勾股定理及弦图题库
勾股定理典型题总结(较难)
勾股定理一．勾股定理证明与拓展 模型一. 图中三个正方形面积关系思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.变式2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2.（变式2）（变式3）变式3：如图，Rt△ABC 的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积模型二外弦图DCBA内弦图GFEH例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5。
求中间小正方形的面积为__________;变式1：如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②2x y -=，③2125xy +=，④9x y +=．其中说法正确的有___________（填序号）.(变式1) (变式2)变式2：如图,正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长 为变式3：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称为“赵爽弦图”（如图5），图6是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。
初中数学勾股定理之“赵爽弦图”模型(解析版)
勾股定理之“赵爽弦图”模型【知识梳理】“赵爽弦图”的面积关系是中考常考的一种题型，一般出现在选择题、填空题中，如果能够记住面积之间的关系，那么做此类题时一定非常高效.【考点剖析】一．选择题(共2小题)1如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC= 6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.76B.72C.68D.52【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169所以x=13所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：A．【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．2“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．在如图所示的“赵爽弦图”中，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD，EFGH都是正方形．若AB=10，EF=2，则AH的长为()A.62B.82C.6D.8【分析】由题意得，设AH=DE=CF=BG=x，则AE=DF=CG=BH=2+x，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD，EFGH都是正方形．AB=10，EF=2，∴设AH=DE=CF=BG=x，则AE=DF=CG=BH=2+x，在Rt△AHB中，AB2=AH2+BH2，即102=x2+(x+2)2，整理得，x2+2x-48=0，解得：x1=6，x2=-8(不符合题意，舍去)，∴AH=6．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质，根据题意得到线段的关系，然后根据勾股定理列出方程并求解是解题关键．二．填空题(共4小题)3“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=107，大正方形的面积为57，则小正方形的边长为 7 ．【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知(a+b)2= 107，大正方形的面积为57，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵(a+b)2=107，∴a2+2ab+b2=107，∵大正方形的面积为57，∴2ab=107-57=50，∴小正方形的面积为57-50=7，故小正方形的边长为7．故答案为：7．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．4如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt △ABF 中，∠AFB =90°，AF =4，AB =5．四边形EFGH 的面积是1．【分析】四边形EFGH 的面积=四边形ABCD 的面积-四个全等直角三角形的面积．直角三角形的面积需利用勾股定理求出直角边后解答．【解答】解：因为AB =5，所以S 正方形ABCD =5×5=25．Rt △ABF 中，AF =4，AB =5，则BF =52-42=3，所以S Rt △ABF =12×3×4=6，四个直角三角形的面积为：6×4=24，四边形EFGH 的面积是25-24=1．故答案为1【点评】此题主要考查了勾股定理，以及正方形面积、三角形面积，难易程度适中．5如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E 的边长为7cm ，则图中五个正方形A 、B 、C 、D 、E 的面积和为98cm 2．【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．【解答】解：设正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是a 、b 、c 、d ，则正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，∴正方形A、B、C、D、E的面积和=(a2+b2)+(c2+d2)+72=x2+y2+72=72+72=98(cm2)．即正方形A，B，C，D、E的面积的和为98cm2．故答案为：98．【点评】本题考查了勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．熟练运用勾股定理进行面积的转换是解题关键．6图(1)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC=6cm，BC=5cm，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图(2)所示的“数学风车”．则①图中小正方形的面积为1cm2 ；②若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则需要彩带的长度至少是76cm．【分析】①表示出小正方形的边长，然后利用正方形的面积公式列式计算即可得解；②利用勾股定理求出外围直角三角形的斜边，然后根据周长公式列式计算即可得解．【解答】解：图①，小正方形的面积=(6-5)2=1cm2；图②，外围直角三角形的斜边=122+52=13cm，周长=4×(13+6)=4×19=76cm，即，需要彩带的长度至少是76cm．故答案为：1cm2，76cm．【点评】本题考查了勾股定理的证明，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．三．解答题(共3小题)7如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，可以验证勾股定理；(2)如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3=16，则S2= 163 ．【分析】(1)由图可知，小正方形的面积可直用边长乘边长，为(a -b )2，也可用大正方形的面积减去四个全等的直角三角形的面积，为c 2-4×12ab ，以此即可证明；(2)设正方形MNKT 的面积为x ，八个全等的直角三角形的面积均为y ，可得S 1=8y +x ，S 2=4y +x ，S 3=x ，则S 1+S 2+S 3=12y +3x =16，根据整体思想即可求出S 2=4y +x =163．【解答】(1)证明：S 小正方形=a -b 2=a 2-2ab +b 2，另一方面S 小正方形=c 2-4×12ab =c 2-2ab ，即a 2-2ab +b 2=c 2-2ab ，则a 2+b 2=c 2；(2)解：设正方形MNKT 的面积为x ，八个全等的直角三角形的面积均为y ，∵S 1+S 2+S 3=16，∴S 1=8y +x ，S 2=4y +x ，S 3=x ，∴S 1+S 2+S 3=12y +3x =16，∴4y +x =163，∴S 2=4y +x =163．故答案为：163．【点评】本题主要考查勾股定理的证明，利用数形结合的思想来答题是解题关键．8我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问题：(1)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股定理；(2)如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的高，AC =4，BC =3，求CD 的长度．【分析】(1)根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．(2)先由勾股定理求出AB 的长，再根据三角形的面积求CD 的长即可．【解答】解：(1)∵大正方形面积为c 2，直角三角形面积为12ab ，小正方形面积为：(b -a )2，∴c 2=4×12ab +(a -b )2=2ab +a 2-2ab +b 2即c2=a2+b2．(2)在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴由勾股定理，得：AB=AC2+BC2=42+32=5∵CD⊥AB，∴S△ABC=12AC•BC=12AB•CD∴CD=4×35=125．【点评】本题考查了学生对勾股定理的证明和对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用，属于基本题型．9图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，面积为74的正方形．在Rt△ABC中，若直角边BC=5，将四个直角三角形中边长为5的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”．(1)这个风车至少需要绕着中心旋转90°才能和本身重合；(2)求这个风车的外围周长(图乙中的实线)．【分析】(1)根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．(2)在直角△ABC中，已知BC，AB，根据勾股定理即可计算AC的长，AC=7，故求得BD即可计算风车的外围周长．【解答】解：(1)：∵360°÷4=90°，∴该图形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合．(2)在直角△BCD中，BD为斜边，已知BC=5，AB=74，由勾股定理得：AC=7，CD=7+5=12，∴BD=52+122=13，∵风车的外围周长为4(BD+AD)=4(13+5)=72．【点评】本题考查了旋转角的定义及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中正确的计算BD是解题的关键．【过关检测】一．选择题(共10小题)10(2022春•东城区期末)如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.72B.52C.80D.76【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169所以x=13所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D．【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．11(2021秋•邳州市期中)公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积为()A.1B.3C.4D.9【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式可求解．【解答】解：如图，∵勾a=3，弦c=5，∴股b=52-32=4，∴小正方形的边长=4-3=1，∴小正方形的面积=12=1，故选：A．【点评】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．12(2021春•长垣市期末)“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则小正方形与大正方形的面积比是()A.1：2B.1：4C.1：5D.1：10【分析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，∴小正方形的边长为2，根据勾股定理得：大正方形的边长=22+42=25，∴小正方形面积大正方形面积=22252=420=15．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理和正方形的面积．本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．13(2022秋•青秀区校级期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为()A.12B.13C.14D.15【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b=5，∵(a+b)2=(a-b)2+4ab=5+4ab=21，∴ab=4，∴大正方形的面积=4×12ab+5=13，故选：B．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．14(2022秋•南岸区校级期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是()A. B. C. D.【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．【解答】解：A 、大正方形的面积为：c 2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+(b -a )2=a 2+b 2，∴a 2+b 2=c 2，故A 选项能证明勾股定理；B 、大正方形的面积为：(a +b )2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+c 2=2ab +c 2，∴(a +b )2=2ab +c 2，∴a 2+b 2=c 2，故B 选项能证明勾股定理；C 、梯形的面积为：12(a +b )(a +b )=12(a 2+b 2)+ab ；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：12ab ×2+12c 2=ab +12c 2，∴ab +12c 2=12(a 2+b 2)+ab ，∴a 2+b 2=c 2，故C 选项能证明勾股定理；D 、大正方形的面积为：(a +b )2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a 2+b 2+2ab ，∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab ，∴D 选项不能证明勾股定理．故选：D ．【点评】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．15(2022秋•平湖市期末)在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD 内部，其中点M ，N ，P ，Q 分别在长方形的边AB ，BC ，CD 和AD 上，若AB =7，BC =8，则小正方形的边长为()A.5B.6C.7D.22【分析】将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为x ，较小的直角边为y ，根据AB =7，BC =8，列出二元一次方程组，求出x 和y ，再求出边长即可．【解答】解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为x ，较小的直角边为y ，∵AB =7，BC =8，∴3x+y=73x+2y=8 ，解得x=2 y=1 ，∴小正方形的边长为22+12=5．故选A．【点评】本题考查了勾股定理与二元一次方程组的应用，根据题意运用好赵爽弦图是解题关键．16(2022秋•鄄城县校级月考)如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形 ①的面积是()A.16cm2B.25cm2C.30cm2D.169cm2【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出．【解答】解：∵两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方，∴直角三角形①中较短的直角边长5cm，∵直角三角形①中较长的直角边长12cm，∴直角三角形①的面积=12×5×12=30(cm2)，故选：C．【点评】考查了正方形的面积以及勾股定理的应用．推知“正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方”是解题的难点．17(2021秋•鹿城区校级期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，分别以AC，BC，AB 为一边在△ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1=4，则S3为()A.8B.16C.43D.43+4【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．【解答】解：∵S1=AC2=4，∴AC=2，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=4，∴S3=AB2=16，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．18(2022秋•温州期末)如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．点E为小正方形的顶点，延长CE交AD于点F，连结BF交小正方形的一边于点G，若△BCF为等腰三角形，AG=5，则小正方形的面积为()A.15B.16C.20D.25【分析】由等腰三角形性质可得出BF=CF，利用HL可证得Rt△ABF≌Rt△DCF(HL)，得出AB=AD =2AF，根据余角的性质得出∠BAG=∠ABF，进而推出CF=BF=2AG=10，利用面积法求得BN= 8，再运用勾股定理求得CN=4，即可求得答案．【解答】解：设小正方形为EHMN，如图，∵四边形ABCD和四边形EHMN是正方形，∴AB=AD=CD，∠BAD=90°，CF∥AG，∵△BCF为等腰三角形，且BF>AB=BC，CF>CD=BC，∴BF=CF，在Rt△ABF和Rt△DCF中，AB=CD BF=CF，∴Rt△ABF≌Rt△DCF(HL)，∴∠AFB=∠CFD，AF=DF，∴AB=AD=2AF，∵CF∥AG，∴∠CFD=∠DAG，∴∠AFB=∠DAG，∴AG=FG，∵∠AFB+∠ABF=90°，∠DAG+∠BAG=90°，∴∠BAG=∠ABF，∴AG=BG，∴CF=BF=2AG=10，在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，∴(2AF)2+AF2=102，∴AF=25，∴AB=BC=45，∵S△BCF=12BC•AB=12CF•BN，∴BN=BC⋅ABCF =45×4510=8，∴CN=BC2-BN2=452-82=4，∵△ABM≌△BCN，∴BM=CN=4，∴MN=BN-BM=8-4=4，∴S正方形EHMN=(MN)2=42=16，故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形面积等，利用面积法求得BN是解题的关键．19(2022春•南浔区期末)赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形(如图所示)．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI=2，CI=1，S2=5S1，则GI的值是()A.105B.9202 C.58D.34【分析】如图，连接DG，先由已知条件分别求得S2=CD2=32=9，S1=95，小正方形边长为355，再由勾股定理得：EG=EH2+HG2=3105，设AE=BF=CG=DH=x，则AF=BG=CH=DE=x+355，由勾股定理得：CD2=DH2+CH2，即9=x2+(x+355)2，进而得AE=BF=CG=DH=x=355=EH，再得CH垂直平分ED，再由三角形的“三线合一”得∠DGH=∠HGE=45°进而得∠DGI=90°最后由勾股定理得：GI=DI2-DG2=22-31052=105，即得选项A．【解答】解：如图，连接DG，∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，∴AE=BF=CG=DH，AF=BG=CH=DE，CH⊥DE，∵DI=2，CI=1，∴CD=DI+CI=2+1=3，∵大正方形ABCD的面积为S2，∴S2=CD2=32=9，又∵小正方形EFGH的面积为S1，S2=5S1，∴S1=95，∴EF=FG=GH=HE=355，∵将EG延长交CD于点I，∴∠HGE=45°，在Rt△EHG中，由勾股定理得：EG=EH2+HG2=3105，设AE=BF=CG=DH=x，则AF=BG=CH=DE=x+35 5，在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD2=DH2+CH2，即9=x2+(x+355)2，解得：x1=355，x2=-655(不合题意，舍去)，即AE=BF=CG=DH=x=355，∴DH=EH=355，∴CH垂直平分ED，∴DG=EG=3105，∴∠DGH=∠HGE=45°，∴∠DGE=45°+45°=90°，∴∠DGI=90°，在Rt△DGI中，由勾股定理得：GI=DI2-DG2=22-31052=105，故选：A．