思想，它是安徽中考的一个重点，同时也是难点，要求复习时重点突破．年份考察内容题型题号分值乘方运算选择题 2 4整式加减解答题15 8整式运算选择题 4 4乘方运算选择题 3 4代数式的表示选择题 5 4整式加减解答题15 81．单项式：由__数与字母__或__字母与字母__相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做__单项式的次数__，数字因数叫做__单项式的系数__．单独的数、字母也是单项式．2．多项式：由几个__单项式相加__组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个__多项式的次数__，其中不含字母的项叫做__常数项__．3．整式：__单项式和多项式__统称为整式．4．同类项：多项式中所含__字母__相同并且__相同字母的指数__也相同的项，叫做同类项．5．幂的运算法则：(1)同底数幂相乘：__a m·a n＝a m＋n(m，n都是整数，a≠0)__；(2)幂的乘方：__(a m)n＝a mn(m，n都是整数，a≠0)__；(3)积的乘方：__(ab)n＝a n·b n(n是整数，a≠0，b≠0)__；(4)同底数幂相除：__a m÷a n＝a m－n(m，n都是整数，a≠0)__．6．整式乘法：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘多项式：m(a＋b)＝__ma＋mb__；多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝__ac＋ad＋bc＋bd__.7．乘法公式：(1)平方差公式：__(a＋b)(a－b)＝a2－b2__；(2)完全平方公式：__(a±b)2＝a2±2ab＋b2__．8．整式除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加．一座“桥梁”用字母表示数是从算术过渡到代数的桥梁，是后续学习的基础，用字母表示数能够简明地表示出事物的规律及本质特征．只有借助字母，才能把一些数量规律及数量更简洁、准确地表示出来．用字母表示数：(1)注意字母的确定性；(2)注意字母的任意性；(3)注意字母的限制性．二种思维方法法则公式既可正向运用，也可逆向运用．逆向运用和灵活变式运用既可简化计算，又能进行较复杂的代数式的大小比较．当直接计算有较大困难时，考虑逆向运用，可起到化难为易的功效．1．(·安徽)x2·x4＝( B )A．x5B．x6C．x8D．x92．(·安徽)下列运算正确的是( B )A ．2x ＋3y ＝5xyB ．5m 2·m 3＝5m 5C ．(a －b)2＝a 2－b 2D ．m 2·m 3＝m 6 3．(·安徽)计算(－2x 2)3的结果是( B ) A ．－2x 5 B ．－8x 6 C ．－2x 6 D ．－8x 5 4．(·安徽)某企业今年3月份产值为a 万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是( B )A ．(a －10%)(a ＋15%)万元B ．a(1－10%)(1＋15%)万元C ．(a －10%－15%)万元D ．a(1－10%－15%)万元5．(·枣庄)如图，在边长为2a 的正方形剪去一边长为(a ＋2)的小正方形(a ＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( C )A ．a 2＋4B ．2a 2＋4aC ．3a 2－4a －4D ．4a 2－a －2整式的加减运算【例1】 (1)(·邵阳)下列计算正确的是( A ) A ．2x －x ＝x B ．a 3·a 2＝a 6 C ．(a －b)2＝a 2－b 2 D ．(a ＋b)(a －b)＝a 2＋b 2 (2)(·威海)已知x 2－2＝y ，则x(x －3y)＋y(3x －1)－2的值是( B ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4【点评】 整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果．1．(1)(·威海)下列运算正确的是( C ) A ．2x 2÷x 2＝2x B ．(－12a 2b)3＝－16a 6b 3C ．3x 2＋2x 2＝5x 2D ．(x －3)3＝x 3－9(2)(·厦门)先化简下式，再求值：(－x 2＋3－7x)＋(5x －7＋2x 2)，其中x ＝2＋1.解：原式＝x 2－2x －4＝(x －1)2－5，把x ＝2＋1代入原式，原式＝(2＋1－1)2－5＝－3同类项的概念及合并同类项【例2】 若－4x a y ＋x 2y b ＝－3x 2y ，则a ＋b ＝__3__．【点评】 (1)判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并．2．(·淮南模拟)已知12x n －2m y 4与－x 3y 2n 是同类项，则(mn)的值为( C )A ．B ．－C ．1D ．－1幂的运算【例3】 (1)(·济南)下列运算中，结果是a 5的是( A ) A ．a 3·a 2 B ．a 10÷a 2 C ．(a 2)3 D ．(－a)5(2)(·芜湖模拟)计算(a 2)3÷(a 2)2的结果是( B ) A ．a B ．a 2 C ．a 3 D ．a 4【点评】 (1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．3．(1)(·)下列各式计算正确的是( D ) A ．a 2＋2a 3＝3a 5 B ．(a 2)3＝a 5 C ．a 6÷a 2＝a 3 D ．a ·a 2＝a 3(2)(·随州)计算(－12xy 2)3，结果正确的是( B )A .14x 2y 4B ．－18x 3y 6C .18x 3y 6D ．－18x 3y 5 整式的混合运算及求值【例4】 (·绍兴)先化简，再求值：a(a －3b)＋(a ＋b)2－a(a －b)，其中a ＝1，b ＝－12.解：原式＝a 2－3ab ＋a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋ab ＝a 2＋b 2＝1＋14＝54【点评】 注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．4．(·合肥模拟)化简2[(m －1)m ＋m(m ＋1)][(m －1)m －m(m ＋1)]，若m 是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？解：2[(m －1)m ＋m(m ＋1)][(m －1)m －m(m ＋1)]＝2(m 2－m ＋m 2＋m)(m 2－m －m 2－m)＝－8m 3.原式＝(－2m)3，表示3个－2m 相乘，或者说是一个立方数，8的倍数等乘法公式【例5】 (·芜湖模拟)如图①，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．(1)设图①中阴影部分面积为S 1，图②中阴影部分面积为S 2，请直接用含a ，b 的代数式表示S 1和S 2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．(1)S 1＝a 2－b 2；S 2＝12(2b ＋2a)(a －b)＝(a ＋b)(a －b)(2)(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2【点评】 (1)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形： ①a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b)2＋2ab ；③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.注意公式的变式及整体代入的思想．(2)算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，任何时候都要遵循先化简，再求值的原则．5．(1)整式A与m2－2mn＋n2的和是(m＋n)2，则A＝__4mn__．(2)(·广州)已知多项式A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3.①化简多项式A；②若(x＋1)2＝6，求A的值．解：①A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3＝x2＋4x＋4＋2－2x＋x－x2－3＝3x＋3②(x＋1)2＝6，则x＋1＝±6，∴A＝3x＋3＝3(x＋1)＝±3 6第3讲因式分解～安徽中考命题分析安徽中考命题预测预测安徽省中考仍将主要考查：用提取公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)分解因式等．题型多以选择题、填空题为主，偶尔也有解答题出现，但难度都属于基础题的要求．年份考察内容题型题号分值因式分解选择题 4 4因式分解填空题12 5因式分解选择题 4 41．因式分解把一个多项式化成几个__整式__积的形式，叫做因式分解，因式分解与__整式乘法__是互逆运算．2．基本方法(1)提取公因式法：ma＋mb－mc＝__m(a＋b－c)__．(2)公式法：运用平方差公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．3．因式分解的一般步骤(1)如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；(4)注意因式分解中的范围，如x4－4＝(x2＋2)(x2－2)，在实数范围内分解因式，x4－4＝(x2＋2)(x＋2)(x－2)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解．思考步骤多项式的因式分解有许多方法，但对于一个具体的多项式，有些方法是根本不适用的．因此，拿到一道题目，先试试这个方法，再试试那个办法．解题时思考过程建议如下：(1)提取公因式；(2)看有几项；(3)分解彻底．在分解出的每个因式化简整理后，把它作为一个新的多项式，再重复以上过程进行思考，试探分解的可能性，直至不可能分解为止．变形技巧当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n；当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n.1．(·安徽)下列四个多项式中，能因式分解的是( B)A．a2＋1B．a2－6a＋9C．x2＋5y D．x2－5y2．(·毕节)下列因式分解正确的是( A)A．2x2－2＝2(x＋1)(x－1)B．x2＋2x－1＝(x－1)2C．x2＋1＝(x＋1)2D．x2－x＋2＝x(x－1)＋23．(·安徽)因式分解：x2y－y＝__y(x＋1)(x－1)__．4．(·安徽)下面的多项式中，能因式分解的是( D)A．m2－n B．m2－m－1C．m2＋n D．m2－2m＋15．(·哈尔滨)把多项式3m2－6mn＋3n2分解因式的结果是__3(m－n)2__．因式分解的意义【例1】(·泉州)分解因式x2y－y3结果正确的是( D )A．y(x＋y)2B．y(x－y)2C．y(x2－y2) D．y(x＋y)(x－y)【点评】因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底．1．(·玉林)下面的多项式在实数范围内能因式分解的是( D )A．x2＋y2B．x2－yC．x2＋x＋1 D．x2－2x＋1提取公因式法分解因式【例2】阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)；(2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋1)(x－y－1)．试用上述方法分解因式：a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝__(a＋b)(a＋b＋c)__．【点评】(1)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(2)当某项正好是公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(3)公因式也可以是多项式．2．(1)多项式ax2－4a与多项式x2－4x＋4的公因式是__x－2__．(2)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是( D )A．m＋1 B．2mC．2 D．m＋2运用公式法分解因式【例3】(1)(·东营)3x2y－27y＝__3y(x＋3)(x－3)__；(2)(·邵阳)将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是__n(m－1)2__．【点评】(1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2－b2的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；(2)用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征．3．分解因式：(1)9x2－1；(2)25(x＋y)2－9(x－y)2；(3)(·淮北模拟)a－6ab＋9ab2；(4)(·湖州)mx2－my2.解：(1)9x2－1＝(3x＋1)(3x－1)(2)25(x＋y)2－9(x－y)2＝[5(x＋y)＋3(x－y)][5(x＋y)－3(x－y)]＝(8x＋2y)(2x＋8y)＝4(4x＋y)(x＋4y)(3)a－6ab＋9ab2＝a(1－6b＋9b2)＝a(1－3b)2(4)mx2－my2＝m(x2－y2)＝m(x＋y)(x－y)综合运用多种方法分解因式【例4】给出三个多项式：12x2＋x－1，12x2＋3x＋1，12x2－x，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．解：(12x 2＋x －1)＋(12x 2＋3x ＋1)＝x 2＋4x ＝x(x ＋4)；(12x 2＋x －1)＋(12x 2－x)＝x 2－1＝(x＋1)(x －1)；(12x 2＋3x ＋1)＋(12x 2－x)＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2【点评】 灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．4．(1)(·武汉)分解因式：a 3－a ＝__a(a ＋1)(a －1)__； (2)(·黔东南州)分解因式：x 3－5x 2＋6x ＝__x(x －3)(x －2)__；因式分解的应用 【例5】 (1)(·河北)计算：852－152＝( D )A ．70B ．700C ．4900D ．7000 (2)已知a 2＋b 2＋6a －10b ＋34＝0，求a ＋b 的值．解：∵a 2＋b 2＋6a －10b ＋34＝0，∴a 2＋6a ＋9＋b 2－10b ＋25＝0，即(a ＋3)2＋(b －5)2＝0，∴a ＋3＝0且b －5＝0，∴a ＝－3，b ＝5，∴a ＋b ＝－3＋5＝2【点评】 (1)利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值；(2)一个问题有两个未知数，只有一个条件，根据已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解．5．(1)(·马鞍山模拟)若ab ＝2，a －b ＝－1，则代数式a 2b －ab 2的值等于__－2__．(2)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 3＋ab 2＋bc 2＝b 3＋a 2b ＋ac 2，则△ABC 的形状是( C )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形(3)(·北京)已知x －y ＝3，求代数式(x ＋1)2－2x ＋y(y －2x)的值．解：原式＝x 2－2xy ＋y 2＋1＝(x －y)2＋1，把x －y ＝3代入，原式＝3＋1＝4第4讲 分式及其运算～安徽中考命题分析安徽中考命题预测预测安徽省中考仍将主要考查：分式的概念、分式的基本性质、约分与通分，分式的加、减、乘、除运算等，题型有选择题、填空题，也有解答题，但难度都属于基础题和中档题的要求．这里要重点指出的是分式的加减乘除运算，它一直是安徽中考的一个重点，这是因为分式的加减乘除运算几乎可以涵盖所有代数式的基本运算，因此考生一定要注意．年份 考察内容 题型 题号 分值 分式方程的计算 填空题 13 5 分式方程的应用解答题 20(2) 8 分式计算选择题 6 41．分式的基本概念(1)形如__AB(A ，B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)__的式子叫分式；(2)当__B ≠0__时，分式A B 有意义；当__B ＝0__时，分式AB 无意义；当__A ＝0且B ≠0__时，分式AB的值为零．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的值不变，用式子表示为__A B ＝A ×M B ×M ，A B ＝A÷MB÷M(M 是不等于零的整式)__．3．分式的运算法则(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 用式子表示：a b ＝－a －b ＝－a －b ＝－－a b ；－a b ＝a－b ＝－a b .(2)分式的加减法：同分母加减法：__a c ±b c ＝a±bc __；异分母加减法：__b a ±d c ＝bc±adac __．(3)分式的乘除法： a b ·c d ＝__acbd __； a b ÷c d ＝__adbc __． (4)分式的乘方：(a b )n ＝__a nbn (n 为正整数)__． 4．最简分式如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式． 5．分式的约分、通分把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质．把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．7．解分式方程，其思路是去分母转化为整式方程，要特别注意验根．使分母为0的未知数的值是增根，需舍去．两个技巧(1)分式运算中的常用技巧分式运算题型多，方法活，要根据特点灵活求解．如：①分组通分；②分步通分；③先“分”后“通”；④重新排序；⑤整体通分；⑥化积为差，裂项相消．(2)分式求值中的常用技巧分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化．主要有以下技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入法；⑤倒数法．