【点评】本题是一道勾股定理的综合题，主要考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，线段的中垂线判定与性质，等腰三角形的“三线合一”，二次根式计算与化简，关键是巧添辅助线构等腰直角三角形，顺利实现求得答案．二．填空题(共7小题)20(2022秋•锡山区期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12．以AB为一边在△ABC 的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为139．【分析】首先利用勾股定理求得AB边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，由勾股定理知，AB=AC2+BC2=13．故S阴影=S正方形ABDE-S△ABC=132-12×5×12=169-30=139．故答案为：139．【点评】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．21(2022秋•德惠市期末)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE=5，AB=13，则中间小正方形EFGH的面积是49．【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积．【解答】解：∵AE=5，AB=13，∴BF=AE=5，在Rt△ABF中，AF=AB2+BF2=12，∴小正方形的边长EF=12-5=7，∴小正方形EFGH的面积为7×7=49．故答案为：49．【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．22(2022秋•建邺区校级期中)将四个全等的直角三角形分别拼成正方形(如图1，2)，边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形(如图3)，其面积分别为S1，S2．则S1-S2= 12．【分析】首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b(a>b)，然后根据图1、2列出关于a、b的方程组即可求解．【解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b(a>b)，根据图1得：a+b=6，根据图2得：a-b=2，联立解得：a=4 b=2，∴S1=16，S2=4，则S1-S2=12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理证明的应用，解题的关键是正确理解图形中隐含的数量关系．23(2021秋•龙泉驿区校级月考)如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，则(a +b )2的值是33．【分析】先由拼图列出关于面积的方程，再由勾股定理列一个直角三角形三边的方程并整理，最后把值整体代入和平方的展开式(a +b )2=a 2+b 2+2ab 即可得出答案．【解答】解：∵由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，∴1+4×12ab =17a 2+b 2=172，即2ab =16a 2+b 2=17 ，∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab =17+16=33．故答案为：33．【点评】这是一道勾股定理综合题，主要考查了拼图列方程，发现各个图形的面积和a ，b 的关系是解题关键．24(2022秋•金台区校级月考)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是76．【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．【解答】解：设将AC 延长到点D ，连接BD ，根据题意，得CD =6×2=12，BC =5．∵∠BCD =90°∴BC 2+CD 2=BD 2，即52+122=BD 2∴BD =13∴AD +BD =6+13=19∴这个风车的外围周长是19×4=76．故答案为：76．【点评】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．25(2022秋•工业园区校级期中)如图，在弦图中，正方形ABCD 的对角线AC 与正方形EFHI 的对角线EH 交于点K ，对角线AC 交正方形EFHI 于G ，J 两点，记△GKH 面积为S 1，△JIC 面积为S 2，若AE =12，CD =410，则S 1+S 2的值为16．【分析】由题意可得AF =CI ，∠AFG =∠CIJ =90°，FH ∥EI ，即可证明△AFG ≌△CIJ ，FG =IJ ，再根据四边形EFHI 为正方形，得到△GHK ≌△JEK ，从而得到点K 为正方形EFHI 的中心，过点K 作KM ⊥FH 于点M ，由勾股定理得DE =4，FH =8，KM =4，设GH =a ，FG =b ，则a +b =FH =8，最后用a ，b 表示出S 1+S 2=2(a +b )，将a +b 的值代入即可求解．【解答】解：由题意可得，AF =CI ，∠AFG =∠CIJ =90°，FH ∥EI ，∵∠AGF =∠HGK ，∠IJC =∠KJE ，∵FH ∥EI ，∴∠HGK =∠KJE ，∴∠AGF =∠IJC ，在△AFG 和△CIJ 中，∠AGF =∠IJC ∠AFG =∠CIJ =90°AF =CI ，∴△AFG ≌△CIJ (AAS )，∴FG =IJ ，∵四边形EFHI 为正方形，∴EI -IJ =FH -FG ，即HG =EJ ，在△GHK 和△JEK 中，∠HGK =∠KJE ∠GKH =∠JKE HG =EJ，∴△GHK ≌△JEK (AAS )，∴HK =EK ，即点K 为正方形EFHI 的中心，如图，过点K 作KM ⊥FH 于点M ，∵AE=12，CD=410，∴BF=12，AD=410，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE=AD2-AE2=4，∴AF=DE=4，EF=AE-AF=12-4=8，则FH=8，KM=4，设GH=a，FG=b，则a+b=FH=8，∴S1=12GH⋅MK=12a×4=2a，S2=S△AFG=12FG⋅AF=12b×4=2b，∴S1+S2=2a+2b=2(a+b)=16．故答案为：16．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，正方形的性质，解题的关键是寻找全等三角形的条件解决问题．26(2022秋•宁德期中)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP-S△CGP=12，③DH+HC=4，④HC=2+22，以上说法正确的是①③④.(填写序号)【分析】由全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式，结合“赵爽弦图”的特点，可以解决问题．【解答】解：∵Rt△BCG≌Rt△DAE，∴CG=AE，∠CGP=∠AEM，∵CH∥AF．∴∠GCP=∠MAE，∴△CGP≌△AEM(ASA)，∴S△CGP=S△AEM，CP=ME，∴S△AFP-S△CGP=S四边形MEFP∵HE=GF，∴HM =PF ，∴S 四边形MEFP =S 四边形MHGP =12S 正方形EFGH=1，∴S △AFP -S △CGP =1，∵DH 2+CH 2=DC 2=9，∴(DH +CH )2=DH 2+CH 2+2DH •CH =9+2DH •CH ，∵CH -DH =HG ，∴(CH -DH )2=HG 2=2，∴CH 2+DH 2-2DH •CH =2，∴2DH •CH =7，∴(DH +CH )2=9+7=16，∴DH +CH =4，∵CH -DH =2，∴HC =4+22=2+22，故答案为：①③④．【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，完全平方公式，关键是读懂“赵爽弦图”并灵活应用以上定理和公式．三．解答题(共2小题)27(2021秋•凤翔县期中)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c 2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab ×4+b -a 2，从而得到等式c 2=12ab ×4+b -a 2，化简便得结论a 2+b 2=c 2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题(1)如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的高，AC =3，BC =4，求CD 的长度．(2)如图3，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AB =4，AC =5，BC =6，设BD =x ，求x 的值．【分析】(1)先根据勾股定理先求出AB ，再根据“双求法”求出CD 的长度；(2)运用两个直角三角形根据勾股定理表示出AD ，德关于x 的方程求解．【解答】解：(1)在Rt △ABC 中AB =32+42=5，由面积的两种算法可得：12×3×4=12×5×CD ，解得：CD =125．(2)在Rt △ABD 中AD 2=42-x 2=16-x 2，在Rt △ADC 中AD 2=52-(6-x )2=-11+12x -x 2，所以16-x 2=-11+12x -x 2，解得x=2712=94．【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用，关键是运用勾股定理求解．28(2021春•利辛县期中)如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2=c2．【分析】由题意可得：S正方形ABCD =(a+b)2，S正方形EFGH=c2，S△BEF=12×ab，再根据S正方形ABCD=S正方形EFGH+4S△BEF，即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，∴S正方形ABCD =(a+b)2，S正方形EFGH=c2，S△BEF=12×ab，∵S正方形ABCD =S正方形EFGH+4S△BEF，∴(a+b)2=c2+4×12×ab，∴a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2．【点评】本题是勾股定理证明题，考查了直角三角形面积，正方形面积，利用图形面积得出结论是解题关键．。
勾股定理与弦图
印发类通知范例范文尊敬的各位老师、同学们：大家好！我是XXX学校的XXX，今天我代表学校向大家发出一项重要通知。
鉴于我们学校即将迎来即将到来的XXX活动，为使活动顺利进行，加强组织和管理，我们特向全校师生发布以下通知：一、活动背景及目的XX活动是我校的重要学习与交流活动，旨在倡导团结友爱、共享知识的精神，为广大同学提供一个展示才艺、交流经验的平台。
二、活动时间及地点时间：XX年XX月XX日（星期X）下午X点至X点地点：校内礼堂三、活动内容本次活动由以下项目组成：1.文艺表演：各班级准备一台精彩绝伦的文艺表演，时长不超过X分钟，内容包括歌曲、舞蹈、小品等。
各班级可根据自身特点及兴趣进行选择，创造性展示。
2.才艺展示：学校将组织才艺展示活动，邀请同学们展示自己的特长，例如：乐器演奏、书法、绘画等。
同时，活动将邀请专业人士进行现场点评和指导。
四、组织准备1.各班级需自行组织并策划文艺表演节目，并于X年X月X日前报备给活动筹备组。
届时，请提交节目名称、表演形式、参与人员名单等信息。
2.各班级参赛人员需提前练习并做好准备工作，确保表演达到优秀水平。
3.各班级参赛人员在活动当日需准时到达活动现场，活动前请将音乐、道具等需要用到的物品统一交给工作人员。
五、展示规范1.文艺表演时长不得超过指定时间，否则将进行扣分处理。
2.参与才艺展示的同学需提前将需要用到的器材和道具准备齐全，确保展示质量。
六、奖惩机制1.文艺表演将评选“最佳表演奖”、“最具创意奖”等奖项，并为获奖班级颁发奖杯及证书。
2.才艺展示将评选“最佳才艺奖”、“最佳表现奖”等奖项，并为获奖同学颁发奖状。
七、注意事项1.参赛同学需尊重他人，注意礼仪，文艺表演内容不得含有低级趣味、不健康等内容。
2.活动过程中，大家要保持场内秩序，听从工作人员安排和指示。
3.参与活动的同学请保持手机静音，避免影响他人观看。
最后，希望每位同学能够充分准备，尽情展示自己的才艺，共同度过一个难忘的活动体验。
勾股定理测试试题及答案
边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD 的长是____________．
三、解答题
21．在等边 ABC 中，点 D 是线段 BC 的中点， EDF 120, DE 与线段 AB 相交于点 E, DF 与射线 AC 相交于点 F ．
19．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦 图”（如图 1）．图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中
正方形 ABCD ，正方形 EFGH ，正方形 MNKT 的面积分别为 S1 ， S2 ， S3 ，若 S1 S2 S3 15 ，则 S2 的值是__________．
______________．
17．如图，Rt△ ABC 中，∠ C=90°，AB=5，BC=4，斜边 AB 的垂直平分线 DE 交边 BC 于点 D，连接 AD，线段 CD 的长为_________．
18．如图，E 为等腰直角△ABC 的边 AB 上的一点，要使 AE＝3，BE＝1，P 为 AC 上的动 点，则 PB＋PE 的最小值为____________．
为（ ）
A．5
B．6
C．8
D．10
二、填空题
11．如图，AB＝12，AB⊥BC 于点 B， AB⊥AD 于点 A，AD＝5，BC＝10，E 是 CD 的中点， 则 AE 的长是____ ___．
12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OA1A2 的直角边 OA1 在 y 轴的正半轴 上，且 OA1=A1A2=1，以 OA2 为直角边作第二个等腰直角三角形 OA2A3，以 OA3 为直角边作 第三个等腰直角三角形 OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形 OA2018A2019，则点 A2019 的坐标为________．
勾股定理难题50道
勾股定理难题50道1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对3．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留)π4．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表：若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出Sl= （用含m 的代数式表示） 6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ． （2）错误的原因是 ． （3）本题正确的结论是 ．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积AE=；则正方形EFGH的面积=．16=，19．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树米才是安全的．10．如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为2cm．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC∆中BC边上的高是．∆，则ABC13．如图，在ABC∠=︒，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分∆中，90ABC别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = ．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是 ．15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 米．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 ．17．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上， 点D ，E 在边PR 上， 点G ，F 在边PQ 上， 那么PQR ∆的周长等于 ．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD = ．19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是cm ．（结果保留根号）20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =，6DE =，则EB = ．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为m．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为尺．23．如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为m．24．如图，Rt ABC∆的斜边AC为一直角边，另一直角∆的两直角边分别为1，2，以Rt ABC边为1画第二个ACD∆；在以ACD∆的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个∆；⋯，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是．ADE25．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5610cm，在上盖中⨯⨯（单位：)开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：2 1.4≈．≈，3 1.7≈，5 2.2)26．如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是cm （结果用带根号和π的式子表示）．评卷人得分三．解答题（共24小题）27．已知ABC∆中，AB AC=．（1）如图1，在ADE∆中，若AD AE=，且DAE BAC∠=∠，求证：CD BE=；（2）如图2，在ADE∆中，若60DAE BAC∠=∠=︒，且CD垂直平分AE，3AD=，4CD=，求BD的长；（3）如图3，在ADE∆中，当BD垂直平分AE于H，且2BAC ADB∠=∠时，试探究2CD，2BD，2AH之间的数量关系，并证明．28．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是11(91),(91)22-+；勾是五时，股和弦的算式分别是11(251),(251)22-+．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，请用含(n n为奇数，且3)n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m为偶数，且4)m>的代数式来表示股和弦．29．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC 中，AB AC =，其一腰上的高为h ，M 是底边BC 上的任意一点，M 到腰AB 、AC 的距离分别为1h 、2h ．（1）请你结合图形来证明：12h h h +=；（2）当点M 在BC 延长线上时，1h 、2h 、h 之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线13:34l y x =+，2:33l y x =-+，若2l 上的一点M 到1l 的距离是32．求点M 的坐标．30．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线，动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边CDE ∆，连接BE ． （1）填空：ACB ∠= 度；（2）当点D 在线段AM 上（点D 不运动到点)A 时，试求出ADBE的值； （3）若8AB =，以点C 为圆心，以5为半径作C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点，在点D 运动的过程中（点D 与点A 重合除外），试求PQ 的长．31．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题， 请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长 ． （1） 如图 1 ，正方体的棱长为5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点1C 处；（2） 如图 2 ，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为6cm ，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到1C 处；（3） 如图 3 ，圆锥的母线长为4cm ，圆锥的侧面展开图如图 4 所示， 且1120AOA ∠=︒，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发， 沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．32．在学习勾股定理时，我们学会运用图()I 验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：2()a b +，也可表示为：214()2c ab +，即221()4()2a b c ab +=+由此推出勾股定理222a b c +=，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图()(2002II 年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用()III 提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证222()2x y x xy y +=++； （3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++．33．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱1BB 的中点E ，再连接AE 、1EC ．虫乙如果沿路径1A E C --爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）34．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，设c 为最长边，当222a b c +=时，ABC ∆是直角三角形；当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，探究ABC ∆的形状（按角分类）．（1）当ABC ∆三边分别为6、8、9时，ABC ∆为 三角形；当ABC ∆三边分别为6、8、11时，ABC ∆为 三角形．（2）猜想，当22a b + 2c 时，ABC ∆为锐角三角形；当22a b + 2c 时，ABC ∆为钝角三角形．（3）判断当2a =，4b =时，ABC ∆的形状，并求出对应的c 的取值范围． 35．一、阅读理解：在ABC ∆中，BC a =，CA b =，AB c =； （1）若C ∠为直角，则222a b c +=；（2）若C ∠为锐角，则22a b +与2c 的关系为：222a b c +> 证明：如图过A 作AD BC ⊥于D ，则BD BC CD a CD =-=- 在ABD ∆中：222AD AB BD =- 在ACD ∆中：222AD AC CD =- 2222AB BD AC CD -=-2222()c a CD b CD --=- 2222a b c a CD ∴+-= 0a >，0CD >2220a b c ∴+->，所以：222a b c +>（3）若C ∠为钝角，试推导22a b +与2c 的关系．二、探究问题：在ABC ∆中，3BC a ==，4CA b ==，AB c =；若ABC ∆是钝角三角形，求第三边c 的取值范围．36．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且满足422422a b c b a c +=+，试判断ABC ∆的形状．阅读下面解题过程：解：由422422a b c b a c +=+得： 442222a b a c b c -=-①2222222()()()a b a b c a b +-=-② 即222a b c +=③ABC ∴∆为Rt △． ④试问：以上解题过程是否正确：若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） 错误原因是 本题的结论应为 ．37．如图a ，90EBF ∠=︒，请按下列要求准确画图：1：在射线BE 、BF 上分别取点A 、C ，使2BC AB BC <<，连接AC 得直角ABC ∆； 2：在AB 边上取一点M ，使AM BC =，在射线CB 边上取一点N ，使CN BM =，直线AN 、CM 相交于点P ．（1）请用量角器度量APM ∠的度数为 ；（精确到1)︒ （2）请用说理的方法求出APM ∠的度数；（3）若将①中的条件“2BC AB BC <<”改为“2AB BC >”，其他条件不变，你能自己在图b 中画出图形，求出APM ∠的度数吗？38．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边BC 和AB 上的点，ABD ∆与ACD ∆的周长相等，CAE ∆与CBE ∆的周长相等．设BC a =，AC b =，AB c =． （1）求AE 和BD 的长；（2）若90BAC ∠=︒，ABC ∆的面积为S ，求证：S AE BD =．39．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）40．ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =．若90C ∠=︒，如图1，根据勾股定理，则222a b c +=．若ABC ∆不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．41．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 ⋯ a221-231-241-251-⋯ b46 810 ⋯ c221+ 231+241+251+⋯（1）请你分别观察a ，b ，c 与n 之间的关系，并用含自然数(1)n n >的代数式表示：a = ，b = ，c = ；（2）猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．42．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算1(91)2-、1(91)2+与1(251)2-、1(251)2+，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，用(n n 为奇数且3)n 的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m 为偶数且4)m >的代数式来表示他们的股和弦．43．如图，梯子AB 斜靠在墙上，90ACB ∠=︒，5AB =米，4BC =米，当点B 下滑到点B '时，点A 向左平移到点A '．设BB x '=米(04)x <<，AA y '=米． （1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 为何值时，点B 下滑的距离与点A 向左平移的距离相等？（3）请你对x 再取几个值，计算出对应的y 值，并比较对应的y 值与x 值的大小(y 值可以用精确到0.01的近似数表示，也可用无理数表示）．（4）根据第（1）~（3）题的计算，还可以结合画图、观察，推测y 与x 的大小关系及对应的x 的取值范围．44．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量90A ∠=︒，3AB m =，12BC m =，13CD m =，4DA m =，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？45．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，在图①画出一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲静止不动，昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（3）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1)s 19 4.4≈21 4.6．46．在合肥市地铁一号线的修建过程中，原设计的地铁车站出入口高度较低，为适应地形，把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了，如图所示，已知原设计楼梯BD 长20米，在楼梯水平长度()BC 不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由30︒增大到45︒，那么新设计的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据：2 1.414≈，3 1.732)≈47．如图，小强在江南岸选定建筑物A ，并在江北岸的B 处观察，此时，视线与江岸BE 所成的夹角是30︒，小强沿江岸BE 向东走了500m ，到C 处，再观察A ，此时视线AC 与江岸所成的夹角60ACE ∠=︒．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程（结果可保留根号）；若不能，请说明理由．48．在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 、E 是直线AB 上两点．45DCE ∠=︒ （1）当CE AB ⊥时，点D 与点A 重合，显然222DE AD BE =+（不必证明）； （2）如图，当点D 不与点A 重合时，求证：222DE AD BE =+；（3）当点D 在BA 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．49．如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD AB ⊥，1AB =，2BC CD ==．求四边形ABCD 的周长和面积．50．定义： 三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形” ．数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒 （每 根长度记为 1 个单位） 中取出若干根， 首尾依次相接组成三角形， 进行探究活动 ． 小亮用 12 根火柴棒， 摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、 小颖的启发， 分别摆出三个不同的等腰“整数三角形” ． （1） 请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2） 你能否也从中取出若干根， 按下列要求摆出“整数三角形”， 如果能， 请画出示意图；如果不能， 请说明理由 ． ①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊 （既 非直角三角形， 也非等腰三角形） “整数三角形” ．勾股定理难题50道参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形【解答】解：依题意可知，1133BP BF DH==，2233CQ CG DH==，又////PB CQ DH，APB AQC AHD∴∆∆∆∽∽，A∴、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图）故选：B．2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对【解答】解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得15BD=；在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得6CD=．当AD在三角形的内部时，15621BC=+=；当AD在三角形的外部时，1569BC=-=．则BC的长是21或9．故选：D ．二．填空题（共24小题）3．在底面直径为2cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 231π+ cm ．（结果保留)π【解答】解：如图所示，无弹性的丝带从A 至C ，绕了1.5圈，∴展开后 1.523AB cm ππ=⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：22229931AC AB BC cm ππ=+=+=+． 故答案为：231π+．4．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 10 cm ．【解答】解：将长方体展开，连接A 、B '，13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=，根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=． 故答案为：10．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表： 三边a 、b 、ca b c +- l S /S l345 2 12 6 1/26810 4 24 24 1 51213 4 30 30 1 81517 6 40 60 3/2121620848962⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出S l =4m（用含m 的代数式表示） 【解答】解：3452m a b c =+-=+-=时，1224S l ==； 6810512134m a b c =+-=+-=+-=时，414S l ==； 815176m a b c =+-=+-=时，3624S l ==； 1216208m a b c =+-=+-=时，824S l ==； ⋯∴我们可以猜想出4S ml =． 故答案为4m．6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为 7或25 秒．【解答】解：如图，作AD BC ⊥，交BC 于点D ， 8BC cm =，142BD CD BC cm ∴===， 223AD AB BD ∴=-=，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA AC ⊥时，22222AP PD AD PC AC =+=-，2222PD AD PC AC ∴+=-，22223(4)5 2.25PD PD PD ∴+=+-∴=， 4 2.25 1.750.25BP t ∴=-==， 7t ∴=秒，当点P 运动t 秒后有PA AB ⊥时，同理可证得 2.25PD =， 4 2.25 6.250.25BP t ∴=+==， 25t ∴=秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ③ ． （2）错误的原因是 ． （3）本题正确的结论是 ．【解答】解：2222222()()()c a b a b a b -=-+∴应有2222222()()()0c a b a b a b ---+=得到22222()[()]0a b c a b --+=，22()0a b ∴-=或222[()]0c a b -+=，即a b =或222a b c +=，∴根据等腰三角形得定义和勾股定理的逆定理，三角形为等腰三角形或直角三角形．故填③，不能确定22a b -是否为0，等腰三角形或直角三角形．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边DA 、AB 、BC 、CD 上．若正方形ABCD 的面积16=，1AE =；则正方形EFGH 的面积= 10 ．【解答】解：四边形EFGH 是正方形，EH FE ∴=，90FEH ∠=︒，90AEF AFE ∠+∠=︒，90AEF DEH ∠+∠=︒，AFE DEH ∴∠=∠，在AEF ∆和DHE ∆中， A D AFE DEH EF HE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AEF DHE ∴∆≅∆， AF DE ∴=，正方形ABCD 的面积为16， 4AB BC CD DE ∴====， 413AF DE AD AE ∴==-=-=，在Rt AEF ∆中，2210EF AE AF + 故正方形EFGH 的面积101010=．故答案为：10．9．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树 4 米才是安全的． 【解答】解：如图，BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m ，则413BC m =-=，945AB m =-=，在Rt ABC ∆中，2222534AC AB BC =-=-=米． 即小孩至少离开这棵树4米才是安全的． 故答案为：4．10．如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm ．如果从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，那么所用细线最短需要73 cm ．【解答】解：如图所示，从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，∴展开后188AC cm cm =⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：2273AB AC BC cm =+．故答案为：73．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm ，则A 、B 、C 、D 四个小正方形的面积之和为 144 2cm ．【解答】解：如右图所示， 根据勾股定理可知，231S S S +=正方形正方形正方形， 2C D S S S +=正方形正方形正方形， 3A B S S S +=正方形正方形正方形，2112144C D A B S S S S S ∴+++===正方形正方形正方形正方形正方形．故答案是144．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC ∆，则ABC ∆中BC 边上的高是322．【解答】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B 、C 为EF 、FD 的中点，ABC AEB BFC CDA AEFD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形 11122121112222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，32=． 22112BC =+=．ABC ∴∆中BC 边上的高是3322222⨯÷=． 故答案为：322．13．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = 2 ．【解答】解：ABC ∆中，90ABC ∠=︒， 222AB BC AC ∴+=， 222BC AC AB ∴=-，21BC S =、224AB S ==，236AC S ==， 132642S S S ∴=-=-=．故答案为：2．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是103．【解答】解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=， ∴得出18S y x =+，24S y x =+，3S x =，12331210S S S x y ∴++=+=，故31210x y +=，1043x y +=， 所以21043S x y =+=， 故答案为：103． 15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 5 米．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长 圆柱高4米，底面周长1米222(13)491625x =⨯+=+= 所以，花圈长至少是5m ．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 4或25或10 ．【解答】解：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ，90DAC ∠=︒，且AD AC =，224BD BA AD ∴=+=+=；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ，连接BD ，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于E ． ABC ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=︒， 45DCE ∴∠=︒，又DE CE ⊥，90DEC ∴∠=︒， 45CDE ∴∠=︒，222CE DE ∴=== 在Rt BAC ∆中，222222BC +=，2222(222)(2)25BD BE DE ∴=+=++=； ③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ，90ADC ∠=︒，AD DC =，且2AC =，2sin 45222AD DC AC ∴==︒=⨯=， 又ABC ∆、ADC ∆是等腰直角三角形， 45ACB ACD ∴∠=∠=︒， 90BCD ∴∠=︒，又在Rt ABC ∆中，222222BC =+=，2222(22)(2)10BD BC CD ∴=+=+=． 故BD 的长等于4或25或10．17．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上， 点D ，E 在边PR 上， 点G ，F 在边PQ 上， 那么PQR ∆的周长等于27133+ ．