1．(·温州)要使分式x ＋1x －2有意义，则x 的取值应满足( A )A ．x ≠2B ．x ≠－1C ．x ＝2D ．x ＝－1 2．(·广州)计算：x 2－4x －2，结果是( B )A ．x －2B ．x ＋2C .x －42D .x ＋2x3．(·安徽)化简x 2x －1＋x1－x 的结果是( D )A ．x ＋1B ．x －1C ．－xD ．x 4．(·济南)化简m －1m ÷m －1m 2的结果是( A )A ．mB .1mC ．m －1D .1m －15．(·安徽)方程4x －12x －2＝3的解是x ＝__6__．分式的概念，求字母的取值范围【例1】 (1)(·贺州)分式2x －1有意义，则x 的取值范围是( A )A ．x ≠1B ．x ＝1C ．x ≠－1D ．x ＝－1 (2)(·毕节)若分式x 2－1x －1的值为零，则x 的值为( C )A ．0B ．1C ．－1D ．±1【点评】 (1)分式有意义就是使分母不为0，解不等式即可求出，有时还要考虑二次根式有意义；(2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值．1．(1)(·铜陵模拟)若代数式xx －1有意义，则实数x 的取值范围是( D )A ．x ≠1B ．x ≥0C ．x ＞0D ．x ≥0且x ≠1(2)当x ＝__－3__时，分式|x|－3x －3的值为0.分式的性质【例2】 (1)(·贺州)先化简，再求值：(a 2b ＋ab)÷a 2＋2a ＋1a ＋1，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.解：原式＝ab(a ＋1)·a ＋1（a ＋1）2＝ab ，当a ＝3＋1，b ＝3－1时，原式＝3－1＝2(2)(·济宁)已知x ＋y ＝xy ，求代数式1x ＋1y－(1－x)(1－y)的值．解：∵x ＋y ＝xy ，∴1x ＋1y －(1－x)(1－y)＝y ＋x xy －(1－x －y ＋xy)＝x ＋y xy －1＋x ＋y －xy＝1－1＋0＝0【点评】 (1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．2．(1)(·安庆模拟)下列计算错误的是( A ) A .0.2a ＋b 0.7a －b ＝2a ＋b 7a －b B .x 3y 2x 2y 3＝x yC .a －b b －a＝－1 D .1c ＋2c ＝3c(2)(·广安)化简(1－1x －1)÷x －2x 2－2x ＋1的结果是__x －1__．分式的四则混合运算【例3】 (·深圳)先化简，再求值：(3x x －2－x x ＋2)÷xx 2－4，在－2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．解：原式＝3x （x ＋2）－x （x －2）（x ＋2）（x －2）·（x ＋2）（x －2）x ＝2x ＋8，当x ＝1时，原式＝2＋8＝10【点评】 准确、灵活、简便地运用法则进行化简，注意在取x 的值时，要考虑分式有意义，不能取使分式无意义的0与±2.3．(1)(·十堰)已知a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a－2的值为( B )A .5＋1B ．1C ．－1D ．－5(2)(·黄山模拟)先化简x 2－4x 2－9÷(1－1x －3)，再从不等式2x －3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．解：原式＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）÷x －3－1x －3＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）·x －3x －4＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －4），不等式2x －3＜7，解得x ＜5，其正整数解为1，2，3，4，当x ＝1时，原式＝14分式方程的解法【例4】 (·舟山)解方程：x x ＋1－4x 2－1＝1.解：去分母，得x(x －1)－4＝x 2－1，去括号，得x 2－x －4＝x 2－1，解得x ＝－3，经检验x ＝－3是分式方程的解【点评】 (1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母．若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项；(2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分母为零，故应是原方程的增根，需舍去．4．(1)(·阜阳模拟)若分式方程x x －1－m1－x ＝2有增根，则这个增根是__x ＝1__；(2)(·)解分式方程：3x 2－9＋xx －3＝1.解：方程两边都乘(x ＋3)(x －3)，得3＋x(x ＋3)＝x 2－9，3＋x 2＋3x ＝x 2－9，解得x ＝－4，检验：把x ＝－4代入(x ＋3)(x －3)≠0，∴x ＝－4是原分式方程的解第5讲 二次根式及其运算～安徽中考命题分析 安徽中考命题预测预测安徽省中考仍将主要考查：二次根式的加、减、乘、除运算(不要求分母有理化)，用有理数估计无理数的大致范围仍将是安徽中考的主要考察点．尤其是用有理数估计无理数的大致范围是安徽中考的一个重点．题型以选择题、填空题居多．无论什么形式，计算的难度都不会太大，难度均属于基础题．年份 考察内容 题型题号 分值 用有理数估计无理数的大致范围选择题6 4 二次根式有意义 填空题 11 5 － －－－1．二次根式的概念式子__a(a ≥0)__叫做二次根式． 2．二次根式的性质 (1)(a)2＝__a(a ≥0)__．(2)a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a （a ＞0） ； 0（a ＝0） ； －a （a ＜0） Ｗ.3．二次根式的运算(1)二次根式加减法的实质是合并同类根式；(2)二次根式的乘法：a·b ＝__ab(a ≥0，b ≥0)__； (3)二次根式乘法的反用：ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)； (4)二次根式的除法：ab＝__ab(a ≥0，b ＞0)__；(5)二次根式除法的反用：a b ＝__ab(a ≥0，b ＞0)__． 4．最简二次根式运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式，需满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式．“双重非负性”算术平方根a 具有双重非负性，一是被开方数a 必须是非负数，即a ≥0；二是算术平方根a 的值是非负数，即a ≥0.算术平方根的非负性主要用于两方面：(1)某些二次根式的题目中隐含着“a ≥0”这个条件，做题时要善于挖掘隐含条件，巧妙求解；(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零． 求值问题“五招”(1)巧用平方；(2)巧用乘法公式；(3)巧用配方；(4)巧用换元；(5)巧用倒数．1．(·安徽)设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为( D ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．82．(·安徽)若1－3x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__x ≤13__．3．(·徐州)下列运算中错误的是( A ) A .2＋3＝ 5 B .2×3＝ 6 C .8÷2＝2 D ．(－3)2＝34．(·福州)若(m －1)2＋n ＋2＝0，则m ＋n 的值是( A ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．25．(·内江)按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为2，则最后输出的结果是( C )A ．14B ．16C ．8＋5 2D ．14＋ 2二次根式概念与性质【例1】 (1)等式2k －1k －3＝2k －1k －3成立，则实数k 的范围是( D ) A ．k ＞3或k ＜12 B ．0＜k ＜3C ．k ≥12D ．k ＞3(2)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，试化简：（a ＋b ＋c ）2＋（a －b －c ）2＋（b －c －a ）2＋（c －a －b ）2.解：原式＝|a ＋b ＋c|＋|a －b －c|＋|b －c －a|＋|c －a －b|＝(a ＋b ＋c)＋(b ＋c －a)＋(c ＋a －b)＋(a ＋b －c)＝2a ＋2b ＋2c【点评】 (1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方数大于或等于0；(2)注意二次根式性质(a)2＝a(a ≥0)，a 2＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．1．(1)(·达州)二次根式－2x ＋4有意义，则实数x 的取值范围是( D ) A ．x ≥－2 B ．x ＞－2 C ．x ＜2 D ．x ≤2(2)如果（2a －1）2＝1－2a ，则( B ) A ．a ＜12 B ．a ≤12C ．a ＞12D ．a ≥12二次根式的运算【例2】 (1)(·济宁)如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝ab；②a b ·ba＝1；③ab÷ab＝－b.其中正确的是( B ) A ．①② B ．②③C ．①③D ．①②③ (2)计算：24－32＋23－216. 解：原式＝26－126＋136－136＝326【点评】(1)二次根式化简，依据ab＝a·b(a≥0，b≥0)，ab＝ab(a≥0，b＞0)，前者将被开方数分解，后者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平方数，即可将其移到根号外；(2)二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式．2．(1)(·黄山模拟)若20n是整数，则正整数n的最小值为__5__．(2)(·抚州)计算：27－3＝__23__．二次根式混合运算【例3】计算：(10－3)·(10＋3).解：原式＝(10－3)×(10＋3)×(10＋3)＝[(10－3)(10＋3)]×(10＋3)＝1×(10＋3)＝10＋3【点评】(1)二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起，计算时要认真仔细；(2)可以运用运算律或适当改变运算顺序，使运算简便．3．(1)(·荆门)计算：24×13－4×18×(1－2)0；解：原式＝26×33－4×24×1＝22－2＝ 2(2)已知10的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．解：∵3＜10＜4，∴10的整数部分a＝3，小数部分b＝10－3.∴a2－b2＝32－(10－3)2＝9－(10－610＋9)＝－10＋610。
初三总复习教案_第一章《数与式》
福鼎七中数学（北师大）初三复习教案周克锋福鼎七中数学（北师大）初三复习教案周克锋福鼎七中数学（北师大）初三复习教案 周克锋【解答】甲净收入＝12000.4 ×（4.8－0.5）＝（元）；乙净收入＝12000.3×（3.6－0.4）＝（元） 丙净收入＝12000.2 ×（2.5－0.3）＝（元）所以正确答案是C 。
【相应习题】1．（06宁波）若家用电冰箱冷藏室的温度是4ºC ，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22ºC ，则冷冻室的温度是（ ）A 、18ºCB 、－26ºC C 、－22ºCD 、－18ºC2．（05日照）在“五·一”黄金周期间，某超市推出如下购物优惠方案：（1）一次性购物在100元（不含100元）以内时，不享受优惠；（2）一次性购物在100元（含100元）以上， 300元（不含300元）以内时，一律享受九折的优惠；（3）一次性购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠．王茜在本超市两次购物分别付款80元、252元．如果王茜改成在本超市一次性购买与上两次完全相同的商品，则应付款（ ）A 、332元B 、316元或332元C 、288元D 、288元或316元考点7 利用计算器进行估值或探求规律例9．（05广州）用计算器计算22－12－1 ，32－13－1 ，42－14－1 ，52－15－1 ，……根据你发现的规律、判断P ＝n 2－1n －1 ，与Q ＝（n 2－1）－1（n －1）－1，（n 为大于1的整数）的值的大小关系为（ ）A 、P<QB 、P ＝QC 、P>QD 、与n 的取值有关 【相应习题】1．用计算器比较大小：317 － 6 ＿＿＿＿0（填“>”“＝”“<”）考点8 定义新运算例10．（05海淀区）用“”、“”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有ab=a 和a b=b ，例如32＝3，32＝2。
中考总复习《数与式》教案
中考总复习《数与式》教案中考总复教案第一章数与式数与式》是初中数学的基础知识，是中考命题的重要内容之一，年年考查。
在新课标中考试题中，“数与式”部分的权重约为35%，分量之中，不容忽视！一、本章知识要点与课时安排（大致安排五课时左右）一）实数（1课时）二）整式与因式分解（1-2课时）三）分式与二次根式（2课时）四）数式规律的探索（可以揉到前面几讲中去讲，也可以单设1课时）说明：您可以根据自己学生的研究程度，合理安排复内容。
二、课时教案第1课时实数教学目的：1.理解有理数的意义，了解无理数等概念。
2.能用数轴上的点表示有理数，掌握相反数的性质，会求实数的绝对值。
3.会用科学记数法表示数。
4.能比较实数的大小，会利用绝对值知识解决简单化简问题。
5.掌握有理数的运算法则，并能灵活地运用。
教学重点与难点：重点：数轴、绝对值等概念及其运用，有理数的运算。
难点：利用绝对值知识解决简单化简问题，实数的大小比较。
教学方法：用例题串联知识（复时要注意知识综合性的复）。
教学过程：一）知识梳理实数的分类数轴加、减法乘、除法乘方、开方相反数绝对值运算律科学记数法平方根、算术平方根概念比较大小二）例题讲解与练例1：在以下八个数中，哪些是有理数？哪些是无理数？$\pi$，$\frac{22}{27}$，$\cos30^{\circ}$，$-38$，$0.xxxxxxxx02\cdots$（数字2后面“$\cdots$”的个数逐次多一个）考查的知识点：有理数、实数等概念。
考查层次：易）归纳】：（1）整数与分数统称为有理数（强调数字的特点）；无限不循环小数是无理数。
常见的无理数有三类：①$\pi$，…②$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$，…，（$-\frac{38}{1}$不是无理数）③$0.xxxxxxxx01\cdots$（数字1后面“$\cdots$”的个数逐次多一个）。
2）一个无理数加、减、乘、除一个有理数（除外）仍是无理数。
浙教版中考复习教案之数与式
（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加
（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．
6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后
再与被除式相乘．
注：（1）若B≠0，则有意义；（2）若B=0，则无意义；（2）若A=0且B≠0，则=0
2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分．
4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
2、如果 那么x取值范围是（）
A、x≤2 B. x＜2 C. x≥2 D. x＞2
3、－8的立方根与 的平方根的和为（）
A．2 B．0 C．2或一4 D．0或－4
4、若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m为（）
A．－3 B．1 C．－3或1 D．－1
5、若实数a和b满足b=+,则ab的值等于_______
4、如图1－2－4所示，在△ABC中，∠B=90○,点P从点B开始沿BA边向点A以1厘米／秒的宽度移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，问几秒后，△PBQ的面积为36平方厘米？
专题二整式
一、考点扫描
1、代数式的有关概念．
(1)代数式是由运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子．
(2)最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
(3)同类二次根式
2024年九年级中考数学一轮复习大单元《数与式》学习设计