【解答】解： 延长BA 交QR 于点M ，连接AR ，AP ．AC GC =，BC FC =，ACB GCF ∠=∠， ABC GFC ∴∆≅∆，30CGF BAC ∴∠=∠=︒，60HGQ ∴∠=︒，90HAC BAD ∠=∠=︒， 180BAC DAH ∴∠+∠=︒， 又//AD QR ，180RHA DAH ∴∠+∠=︒， 30RHA BAC ∴∠=∠=︒，60QHG ∴∠=︒，60Q QHG QGH ∴∠=∠=∠=︒， QHG ∴∆是等边三角形 ．3cos304232AC AB =︒=⨯=． 则23QH HA HG AC ====．在直角HMA ∆中，3sin 602332HM AH =︒=⨯=．cos 603AM HA =︒=． 在直角AMR ∆中，4MR AD AB ===．2334723QR ∴=++=+． 21443QP QR ∴==+． 3736PR QR==+．PQR ∴∆的周长等于27133RP QP QR ++=+．故答案为：27133+．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD =75．【解答】解：设AC x =，CD y =，由勾股定理得： 2222(5)6425x y x y ⎧++=⎨+=⎩， 消去x ，得：22(5)39y y +-=， 整理，得： 1014y =，即75y =， 故CD 的长为75． 19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 42cm ．（结果保留根号）【解答】解：将圆柱体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，224442AB cm =+=．20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =6DE =，则EB =334 ．【解答】解：在Rt ABC ∆中，42AB =，45A ∠=︒，24242BC ∴=⨯= 在Rt EDC ∆中，60EDC ∠=︒，6DE =，3sin 6332CE DE EDC ∴=∠=⨯= 334BE CE BC ∴=-=-．故填空答案：334-．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 20489+或40165+或4085+ m ．【解答】解：（1）当20是等腰三角形的底边时，根据面积求得底边上的高AD 是16，再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的中线，即底边的一半10BD =， 根据勾股定理即可求得其腰长22100256289AB AD BD =++，此时三角形的周长是20489+；（2）当20是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况． 根据面积求得腰上的高是16；①当高在三角形的外部时，在RT ADC ∆中，2212AD AC CD =-=，从而可得32BD =，进一步根据勾股定理求得其底边是22221632165BC CD BD =+=+=，此时三角形的周长是40165+；②当高在三角形的内部时，根据勾股定理求得2212AD AC CD =-=，8BD AB AD =-=， 在RT CDB ∆中，22BC CD BD =+2216885+=，此时三角形的周长是4085+； 故本题答案为：20489+或40165+或4085+．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun 一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为 10.1 尺．【解答】解：设单门的宽度是x 米，根据勾股定理，得221(0.1)x x =+-， 5.05x =，则210.1x =尺．23．如图是一个长8m 、宽6m 、高5m 的仓库，在其内壁的点A （长的四等分点）处有一只壁虎、点B （宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 85 ．。
专题16勾股定理与弦图问题-2021-2022学年八年级数学上(原卷版)【北师大版】
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】专题1.6勾股定理与弦图问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•重庆期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（）A．25B．19C．13D．1692．（2020秋•明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（）A．小正方形面积为4B．x2+y2＝5C．x2﹣y2＝7D．xy＝243．（2020秋•阜宁县期中）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（）A．9cm2B．36cm2C．27cm2D．45cm24．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（）A．10B．8C．7D．55．（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四边形AECD＝S四边形DEBC6．（2020秋•江阴市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（）A．45B．36C．25D．187．（2020秋•碑林区校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（）A ．214B ．215 C ．225 D ．2238．（2019秋•丹东期末）如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（ ）A ．121B ．144C ．169D ．1969．（2021春•武昌区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则ab 的值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1010．（2020春•海陵区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab ＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．3二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•雨花区校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a 和b，那么（a+b）2的值为．12．（2020秋•淮阴区期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为．13．（2020秋•沈河区校级期中）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为2的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝4√3EF，则正方形ABCD的面积为．14．（2020秋•福田区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于．15．（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 ．16．（2021•高新区一模）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S 1，空白部分的面积为S 2，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，若S 1S 2=32，则nm 的值为 ．17．（2020秋•金水区校级月考）如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为10，小正方形面积为2，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2＝10；②xy ＝2；③x −y =√2；④x +2y =4√2．其中说法正确的有 ．（只填序号）18．（2020•通州区一模）把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD 的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•天宁区期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC ＝3，求该飞镖状图案的面积；（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝．20．（2020秋•姜堰区期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m+n）2；（2）若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．21．（2020秋•徐州期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整：证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线与点F，则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝．（用含字母的代数式表示）因为S四边形ABCD＝S△ACD+＝+12 ab；S四边形ABCD＝S△ADB+=12c2+；所以+12ab=12c2+；所以．22．（2020秋•玄武区校级期中）阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×12ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为；（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC ＝3，求该风车状图案的面积．（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．23．（2020春•青白江区期末）如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．（1）在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．请根据以上材料，填空：方法一：S＝．方法二，S＝S△ABC+S△BDE+S AEF+S△ABE＝ab+12b2−12a2+12c2．（2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDP的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．24．（2020秋•苏州期末）三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1），并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．。
勾股定理专题训练试题精选五附答案
勾股定理专题训练试题精选（五）一．填空题（共30小题）1．（2012•泰州模拟）如图，在3×3的正方形网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，点A是其中的一个格点（小正方形的顶点），若再另外找2个格点B、C，使∠BAC=45°，则这样的角共有_________个．2．（2011•潍坊）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_________．3．（2011•徐汇区一模）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，点D为腰BC中点，点E在底边AB上，且DE⊥AD，则BE的长为_________．4．（2009•攀枝花）如图所示，在△ABC中，∠C=2∠B，点D是BC上一点，AD=5，且AD⊥AB，点E是BD的中点，AC=6.5，则AB的长度为_________．5．（2009•惠安县质检）如图所示，正方形OBB1C的边长为1，以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，依次下去，则对角线OB6的长是_________．6．（2009•都江堰市一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于_________．7．（2009•潮阳区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为_________．8．（2008•新疆）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为_________．（精确到0.01）9．（2004•黄冈）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后依此类推，若正方形①的边长为64cm，则第④个正方形的边长为_________cm．10．（2008•金华）把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC=6cm，则△BCD的面积是_________cm2．11．（2001•重庆）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE=_________．12．已知在△ABC中，∠C=90°，D点在BC边上，且BD=，∠ADC=60°，若S ABD=S△ADC，则AB的长为_________．13．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x、y的正半轴上运动（可以与原点重合），则OB的最大长度为_________．14．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cosθ的值等于_________．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10，则CE 的长为_________．16．等腰三角形两边长为2，5，P为底边上任一点，P到两腰距离之和是_________．17．在△ABC中，D是BC上一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么△ABC的面积是_________．18．如图，△ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，则∠1_________∠2（填“＞”、“＜”或“=”）19．已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10 cm，则△ODE的周长_________cm．20．如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过B作A1B⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt△A2B2B1；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为_________．21．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是_________．22．在如图的正方形网格中作一个有两边长为有理数的锐角等腰三角形，并要求三角形的各个顶点均在格点上．23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=1，过点C作CD⊥AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥CD交AB于点F，过点F作FG∥BC交AC于点G，…若BC、CD、DE、EF、…的长分别是a1、a2、a3、a4…，猜测a n=_________．24．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=12，点M分BC为BM：MC=1：2．则点D到直线AM的距离DE=_________．25．如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为_________cm．26．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，有下列五个结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确结论是_________．27．如图△P1OA1、△P2A1A2、△P3A2A3、…△P2013A2012A2013是等腰直角三角形，点P1、P1、P1、…都在函数y=（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3、…A2012A2013都在x轴上，则A2013的坐标为_________．28．小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠2010次后所得到的等腰直角三角形（如图2011）的一条腰长为_________．29．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若AD=，BC=，则△ABC的周长为_________．30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于E，D，若AC=6，BC=10，则DE的长为_________．勾股定理专题训练试题精选（五）参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2012•泰州模拟）如图，在3×3的正方形网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，点A是其中的一个格点（小正方形的顶点），若再另外找2个格点B、C，使∠BAC=45°，则这样的角共有7个．考点：等腰直角三角形．专题：网格型．分析：根据正方形的对角线平分一组对角可以作出4个45°角，再根据等腰直角三角形的锐角为45°，利用网格结构作等腰直角三角形的锐角为∠BAC又可以得到3个，然后即可得解．解答：解：如图所示，使∠BAC=45°的角共有7个．故答案为：7．点评：本题考查了等腰直角三角形，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的锐角等于45°，熟练掌握网格结构并作出相应角是解题的关键．2．（2011•潍坊）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为cm．考点：勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．专题：压轴题．分析：连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE=BE=4﹣x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得即可．解答：解：连接EB，∴ED=EB，设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2，即：x2+32=（4﹣x）2，解得：x=故答案为：cm．为何不可解，请说明理由点评：本题考查了勾股定理的内容，利用勾股定理不单单能在直角三角形中求边长，而且能利用勾股定理这一隐含的等量关系列出方程．3．（2011•徐汇区一模）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，点D为腰BC中点，点E在底边AB上，且DE⊥AD，则BE的长为．考点：勾股定理；射影定理．专题：计算题．分析：先根据已知条件，利用勾股定理分别求出AB、AD的长，再根据射影定理求出AE的长，然后用AB减去AE即可得EB．解答：解：过D点作DH⊥AB，垂足为H，∵在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，∴AB==2．∵点D为腰BC中点，∴AD==，∵DE⊥AD，∠B=45°，∴DH=HB=，∴AD2=AH•AE，∴AE===，EB=AB﹣AE=2﹣=．故答案为：．点评：此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，解答关键是过D点作DH⊥AB，求出AE的长，这是此题的突破点，此题有点难度，属于中档题．4．（2009•攀枝花）如图所示，在△ABC中，∠C=2∠B，点D是BC上一点，AD=5，且AD⊥AB，点E是BD的中点，AC=6.5，则AB的长度为12．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：Rt△ABD中，AE是斜边BD上的中线，则BE=AE=DE，因此∠AEC=2∠B，由此可证得△AEC是等腰三角形，即AE=AC=6.5，由此可得到BD的长，进而可由勾股定理求出AB的值．解答：解：Rt△ABD中，E是BD的中点，则AE=BE=DE；∴∠B=∠BAE，即∠AED=2∠B；∵∠C=2∠B，∴∠AEC=∠C，即AE=AC=6.5；∴BD=2AE=13；由勾股定理，得：AB==12．点评：此题主要考查的是直角三角形、等腰三角形的性质及勾股定理的综合应用能力；能够发现△AEC是等腰三角形，以此得到直角三角形的斜边长，是解答此题的关键．5．