数与式【学科大概念】数与式是描述客观世界中数量关系最为基本的数学语言和工具.【课程大概念】运用数与式简洁、准确的表述研究对象之间的数量关系（数学语言），有效借助运算方法解决计算问题，发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.单元概述【单元内容】数与式包括实数及其运算，代数式及整式（含因式分解），分式，二次根式，是初中数学《代数》部分的重要内容；本单元重在回顾梳理实数（有理数、无理数）、代数式（整式、分式、二次根式）相关概念及内在联系，应用运算法则进行整式、分式、二次根式的加、减、乘、除、乘方运算，梳理出三类代数式算理之间的逻辑关系，发展数学运算素养.【中考考查方向】实数的有关概念、科学计数法、实数的大小比较、实数的运算、代数式、整式的相关概念、整式的运算、因式分解、分式有无意义及分式值为0的条件、分式的性质、分式的运算、二次根式的概念、二次根式的性质、二次根式的运算等.【课标要求】1.数与式（1）理解有理数的意义；理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除乘方及简单的混合运算；理解负数的意义；能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义.（2）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算，能运用有理数的运算解决简单的问题.2.实数（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根，了解乘方与开方互为逆运算；（2）了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值；.（3）了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式的运算法则，会用他们进行简单的四则运算.3.代数式（1）能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示.（2）会求代数式的值；能根据待定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算.4.整式与分式（1）了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学计数法表示数.（2）理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加减运算；能进行简单的乘法的运算.（3）能用提公因式法、公式法、进行因式分解.（4）了解分式和最简的分式加减乘除运算.（5）能利用乘法公式进行简单的推理.（6）了解代数推理.【单元目标】1.从概念，性质及运算法则三个方面梳理实数与代数式相关内容，分析实数、整式、分式、二次根式、代数式之间的区别与联系，构建数与式的知识与逻辑体系；2.应用运算法则进行整式、分式、二次根式的加、减、乘、除、乘方混合运算，总结三类计算算理之间的内在联系,解决相关计算问题，发展数学运算能力；3.人人参与过关，自主纠错，反思错因，灵活应用整式、分式、二次根式解决综合实际问题.【评价预设】评价内容水平一☆水平二☆☆水平三☆☆☆整体建构能说出实数、代数式、整式、分式、二次根式相关概念及性质，举例说明它们之间的区别与联系；梳理整式、分式、二次根式的运算法则，说出三类计算算理之间的内在联系；从概念、性质、运算法则三个方面画出思维导图，构建数与式单元知识、逻辑体系.探究迁移能说出对整式、分式、二次根式的基本性质与运算法则的理解，并会举例说明；经历整式、分式、二次根式的运算过程，总结运算过程中的一般思路方法、注意事项以及三类运算之间的内在联系；结合找规律问题，分析数与式中的用到的数学方法，总结解决相关数学问题的规律方法.拓展过关能从实数、整式、分式及二次根式的基本概念、性质及运算等方面梳理数与式之间的内在联系，能说出数与式的本质；自主纠错，反思错因，能综合运用整式、分式、二次根式解决相关计算问题；围绕数与式的相关运算进行二次过关，能综合运用数与式解决实际问题.【学时建议】【单元目标追求】一、我的学习目标：（结合单元学习目标制定）二、通过本单元的学习，我的目标达成情况及改进措施三、通过本单元学习，除了学科知识外，我的其他收获（如学习能力、核心素养、生活实际应用等）【单元前测】（一）实数及其运算1.把下列各数填入相应的集合内.-7，3，2，23-，98，327，0.99，2π，-0.31，227.(1)有理数集合{}（2）无理数集合{}(3)正实数集合{}（4）负实数集合{}2.（多选）下列说法不正确的是（）A.2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m 的值是-3；B.-0.064的立方根是-0.4；C.16的算术平方根是4；D.364的平方根是23.(2022·潍坊)秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为512-，下列估算正确的是()A ．512025-<<B ．2511522-<<C ．151122-<<D ．5112->4.用科学记数法表示数（1）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为__________（2）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为___________.5.(2018·潍坊)用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是____________.（二）代数式相关概念及性质6.若把分式r 2B中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值()A.扩大3倍B.不变C.缩小3倍D.缩小6倍7.(2022·潍坊多项选择题)如图，实数a ，b 在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是()A ．||1a b>B ．a b -<C ．0a b ->D ．0ab ->8.若121+n xy 与313y x m -的和仍是一个单项式，则m =，n =.9.已知x、y、z 是△ABC 的三边长，如果−22+−1+−=0,则△ABC 的形状为____________.10.当3-32-x x 有意义时，x 的取值为；11--x x 的值为0时，x 的取值为.11.当为何值时，下列各式有意义？(1)2−3；(2)−2；(3)−32；(4)3K1；12.化简下列二次根式（1）288（2（3）483（4）（三）代数式相关运算13.若代数式325222+-+x y mx 的值与字母x 的取值无关，则m 的值.14.计算（1）327−212（2）5∙(−10)−12÷24（3）(5＋3)(5－3)+3×6－8（4）27×(－2)＋|2－6|－(1－7)0-(−12)−2（5）22212-21-22-（）（++15.计算（1）(a ＋1)(a －1)－(a －2)2（2）532b −a 2−(B 2+32p（3）12x 2xx 2x 44x x 22--+÷+++16.因式分解（1）22yx +-（2）22363ay axy ax +-（3）(−2p 2−(2+p 2（4）x 2－2x＋(x－2)(5)（x﹣2）（x﹣4）-15（6）a 2b +ab 2﹣a ﹣b数与式整体建构【学习目标】1.梳理实数、代数式、整式、分式、二次根式相关概念及性质，举例说明它们之间的区别与联系；2.对比分析整式、分式、二次根式的运算法则，说出三类计算算理之间的内在联系；3.以概念、性质、运算法则为主线画出思维导图，构建数与式单元知识、逻辑体系.【学习任务】构建数与式的知识、逻辑体系【学习活动】结合教材和271BAY对应资源梳理七年级上《有理数》《有理数的运算》《整式的加减》《代数式与函数的初步认识》七年级下《整式的乘除》《乘法公式与因式分解》、八年级上《分式》、八年级下《实数》《二次根式》的相关知识点，然后完成纸质学程和电子学程对应的学习活动，能梳理实数（有理数、无理数）、代数式（整式、分式、二次根式）相关概念及内在联系，应用运算法则进行整式、分式、二次根式的加、减、乘、除、乘方运算活动一:探究实数及其运算问题1：实数是什么？如何对实数进行分类？有几种分类方法？你的分类依据是什么？无理数的常见形式有哪些？问题2：实数的相关概念：数轴、相反数、倒数、绝对值、平方根、算术平方根、立方根的意义是什么？问题3：n的方法是什么？问题4：实数的大小比较方法有哪些？问题5：实数的运算法则、运算顺序、运算律是什么？需要注意的问题是什么？活动二：探究代数式有关概念问题1：什么是代数式、整式、分式、二次根式？它们之间有什么关系与区别？问题2：整式相关概念：整式、单项式（系数、次数）、多项式（系数、次数）、同类项、因式分解的意义是什么？问题3：分式的相关概念及性质：分式有无意义的条件是什么？分式的基本性质有哪些？最简分式、约分、通分的意义是什么？问题4：二次根式的概念及性质：二次根式的性质是什么？最简二次根式的意义是什么？活动三：探究代数式相关运算问题1:整式的运算：整式的加减、乘除、幂的运算法则是什么？问题2:因式分解的方法有哪些？整式的乘除与因式分解的关系是什么？问题3:分式的运算：分式的加减、乘除、乘方运算法则是什么？问题4：二次根式的运算：二次根式的加减、乘除法则是什么？问题5：整式的运算、分式的运算、二次根式的运算之间有什么联系？注意事项有哪些？活动四：构建数与式知识思维导图结合前面的三个学习活动，梳理平方根、算术平方根、立方根、科学记数法、整式、因式分解、分式、二次根式等核心概念及性质，构建本单元的思维导图，总结本单元与其他单元的逻辑体系.数与式【学习目标】1.说出对整式、分式、二次根式的基本性质与运算法则的理解，举例说明三类计算算理之间的内在联系；2.经历整式、分式、二次根式的运算过程，总结运算过程中的一般思路方法和注意事项；3.解决找规律问题，说出数式规律和定义新运算问题中用到的数学方法.【学习任务】探究整式、分式、二次根式的性质及运算【学习活动】活动一：探究整式的运算问题1：代数式及求代数式的值1.若2+2=1，则42+8−3的值是_______.2.已知26+=x ，那么xx 222-的值是________.3.与下面科学计算器的按键顺序：对应的计算任务是（）A．0.6×+124B．0.6×+124C．0.6×5÷6+412D．0.6×+412问题2：整式及其运算1.(2020·潍坊)下列运算正确的是（）A.235a b ab+= B.325a a a ⋅= C.222()a b a b+=+ D.()326a b a b=2．(2022·潍坊多项选择)下列运算正确的是（）A ．（a ﹣）2＝a 2﹣a+B ．（﹣a ﹣1）2＝C ．＝D ．＝23.若3=+b a ，2+2=7，则ab =_______.4.计算：（1）32−+3−3+3（2）()()()()233232222x y x xy yx ÷-+-⋅探究迁移5.先化简再求值.（1）已知,153,2,32++=+-=-=x x P x N a x M 且P N M +⋅不含x 项，求a 的值（2）2+32−3−+22+4(+3),其中=tan 60°.6.如图，某市有一块长为3+米，宽为2+米的长方形地块， 规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？ 并求出当=3，=2时的绿化面积．问题3：因式分解1.(2019·潍坊)下列因式分解正确的是()A．)2(36322ax ax ax ax -=-B．))((22y x y x y x --+-=+C．222)2(42b a b ab a +=-+ D.22)1(2--=-+-x a a ax ax 2.因式分解（1）())2(2y x x y x +-+=________（2）()9)(62+-+-x y y x =________（3）44922---y y x =______________（4）a ax ax 672+-＝___________________（5）(2017·潍坊))2(22-+-x x x ＝___________________【探究生成】整式的运算的一般思路和注意事项有哪些？整式的乘除运算与因式分解的关系是什么？活动二：探究分式的运算问题1：分式的概念及基本性质1.若x，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A.2+KB.22C .2332D.22（K ）22.x 的值是（）A.±1B.1C.-1D.不存在问题2：分式的运算1.若411=-b a ，则abb a b ab a 722+---的值_________.2.分式的化简（1）122−9+2K3（2）ab ba b a b a ----+223113（3）2226934x x x x x +-+⋅--（4）xxx x x x x +-⋅-+÷+--1111121223.分式的化简求值（1）(2019·河南)先化简，再求值：44212122+--÷--+x x x x x x ）（其中3=x .(2)课堂上，老师给出这样一道题，当x ＝3、725－、37+时，求代数式1121111222+--+÷++÷-x xx x x x x 的值，小明看了觉得太复杂了，你能解决这个问题吗？请写出具体过程.【探究生成】分式运算的一般思路是什么？注意事项有哪些？活动三：探究二次根式的运算问题1：二次根式的概念及基本性质1.实数a、b 在数轴上的位置如图所示，化简（+1）2+（−1）2-（−）2的结果是（）A.-2B.0C.-2aD.2b2.直线l ：()23-+-=n x m y （m 、n 是常数）的图像如图所示，化简:−−2−4+4−−1.问题2：二次根式的运算1.（2014聊城）下列计算正确的是（）A.23×33=63B.2+3=5C.55-22=33D.2÷3=632.计算：（1）27135.07523221-+-（2）755.02713311232+++-xol（3）48÷3－12×12＋24.（4）(12)－2－6sin30°－(17－5)0＋2＋|2－3|.3.先化简，再求值1−2r 2K1-,其中=4.121=+a a ,当0<<1时，aa 1-=__________【探究生成】1.二次根式的运算的一般思路是什么？注意事项有哪些？2.整式、分式、二次根式的运算过程一般思路方法、注意事项以及三类运算之间的内在联系是什么？活动四：探究数与式的综合运算分析问题1：数与式综合分析（12103时，小亮的计算过程如下：2103=41627316+-+=-2=-小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①~③的格式写在横线上，并依次标注序号：1224-=；②10(1)1-=-；③|6|6-=-；．请写出正确的计算过程．（2）先化简，再求值：22213()369x x x x x x --⋅-++，其中x 是方程2230x x --=的根．问题2：数与式规律探索1.观察下列各式：a 1＝21，a 2＝43，a 3＝85，a 4＝167，a 5＝329，…，根据其中的规律可得a n ＝（用含n 的式子表示）．（A 层延伸拓展）观察下列一组数：1=13,2=35,3=69,4=1017,5=1533,...,它们是按一定规律排列的，利用其中的规律，第n 个数_____=n a 【公示提示：1+2+3+4+⋯+=or1)2】2.如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.表中两平行线之间的一列数:1,3,6,10,15，…，我们把第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ,…，第n 个数记为n a ，则___2004=+a a 222166410（1）第6个数是，第10个数是问题3：定义新运算1.用“㊣”定义新运算，对于任意实数ab 都有a ㊣b =12+b ，例如7㊣4=42＋1=17，那么5㊣3=_________，当m 为实数时，m ㊣(m ㊣2)=_________。
华师大初中数学总复习教案——数与式
第一局部：数与式第一课时实数的有关概念【知识点】有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值【课程标准要求】1．使学生复习稳固有理数、实数的有关概念．2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。
3．会求一个数的相反数和绝对值，会比拟实数的大小4．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比拟大小。
【考察重点】1、有理数、无理数、实数、非负数概念；2、相反数、倒数、数的绝对值概念；3、在中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。
实数的有关概念(1)实数的组成(2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，(3)相反数实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反效是零)．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．(4)绝对值从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离(5)倒数1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；实数a(a≠0)的倒数是a零没有倒数．【考察题型】以填空和选择题为主。
一、解题指导1．以下语句正确的选项是〔〕〔A〕无尽小数都是无理数〔B〕无理数都是无尽小数〔C〕带拫号的数都是无理数〔D〕不带拫号的数一定不是无理数。
2．和数轴上的点一一对应的数是〔〕〔A〕整数〔B〕有理数〔C〕无理数〔D〕实数3．零是〔〕〔A〕最小的有理数〔B〕绝对值最小的实数〔C〕最小的自然数 〔D 〕最小的整数4.如果a 是实数，以下四种说法：〔1〕ａ2和｜ａ｜都是正数，〔2〕｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，〔3〕ａ的倒数是1a ，〔4〕ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，其中正确的选项是〔 〕 〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕35．比拟以下各组数的大小：〔1〕34 45 (2) 323 12(3)a<b<0时, 1a 1b 6．假设a,b 满足|4-a 2|+a+b a+2 =0,那么2a+3b a的值是 7．实数a,b,c 在数轴上的对应点如图，其中O 是原点，且|a|=|c|（1） 判定a+b, a+c, c-b 的符号（2） 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|8．数轴上点A 表示数－1，假设AB ＝3，那么点B 所表示的数为9．x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x ，－x ，－|y|，y 。
初三数学数与式总复习教案
3、实数 在数轴上对应点的位置如图2所示，下列式子中正确的有
① ② ③ ④
A.1个B.2个C.3个D.4个
考点3平方根与算术平方根
【知识要点】
1.若 ，则 叫 做的_________，记作______；正数 的__________叫做算术平方根，0的算术平方根是____。当 时， 的算术平方根记作__________。
学科
数学
备课教师
熊老师
授课日期
4.11
课题
数与式总复习
课时
2
教学目标
1、对实数板块的相关内容作复习；
2、对整式、分式的四则运算作总复习；
3、对中考的这部分题型作全面的了解；
重点难点
1.二次根式；
2.整式乘除与因式分解；
3.分式；
教具
学具
复习资料
板
书
设
计
预习要求
教师、学生活动内容、方式
数与式专题复习教学案
2、下列分式是最简分式的是（）
A. B. C. D
3．（四川内江）化简： ．
4．（重庆）先化简，再求值： ，其中 ．
练习
一、选择题
之相关的结果个数约为12 500 000，这个数用科学记数法表示为()
A．1.25×105B．1.25×106C．1.25×107D. 1.25×108
9．要使式子 有意义，则a的取值范围为_________．
10．分式方程 的解为________．
11．分解因式：2x2－8＝________.
三、解答题
12．(1)计算： ；
(2)已知 ＝1，求 ＋x－1的值．
13．先化简，再求值：(a＋2)(a－2)＋a(1－a)，其中a＝5.
中考数学数与式复习教案
中考数学数与式复习教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2第一篇 数与式专题一 实数一、中考要求：1．在经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律的过程；从事借助计算器探索数学规律的活动中，发展同学们的抽象概括能力，并在活动中进一步发展独立思考、合作交流的意识和能力．2．结合具体情境，理解估算的意义，掌握估算的方法，发展数感和估算能力．3．了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会用根号表示并会求数的平方根、立方根；能进行有关实数的简单四则运算．4．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用意识，发展解决问题的能力，从中体会数学的应用价值． 二、中考热点：本章多考查平方根、立方根、二次根式的有关运算以及实数的有关概念，另外还有一类新情境下的探索性、开放性问题也是本章的热点考题． 三、考点扫描 1、实数的分类：实数0⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩正实数有理数或无理数负实数2、实数和数轴上的点是一一对应的．3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．若a 、b 互为相反数，则a+b=0，1-=ab （a 、b ≠0）4、绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a5、近似数和有效数字；6、科学记数法；7、整指数幂的运算：()()mm m mn nmn m n m b a ab a a a a a ⋅===⋅+,, （a ≠0）负整指数幂的性质：pp pa a a⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11零整指数幂的性质：10=a （a ≠0）8、实数的开方运算：()aa a a a =≥=22;0)(9、实数的混合运算顺序*10、无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数如1．414141···(41 无限循环）；（2）带根号的数是3）两个无理数的和、差、理数，但它们的积却是有理数；（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一个唯一位把它找出来，其他的无理数也是如此． *11、实数的大小比较： (1).数形结合法(2).作差法比较 (3).作商法比较 (4).倒数法: 如6756--与(5).平方法 四、考点训练1、（2005、杭州，3分）有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－17 是17的平方根，其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2那么x 取值范围是（）A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞23、－8的立方根与16的平方根的和为（）A．2 B．0 C．2或一4 D．0或－44、若2m －4与3m－1是同一个数的平方根，则m为（）A．－3 B．1 C．－3或1 D．－15、若实数a和 b满足 b=a+5 +-a-5 ,则ab的值等于_______6、在 3 － 2 的相反数是________，绝对值是______.7、81 的平方根是（）A．9 B．9 C．±9 D．±38、若实数满足|x|+x=0, 则x是（）A．零或负数 B．非负数 C．非零实数D.负数五、例题剖析1、设a= 3 － 2 ，b=2－ 3 ，c= 5 －1,则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B、a＞c＞bC．c＞b＞a D．b＞c＞a2、若化简|1－x|－2x-8x+162x-5的结果是，则x的取值范围是（）A．X为任意实数 B．1≤X≤4C．x≥1 D．x＜43、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+21-2a+a其中a=9时”，得出了不同的答案，小明的解答：原式=a+21-2a+a= a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a－1)=2a－1=2×9－1=17⑴___________是错误的；⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________4、计算：20012002(2-3)(2+3)5、我国1990年的人口出生数为23784659人。
中考数学复习数与式时实数及其运算教案
第一单元数与式第一课时实数及其运算3.教课目的4.【考试目标】5.1．理解有理数、无理数和实数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小．6.2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值，知道 |a|7.的含义．8.3．认识乘方与开方互为逆运算，理解平方根、算术平方根、立方根的观点，会求一个数的9.算术平方根、平方根、立方根．10.4．认识近似数的观点，在解决实质问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对11.结果取近似值．12.5．娴熟掌握实数加、减、乘、除、乘方及简单的混淆运算(以三步之内为主)，会用各样方13.法比较两个实数的大小，能运用实数的运算解决简单的实质问题．14.【命题趋向】15.实数及其运算是中学数学重要的基础知识，中考取多以选择题、填空题和简单的计算题的形16.式出现，主要考察基本观点、基本技术以及基本的数学思想方法．17.1．实数的有关观点和运算．如对相反数、绝对值、倒数、用数轴比较大小及实数运算等知18.识点直接考察．19.2．出题灵巧多变，照实数的运算和对数轴的理解，联合丰富多彩的问题情境，运算量一般20.较小，但对运算理解的考查力度较大，较好地表现了新课标的基本理念．21.3．主要表现的思想方法：转变的思想、分类议论的思想、数形联合的思想等．22.【感情培育】23.培育数形联合、分类议论以及归化的思想，培育察看、推理、剖析能力.24.【教课要点】25. 1.理解并掌握实数的有关观点（数轴、相反数、倒数、绝对值）.26. 2.掌握实数的两种分类方法，关于给定一个实数能够判断出它是哪一种实数 .27.理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方以及简单的混淆运算（以三步为主）.28.掌握实数大小的比较方法，而且能够娴熟应用.29.认识并掌握用科学计数法表示实数的方法.1教课过程一、知识系统图引入，引起思虑经过上述知识系统图，复习回首实数的有关知识，为本节课的学习打下基础.二、引入真题，稳固知识【例1】（2014年河北）-2是2的（B）A. 倒数B. 相反数C. 绝对值D. 平方根【分析】本题考察的是对实数有关观点的理解 .乘积是1的两个数互为倒数，因此A选项错误；绝对值是非负实数， -2＜0因此C错误；平方根也是非负实数，因此D选项不正确；实数a的相反数是-a，零的相反数是零，若a、b互为相反数，则a+b=0.因此B选项正确.【考点】本题考察的是对实数有关观点的理解与应用，娴熟掌握实数的有关观点本题不难解出.【例 2】（2015年金华）如图，数轴A，B，C，D四点中，与表示的点最靠近的是（B）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D【分析】因为1＜3＜4，因此，又因为3离4较近，故离2较近，∴-2＜- ＜-1，且- 距离-2较近，应选择 B.2【考点】本题考察了利用数轴估量无理数的地点范围，是数轴与实数大小的比较以及无理数的估量的联合.【例3】（2014年合肥模拟）实数π，，0，-1中，无理数是（A）A.πB.【分析】判断一个数能否是无理数，要点看它能否能写成无穷不循环小数，初中常有的无理数分为三类：（1）简化后含π（圆周率）的式子；（2）含根号且开不尽方的数；（3）有规律但不循环的无穷小数.掌握常有无理数的种类，有助于辨别无理数.【考点】主要考察了实数的分类以及无理数的鉴别.【例4】（2014年河北）a，b是两个连续整数，若a＜＜b，则a，b分别是（A）A.2,3 B.3,2 C.3,4 D.6,8【分析】4＜7＜9，∵22=4，32=9，∴2＜＜3，因此选A.【考点】考察了实数大小的比较以及无理数的估量.【例5】（2015年江西）2015年初，一列CRH5型高速车组进行了“300000公里正线营运查核”，标记着中国高铁车从“中国制造”到“中国创新”的飞腾.将数300000用科学计数法表示为（B）×106×105×106×104【分析】本题考察了科学计数法的表示方法.科学计数法的表示形式为a×10?的形式，此中1≤丨a丨＜10，n为整数，表示时要点要正确确立a的值以及n的值.【考点】本题考察了科学计数法的理解与应用.【例6】（2014年重庆）计算：解：原式=2+9-1×4+6=11-4+6=13【分析】实数运算要严格依据法例进行，特别是混淆运算，注意符号温次序是特别重要的．【考点】考察了实数的运算，加、减、乘、除、乘方的混淆运算.三、师生互动，总结知识先小组内沟通收获和感想，尔后以小组为单位派代表进行总结.教师作以增补.课后作业部署作业：同步导练教课反省学生对实数的有关观点等理解的特别好，可是关于实数大小的比较以及实数的运算还需要多加练习.3。
中考总复习数与式教案
中考总复习数与式教案一、教学目标1.理解数与式的关系，熟练运用数与式的基本概念和性质。
2.能够根据实际问题抽象出相应的数与式，并进行简单的计算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1.数与式的基本概念和性质。
2.数与式的运算。
3.数与式在实际问题中的应用。
三、教学重点1.数与式的基本概念和性质。
2.数与式的运算。
四、教学难点1.数与式的应用问题转化。
2.数与式的运算规则。
五、教学过程第一节：数与式的基本概念和性质（30分钟）1.定义数和式的概念，让学生通过实际例子理解并举例说明。
2.引导学生发现数与式的特点和区别。
3.分析并讨论数和式的性质，强调数与式之间的相互关系和运算规则。
第二节：数与式的运算（40分钟）1.讲解数与式的加减运算规则，引导学生通过例题掌握运算方法。
2.讲解数与式的乘法运算规则，引导学生通过例题掌握运算方法。
3.讲解数与式的除法运算规则，引导学生通过例题掌握运算方法。
4.综合练习，巩固运算技巧。
第三节：数与式的应用（50分钟）1.提供一些实际问题，并引导学生抽象成相应的数与式。
2.通过实际问题解答，引导学生运用数与式的知识思考解决办法。
3.学生自主解决实际问题，老师进行讲评。
六、课堂练习1.抽取一些简单的数与式的计算题，让学生进行练习。
2.提供一些应用题目，让学生进行解答和思考。
七、课堂小结通过本节课的学习，学生能够理解数与式的基本概念和性质，掌握数与式的运算方法，并能将数与式应用于实际问题的解答中。
八、作业1.完成课堂练习的题目。
2.准备模拟考试试题，以检测自己对数与式知识的掌握程度。
九、教学反思通过本节课的教学，学生对数与式的基本概念和性质有了初步的了解，运算方法也能够应用到简单的题目中。
但是仍然有部分学生对应用题的解法有困难，需要进一步加强训练与引导，提高学生的解决实际问题的能力。
同时，下一节课可以适当增加一些更复杂的运算题目和应用题目，提高教学的难度和学生的综合素质。
中考复习数与式教案
课题 数与式复习 课型 复习 授课时间 NO中考要求1．在经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律的过程；从事借助计算器探索数学规律的活动中，发展同学们的抽象概括能力，并在活动中进一步发展独立思考、合作交流的意识和能力．2．结合具体情境，理解估算的意义，掌握估算的方法，发展数感和估算能力．3．了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会用根号表示并会求数的平方根、立方根；能进行有关实数的简单四则运算．4．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用意识，发展解决问题的能力，从中体会数学的应用价值中考热点本章多考查平方根、立方根、二次根式的有关运算以及实数的有关概念，另外还有一类新情境下的探索性、开放性问题也是本章的热点考题课程目标 1.知识与能力:掌握实数部分的基础概念,公式和法则并能达到熟练计算和应用2..过程与方法:能过对实数部分的复习,让学生对三年来的知识形成的框架,建构数学模形3..情感与价值观:感觉数形结合思想与分类讨论思想在数与式一部分的应用学习重点 对于基本概念的明确.学习难点 能过与实数部分的复习,探索规律性问题 教具准备 学案卷学 习 过 程学习内容学习形式教师指导 时间(一)相反数、倒数、绝对值与数轴1、 若0≠a ，则它的相反数是______，它的倒数是______。
0的相反数是______。
2、 一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是______；0的绝对值是____。
⎩⎨⎧<≥=)0____()0____(||x x x 3、一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与______的距离。
(二)平方根、算术平方根、立方根8的平方根是__，16的平方根是_____，5的算术平方根是__1/3的倒数是__，4的算术平方根是___，-5绝对值是_____已知2(12)322-=-的算术平方根是____-8的立方根是___三实数 估计10的值在______(四)科学计数法与近似数地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为（A ．0.64×107B ．6.4×106C ．64×105D ．640×104对实数部分的相关概念逐一回忆过关,形成知识框架引导学生回忆各知识点的注意事项,通过练习巩固基础10学习内容学习形式 教师指导 时间【典型考题】1、 把下列各数填入相应的集合内：51.0,25.0,,8,32,138,4,15,5.73 π- 有理数集{ }，无理数集{ } 正实数集{ }2、 271,27,64,12,0,23,43--中，共有___个无理数3、 4,45sin ,32,14.3,3︒--中，无理数的个数是_______4、 写出一个无理数________，使它与2的积是有理数1、 据生物学统计，一个健康的成年女子体内每毫升血液中红细胞的数量约为420万个，用科学计算法可以表示为_____2、 由四舍五入得到的近似数0.5600的有效数字的个数是__，精确度是___ 3、 用小数表示：5107-⨯＝____ 1、若x ＞0，y ＜0，求|y|+|x-y+2|-|y-x-3|的值．2、2已知|-x+7|与|-2y-1|互为相反数，求2y −27x 的值3、1）|21|)32004(21)2(02---+- 4、2）︒⋅+++-30cos 2)21()21(10列举各年中考中有关关实数部分的相关考题,感觉中考的考试方向和难易程度组内互助,查漏补缺通过巡视批改发现学生的不足,排查不过关的知识点和学生,关注目标生完成小组间的指导批改点拔工作15分13分 2分当堂检测 中考全面复习检测作业布置必做：学案完成选做：二次函数综合问题 板书设计课后反思。
专题1数与式-中考数学冲刺复习教学案
一对一个性化辅导教案学生年级初三科目数学次数教师日期时段课题中考冲刺——数与式本堂课目标1.掌握实数运算及概念；2.了解代数式、整式，掌握其性质及运算法则；教学步骤及教学内容一、实数的分类1.定义分类：正负分类：注：无理数的三种常见形式：①开方开不尽的数（如3432，，），②无限不循环小数，③含有 的数，④某些三角函数的值（如sin45°，较发则进行比较,并能估计无理数的大致范围. 【解】 有理数集合无理数集合 8- ，3π…8-<4-<21--<︒30sin <3π<2.【说明】①实数的分类和大小比较要看它化简的结果，但结果应保留原有形式；如︒30sin =21,4-=2-,21--=21-.②实数的大小比较还可借助于数轴直观地进行比较. 2.已知：23(2)30a b a -++==0，求ba 11+的相反数的倒数.【分析】两个非负数的和为零，即组成算式的每一部分均为零，由此可求出a 、b 的值. 【解】 由题意得 2a -b =0 解得a =-3,b =-63+a =0∴b a 11+=-216131-=-，它的相反数为21.它的相反数的倒数是2.【说明】完全平方式和绝对值均为非负数，要充分理解其意义，并运用这一特征解题，本题涉及到的概念较多，有相反数、倒数、绝对值等.3.38的算术平方根是 ( ) A ．2 B ．±2 C ．2 D ．±22,︒30sin ,21--,4-…负整数指数幂：p p a 1a =-，特别地a1a 1=- -1的奇偶次幂：-1的奇数次幂为-1，-1的偶数次幂为1.3. 实数运算顺序：先乘方、开方，然后乘除，最后加减，同级运算从左到右依次进行，有括号的先算括号里面的。
4. 有理数运算律加法交换律 a+b=b+a 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律 ab=ba 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 分配律 a(b+c ）=ab+ac（1）)5.1(21)32()211()32(222-÷----⨯；（2）0112007212-30cos 3）（）（-⨯+--︒． 【分析】（1）式中因为94)5.1(1)32()32(222=-=-=，所以可提取94再进行运算； （2）式中将各部分分别求值，再将他们求和． 【解】（1）)5.1(21)32()211()32(222-÷----⨯43414()92929431(1)9224(2)989=⨯--+⨯=⨯--+=⨯-=-（2）0112007212-30cos 3）（）（-⨯+--︒ 2512121233=⨯++⨯=【说明】正确进行实数的运算是基本要求，其中涉及到实数的运算法则、幂的运算、特殊三角函数值的计算等． ⑴)3)(3(c b a c b a -+-++-； ⑵22211111()()()42424x x x x x -++-+．【分析】（1）中可将b a 3+-看作一个整体，先用平方差公式,再用完全平方公式进行运算；⑵中先将412-x 化为)21)(21(-+x x ，再用乘法公式运算更加方便，“先退后进”是一种思想方法．【解】⑴原式=2222296)3(c b ab a c a b -+-=--．⑵原式=)4121)(21)(4121)(21(22+-+++-x x x x x x=641)81)(81(633-=+-x x x ．【说明】整式运算时要注意能灵活运用乘法公式． 三、代数式及整式的概念代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。
中考总复习《数与式》教案