（2009•惠安县质检）如图所示，正方形OBB1C的边长为1，以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，依次下去，则对角线OB6的长是8．专题：计算题；压轴题；规律型．分析：由正方形OBB1C得出∠OBB1=90°，OB=BB1=1，根据勾股定理求出OB1，同法可求OB2，OB3，OB4，OB5，OB6．即可得到所填答案．解答：解：正方形OBB1C的边长为1，在△OBB1中∠OBB1=90°，由勾股定理得：OB1==，同法可求：OB2=×=2，OB3=××=2，OB4=×××=4，OB5=4，OB6=8．故答案为：8．点评：本题考查了正方形的性质和勾股定理得知识点，解此题的关键是正确利用勾股定理求斜边长．6．（2009•都江堰市一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于．考点：勾股定理的逆定理；解分式方程；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：根据△ABE∽△ECF，可将AB与BE之间的关系式表示出来，在Rt△ABE中，根据勾股定理AB2+BE2=AC2，可将正方形ABCD的边长AB求出，进而可将正方形ABCD的面积求出．解答：解：设正方形的边长为x，BE的长为a∵∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠CEF=90°∴∠BAE=∠CEF∵∠B=∠C∴△ABE∽△ECF∴=，即=解得x=4a①在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴x2+a2=42②将①代入②，可得：a=∴正方形ABCD的面积为：x2=16a2=．点评：本题是一道根据三角形相似和勾股定理来求正方形的边长结合求解的综合题．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．注意后面可以直接这样x2+a2=42②，∴x2+（）2=42，x2+x2=42，x2=16，x2=．无需算出算出x．7．（2009•潮阳区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为6．考点：勾股定理的逆定理；含30度角的直角三角形．分析：运用线段垂直平分线的性质得∠A=∠ABE，根据折叠的性质得∠ABE=∠CBE，然后根据直角三角形的性质计算．解答：解：根据题意，得DE垂直平分AB，则AE=BE．得∠A=∠ABE根据折叠，得∠ABE=∠CBE再根据直角三角形的两个锐角互余得∠A=∠ABE=∠CBE=30°∴CE=BE=2则AC=4+2=6．点评：此题综合了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，所以学生学过的知识要系统．8．（2008•新疆）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为 6.71．（精确到0.01）考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；轴对称的性质．专题：压轴题；跨学科．分析：要求从A到B光线经过的路线的长度利用光学反射原理得到∠ACO=∠BCX，这样找出A关于x轴的对称点D，则D、C、B在同一条直线上，再过B作BE⊥DE于E，构造直角三角形，然后利用勾股定理就可以求出．解答：解：延长BC交y轴于D，过B作BE⊥DE于E，根据光学反射原理得∠ACO=∠BCX，而∠BCX=∠DCO∴∠ACO=∠DCO∴△ACO≌△DCO∴AC=DC∴OD=OA=1．在直角△DBE中，BE=6，DE=2+1=3，∴DB==∴光线从A到B经过的路线的长度约是6.71．故答案为：6.71．点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目．9．（2004•黄冈）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后依此类推，若正方形①的边长为64cm，则第④个正方形的边长为cm．考点：等腰直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：第一个正方形的边长为64cm，则第二个正方形的边长为64×cm，第三个正方形的边长为64×（）2cm，依此类推，通过找规律求解．解答：解：根据题意：第一个正方形的边长为64cm；第二个正方形的边长为：×64=32；第三个正方形的边长为：×32=32；…此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的边长，所以第n个正方形的边长为64×（）n﹣1cm，则第4个正方形的边长为64×（）3=16cm．点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．10．（2008•金华）把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC=6cm，则△BCD的面积是27cm2．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：本题考查直角三角形的性质和勾股定理，利用直角三角形的性质和勾股定理解答．解答：解：∵两块三角尺是有30°的相同的直角三角尺，∠ABC=∠EBD=30°，∴=，cos∠ABC=cos30°==，∴AB=BE=2AC=2DE=2×6=12，BC=×AB=×12=6，∴BD=6，过D作DF⊥BE，在Rt△BDF中，∠DBE=30°，∴==，DF=3，∴S△BCD=BC•DF=×6×3=27cm2．故答案为：27．点评：本题是一道根据直角三角形的性质结合勾股定理求解的综合题，求高DF除上述方法外，还可根据面积法列方程解答，同学们可以自己试一下．11．（2001•重庆）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE=1．考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理．分析：由等腰直角三角形ABC中，AB=，由勾股定理可知AC=AB=1，再证△ADC≌△BDE，从而推出BE=AC=1．解答：解：∵等腰直角三角形ABC中，AB=，∴AC=AB=1，∵等边△ABD和等边△DCE，∴AD=BD，CD=ED，∠ADB=∠CDE，∴∠ADC=∠BDE，在△ADC和△BDE中，，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴BE=AC=1．点评：解决本题的关键是利用三角形全等得到所求线段的转化．12．已知在△ABC中，∠C=90°，D点在BC边上，且BD=，∠ADC=60°，若S ABD=S△ADC，则AB的长为7．考点：勾股定理．专题：常规题型．分析：根据S ABD=S△ADC，可得BD=CD，即可求得AC，BC的长，根据勾股定理即可求得AB的长．解答：解：∵S ABD=S△ADC，∴BD=CD，∵∠ADC=60°，∴tan60°==，∴AC=，∴AB2=+=49，∴AB=7．点评：本题考查了勾股定理的运用，本题中熟练运用勾股定理是解题的关键．13．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x、y的正半轴上运动（可以与原点重合），则OB的最大长度为1+．考点：勾股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线．分析：Rt△AOC的外接圆圆心是AC中点，设AC中点为D，根据三角形三边关系有OB≤OD+BD=1+，即O、D、B三点共线时OB取得最大值．解答：解：作AC的中点D，连接OD、BD，∵OB≤OD+BD，∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，∵BD==，OD=AD=AC=1，∴点B到原点O的最大距离为1+．故答案为：1+．点评：考查了勾股定理，三角形三边关系，能够理解在什么情况下，点B到原点O的距离最大．14．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cosθ的值等于．考点：勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义．分析：根据大正方形的面积求得直角三角形的斜边是5，根据大正方形减去小正方形的面积即四个直角三角形的面积和是24，求得两条直角边的乘积是12．再根据勾股定理知直角三角形的两条直角边的平方和等于25，联立解方程组可得两条直角边分别是3，4，则cosθ=．解答：解：根据题意，大正方形边长==5，小正方形的边长=1．∴三角形的面积=（25﹣1）÷4=6．设三角形两直角边为a、b，则ab=6．又a2+b2=52联立解得所以cosθ=．点评：此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10，则CE 的长为4或6．考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC≌△BMG，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE中，根据AE2=AD2+DE2求x的值，可以求CE的长度．解答：解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG，易知四边形BCDM是正方形，所以BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM，∴△BEC≌△BMG（SAS），∴∠MBG=∠CBE，∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=45°，∴∠GBM+∠ABM=45°，∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10，设CE=x，则AM=10﹣x，AD=12﹣（10﹣x）=2+x，DE=12﹣x，在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，∴100=（x+2）2+（12﹣x）2，即x2﹣10x+24=0；解得：x1=4，x2=6．故CE的长为4或6．点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，本题中求△ABE≌△ABG即AG=AE=10是解题的关键．16．等腰三角形两边长为2，5，P为底边上任一点，P到两腰距离之和是．考点：勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质．分析：连接AD，根据等腰三角形的性质可表示出S△ABC=S△ABD+S△ACD的值，再根据S△ABC=AB•CG，即可得到ED+FD=CG；然后利用三角形的面积求得CG的值．解答：解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，过点A作AH⊥BC于点H，连接AD．∵2+2＜5，∴等腰△ABC的腰AB=AC=5；∴AH==2；有∵AB=AC，∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB•ED+AC•FD=AB•（ED+FD），∴ED+FD=CG；∵S△ABC=AB•CG=BC•AH，∴CG=，即ED+FD=；故答案是：．点评：本题综合考查了勾股定理、三角形的面积、等腰三角形的面积．解答此题的关键是求得ED+FD=CG．17．在△ABC中，D是BC上一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么△ABC的面积是36．考点：勾股定理．分析：要求△ABC的面积，由BC等于BD+DC，过A作边BC上的高AF，利用三角形的面积公式即可求出，下面来求AF的长，过C作CE垂直于AD，垂足为E，由AC=DC，根据等腰三角形的“三线合一”得到E为AD中点，由AD的长求出DE的长，在直角三角形CDE中，利用勾股定理求出CE的长，又AD的长，利用三角形的面积公式求出△ADC的面积，然后再由CD作为底，其高为AF，根据三角形的面积公式及求出的面积求出AF的长，最后由BC和高AF，利用三角形面积公式求出即可．解答：解：过A作AF⊥DC，过C作CE⊥AD，∵AC=DC=5，又AD=6，∴AE=DE=AD=3，在Rt△DEC中，根据勾股定理得：CE==4，∴S△ACD=AD•CE=×6×4=12，又S△ACD=DC•AF=×5•AF=12，解得AF=，又∵BD=10，则S△ABC=BC•AF=（BD+DC）•AF=×（10+5）×=36．故答案为：36．点评：此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形的面积公式．作出BC边上的高AF，利用“等积法”求出高AF是解本题的关键．18．如图，△ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，则∠1=∠2（填“＞”、“＜”或“=”）考点：等腰直角三角形；勾股定理．分析：先过E作EF⊥AB，设CA=CB=3，利用勾股定理求出EF=BF=，再证明Rt△DCE与Rt△AFE相似即可得出答案．解答：解：过E作EF⊥AB，设CA=CB=3，AB=3AD=AC=1，CD=2CE=BC=1，EB=2EF=BF=AF=AB﹣BF=3﹣=2，所以=，所以，Rt△DCE与Rt△AFE相似．所以，∠1=∠2．故填：=．点评：此题考查学生对等腰直角三角形，勾股定理和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是过E 作EF⊥AB，这是此题的突破点，然后利用相似三角形即可证明，此题属于中档题．19．已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10 cm，则△ODE的周长10cm．考点：角平分线的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：根据角平分线的性质以及平行线的性质，把△ODE三条边转移到同一条线段BC上，即可解答．解答：解：∵OC、OB分别是∠ACB、∠ABC的角平分线，∴∠5=∠6，∠1=∠2，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠4=∠6，∠1=∠3．∴∠4=∠5，∠2=∠3，即OD=BD，OE=CE．∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm．故答案为：10．点评：此题比较简单，利用的是角平分线的定义，平行线及等腰三角形的性质．20．如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过B作A1B⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt△A2B2B1；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为2．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；规律型．分析：根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么阴影部分面积与空白部分面积之比为16：25，那么所有的阴影部分面积之和可求了．解答：解：易得△ABA1∽△BA1B1，∴相似比为A1B：AB=sin∠A=4：5，那么阴影部分面积与空白部分面积之比为16：25，同理可得到其他三角形之间也是这个情况，那么所有的阴影部分面积之和应等于=3×4÷2×=．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．21．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是 3.125．考点：勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．专题：计算题．分析：已知AB、BC的值，根据勾股定理即可求得AC的长度，根据对角线互相平分求得AO的值，根据∠CAD 的余弦函数值即可求得=，已知AC，AB，AD的值即可求得AE的长．解答：解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∴AO=2.5，∵∠CAD的余弦值==，即=，解得：AE=3.125．故答案为：3.125．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了余弦函数的计算，考查了矩形对角线互相平分的性质，本题中根据∠CAD的余弦值求AE的值是解题的关键．22．在如图的正方形网格中作一个有两边长为有理数的锐角等腰三角形，并要求三角形的各个顶点均在格点上．考点：勾股定理；无理数；等腰三角形的性质．专题：作图题．分析：在网格中利用勾股定理中的勾三股四弦五作出腰长为5的等腰三角形即可．解答：解：如果使用已知线段作为等腰三角形的腰长，可画出一条腰长，但另一腰就无法画出，应利用勾三股四弦五画出两条边长为5的三角形．点评：本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理、无理数意义等知识．在正方形网格中画含有长为无理数的三角形，一定要结合勾股定理．23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=1，过点C作CD⊥AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥CD交AB于点F，过点F作FG∥BC交AC于点G，…若BC、CD、DE、EF、…的长分别是a1、a2、a3、a4…，猜测a n=．考点：勾股定理；解直角三角形．专题：规律型．分析：根据勾股定理或三角函数容易求得BC==，CD==，DE==，EF==，…，依此规律可得a n的值．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=1，∴BC==，易求CD==，DE==，EF==，…，故a n=．故答案为：．点评：考查了含30度角的直角三角形的性质，三角函数的知识，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．24．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=12，点M分BC为BM：MC=1：2．则点D到直线AM的距离DE=7.2．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理．分析：设DE和BC交于F，先证出△ABM∽△FCD，求出AM的长，再利用△ABM∽△DEA，根据对应边成比例即可求出DE的值．解答：解：设DE和BC交于F，∵AB=3，AD=12，BM：MC=1：2∴BM=4，CM=8，∴AM==5，∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MAD，又∵∠B=∠E=90°，∴△ABM∽△AED，∴，∴DE=7.2．点评：此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了勾股定理，以及对顶角相等的知识．25．如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为6cm．考点：等腰直角三角形．专题：应用题．分析：由题可知，进入圆水杯中的三角形PBC可看作是一个斜边为8cm的等腰直角三角形，所以在此三角形中斜边上的高应该为4cm，因此若使高为10cm容器中的水面与易拉罐相接触，由此可以求出水深．解答：解：如图，依题意得△PBC是一个斜边为8cm的等腰直角三角形，∴此三角形中斜边上的高应该为4cm，∴水深至少应为10﹣4=6cm．点评：解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到等腰直角三角形中，利用它的性质即可解答．26．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，有下列五个结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确结论是①④⑤．考点：等腰直角三角形；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：解答此题的关键是在于判断△DFE是否等腰直角三角形；做常规辅助线，连接CF，由SAS定理可得△CFE≌△ADF，从而可证∠DFE=90°可得DF=EF，可得①△DFE是等腰直角三角形正确；②，再由补割法可证④是正确的．判断③与⑤，①△DFE是等腰直角三角形；可得DE=DF，当DF⊥BC时，DF 最小，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的，个，故①④⑤正确．解答：解；连接CF．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，∵∠AFD+∠CFD=90°∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴①正确；当D、E分别为AC，BC的中点时，四边形CDEF是正方形，因此②错误；∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴④是正确的；∵△DEF是等腰直角三角形，∴当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4，∴DE=DF=4，∴③错误；当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小，此时，S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8，∴⑤正确．综上所述正确的有①④⑤．故答案为：①④⑤．点评：此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．27．如图△P1OA1、△P2A1A2、△P3A2A3、…△P2013A2012A2013是等腰直角三角形，点P1、P1、P1、…都在函数y=（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3、…A2012A2013都在x轴上，则A2013的坐标为．考点：等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：解题方法．分析：由△P1OA1是等腰直角三角形，P1Q1⊥OA1，可得P1Q1=OQ1=Q1A1，其它三角形都具有同样的性质，易求A1（4，0），设P2Q2=a，∴OQ2=4+a，∴P2（4+a，a），代入，得a（a+4）=4，解得，所以A2的坐标为；同理可求其它各点的坐标．解答：解：∵△P1OA1是等腰直角三角形，P1Q1⊥OA1，∴P1Q1=OQ1=Q1A1，设P1Q1=x，则P1Q1=OQ1=Q1A1=x，∴P1（x，x），代入，得x=2，∴P1（2，2），∴OA1=4，∴A1（4，0），设P2Q2=a，∴OQ2=4+a，∴P2（4+a，a），代入，得a（a+4）=4，解得：，∴，∴，故A2的坐标为，同理：可求得，故A2013的坐标为．点评：本题考查了等腰直角三角形的性质及反比例函数的性质，解题关键是探寻各个点的横坐标的规律．28．小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠2010次后所得到的等腰直角三角形（如图2011）的一条腰长为．考点：等腰直角三角形；勾股定理．专题：规律型．分析：通过分别计算折叠两次后的等腰三角形的腰长，可以发现折叠n次的等腰三角形的腰长等于的n次方．问题可解．解答：解：等腰三角形的一条腰长为；第二次折叠后的等腰三角形的一条腰长为，即；…依此类推，小华连续将图1的等腰直角三角形折叠2010次后所得到的等腰直角三角形的一条腰长为．故答案为：．点评：此题主要考查勾股定理和等腰直角三角形的理解和掌握，关键是利用勾股定理分别计算出折叠两次后的等腰三角形的腰长，从中发现规律，此类题目难度较大，属于难题．29．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若AD=，BC=，则△ABC的周长为6+2．考点：勾股定理；相似三角形的性质．分析：利用三角形相似，及射影定理可推出AB2=BD•BC，AC2=DC•BC，AD2=BD•DC，进而求解．解答：解：由题意可知，AD=，BC=，即BD+CD=2，BD•CD=AD2=，解之得，BD=，CD=，则AB2=BD•BC==4，则AB=2，同理，AC=4，则△ABC的周长为6+2．点评：熟练掌握勾股定理及相似三角形的定理及性质．30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于E，D，若AC=6，BC=10，则DE的长为14．。