中考总复习教案第一章数与式第一课时实数教学目的1．理解有理数的意义，了解无理数等概念．2．能用数轴上的点表示有理数，掌握相反数的性质，会求实数的绝对值．3．会用科学记数法表示数．4．会比较实数的大小，会利用绝对值知识解决简单化简问题．5．掌握有理数的运算法则，并能灵活的运用．教学重点与难点重点：数轴、绝对值等概念及其运用，有理数的运算．难点：利用绝对值知识解决简单化简问题，实数的大小比较．教学方法：用例习题串知识（复习时要注意知识综合性的复习）．教学过程（一）知识梳理1．比较大小念平方根、算术平方根概绝对值相反数数轴实数的分类实数2．科学记数法运算律乘方、开方乘、除法加、减法法则实数的运算（二）例习题讲解与练习例1在3.14，1-5，0，2，cos30°，722，38，0.2020020002…（数字2后面“0”的个数逐次多一个）这八个数中，哪些是有理数？哪些是无理数？（考查的知识点：有理数、实数等概念．考查层次：易）（最基本的知识，由学生口答，师生共同归纳、小结）【归纳】：（1）整数与分数统称为有理数（强调数字0的特点）；无限不循环小数是无理数．注意：常见的无理数有三类①π，…②3，5，…，（38不是无理数）③0.1010010001…（数字1后面“0”的个数逐次多一个）．（2）一个无理数加、减、乘、除一个有理数（0除外）仍是无理数（2是无理数）．注：此题可以以其它形式出现，如练习题中2或12题等例2 （1）已知a-2与2a+1互为相反数，求a 的值；（2）若x 、y 是实数，且满足(x -2)2+3yx =0，求(x+y)2的值．（考查的知识点：相反数的性质、二次根式的性质、非负数等概念．考查层次：易）（这是基础知识，由学生解答，老师总结）【总结】：（1）对于一个具体的数，要会求它的相反数（倒数、绝对值、平方根与算术平方根），对于一个代数式，也要会求它的相反数．解答是要注意从概念中蕴涵的数学关系入手：a 、b 互为相反数a+b=0；a 、b 互为倒数a ·b=1．（2）非负数概念：例3 （1）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为-3，则A 与B 两点间的距离可表示为________________．（2）实数a 、b 在数轴上分别对应的点的位置如图所示，请比较a ，-b ，a-b ，a+b 的大小（用“<”号连接）___________________．（3）①化简5_________；②347=__________；③估计215与0.5的大小关系是2150.5（填“ > ”、“=”、“<”）．（答案：（1）3x；（2）a+b<a<-b<a-b ；（3）①7；②347；③>）（考查的知识点：数轴、绝对值、比较大小等概念，无理数的估算、有理数的运算法则等．考查层次：中）（这是一组较为基础的题，（1）与（2）题注意数形结合，（3）题注意讲解无理数与有理数大小比较的方法，由学生探讨，老师适当的点拨、总结、归纳，）【归纳】：（1）问题（1）若数轴上的点A 表示的数为x 1，点B 表示的数为x 2，则A 与B 两点间的距离可表示为AB=12x x ，要会由数轴上两点间的距离，上升到坐标平面内两点间的距离（例如练习第10题）——数形结合．（2）问题（2）应先由数轴判断字母所表示的数的符号及绝对值的大小关系，再紧扣实数运算法则进行解答．（3）绝对值的意义：（4）估算一个无理数的方法：平方法、被开方数法．（5）比较大小的方法：数轴图示法、作差法、平方法，其中第（2）小题还可以采用赋值法．练习一：1．21的相反数是_____；-3的倒数是_____；-5的绝对值是_____；9的算术平方根是____；-8的立方根是____．2．有四张不透明的卡片如图，它们除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为．3．下列各式中正确的是（）A ．2)2(2B ．2121C ．22D ．21216．比较大小（用“＞”、“＝”或“＜”号填空）：（1）-97-54；（2）725．8．实数a b ，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（）A ．a bB ．a bC ．-a > bD ．a b9．如图，梯形ABCD 的面积是_________．2题图ab8题图9题图10．若23(1)0m n ，则m n 的值为．11．已知|x|＝3，|y|＝2，且xy ＜0，则x ＋y 的值等于（）A ．1或－1B ．5或－5C ．5或1D ．－5或－1 12．在等式3×-2×=15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且使等式仍然成立，则第一个方格内的数为_____．14．如图，有四张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录数字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，记录数字．试用列表或画树状图的方法，求出的两张卡片上的数字都是正数的概率．（答案：1．略2．213．D 4．(1)略（2）0 5．C6．（1）> （2）< 7．B 8．C 9．9 10．2 11．A 12．3 13．C 14．41）例4（1）用科学记数法表示2009000=_________，将其数字精确到万位的近似数为_________；（2）用科学记数法表示0.000396 =________，将其数字保留两位有效数字的近似数为_________．（考查的知识点：近似数和有效数字概念，用科学记数法表示数．考查层次：易）（帮着学生回忆科学记数法等概念，这是基础知识，由学生口答，师生共同归纳、小结）【归纳】：（1）科学记数法：（2）保留有效数字时取近似数的方法：例5 计算下列各题：（1）685.3685.1431616148；（答案：-13）（2）)3(31)3(3322；（答案：-87）（3）345tan 1231211．（答案：352）（考查的知识点：实数的运算法则、运算律等．考查层次：易）（这是基础题，让学生独立完成——要保证计算的准确率，由学生归纳、小结）【说明】：（1）巧用运算律：第一小题前面可用分配律，后面可逆用分配律；（2）第二小题注意运算顺序及-32和(-3)2的区别；（3）第一小题注意0指数与负指数的特性；（4）注意每一步运算时，应先确定符号，后计算绝对值；（5）强调书写的运算步骤．※例6 （找数字规律的题）根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空．背面正面53-3【答案】【说明】：探究数式、图表规律是近几年中考的热门题型，解题时应注意观察，通过对数字之间关系的分析，探索数字的规律．练习二：（供选用）1．一天早晨的气温是7℃，中午的气温比早晨上升了11℃，中午的气温是（）A ．11℃B ．4℃C ．18℃D ．11℃2．下列四个运算中，结果最小的是（）A ．1+ (-2)B ．1- (-2)C ．1×(-2)D ．1 ÷(-2)3．下列等式正确的是（）A ．3(1)1B ．2222C ．236(2)(2)2D ．0(4)14．下列运算的结果中，是正数的是（）A ．12007B ．20071C ．12007D ．200720075．（1）我国淡水面积大约为66 000千米2，用科学记数法表示数字66 000=．（2）蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，蜂房的巢壁厚约0.000073米，用科学记数法表示数字0.000073=___________．（3）某市在今年2月份突遇大风雪灾害性天气，造成直接经济损失5000万元.数字5000用科学记数法表示为（）A ．5000B ．5102C ．5103D ．51046．通过四舍五入得到的近似值3.56万精确到（）A ．百分位B ．百位C ．千位D ．万位7．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径约为 6.71×103千米，总航程约为(π取3.14，保留3个有效数字) ()A ．5.90 ×105千米B ．5.90 ×106千米C ．5.89 ×105千米D ．5.89×106千米8．根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为1，则输出y 的值为．9．计算机兴趣小组设计了一个计算程序，部分数据如下表：输入数据 (1)234...输出数据 (3)192273814…当输入数据为6时，输出数据是．10．计算：(1)1212008312；(2)14145cos 2018；（3）224)4(163343263221；1 233 415 5 6 358输入x 输出y平方乘以2减去4若结果大于0否则（答案：1．B 2．C 3．D 4．C 5．（1）6.6104（2）7.310-5（3）C 6．B 7．A 8．49．729610．（1）133；（2）322；（3）-6；）自我检测题：（供选用）1．在实数sin30，2,0,,4,0.101001000133（每两个1之间依次多1个0）这六个数中，无理数是____________________________________．2．16的平方根是（）A ．4B ．±4C ．-4D ．±83．实数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1 的大小关系正确的是（）A ．-a < a <1B ． a < -a <1C ．1< -a < aD ． a < 1 < -a4．下列各等式正确的是（）A ．33B ．2233C ．39D ．32735．如图，数轴上点A 表示的数可能是（）A ．22B ．5C ．10D ．156．如图，点A B ，在数轴上对应的实数分别为m n ，，则A B ，两点间的距离是．（用含m n ，的式子表示）7．（1）用科学记数法表示0.0032为（）A ．32102.B ．32103.C ．32104D ．032102.（2）下列用科学记数法表示2009 (保留两个有效数字)，正确的是（）A ．2.0×103B ．2.01×103C ．2.0×104D ．0.20×1048．2ab 与1b 互为相反数，则2b a 的值是________．9．一个数表如下（表中下一行的数的个数是上一行中数的各数的2倍）：第1行 1 第2行 2 3 第3行 4 5 6 7……则第6行中的最后一个数为（）A ．31 B ．49C ．63D ．12710．计算：（1）60cos 2)3(2131；（2）81923)23(878．（答案：1．3、-0.1010010001…2．B 3．D 4．D 5．C 6．n-m 或：|m-n|7．（1）B（2）A8．9 10．（1）-5；（2）414 ）ABmnx6题图5题图3题图第二课时整式与因式分解教学目的1．能用幂的性质解决简单问题，会进行简单的整式乘法与加法的混合运算．2．能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算．3．了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解．4．能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值．5．会列代数式表示简单的数量关系；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，会求代数式的值，并能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律．教学重点与难点重点：整式运算（幂的性质和乘法公式）、因式分解．难点：列代数式及代数式的变形．教学方法：讲练结合、适时点拨，注意归纳和总结．教学过程（一）知识梳理1．无理式分式多项式单项式整式有理式代数式2．乘法公式幂的运算乘除去括号、合并同类项—加减运算多项式单项式概念整式3．整式乘法互为逆运算因式分解公式法提公因式法（二）例习题讲解与练习例1（1）在下列所给的运算中，正确的都是（写序号）______________________________．① a 3+a 3= a 6② a+2a=3a ③ a 4?a 3 = a7④a?a 3= a3⑤a 3÷a 3= a3⑥ (a 3)2= a6⑦ (2a)3=2a3⑧ (-ab 3)2= a 3b6（2）计算：①3a (2a 2-4a+3 ) - (6a 2+4a )÷2a ；（6a 3-12a 2+6a-2）②(x -2)2-[3 (2x+1) (2x -1) - (x+2) (x -1)] ；（-10x 2-3x+5）③已知a 与b-1互为相反数，求多项式 4 -[ 5 (a -2b) -3 (a+b) +15b ]的值．（提示：先化简多项式，再由已知得a+b=1后整体代入，计算结果值为2）（考查的知识点：整式运算——合并同类项、幂的性质和乘法公式等．考查层次：易）（这是一组基础题，目的是帮着学生回忆合并同类项法则、幂的性质和乘法公式，可由学生独立完成，学生归纳、小结）【说明】：（1）合并同类项、幂的性质和乘法公式是考点，要求学生熟练掌握；（2）整数指数幂的运算性质是整式运算的基础，容易混淆，特别注意几个易混的知识点；（3）其中（2）题中的③依据条件a 与b 的值是不可求的，所以应利用整体代入法求值，迅速简便．练习一：1．观察下列单项式：x ，-2x 2，4x 3，-8x 4，16x 5，…，按此规律写出第8个单项式是_________．2．若单项式22mx y 与313n x y 是同类项，则mn 的值是．3．下列运算正确的是（）A ．226()x x x B ．32()x xxC ．236(2)8x xD ．2224(2)2xx x4．若0a 且2xa，3ya，则x ya的值为（）A ．23B ．32C ．1D ．15．下列运算中正确的是（）A ．1055x2xxB ．(12x – 3y) (–12x +3y ) = 14x 2– 9y2C ．(– 2x 2y) 3·4x – 3= – 24x 3y3D ．- (-x )3 · (-x )5 = -x86．化简 a (a -2b) -(a-b)2=_______________．7．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a>b ）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A ．(a+b)2= a 2+2ab+b 2B ．(a-b)2= a 2-2ab+b2C ．a 2-b 2= (a+b) (a -b)2D ．(a+2b) (a-b) = a 2+ab-2b 28．已知240x，求代数式22(1)()7x x x xx x 的值．9．先化简，再求值：221[(2)(2)2(2)](),10,.25xy xy x yxy xy其中（答案：1．-128x82．D 3．54．C 5．A 6．D7．-b28．B9．10．C 11．-3 12．52)例2 分解因式：（1）x 3-9x ；（2）a 2b 2 +10ab 3 -25b 4；；（3）x 4-81．（10年中考）分解因式：m 24m=（3）．（08中考）分解因式：32aab．（4）（09年中考）. 把3222xx yxy 分解因式，结果正确的是A.x x y x y B.222x x xy yC.2x x yD.2x x y（考查的知识点：因式分解．考查层次：易）（这是一组基础题，要让学生必须掌握分解因式的方法，可由学生独立完成，教师引导学生归纳、小结）【说明】：（1）因式分解的步骤（先要提取公因式，然后考虑用公式）；（2）应该注意的几个问题：①如果多项式首项系数为负，一般要提出负号，使括号内的第一项系数为正；②要分解到每一个因式都再也不能分解为止；③如果有多项式乘方时，应注意规律：(b-a)2k= (a-b)2k；(b-a)2 k+1= (a-b)2 k+1．（k 为整数）aabbbab图2图1练习二：1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A ．ayax )y x (a B ．4)4x (x 4x4x2C ．)1x 2(x 5x5x102D ．x3)4x)(4x(x316x 22．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（）A ．x 3－x ＝x (x 2－1)B ．x 2－2xy ＋y 2 ＝(x －y)2C ．x 2y －xy 2＝xy (x －y)D ．x 2－y 2＝(x －y) (x ＋y)3．分解因式：（1）–3a 2+12b 2=________________；（2）. ax 2-4ax+4a= ；（3）2322a bbab =；（4）(x 2 +2x+1)-y 2=__________________；。
初三数学数与式教案6篇
初三数学数与式教案6篇初三数学数与式教案篇1了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用.复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其他的运用.重点中心对称图形的有关概念及其它们的运用.难点区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形.一、复习引入1.(老师口问)口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质?(老师口述)：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.关于中心对称的两个图形是全等图形.2.(学生活动)作图题.(1)作出线段ao关于o点的对称图形，如图所示.(2)作出三角形aob关于o点的对称图形，如图所示.延长ao使oc=ao，延长bo使od=bo，连接cd，则△cod即为所求，如图所示.二、探索新知从另一个角度看，上面的(1)题就是将线段ab绕它的中点旋转180°，因为oa=ob，所以，就是线段ab绕它的中点旋转180°后与它本身重合.上面的(2)题，连接ad，bc，则刚才的关于中心o对称的两个图形就成了平行四边形，如图所示.∵ao=oc，bo=od，∠aob=∠cod∴△aob≌△cod∴ab=cd也就是，abcd绕它的两条对角线交点o旋转180°后与它本身重合.因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.(学生活动)例1从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形.老师点评：老师边提问学生边解答的特点.(学生活动)例2请说出中心对称图形具有什么特点?老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳的特点.例3求证：如图，任何具有对称中心的四边形是平行四边形.分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分.证明：如图，o是四边形abcd的对称中心，根据中心对称性质，线段ac，bd点o，且ao=co，bo=do，即四边形abcd的对角线互相平分，因此，四边形abcd是平行四边形.三、课堂小结(学生归纳，老师点评)本节课应掌握：1.中心对称图形的有关概念;2.应用中心对称图形解决有关问题.四、作业布置教材第70页习题8，9，10.初三数学数与式教案篇2一、素质教育目标(一)知识教学点使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实.(二)能力训练点逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.(三)德育渗透点引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.