第1章勾股定理(已整理)
第一章勾股定理1探索勾股定理练习题1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则ΔABC的斜边AB的长是()A.20B.10C.9.6D.82.直角三角形两直角边长分别是6和8,则周长与最短边长的比是()A.7∶1B.4∶1C.25∶7D.31∶73.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,若BC=10,AD=12,则AC=.3题图 4题图 5题图4.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于.【基础巩固】1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,则AC=.2.若三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,则此三角形的周长为,面积为.3.已知直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长为.4.如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是.【能力提升】5.如图所示,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c6.如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是.7.如图所示,阴影部分是一个正方形,它的面积为.8.如图所示,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是.9.飞机在空中水平飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?10.一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.【拓展探究】12.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=.13.如图所示,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的距离是.如左下图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为()A.5B.6C.7D.25例1 例题2如图所示,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为.我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 〔解析〕根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.检测反馈1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是()2.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是()2题图 3题图A.c2=a2+b2B.c2=a2+2ab+b2C.c2=a2-2ab+b2D.c2=(a+b)23.如图所示,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是,两种结果相等,推得勾股定理是.4.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?【基础巩固】1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是()A.1B.2C.12D.131题图 3题图3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c 的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为 ()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC,其中∠DAB=90°,求证a2+b2=c2.证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵b2+ab,又∵c2+a(b-a),∴b2+ab=c2+a(b-a),∴a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB=90°,连接BE.验证a2+b2=c2.证明:连接,∵=,又∵=,∴,∴a2+b2=c2.2一定是直角三角形吗？1.以以下各组数为三边长的三角形中,能组成直角三角形的是()A.3,4,6B.9,12,15C.5,12,14D.10,16,252.ΔABC的三边长分别为a,b,c,在下列条件下,不能判定ΔABC是直角三角形的是()A.a2=b2-c2B.a2∶b2∶c2=1∶2∶3C.∠A=∠B-∠CD.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶53.如图所示,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为()A.72B.36C.66D.424.如图所示,在ΔABC中,AB=26,BC=20,边BC上的中线AD=24.求AC.【基础巩固】1.下列几组数中,是勾股数的是 ()A.5,6,7B.3,4,9C.5,3,6D.10,24,262.有五根木棒,它们的长度分别为2 cm,6 cm,8 cm,10 cm,12 cm,从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形,则这三根木棒的长度分别为 ()A.2 cm,6 cm,8 cmB.6 cm,8 cm,10 cmC.6 cm,8 cm,12 cmD.2 cm,8 cm,10 cm3.如图所示,有一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,∠ADC=90°,AB=13 m,BC=12 m,则这块地的面积为()A.24 m2B.26 m2C.28 m2D.30 m24.若ΔABC的三边长a,b,c满足|a-5|+(b-12)2+(c-13)2=0,则ΔABC的面积为.【能力提升】5.观察下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;⑤15,m,n.根据你发现的规律可得m+n=.6.如图所示,∠C=90°,AC=12,BC=9,AD=8,BD=17,求ΔABD的面积.7.已知a,b,c为ΔABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ΔABC的形状.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②∴c2=a2+b2.③∴ΔABC是直角三角形.(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:;(2)错误的原因为;(3)写出本题正确的解题过程.8.求证若勾股数组中,弦与股的差为1.证明这样的勾股数组可表示为如下形式:2a+1,2a2+2a,2a2+2a+1,其中a为正整数.9.国道通过A,B两村庄,而C村庄离国道较远,为了响应政府“村村通公路”的号召,C村决定采用自己筹集一部分,政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道.已知C村到A,B两村的距离分别为6 km,8 km,A,B两村距离为10 km,那么这条水泥路的最短距离为多少?3勾股定理的应用课后练习题1.如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行()A.8 mB.10 mC.12 mD.14 m2.如图所示,将一根长24 cm的筷子放入底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的最小值是()A.12 cmB.13 cmC.11 cmD.9 cm3.某楼梯的侧面视图如图所示,其中AB=6.5米,BC=2.5米,∠C=90°,楼梯的宽度为6米,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的面积应为.4.如图所示,铁路AB的一边有C,D两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知AB=25 km,DA=15 km,CB=10 km,现要在铁路上建一个农产品收购站E,并使DE=CE,则农产品收购站E应建在距点A多少千米处?【基础巩固】1.如图所示,一根竹子高9尺,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处,折断处离地面高度是 ()A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺2.如图所示,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到正方体上底面的B点处,它爬行的最短路线是()A.A⇒P⇒BB.A⇒Q⇒BC.A⇒R⇒BD.A⇒S⇒B3.如图所示,一个圆柱的底面半径为8 cm,高为15πcm,一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是cm.4.有一块边长为24米的正方形绿地ABCD(如图所示),在绿地的BC边上距B点7米的点E处有一健身器,居住在A处的居民经常践踏绿地,沿直线AE直达E处健身,小明同学想在A处立一块标牌“少走■米,踏之何忍?”,则标牌上的“■”处的数字是.5.如图所示,要从电线杆离地面12米处向地面拉一条长为13米的钢缆,求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离.【能力提升】6.两艘轮船从同一港口同时出发,甲船时速40海里,乙船时速30海里,两小时后,两船相距100海里,已知甲船的航向为北偏东46°,则乙船的航向为()A.东偏南46°B.北偏西46°C.东偏南46°或西偏北46°D.无法确定7.如图所示,已知长方体的三条棱AB,BC,BD的长分别为4,5,2,蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是.7题图 9题图 10题图8.一艘轮船以24海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船同时以10海里/时的速度离开港口向西南方向航行,经过1小时,这两艘轮船相距多远?9.如图所示,在长15米,宽8米的长方形ABCD花园内修一条长13米的笔直小路EF,小路出口一端E选在AD边上距D点3米处,另一端出口F应选在AB边上距B点几米处?10.如图所示,有一圆柱形油罐,要从A点环绕油罐搭梯子,正好到A点的正上方B点.梯子最短需要多少米?(已知油罐底面的周长是12 m,高AB是5 m)【拓展探究】11.如图所示,三条公路的交叉地带是一个三角形,经测量这个三角形的三条边长分别是AB=130米,BC=140米,AC=150米.市政府准备将其作为绿化用地,请你求出绿化用地的面积.如图所示,圆柱形玻璃杯,高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.第一章勾股定理专题复习专题一勾股定理及其逆定理的基本用法【专题分析】勾股定理是初中阶段应该掌握的一个重要定理,运用勾股定理的过程中蕴含着方程、几何、不等式等多种解决问题的方法.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最大边长为c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则ΔABC是以∠C为直角的直角三角形.(若c2>a2+b2,则ΔABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2<a2+b2,则ΔABC为锐角三角形)若直角三角形两直角边长的比是3∶4,斜边长是20,求此直角三角形的面积.【针对训练1】等腰三角形的底边长为6,腰长为5,求ΔABC的面积.如图所示,ΔABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.(1)求证ΔBCD是直角三角形;(2)求ΔABC的面积.【针对训练2】如图所示,在四边形ABDC中,∠A=90°,AB=9,AC=12,BD=8,CD=17.(1)求BC的长;(2)求四边形ABDC的面积.专题二勾股定理的应用【专题分析】在实际生活中,勾股定理有着广泛的应用.在运用的过程中,要注意是运用勾股定理还是运用勾股定理的逆定理.在解决问题的过程中,寻找和构造垂直关系就成为解题的关键所在.(莱芜中考)如图所示,在ΔABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,求BP的最小值.【针对训练3】如图所示,直线MN表示一条铁路,A,B是两个城市,它们到铁路的垂直距离分别为AA1=20 km,BB1=40 km,已知A1B1=80 km,现要在A1,B1之间设一个中转站P,使两个城市到中转站的距离之和最短,请你设计一种方案确定P点的位置,并求这个最短距离.专题三数学思想方法(一)转化的思想方法【专题分析】我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.如图(1)所示,ΔABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.【针对训练4】在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图(1)所示.为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内(包括250米)不得进入,则在进行爆破时,公路AB段是否有危险?是否需要暂时封锁?(二)方程的思想方法【专题分析】方程是通过等量关系解决问题的重要手段,在解决几何计算、代数求值、求解函数解析式等都渗透着方程思想,在中考中方程思想占有重要的地位,渗透在各种大小问题之中.如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求EF的长.【针对训练5】如图所示,四边形ABCD是长方形,把ΔACD沿AC折叠得到ΔACD',AD'与BC交于点E,若AD=4,DC=3,求BE的长.。
五年级 勾股定理题库
勾股定理与弦图一．知识精讲 勾股定理的概念勾股定理（毕达哥拉斯定理）：直角三角形中的两条直角边的平方和等于斜边的平方．即若a 、b 为直角边，c 为斜边，则222a b c +=．勾股定理逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形．即△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，其中c 为最长边，若222a b c +=，则△ABC 是直角三角形，∠C 为直角． 勾股数能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=，a 、b 、c 为正整数时，称a 、b 、c 为一组勾股数．（1）每组勾股数的相同整数倍也是勾股数．（2）3、4、5是勾股数，又是三个连续整数，并不是所有三个连续整数都是勾股数． （3）常见的勾股数有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41等． 弦图外弦图 内弦图 勾股弦方图是一种证明勾股定理的图像，具体来说就是：用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．在这幅“勾股弦方图”中，以弦为边长的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的．每个直角三角形的面积为(2)a b ⨯÷；中间的小正方形边长为()b a -，则面积为2()b a -．于是便可得如下的式子：22 4(2)()a b b a c ⨯⨯÷+-=，化简后便可得：222a b c +=．a bDCB A ba a aa bbbc c c c DCBAb a aaa bb bcc ccDC BA aa b bc cA BCa b c板块一.勾股定理类型一：直接应用1.如图在直角三角形ABC 中,AB =6，BC =8，求AC =______________．2.如图在直角三角形ABC 中,AB =8， AC =17，求．BC =______________．3.如图在直角三角形ABC 中,AB =9，AC =15，求．BC =_______________．4.三角形ABC 中，13AB =，15AC =，高12AD =，则ABC ∆的周长是______．5.已知：锐角△ABC 中，20AB =，15AC =，BC 边上的高为12，求△ABC 的面积．6.一个长方形的长为12cm ，对角线长为13cm ，则该长方形的周长为_____________．7.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m ，目测点到杆的距离为15m ，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m ）( ) A ．20m B ．25m C ．30m D ．35mABCABCDAB CAB CABC8.如下图，两个正方形的面积分别为64，49，求AC 的长．9.根据图中所给的条件，求梯形ABCD 的面积．10.求下列体形的周长与面积。
中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题(含答案解)
中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题（含答案解） 知识点总结1. 勾股民定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。
若直角三角形的两直角边是b a ，，斜边是c ，则222b a c +=。
2. 勾股数：满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。
3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是c b a ，，，且满足222b a c +=，则三角形是直角三角形，且∠C 是直角。
4. 特殊三角形三边的比：①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：2:3:1。
②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：2:1:1。
5. 两点间的距离公式：若点()11y x A ，与点()22y x B ，，则线段AB 的长度为：()()221221y y x x AB −+−=。