二、教学重点、难点1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论.三、教学步骤(一)明确目标1.如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则a、b间距离为多少米?2.长5米的梯子以倾斜角∠cab为30°靠在墙上，则a、b间的距离为多少?3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则a、b间距离为多少?4.若长5米的梯子靠在墙上，使a、b间距为2米，则倾斜角∠cab为多少度?前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.通过四个例子引出课题.(二)整体感知1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值.学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长.2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗?这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知.(三)重点、难点的学习与目标完成过程1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢?学生这时的思维很活跃.对于这个问题，部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成.2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导：若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点a1，a2，a3重合在一起，记作a，并使直角边ac1，ac2，ac3……落在同一条直线上，则斜边ab1，ab2，ab3……落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗?引导学生独立证明：易知，b1c1∥b2c2∥b3c3……，∴△ab1c1∽△ab2c2∽△ab3c3∽……，∴形中，∠a的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值.通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透.而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计.这一设计同时起到培养学生思维能力的作用.练习题为作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来.(四)总结与扩展1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识.2.扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道.今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的.如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了.看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下.通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣.四、布置作业本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念.五、板书设计初三数学数与式教案篇3理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程.重点求根公式的推导和公式法的应用.难点一元二次方程求根公式的推导.一、复习引入1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x2=4(2)(x-2)2=7提问1这种解法的(理论)依据是什么?提问2这种解法的局限性是什么?(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程.)2.面对这种局限性，怎么办?(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式.)(学生活动)用配方法解方程2x2+3=7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评).(1)先将已知方程化为一般形式;(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边;(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式;(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±q;如果q二、探索新知用配方法解方程：(1)ax2-7x+3=0(2)ax2+bx+3=0如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.问题：已知ax2+bx+c=0(a≠0)，试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a(这个方程一定有解吗?什么情况下有解?)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解：移项，得：ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+bax=-ca配方，得：x2+bax+(b2a)2=-ca+(b2a)2即(x+b2a)2=b2-4ac4a2∵4a2>0，当b2-4ac≥0时，b2-4ac4a2≥0∴(x+b2a)2=(b2-4ac2a)2直接开平方，得：x+b2a=±b2-4ac2a即x=-b±b2-4ac2a∴x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a，b，c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根.(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解下列方程：(1)2x2-x-1=0(2)x2+1.5=-3x(3)x2-2x+12=0(4)4x2-3x+2=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.补：(5)(x-2)(3x-5)=0三、巩固练习教材第12页练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6).四、课堂小结本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程;(2)公式法的概念;(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0;2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号;3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解;4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果.(4)初步了解一元二次方程根的情况.五、作业布置教材第17页习题4初三数学数与式教案篇4一、内容简介本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。
中考复习数与代数教案
中考复习数与代数教案教案标题：中考复习数与代数教学目标：1. 熟悉中考数与代数知识点，包括数的性质、运算规则以及代数式的简化和解方程等。
2. 提高学生的数学运算能力和解题技巧，为中考数学顺利备考打下坚实基础。
教学内容：1. 数的性质与运算规则a. 整数的性质与运算规则b. 分数的性质与运算规则c. 百分数的性质与运算规则2. 代数式的简化与解方程a. 代数式的展开与合并同类项b. 一元一次方程的解法c. 一元一次方程组的解法教学步骤：第一步：导入与激发兴趣（5分钟）a. 利用生活中的实际问题引入数与代数的重要性和应用价值。
b. 通过一个趣味数学小游戏或问题激发学生的学习兴趣。
第二步：数的性质与运算规则（20分钟）a. 整数的性质与运算规则的复习与讲解，包括加法、减法、乘法、除法等。
b. 分数的性质与运算规则的复习与讲解，包括分数的加减乘除以及分数与整数的运算。
c. 百分数的性质与运算规则的复习与讲解，包括百分数的转化与运算。
第三步：代数式的简化与解方程（30分钟）a. 代数式的展开与合并同类项的复习与讲解，通过具体例子演示简化步骤。
b. 一元一次方程的解法的复习与讲解，包括加减消元法和代入法。
c. 一元一次方程组的解法的复习与讲解，通过实际问题引入方程组的概念，并演示解法步骤。
第四步：练习与巩固（25分钟）a. 分组或个人练习，提供一些中考相关的数与代数题目，让学生巩固所学知识。
b. 引导学生思考解题思路和方法，鼓励他们主动提问和讨论。
第五步：总结与拓展（10分钟）a. 对本节课所学的数与代数知识进行总结，强调重点和难点。
b. 提供一些延伸问题或拓展题目，激发学生的思维和探索能力。
教学资源：1. 中考数与代数相关教材或教辅资料2. 白板、彩色粉笔或白板笔3. 中考相关数与代数练习题教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和理解程度。
2. 练习题的完成情况和准确率。
3. 学生的提问和解题思路的质量。
浙教版中考复习教案之数与 式
第一篇 数与式专题一 实数三、考点扫描1、实数的分类：实数2、实数和数轴上的点是一一对应的．3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．若a、b互为相反数，则a+b=0， （a、b≠0）4、绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离5、近似数和有效数字；6、科学记数法；7、整指数幂的运算：（a≠0）负整指数幂的性质：零整指数幂的性质： （a≠0）8、实数的开方运算：9、实数的混合运算顺序*10、无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数如1．414141···(41无限循环）；（2）带根号的数是无理数如；（3）两个无理数的和、差、积、商也还是无理数，如都是无理数，但它们的积却是有理数；（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一个唯一位置，如，我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此．*11、实数的大小比较：(1).数形结合法(2).作差法比较(3).作商法比较(4).倒数法: 如(5).平方法四、考点训练1、（2005、杭州，3分）有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－是17的平方根，其中正确的有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2、如果那么x取值范围是（）A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞23、－8的立方根与的平方根的和为（ ）A．2 B．0 C．2或一4 D．0或－44、若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m为（ ）A．－3 B．1 C．－3或1 D．－15、若实数a和 b满足 b=+,则ab的值等于_______6、在－的相反数是________，绝对值是______.7、的平方根是（ ）A．9 B． C．±9 D．±38、若实数满足|x|+x=0, 则x是（ ）A．零或负数 B．非负数 C．非零实数D.负数五、例题剖析1、设a=－，b=2－，c=－1,则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B、a＞c＞bC．c＞b＞a D．b＞c＞a2、若化简|1－x|－，则x的取值范围是（）A．X为任意实数 B．1≤X≤4C．x≥1 D．x＜44、计算：5、我国1990年的人口出生数为23784659人。
中考数学数与式复习教案
中考数学数与式复习教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握实数、整数、分数、小数和百分数的定义及性质，能够熟练进行实数的混合运算；理解有理数的分类，掌握实数与数轴的关系。
2. 过程与方法：通过复习，提高学生对数与式的运算能力，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。
二、教学内容1. 实数的定义及性质2. 整数的定义及性质3. 分数的定义及性质4. 小数的定义及性质5. 百分数的定义及性质6. 有理数的分类7. 实数与数轴的关系三、教学重点与难点1. 教学重点：实数的混合运算，有理数的分类，实数与数轴的关系。
2. 教学难点：实数的混合运算，有理数的分类。
四、教学策略1. 采用讲解、示范、练习、讨论等多种教学方法，引导学生掌握数与式的相关知识。
2. 通过例题、习题的讲解，使学生熟悉并掌握实数的混合运算方法。
3. 利用数轴帮助学生理解实数与数轴的关系，加深对有理数的分类的认识。
五、教学评价1. 课堂练习：每节课安排适量的练习题，检测学生对当堂知识的掌握程度。
2. 课后作业：布置与本节课内容相关的作业，要求学生在规定时间内完成，培养学生的自主学习能力。
3. 单元测试：在每个章节结束后，进行单元测试，了解学生对知识的综合运用能力。
4. 期末考试：进行全面复习，检测学生对整个中考数学数与式复习教案的掌握程度。
六、教学过程1. 实数的定义及性质：引导学生回顾实数的定义，通过实例使学生理解实数的性质，如正负性、整数和分数的包含关系等。
2. 整数的定义及性质：让学生通过具体的例子，理解整数的性质，如加减乘除运算规则，以及整数的分类，如正整数、负整数和零。
3. 分数的定义及性质：回顾分数的定义，讲解分数的基本性质，如分数的加减乘除运算规则，以及分数与整数的关系。
4. 小数的定义及性质：让学生理解小数的意义，通过实例使学生熟悉小数的运算规则，以及小数与分数的联系。
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中考总复习教案 第一章 数与式《数与式》是初中数学的基础知识，是中考命题的重要内容之一，年年考查，北京近三年来在新课标中考试题中“数与式”部分的权重：35%左右，分量之中，不容忽视！一、本章知识要点与课时安排（大致安排五课时左右） （一） 实数（一课时）（二） 整式与因式分解（一至两课时） （三） 分式与二次根式（两课时）（四） 数式规律的探索（可以揉到前面几讲中去讲，也可以单设一课时）说明：您可以根据自己学生的学习程度，合理安排复习内容。
二、课时教案第一课时 实数教学目的1．理解有理数的意义，了解无理数等概念．2．能用数轴上的点表示有理数，掌握相反数的性质，会求实数的绝对值． 3．会用科学记数法表示数．4．会比较实数的大小，会利用绝对值知识解决简单化简问题． 5．掌握有理数的运算法则，并能灵活的运用． 教学重点与难点重点：数轴、绝对值等概念及其运用，有理数的运算．难点：利用绝对值知识解决简单化简问题，实数的大小比较． 教学方法：用例习题串知识（复习时要注意知识综合性的复习）． 教学过程（一）知识梳理1．⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧比较大小念平方根、算术平方根概绝对值相反数数轴实数的分类实数 2．⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧科学记数法运算律乘方、开方乘、除法加、减法法则实数的运算（二）例习题讲解与练习例1 在，1-5，0，2π，cos30°，722，38-，…（数字2后面“0”的个数逐次多一个）这八个数中，哪些是有理数哪些是无理数（考查的知识点：有理数、实数等概念． 考查层次：易）（最基本的知识，由学生口答，师生共同归纳、小结） 【归纳】：（1）整数与分数统称为有理数（强调数字0的特点）；无限不循环小数是无理数．注意：常见的无理数有三类①π，… ②3，5，… ， （38-不是无理数） ③…（数字1后面“0”的个数逐次多一个）．（2）一个无理数加、减、乘、除一个有理数（0除外）仍是无理数（2π是无理数）． 注：此题可以以其它形式出现，如练习题中2或12题等例2 （1）已知a-2与2a+1互为相反数，求a 的值；（2）若x 、y 是实数，且满足(x-2)2+3y x +-=0，求(x+y)2的值．（考查的知识点：相反数的性质、二次根式的性质、非负数等概念． 考查层次：易）（这是基础知识，由学生解答，老师总结） 【总结】：（1）对于一个具体的数，要会求它的相反数（倒数、绝对值、平方根与算术平方根），对于一个代数式，也要会求它的相反数．解答是要注意从概念中蕴涵的数学关系入手：a 、b 互为相反数⇔a+b=0；a 、b 互为倒数⇔a ·b=1．（2）非负数概念：例3 （1）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为-3，则A 与B 两点间的距离可表示为________________．（2）实数a 、b 在数轴上分别对应的点的位置如图所示，请比较a ，-b ，a-b ，a+b 的大小（用“<”号连接）___________________．（3）①化简=-π5_________；②347-=__________；③估计215-与的大小关系是215- （填“ > ”、“=”、“<”） ． （答案：（1）3x +；（2）a+b<a<-b<a-b ；（3）①7-π；②347-；③ >）（考查的知识点：数轴、绝对值、比较大小等概念，无理数的估算、有理数的运算法则等． 考查层次：中）（这是一组较为基础的题，（1）与（2）题注意数形结合，（3）题注意讲解无理数与有理数大小比较的方法，由学生探讨，老师适当的点拨、总结、归纳，）【归纳】：（1）问题（1）若数轴上的点A 表示的数为x 1，点B 表示的数为x 2，则A 与B 两点间的距离可表示为AB=12x x -，要会由数轴上两点间的距离，上升到坐标平面内两点间的距离（例如练习第10题）——数形结合．（2）问题（2）应先由数轴判断字母所表示的数的符号及绝对值的大小关系，再紧扣实数运算法则进行解答．（3）绝对值的意义：（4）估算一个无理数的方法：平方法、被开方数法．（5）比较大小的方法：数轴图示法、作差法、平方法，其中第（2）小题还可以采用赋值法． 练习一：（供选用）1．21的相反数是_____；-3的倒数是_____；-5的绝对值是_____；9的算术平方根是____；-8的立方根是____．2．有四张不透明的卡片如图，它们除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 ． 3．下列各式中正确的是（ ）2题图A ．2)2(2-=-B ．2121-=-C ．()()22--=-+D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2121 4．（1）写出一个小于2-的数： ；（2）绝对值小于5的所有整数的和是_____． 5．下表是我国几个城市某年一月份的平均气温，其中气温最低的城市是（ ）。