练习题 1、（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC ．若OC ＝，BC ＝1，∠AOB ＝30°，则OA 的值为（ ）A ．3B ．23C ．2D ．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故选：A．2、（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．603m C．605m D．1203m【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB ＝2BC ＝120m ，∴AC ＝＝m ． 故选：B ．3、（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，∠A 所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）A ．23B ．23﹣3C ．23或3D ．23或23﹣3【分析】根据题意知，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH ，AH 的长，再利用勾股定理求出BH ，从而得出答案．【解答】解：如图，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，∴DH ＝BH ，∵∠A ＝30°，∴CH ＝AC ＝，AH ＝CH ＝，在Rt △CBH 中，由勾股定理得BH ＝＝，∴AB ＝AH +BH ＝＝2，AD ＝AH ﹣DH ＝＝， 故选：C ． 4、（2022•荆州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，通过尺规作图得到的直线MN 分别交AB ，AC 于D ，E ，连接CD ．若CE ＝31AE ＝1，则CD ＝ ．【分析】如图，连接BE ，根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，从而得到AE ＝BE ＝3，然后利用勾股定理求出BC ，AB ，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．【解答】解：如图，连接BE ，∵CE ＝AE ＝1，∴AE ＝3，AC ＝4，而根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ＝3，在Rt △ECB 中，BC ＝＝2，∴AB ＝＝2， ∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，∴CD ＝AB ＝．故答案为：． 5、（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于21AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．25B ．3C ．22D ．310 【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝＝＝10， ∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴＝， ∴＝，∴AE ＝，故选：A ．6、（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A ．42B ．6C ．210D ．35【分析】在网格中，以MN 为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM 最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．7、（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：＝，点O到学校的距离为：＝，点O到体育场的距离为：＝，点O到医院的距离为：＝，∵＜＝＜，∴点O到超市的距离最近，故选：A．8、（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE 的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（）A．14B．15C．4D．17【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，然后根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得CE的长．【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四边形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故选：D．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，如图所示，∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，∴△BDE≌△BDF（SAS），∴BE＝BF，∠BEA＝∠BF A＝45°，∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠EBA＝∠FBC，∵BE＝BF，BA＝BC，∴△EBA≌△FBC（SAS），∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，∵点A为DE的中点，∴AE＝1，∴CF＝1，∴EC＝＝＝，故选：D．9、（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴斜边c＝＝＝＝2，故答案为：2．10、（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE ∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故选项A错误；故选：A．11、（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度．【解答】解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．12、（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．13、（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．14、（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH ＝BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．15、（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案为：m2+1．16、（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．【解答】解：设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．17、（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．18、（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，故答案为：．。
2023-2024学年八年级数学下册 专题04 勾股定理常考压轴题汇总(解析版)
专题04勾股定理常考压轴题汇总一．选择题（共23小题）1．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴a+b＝6+8＝14，故选：B．2．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是6和3，则所走的最短线段是＝3；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是5和4，所以走的最短线段是＝；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和2，所以走的最短线段是＝；三种情况比较而言，第二种情况最短．所以它需要爬行的最短路线的长是，故选：B．3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI 上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3B．C．2D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°，∴∠FAC＝∠ABC，在△FAM与△ABN中，，∴△FAM≌△ABN（ASA），＝S△ABN，∴S△F AM＝S四边形FNCM，∴S△ABC∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC＝6，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝36，∴AB2+2AC•BC＝36，＝10.5，∵AB2﹣2S△ABC∴AB2﹣AC•BC＝10.5，∴3AB2＝57，解得AB＝或﹣（负值舍去）．故选：B．5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【答案】C【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．6．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AC＝3，则BC长是（）A．3.5B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以AC为直径的半圆的面积＝×π×＝π，同理：以BC为直径的半圆的面积＝π，以AB为直径的半圆的面积＝π，∴S1+S2＝π+π+△ABC的面积﹣π，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝△ABC的面积＝AC•BC＝7，∵AC＝3，∴BC＝．故选：B．7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm 的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm【答案】A【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI＝cm，而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI＝＝＝5（cm），∴GJ长度的最小值为（10﹣5）cm．故选：A．8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．420B．440C．430D．410【答案】B【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，由题意得，∠BAC＝∠BPF＝∠FBC＝90°，BC＝BF，∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠PBF+∠ABC，∴∠ACB＝∠PBF，∴△ABC≌△PFB（AAS），同理可证△ABC≌△QCG（AAS），∴PB＝AC＝8，CQ＝AB＝6，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴IP＝8+6+8＝22，DQ＝6+8+6＝20，∴长方形KLMJ的面积＝22×20＝440．故选：B．9．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．3km B．10km C．6km D．km【答案】D【解答】解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察图形可知AC＝9﹣7+4﹣1＝5（km），BC＝3+2+1＝6（km），在Rt△ACB中，AB＝（km）．答：门口A到藏宝点B的直线距离是km，故选：D．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝9，BC＝6，则BD的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝9，BC＝6，∴，∵，∴AC•BC＝AB•CD，，，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴，故选：B．11．如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【答案】D【解答】解：根据勾股定理求得，AB＝＝10（m），∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故选：D．12．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148B．100C．196D．144【答案】A【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．13．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（）A．5B．C．6D．【答案】C【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵AD＝8，CD＝6，∴AC＝，∵M是AC的中点，∴DM＝AC＝5，∵M是AC的中点，E是AB的中点，∴EM是△ABC的中位线，∵BC＝2，∴EM＝BC＝1，∵DE≤DM+EM（当且仅当点M在线段DE上时，等号成立），∴DE≤6，∴DE的最大值为6．故选：C．14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【答案】A【解答】解：∵点C为线段AB的中点，∴AC＝AB＝4cm，在Rt△ACD中，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∵CD⊥AB，∴∠DCA＝∠DCB＝90°，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴AD＝BD＝5cm，∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；∴橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．15．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，则CB＝＝，那么点P表示的实数为3﹣，故选：A．16．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，∴可有，解得c2＝18，解得或（不合题意，舍去），∴大正方形的边长是．故选：D．17．如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m∴AC＝＝4（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，故选：C．18．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH．CF，具中正方形BCIH面积为1，正方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（）A．4B．5C．6D．10【答案】D【解答】解：过点C作CM⊥EF于点M，交AB于点N，∵正方形ABFE面积为5，正方形BCIH面积为1，∴CN⊥AB，BC＝1，AB＝MN＝，BN＝FN，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝2，∴，即＝CN，∴CN＝，∴BN＝FM＝＝＝，∴CM＝CN+MN＝＝，∴CF＝10，∴以CF为边长的正方形面积为10．故选：D．19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（）A．10B．15C．20D．30【答案】C【解答】解：如图，过E作BC的垂线交ED于D，连接EM．在△ACB和△BDE中，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝∠EBD，AB＝BD，∴△ACB≌△BND（AAS），同理，Rt△GDE≌Rt△HCB，∴GE＝HB，∠EGD＝∠BHC，∴FG＝EH，∴DE＝BC＝CM，∵DE∥CM，∴四边形DCME是平行四边形，∵∠DCM＝90°，∴四边形DCME是矩形，∴∠EMC＝90°，∴E、M、N三点共线，∵∠P＝∠EMH＝90°，∠PGF＝∠DGE＝∠BHC＝∠EHM，∴△PGF≌△MHE（AAS），∵图中S1＝S Rt△EMH，S△BHC＝S△EGD，∴S1+S3＝S Rt△ABC．S2＝S△ABC，∴S1+S2+S3＝Rt△ABC的面积×2＝20．故选：C．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，则S2为（）A．9B．11C．32D．41【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2．∵S1＝（AB）2π＝AB2＝25，∴AB2＝25×．同理BC2＝16×．∴AC2＝AB2﹣BC2＝25×﹣16×＝9×．∴S1＝（AC）2π＝AC2＝×9×＝9．故选：A．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．若已知S△ABC＝S，则下列结论：①S4＝S；②S2＝S；③S1+S3＝S2；④S1+S2+S3+S4＝2.5S．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解答】解：由题意有Rt△EBD≌Rt△ABC，∴S4＝S；故①正确；过F作AM的垂线交AM于N，由题意，得Rt△ANF≌Rt△ABC，Rt△NFK≌Rt△CAT，所以S2＝S，故②正确；连接FP，FQ，由题意，可得△AQF≌△ACB，则F，P，Q三点共线，由Rt△NFK≌Rt△CAT可得Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，可得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S，故③正确；S1+S2+S3+S4＝（S1+S3）+S2+S4+S Rt△ABC+S Rt△ABC＝S Rt△ABC×3＝S Rt△ABC＝3S，故④不正确．故选：A．22．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．14【答案】C【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．23．将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F ＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH 的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（）A．B．C．3m D．【答案】B【解答】解：∵将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFCH．正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．∴设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，在△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（x+a）2+x2＝（5a）2，x2+ax﹣12a2＝0，（x+4a）（x﹣3a）＝0，x＝﹣4a（舍去）或x＝3a，∴BE＝4a，BF＝3a，EF＝5a，∵FM平分∠BFE，∴△EMF边EF上的高为BM，+S△MBF＝S△BEF，则S△BMF即，∴，∴BM＝，∵A'E＝ME＝BE﹣BM＝4a﹣a，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，＝S△EF A'＝m，∴S△EMF∴，∴a m，∴a＝∴EF＝5a＝，＝EF＝，∴S正方形EFCH故选：B．二．填空题（共14小题）24．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为32cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．25．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为16或10或．【答案】16或10或．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝cm，∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x cm，则PC＝（8﹣x）cm，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．故答案为：16或10或．26．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为．【答案】．【解答】解：当BN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝＝＝，故答案为：．27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝136．【答案】136．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；故答案为：136．