城市北京 武汉 哈尔滨 沈阳 平均气温(单位：℃)－－－A ．北京B ．武汉C ．哈尔滨D ．沈阳 6．比较大小（用“＞”、“＝”或“＜”号填空）：（1）-97 -54；（2）7 25． 7．数64的值在（ ）A ．8和9之间B ．9和10之间C ．10和11之间D ．11和12之间 8．实数a b ，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）A ．a b >B ．a b >-C ．-a > bD ．a b -<- 9．如图，梯形ABCD 的面积是_________．10．若23(1)0m n -++=，则m n +的值为．11．已知|x|＝3，|y|＝2，且xy ＜0，则x ＋y 的值等于（ ） A ．1或－1 B ．5或－5 C ．5或1 D ．－5或－112．在等式3×-2×=15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且使等式仍然成立，则第一个方格内的数为_____．13判断方程ax 2+bx+c =0 (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（ ） A ．3＜x ＜ B ．＜x ＜ C ．＜x ＜ D ． ＜x ＜14．如图，有四张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录数字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，记录数字．试用列表或画树状图的方法，求出的两张卡片上的数字都是正数的概率．（答案：1．略 2．213．D 4．(1)略 （2）0 5．C 6．（1）> （2）< 7．B 8．C 9．9 10．2 11．A 12．3 13．C 14．41） 例4 （1）用科学记数法表示2009000=_________，将其数字精确到万位的近似数为_________； （2）用科学记数法表示 =________，将其数字保留两位有效数字的近似数为_________． （考查的知识点：近似数和有效数字概念，用科学记数法表示数． 考查层次：易）（帮着学生回忆科学记数法等概念，这是基础知识，由学生口答，师生共同归纳、小结） 【归纳】：（1）科学记数法：xax 2+bx+c － －ab8题图9题图（2）保留有效数字时取近似数的方法：例5 计算下列各题：（1）685.3685.1431616148⨯+⨯-⎪⎭⎫⎝⎛+---； （答案：-13） （2）)3(31)3(3322-⨯÷-++-； （答案：-87）（3）345tan 12312110-︒-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--． （答案：352+）（考查的知识点：实数的运算法则、运算律等． 考查层次：易）（这是基础题，让学生独立完成——要保证计算的准确率，由学生归纳、小结） 【说明】：（1）巧用运算律：第一小题前面可用分配律，后面可逆用分配律；（2）第二小题注意运算顺序及-32和(-3)2的区别； （3）第一小题注意0指数与负指数的特性；（4）注意每一步运算时，应先确定符号，后计算绝对值； （5）强调书写的运算步骤．※ 例6 （找数字规律的题）根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空．【答案】【说明】：探究数式、图表规律是近几年中考的热门题型，解题时应注意观察，通过对数字之间关系的分析，探索数字的规律．练习二：（供选用） 1．一天早晨的气温是7-℃，中午的气温比早晨上升了11℃，中午的气温是（ ）A ．11℃B ．4℃C ．18℃D ．11-℃ 2．下列四个运算中，结果最小的是（ ）A ．1+ (-2)B ．1- (-2)C ．1×(-2)D ．1 ÷(-2) 3．下列等式正确的是（ ）A ．3(1)1--=B ．()2222-=- C ．236(2)(2)2-⨯-= D ．0(4)1-=4．下列运算的结果中，是正数的是（ ）A ．()12007-- B ．()20071- C ．()()12007-⨯- D ．()20072007-÷5．（1）我国淡水面积大约为66 000千米2，用科学记数法表示数字66 000= ．（2）蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，蜂房的巢壁厚约米，用科学记数法表示数字=___________． （3）某市在今年2月份突遇大风雪灾害性天气，造成直接经济损失5000万元.数字5000用科学记数法表示为（ ） A ．5000 B ．5102C ．5103D ．51046．通过四舍五入得到的近似值万精确到（ ）1 233 4 155 6 358A ．百分位B ．百位C ．千位D ．万位7．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径约为×103千米，总航程约为 (π取，保留3个有效数字) ( )A ． ×105千米 B ． ×106千米 C ． ×105千米 D ．×106千米 8．根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为 1，则输出y 的值为 ． 9．计算机兴趣小组设计了一个计算程序，部分数据如下表：输入数据 (1)234… 输出数据…3192 273 814 …当输入数据为6时，输出数据是 ． 10．计算：(1)()1212008312-⎪⎭⎫⎝⎛+---+； (2)()14145cos 2018-⎪⎭⎫⎝⎛+︒---π；（3）224)4(163343263221-⨯-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷--； （答案：1．B 2．C 3．D 4．C 5．（1）104（2）10-5（3）C 6．B 7．A 8．4 9．729610．（1）133+；（2）322+；（3）-6； ）自我检测题：（供选用） 1．在实数sin30︒，2,0,4,0.101001000133π--（每两个1之间依次多1个0）这六个数中，无理数是____________________________________． 2．16的平方根是（ ）A ．4B ．±4C ．-4D ．±83．实数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1 的大小关系正确的是（ ）A ．-a < a <1B ． a < -a <1C ． 1< -a < aD ． a < 1 < -a 4．下列各等式正确的是（ ）A ．33=--B ．()2233-=- C ．39±= D ．3273-=-5．如图，数轴上点A 表示的数可能是（ ）A ．22B ．5C ．10D ．15 6．如图，点A B ，在数轴上对应的实数分别为m n ，，则A B ，两点间的距离是 ．（用含m n ，的式子表示） 7．（1）用科学记数法表示为（ ）A ．32102.⨯- B ．32103.⨯- C ．32104⨯-D ．032102.⨯-输入x 输出y平方 乘以2 减去4若结果大于0否则AB m 0n x6题图5题图3题图（2）下列用科学记数法表示2009 (保留两个有效数字)，正确的是（ ）A ．×103B ．×103C ．×104D ．×104 8．2ab -与1b +互为相反数，则()2b a +的值是________．9．一个数表如下（表中下一行的数的个数是上一行中数的各数的2倍）：则第6 A ．31 B ．49 C ．63 D ．12710．计算：（1）︒--+⎪⎭⎫⎝⎛-----60cos 2)3(21301π；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-81923)23(878．（答案：1．3π、… 2．B 3．D 4．D 5．C 6．n-m 或：|m-n| 7．（1）B （2）A 8．9 10．（1）-5；（2）414 ）第二课时 整式与因式分解教学目的1．能用幂的性质解决简单问题，会进行简单的整式乘法与加法的混合运算． 2．能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算．3．了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解． 4．能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值． 5．会列代数式表示简单的数量关系；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，会求代数式的值，并能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律． 教学重点与难点重点：整式运算（幂的性质和乘法公式）、因式分解． 难点：列代数式及代数式的变形．教学方法：讲练结合、适时点拨，注意归纳和总结． 教学过程（一）知识梳理1．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式 2．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧乘法公式幂的运算乘除去括号、合并同类项—加减运算多项式单项式概念整式 3．整式乘法−−−−→←互为逆运算因式分解⎩⎨⎧公式法提公因式法（二）例习题讲解与练习例1 （1）在下列所给的运算中，正确的都是（写序号）______________________________．① a 3+a 3= a 6② a+2a=3a ③ a 4•a 3= a 7④a •a 3= a 3⑤a 3÷a 3= a 3⑥ (a 3)2= a 6⑦ (2a)3=2a 3⑧ (-ab 3)2= a 3b 6（2）计算：① 3a (2a 2-4a+3 ) - (6a 2+4a )÷2a ； （6a 3-12a 2+6a-2） ② (x -2)2-[3 (2x+1) (2x-1) - (x+2) (x-1)] ； （-10x 2-3x+5） ③已知a 与b-1互为相反数，求多项式4 -[ 5 (a -2b) -3 (a+b) +15b ]的值．（提示：先化简多项式，再由已知得a+b=1后整体代入，计算结果值为2）（考查的知识点：整式运算——合并同类项、幂的性质和乘法公式等． 考查层次：易） （这是一组基础题，目的是帮着学生回忆合并同类项法则、幂的性质和乘法公式，可由学生独立完成，学生归纳、小结） 【说明】：（1）合并同类项、幂的性质和乘法公式是考点，要求学生熟练掌握；（2）整数指数幂的运算性质是整式运算的基础，容易混淆，特别注意几个易混的知识点；（3）其中（2）题中的③依据条件a 与b 的值是不可求的，所以应利用整体代入法求值，迅速简便．练习一：（供选用）1．观察下列单项式：x ，-2x 2，4x 3，-8x 4，16x 5，…，按此规律写出第8个单项式是_________． 2．如图是一个正方体纸盒的平面展开图，其中的五个正方形内都有一个单项式，当折成正方体后，“”所表示的单项式与正对面正方形上的单项式是同类项，则“”代表的单项式可能是（ ） A ．a B ．c C ．d D ．e 3．若单项式22mx y 与313n x y -是同类项，则m n +的值是 ． 4．下列运算正确的是（ ）A ．226()x x x -⋅= B ．32()x x x -÷= C ．236(2)8x x = D ．2224(2)2x x x -=5．若0a >且2x a =，3y a =，则x y a -的值为（ ）A ．23 B ．32C ．1D ．1-6．下列运算中正确的是（ ）A ．1055x 2x x =+B ．(12 x – 3y) (– 12 x +3y ) = 14 x 2 – 9y 2C ．(– 2x 2y) 3·4x– 3= – 24x 3y 3D ．- (-x )3· (-x )5= -x 87．化简a (a-2b) -(a-b)2=_______________．8．现规定一种运算：a b=ab+a-b ，其中a 、b 为实数，则a b+(b-a)b 等于（ ） A ．a 2-b B ．b 2-b C ．b 2D ．b 2-a9．在五环图案内，分别填写五个数a b c d e ，，，，，如图， ，其中a b c ，，是三个连续偶数()a b d e <，，是两个连续奇数()d e <，且满足a b c d e ++=+，例如 ．请你在0到20之间选择另一组符号条件的数填入下图： ．2题图2 4 6 5 7a b cd e10．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a>b ）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A ．(a+b)2= a 2+2ab+b 2B ．(a-b)2= a 2-2ab+b 2C ．a 2-b 2= (a+b) (a-b)2D ．(a+2b) (a-b) = a 2+ab-2b 211．已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值． 12．先化简，再求值：221[(2)(2)2(2)](),10,.25xy xy x y xy x y +---÷==-其中 （答案：1．-128x 82．D 3．5 4．C 5．A 6．D 7．-b 28．B9． 10．C 11．-3 12．52 )例2 分解因式：（1）x 3 -9x ； （2）a 2b 2 +10ab 3 -25b 4 ； （3）(x -y) 2 -x+y ； （4）x 4-81． （考查的知识点：因式分解． 考查层次：易）（这是一组基础题，要让学生必须掌握分解因式的方法，可由学生独立完成，教师引导学生归纳、小结）【说明】：（1）因式分解的步骤（先要提取公因式，然后考虑用公式）；（2）应该注意的几个问题：①如果多项式首项系数为负，一般要提出负号，使括号内的第一项系数为正；②要分解到每一个因式都再也不能分解为止； ③如果有多项式乘方时，应注意规律：(b-a)2k = (a-b)2k ；(b-a)2 k+1 = (a-b)2 k+1．（k 为整数）练习二：（供选用）1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）A ．ay ax )y x (a +=+B ．4)4x (x 4x 4x 2+-=+-C ．)1x 2(x 5x 5x 102-=-D ．x 3)4x )(4x (x 316x 2+-+=+-2．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ）A ．x 3－x ＝x (x 2－1)B ．x 2－2xy ＋y 2 ＝(x －y)2C ．x 2y －xy 2 ＝xy (x －y)D ．x 2－y 2＝ (x －y) (x ＋y)3．分解因式：（1）–3a 2 +12b 2=________________；（2）2(1-x)2+(x -1)=___________________；（3）ax 2-4ax+4a= ； （4）2322a b b ab +-= ；（5）(x 2 +2x+1) -y 2 =__________________； （6）(x –y )2- (x + y) (x - y)=__________________；（7）(x+2) (x -2) + x 2–4 =______________________ ． 4．(3a-y)(3a+y)是下列哪个多项式因式分解的结果（ ） A ．3a 2-y 2B ．9a 2-y 2C ．9a 2+y 2D ．-9a 2+y 25．若多项式a 2 +(k -1) ab + 25b 2能运用完全平方公式进行因式分解，则k=_______．6. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x 4- y 4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x 2+y 2)，若取x =9，y =9时，则各个因式的值是：(x －y )=0，(x +y )=18，(x 2+y 2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x 3-xy 2，取x =10，y =10时，用上述方法产生的密码是： (写出一个即可)． 7．给出三个多项式：2221111,31,,222x x x x x x +-++- 请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．（答案：1．C 2．A 3．略 4．B 5．11或-9 6． 101030，或103010，或301010 7．略）例3 甲、乙两地相距1500 千米，现有一列火车从乙地出发，以100千米/时的速度向甲地行驶，若设火车行驶的时间为t （时）．（1）请写出火车与甲地的距离的关系式（用t 的式子表示）； （答案：1500-100t ） （2）设火车与甲地的距离为y （千米），写出y 与x 之间的关系式．（答案：y=1500-100t ）例4 已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在BC 、DC 上，且AE=AF. （1）若EC=1，求△AEF 的面积（即阴影部分的面积）.（2）若E 、F 分别是BC 、DC 上的动点，且AE=AF ，设EC=x ， ①写出△AEF 的面积的代数式（用x 的式子表示）②设△AEF 的面积y ，写出y 与x 之间的函数关系式（※和自变量x 的取值范围）； ※（3）当x 为何值时，△AEF 的面积最大，其最大面积是多少 略解：（1）；（2）①与②： ()2221142442214.2ABE ADF CEFABCD y S S S S x x x x ∆∆∆=---=-⨯⨯⨯--=-+正方形（自变量x 的取值范围是0＜x ≤4．）（3）当x=4时，△AEF 的面积最大，最大面积是 8．※ 例5 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图所示的规律，拼成若干个图案： （1）第4个图案中有白色地面砖 块； （2）第n 个图案中有白色地面砖 块．（答案：（1）18 ； （2）4n +2 ． ）（例3、例4与例5考查的知识点：列代数式． 考查层次：由易→中）（这种题型一般趋于中档题，要让学生掌握列代数式的方法与技巧，特别是与列函数关系式相结合的题型，教师可适当搭台阶让学生思考完成，教师要注意引导学生归纳方法） 【说明】：（1）列代数式是列方程解应用问题与列函数关系式的基础，也是教学和学生学习的一个难点，需要由浅入深的一个过程，要会列代数式解决简单的实际问题；（2）例1是一个代数问题，例2 是一个几何问题，其中第（2）问都与列函数关系式挂钩，其目的是让学生知道列函数关系式并不可怕，它的前提就是列代数式、列方程；（3）每道例题都设计了好几问，告诉学生这就是列函数关系式的思考方法或技巧．（4）探究数式、图表规律是近几年中考的热门题型，解题时应注意观察图形，通过对数字及图形关系的分析，探索数字与图形的规律，并能用代数式反映这些规律，思考时，应注意运用从特殊到一般的数学思想．例6（1）已知x+y=5，xy=4，求x 2+y 2的值；（2）已知x 2 +x -1=0，求x 3 +2x 2-7的值； （答案：-6）（3）求证：不论m 为何值，关于x 的一元二次方程5x 2- (m+7)x + m +1= 0都有两个不相等的实数根．（考查的知识点：代数式的变形． 考查层次：中）（这是一组中档题中的基础题，要让学生掌握用因式分解、乘法公式、配方等知识将代数式进行适当的变形的方法，可由学生思考、教师点拨下完成，教师引导学生归纳、小结）【说明】：（1）第（1）小题是完全平方公式的变形：x 2+y 2=(x+y)2 -2xy ，（另：x 2+y 2=(x-y)2+2xy ；(x 1-x 2)2= (x 1+x 2)2-4x 1x 2 ）；（2）第（2）小题由于求得的m 的值是无理数，所以不宜采用求出m 值之后直接代入的求法，可采用整体代入的求法，以避免繁琐的数字计算，要求学生在做题时注意观察，学会把代数式的某一部分作为一个整体代入求值的方法，使计算过程简便；（3）第（3）小题用配方法将一元二次方程根的判别式变形为一个恒为正的代数式，这是解决这类问题的常用方法．练习三：（供选用）1．如图，阴影部分的面积是（ ） A ．132xy B ．112xy C ．6xy D ．3xy2．2008年6月1日北京奥运圣火在宜昌传递，圣火传递路线分为两段，其中在市区的传递路程为700（a －1）米，三峡坝区的传递路程为（881a ＋2309）米．设圣火在宜昌的传递总路程为s 米． （1）用含a 的代数式表示s=_________________； （2）当a=11时，s 的值是 _____________．3．某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a 元，之后的每一分钟收费b 元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是（ ）A ．b a -8分钟 B ．b a +8分钟 C ．b b a +-8分钟 D ．bba --8分钟 4．已知a+b=m ，ab= -4，化简 (a-2) (b-2 ) 的结果是（ ）A ．-2mB ． 2mC ．-2m-8D ． 2m-85．（1）如果代数式4x 2 -2y 2+5的值是7，那么2x 2 -y 2+1的值是___________． （2）代数式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值是__________． 6．观察下表，填表后再解答问题： （1）完成下列表格：（2）请写出第n 个图形中的“”和“★”的个数：有_______个；★有_______个．7．观察下列等式：16115-=，25421-=，36927-=，491633-=，……用自然数n （其中n ≥1）表示上面一系列等式所反映出来的规律是 ．8．试说明x 、y 不论取何值，多项式x 2+y 2-2x -2y +3的值总是正数．9．已知A= a+2，B= a 2-a+5，请比较A 与B 的大小．10．如图，在矩形ABCD 中，AD=8cm ，AB=6cm ，点A 处有一动点E 以1cm /s 的速度由A 向B 运动，同时点C 处也有一动点F 以2cm /s 的速度由C 向D 运动，设运动的时间为x (s)，四边形EBFD 的面积为y (cm 2)，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围．（答案：1． B 2．（1）1581a+1609；（2）19000 3．C 4．A 5．（1）2；（2）7第2题图6．（1）16，9；（2）8n ，n 2 7．(n+3 )2 –n 2= 6n+9 8．用配方法 9．B>A 10．y = -12x+48，自变量x 的取值范围是0≤x ＜3． ）自我检测题：（供选用）1．下列计算正确的是（ ）A ．325a b ab +=B ．325()a a =C ．32()()a a a -÷-=-D ．3253(2)6x x x -=- 2．若a+b= 4，则a 2+2ab+b 2的值是（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 3．化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）4a （D ）2a 2＋24．已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式m 2-m+2009的值为（ ）A ．2010B ．2009C ．2008D ．20075．分解因式（1）34x x -=________________；221218x x -+= ．6．观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有 个圆，第n 个图形中有 个圆．7．先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =- 8．阅读材料：如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c =0（a ≠0）的两根，那么有1212,b c x x x x a a+=-=.这是一元二次方程根与系数的一种特殊关系，我们利用这种关系可以不解方程直接求某些代数式的值，例x 1，x 2是方程x 2+6x-3=0的两根，求x 12+x 22的值．其解法可以这样： ∵ x 1+x 2=-6，x 1x 2= -3，∴ x 12+x 22=(x 1+x 2)2 -2 x 1x 2=(-6)2-2×(-3)=42． 请你根据以上介绍的解法，不解方程来解答下题：已知x 1，x 2是方程2420x x -+=的两根，求：（1）1211x x +的值；（2）(x 1-x 2)2的值．（答案：1．D 2．A 3．C 4．A 5．（1）x (x+2) (x-2) ；（2）2 (x-3)2 6．65，n 2+1 7．-8 8．（1）2；（2）8 ）第三课时 分式与二次根式教学目的1．了解分式的概念，能确定分式有意义的条件及使分式的值为零的条件．2．理解分式的基本性质，能用分式的基本性质进行约分和通分；会进行简单的分式加、减、乘、除运算；会选用恰当方法解决与分式有关的问题．第1个 ……第2个 第3个第4个3．了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件．4．会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）． 教学重点与难点重点：分式与二次根式的概念及性质，分式与二次根式的运算． 难点：分式与二次根式的运算．教学方法：讲练结合、适时点拨，注意归纳和总结． 教学过程（一）知识梳理1．⎪⎩⎪⎨⎧运算性质概念分式 2．⎪⎩⎪⎨⎧运算性质概念二次根式（二）例习题讲解与练习例1 （1）当x_________时，分式1x 52x +- 有意义； （答案：51x -≠）（2）如果分式2x 4x 2--的值为零，那么x 的值是 ； （答案：x = -2）（3）下列各式从左到右的变形正确的是（ ） （答案：A ）A ．122122x y x y x y x y --=++ B ．0.220.22a b a b a b a b ++=++ C ．11x x x y x y +--=-- D ．a b a b a b a b +-=-+ （考查的知识点：分式的概念及分式的基本性质． 考查层次：易）（这是一组基础题，要让学生了解分式的概念，能确定分式有意义的条件及使分式的值为零的条件，掌握分式的基本性质，这组题可由学生自己独立完成，教师与学生一起归纳、小结） 【说明】：（1）分式有意义的条件：（2）使分式的值为零的条件：分子为零但分母不为零（若分子不为零，则分式的值恒不为零）； （3）分式的基本性质：（4）第三小题要灵活运用分式的基本性质及及变号法则．练习一：（供选用） 1．（1）当x_________时，分式2x x+ 有意义；（2）当x = 时，分式21x -无意义． 2．在函数y=4x 21-中，自变量x 的取值范围是 ． 3．（1）如果分式211m m -+的值为0，那么m =______；（2）如果分式122--x x 的值为零，那么x ＝ ． 4．把分式yx x3+中的x ，y 都扩大两倍，那么分式的值（ ） A ．扩大两倍 B ．缩小两倍 C ．扩大四倍 D ．不变5．下列各式与yx yx +-相等的是（ ）A ．5)y x (5)y x (+++- B ．222y x )y x (-- C ．y x 2y x 2+- D ．2222y x y x +-6．下列运算中，错误．．的是（ ）A ．(0)a ac c b bc =≠ B ．1a b a b --=-+ C ．0.55100.20.323a b a ba b a b++=-- D ．x y y x x y y x --=++ 7．计算22()ab ab 的结果为（ ） A ．aB ．bC ．1D ．1b8．下列分式的运算中，其中结果正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．化简：（1）11-⨯-m nmn m = ； （2）22444a a a -++ ． （答案：1．（1）x ≠-2 ；（2）x=1 2．x ≠2 3．（1）1；（2）2 4．D 5．B 6．D 7．A 8．C9．（1）m 1；（2）2a 2a +- ）例2 计算（1）aa a a -++-11142； （答案：1a 1a +--） （2）35222x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭； （答案：3x 1+） （3）先化简，再求值：x4x 16x )4x 4x 1x x 2x 2x (2222+-÷+----+，其中22+=x .（答案：原式=2)2x (1-，当x=2+2时，原式=21）（4）x+x 1=3，求44x1x +的值． （答案：47） （考查的知识点：分式的计算． 考查层次：易）（这是一组基础的计算题，要让学生掌握分式计算的方法，可由学生自己完成，教师引导学生归纳、总结）【说明】：（1）分式的乘除法运算步骤：①把除法统一成乘法；②把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式；③最后进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式．（2）异分母的分式加减法的一般步骤：①通分，将异分母的分式化成同分母的分式；②写成“分母不变，分子相加减”的形式；③分子去括号，合并同类项；④分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．（对某些特殊的运算也可以采取一些特殊的方法）（3）异分母的分式加减法的运算，应先把分母进行因式分解，从而确定出最简公分母，以便进行通分．（4）分式混合运算要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再将除化为乘，进行约分化简，最后进行加减运算．遇有有括号，先做括号里面的．（对某些特殊的运算也可以采取一些特殊的方法）（5）求代数式的值是常见的问题，一般都先将所求的代数式进行化简，然后利用已知条件求值．在使用条件时有三种方式：①将已知条件直接代入，如（3）小题；②将已知条件变形后代入，如练习中的7、8小题；③将已知条件整体代入，如（4）小题；练习二：（供选用）1．计算2322()a b a b a b-÷⋅的结果是( )A ．36a bB ．78a bC ．36a b -D ． 78a b-2．化简xy y x y x 22---的结果是（ ） A ．y x -- B ．x y - C ．y x - D ．y x +3．计算：（1）4133m m m -+++= ； （2）a b b b a a 22-+-= ； （3）22()2a a bb b a -÷=_________；（4）111x x -=+__________；（5）b a b -2十a 十b =___________． 4．（1）当x ＝-3时，代数式2x 2＋3x 2的值是______；（2）当a =99时，分式211a a --的值是___ ．5．计算：（1）221111121x x x x x +-÷+--+； （2）2244)2)(1(22-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--+a a a a a a a a a ； （3）6x 3x32x 2x 5--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---．6．先化简，再求值：（1）22212221x x x x x x --+--+÷x ，其中x =23． （2）(1x x 2-－x 1x 2-)÷1x x-，其中x ＝3＋1.7．若，则的值为 ． 8．已知4b 1a 1=+，求ab7b 2a 2bab 3a -++-=________________． 9．一组按规律排列的式子：2b a -，25ab ，83b a -，114b a ，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．（答案：1．D 2．A 3．（1）1；（2）a+b ；（3）22b a 2；（4）xx 12+；（5）b a a 2- 4．（1）1831；（2）100 5．（1）()21x 2+；（2）1；（3）3+9 6．（1）原式=1x x2-，原式值＝-4；（2）原式=x+2，原式值=3+3 7．5 8．1 9．207b a -，31(1)n n nb a --（或n n a b )(13--）． ）例3 （1）已知23+x 是二次根式，则x 应满足的条件是 ．（答案：x ≠-2） （2）在下列所给的根式中，是最简二次根式的是（ ） （答案：A ）A ．1x 2-B ．8C ．21D ．3a 5 （3）下列计算错误的是 ( ) （答案：D ）A == D ．3（4）计算：① -； （答案：2436-）②()()34184823-+． （答案：-30 ）（考查的知识点：二次根式的概念及二次根式的混合运算． 考查层次：易）（这是一组基础题，要让学生了解二次根式的概念，并会进行二次根式的混合运算，可由学生独立完成，教师引导学生归纳、总结） 【说明】：（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数； （2）要注意最简二次根式的两个条件，而当被开方数是多项式时，要考虑其是否是完全平方式；（3）在进行二次根式加减运算时，一般先化成最简二次根式，再合并同类二次根式．在进行二次根式乘除运算时，一般先进行乘除运算，再化成最简二次根式．无论进行何种运算，最后结果一定要化成最简二次根式；（4）在二次根式运算中，要注意根据题目的特点，灵活运用二次根式的性质．能够运用乘法公式使运算简捷一些的，要用公式，如（4）题中的②小题．（实数中的运算性质、法则、公式，在二次根式的运算中均可使用）练习三：（供选用） 1．（1）当x 时，二次根式x 3-在实数范围内有意义； （2）若代数式1x 2+有意义，则实数x 的取值范围是 ． 2．函数y =3x 3x +-的自变量的取值范围是（ ）A ． x ≠－3B ．x ＞－3C ．x ＞－3且x ≠3D ．x ≥－3且x ≠33．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．x 9B ．3x 2-C ．xyx - D ．b a 32 4．下列计算正确的是（ ）A ．4)2()31(01=+-- B ．552332=+C ．532322222=+=+D ．228=÷5．计算：（1）； （2= ；（3）2·18＝ ；（41-＝ ； （5）(= ________．6．已知等边三角形ABC 的边长为，则ΔABC 的周长是____________． 7．若，则xy 的值为 ( )A ．B ．C ．D ． 8．估算728-的值在（ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．5和6之间D ．7和8之间 9．计算下列各题：（1）11(1)52-⎛⎫π-+-+- ⎪⎝⎭（22(2；（3）243223251453-⨯÷； （4）813222124-+-． 10．如图，C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC 、EC ．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x ．（1）用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；（2）请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 9x 4)x 12(22+++-的最小值．（答案：1．（1）x ≤3；（2）x ≥212．B 3．B 4．D 5．略 6．9+33 7．C 8．A 9．略 10．（1）1x 25)x 8(22+++-，即1x 89x 16x 22+++-；（2）当A 、C 、E 三点共线时，AC+CE 的值最小；（3）提示：如图，作BD=12，过点B 作AB⊥BD，过点D 作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连结AE 交BD 于点C ．AE 的长即为代数式9x 4)x 12(22+++-的最小值． 过点A 作AF∥BD 交ED 的延长线于点F ，得矩形ABDF ，则AB=DF=2，AF=BD=12．所以AE=22)23(12++=13． 即9x 4)x 12(22+++-的最小值为13． ）自我检测题：（供选用）1=_________．2．如果分式1m 2m 2+-的值为0，那么m =_____． 3．函数1x 1x 2y -+=的自变量x 的取值范围是( )A ．21x -≥ B ．1x ≠ C ．1x 21x ＞≠-且 D ．1x 21x ≠-≥且4n 为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．化简：（1）x y x y y x +=-- ； （2）()a b a bb a a+-÷＝____________；（3）2)12(-=___________ ；（4）2)= ． 6．计算下列各题： （1）)4831375(12-+； （2）24142x x ---； （3）2211xy x y x y x y ⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭． 7．先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷--11211222x x x x x x ，其中21=x .8．我们把分子为1的分数叫做理想分数，如21，31，41，… ，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如613121+=； 1214131+=； 2015141+=； … ；根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数n 1（n 是不小于2的正整数）=11a b+，那么a+b= ．（用含n 的式子表示）（答案：1．4 2．1 3．D 4．D 5．（1）1 ；（2）bba - ；（3）223-；（3）1 6．（1）12 ；（2）原式12x =-+；（3）2x 7．原式＝11-x ，当21=x 时，原式＝－2 8．n 2-1 ）。