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P 的坐标为（9，12）或（3，12）或（24，12）．【答案】（9，12）或（6，12）或（24，12）．【解答】解：由题意，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝15，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝12．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD﹣DE＝15﹣9＝6，∴此时点P坐标为（6，12）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝15．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝9，∴此时点P坐标为（9，12）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD+DE＝15+9＝24，∴此时点P坐标为（24，12）．综上所述，点P的坐标为：（9，12）或（6，12）或（24，12）；故答案为：（9，12）或（6，12）或（24，12）．29．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（AD和BC），门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1尺（1尺＝10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为101寸．【答案】101．【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，如图，过D作DE⊥AB于点E，则DE＝10寸，OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101，即门槛AB长为101寸，故答案为：101．30．如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，F处，若∠EOF＝75°，EF＝210海里，则m的值为80．【答案】80．【解答】解：延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+30°＝150°，∠EOF＝75°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（60°+60°）＝180°，延长FB至D，使BD＝AE，连接OD，∵∠OBD＝∠OBC，∴．∠OBD＝∠A，∴△OBD≌△OAE（SAS），∴OD＝OE，∠BOD＝∠AOE，∵∠EOF＝∠AOB＝∠EOD，∴．∠EOF＝∠DOF，又∵OF＝OF，∴△EOF≌△DOF（SAS），∴EF＝AE+BF，即EF＝1.5×（60+m）＝210．解得m＝80．故答案为：80．31．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB＝5，EF＝1，则GM的长为．【解答】解：由图可知∠AED＝90°，AB＝5，EF＝1，∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故AE＝BF＝GC＝DH，设DE＝x，则在Rt△AED中，AD＝AB＝5，AE＝1+x，根据勾股定理，得AD2＝DE2+AE2，即52＝x2+（1+x）2，解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去）．过点M作MN⊥FB于点N，如图所示．∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM为等腰直角三角形．设GN＝NM＝a，则NB＝GB﹣GN＝3﹣a，∵MN∥AF，∴△BMN∽△BAF，∴＝，将MN＝a，AF＝3，BN＝3﹣a，BF＝4代入，得＝，解得a＝，∴MN＝GN＝，在Rt△MGN中，由勾股定理，得GM＝＝＝．32．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C 两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A10千米．【答案】10．【解答】解：设AP＝x千米，则DP＝（25﹣x）千米，∵B、C两村到P站的距离相等，∴BP＝PC．在Rt△APB中，由勾股定理得BP2＝AB2+AP2，在Rt△DPC中，由勾股定理得PC2＝CD2+PD2，∴AB2+AP2＝CD2+PD2，又∵AB＝15km，CD＝10km，∴152+x2＝102+（25﹣x）2，∴x＝10．故答案为：10．33．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm（杯壁厚度不计）．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．故答案为20．34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【答案】．【解答】解：如图，连接BP，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴BD＝DC，∴BP＝PC，∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小，令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，∵BQ'⊥AC，∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，解得a＝，∴BQ'＝＝，∴PC+PQ的最小值为，故答案为：．35．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为2．【答案】2．【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝4，∴BR＝AR＝4，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，∴BG＝＝＝2，即AE+BF的最小值为2．故答案为：2．36．如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是cm．【答案】．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠A＝90°，∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠A＝∠ADM＝∠AEM＝90°，∴四边形ADME是矩形，∴DE＝AM，当AM⊥BC时，AM的长最短，根据三角形的面积公式得：AB•AC＝BC•AM，∴9×12＝15AM，AM＝，即DE的最小值是cm．故答案为：．37．如图，Rt△ABC中，．点P为△ABC内一点，PA2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是．【答案】．【解答】解：如图所示，取AC中点O，连接PO，BO，∵PA2+PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴，∵BP+OP≥OB，∴当B、P、O三点共线时BP+OP有最小值，即此时BP有最小值，∵∠ACB＝90°，∴，∴BP＝BO﹣OP＝2，∴BP＝PO，又∠ACB＝90°，∴PC＝BO＝2，∴PC＝PO＝CO，∴△OPC是等边三角形，∴∠PCO＝60°，∠PAC＝30°∴AP＝＝2，∴，故答案为：．三．解答题（共4小题）38．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝CA．设AC为x，则OC＝9﹣x，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝9，OB＝3，∴32+（9﹣x）2＝x2，解方程得出x＝5．∴机器人行走的路程BC是5cm．39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】或10或16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝，当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，∴62+（8﹣t）2＝t2，解得t＝；当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；∴t＝2×8＝16，综上，t的值为或10或16．40．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB ＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．41．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠FAE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠TBC＝∠TBD＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAT＝∠DAE，∵AD＝AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT＝DE，∵DT2＝DB2+EC2，∴DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．。
(新)八年级数学《勾股定理》精选练习题及答案解析
勾股定理精选题一、选择题1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．设直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，且a：b＝4：3，则大正方形面积与小正方形面积之比为（）A．25：9 B．25：1 C．4：3 D．16：92．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m3．下列结沦中，错误的有（）①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy．A．0个B．1个C．2个D．3个4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（）A．4 B．4πC．8πD．85．已知Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则下列结论不可能成立的是（）A．a2﹣b2＝c2B．∠A﹣∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝7：24：256．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2B．x2﹣32＝（10﹣x）2C．x2+3＝（10﹣x）2D．x2+32＝（10﹣x）27．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形8．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，D为BC上一点，连接AD，E为AD上一点，连接BE，若∠ABE＝∠BAE═∠BAC，则DE的长为（）A．cm B．cm C．cm D．1cm9．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1 B．2018 C．2019 D．202010．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．AC＝3，BC＝5，AB＝4 B．AC：BC：AB＝3：4：5C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5二、填空题11．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．12．如图所示，一棵36m高的树被风刮断了，树顶落在离树根24m处，则折断处的高度AB是m．13．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．14．如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝，∠ABC＝°．15．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．t＝时△ABP为直角三角形．16．已知等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积为．17．已知△ABC中，AB＝10，BC＝21，CA＝17，则△ABC的面积等于．18．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．19．已知长方形OABC，点A、C的坐标分别为OA=10，OC=4，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，CP的长为________．20．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD上的任意一点，则AP+EP的最小值是____________cm．三、解答题21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．那么运动几秒时，它们相距15cm？22．如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断三角形的形状.B'＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B' 23．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B'为CD边上的点，C处，点A的对应点为A'，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.24．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.25．已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=15，BD=25，求AC的长.26．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON 方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．27．如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．28．如图，已知AB=12，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD=5，BC=10.点E是CD的中点，求AE的长.29．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．30．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B 方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．勾股定理精选题（参考答案）一、选择题1．【答案】【解析】解：∵a：b＝4：3，∴大正方形面积与小正方形面积之比为（a2+b2）：（a﹣b）2＝b2：b2＝25：1．故选：B．2．【答案】【解析】解：由题意得BC＝8m，AC＝6m，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝10米．所以大树的高度是10+6＝16米．故选：C．3．【答案】【解析】C4．【答案】【解析】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2＝×2×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）＝4，故选：A．5．【答案】【解析】解：（A）当∠A＝90°时，此时a2＝b2+c2，故A能成立．（B）∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故B能成立．（C）设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x＝15°，∴∠C＝75°，故C不能成立．当∠C＝90°，∴a2+b2＝c2，故D能成立，故选：C．6．【答案】【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．故选：D．7．【答案】【解析】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，解得：a＝b，a2+b2＝c2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形；故选：C．8．【答案】【分析】根据条件得出AE＝BE，再使用勾股定理计算．【解析】解：∵AB＝AC，∠BAE═∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，BD＝BC＝6，∵AB＝10，∴AD＝＝8，∵∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE，设DE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，BE2＝DE2+BD2，∴（8﹣x）2＝x2+62，解得：x＝，即DE＝cm，故选：C．9．【答案】【解析】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2＝c2，即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．故选：D．10．【答案】【解析】解：A、∵32+42＝52∴满足△ABC是直角三角形；B、∵32+42＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴AC：BC：AB＝3：4：5满足△ABC是直角三角形；C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝×180°＝90°，∴∠A：∠B：∠C＝1：2：3满足△ABC是直角三角形；D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝×180°＝75°，∴∠A：∠B：∠C＝3：4：5，△ABC不是直角三角形．故选：D．二、填空题11．【答案】【解析】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝•AF•BC＝10．故答案为：10．12．【答案】【解析】根据题意构造直角三角形，设AB＝x米，则AC＝（36﹣x）米，BC＝24米，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：由勾股定理得：x2+242＝（36﹣x）2，解得：x＝10；即折断处的高度AB是10m；故答案为：10．13．【答案】【解析】解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，根据勾股定理得：AB＝＝10，则S阴影＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB＝π+π+×6×8﹣π＝24．故答案为：2414．【答案】【解析】解：连接AC．根据勾股定理可以得到：AB2＝12+32＝10，AC2＝BC2＝12+22＝5，∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．故答案为：10，45．15．【答案】【解析】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4cm，由题意知BP＝2tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即2t＝4，t＝2；②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（2t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：52+[32+（2t﹣4）2]＝t2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝2或t＝，故答案为：2s或s16．【答案】【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝BC＝×6＝3，∵AD2+BD2＝AB2，∴AD＝＝4，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×6＝12，故答案为：12．17．【答案】【解析】解：过点A作AD⊥BC．设BD＝x，则CD＝21﹣x，在Rt△ABD中，AD2＝102﹣x2，在Rt△ADC中，AD2＝172﹣（21﹣x）2，∴102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，100﹣x2＝289﹣441+42x﹣x2，解得x＝6，∴CD＝15，在Rt△ACD中，AD＝＝8，∴△ABC的面积＝×BC•AD＝×21×8＝84．故答案为：84．18．【答案】3.6或4.32或4.8【解析】19．【答案】3，2， 8；【解析】以O 为等腰三角形的顶点，作等腰三角形1OPD ，因为1OP ＝5，114PH OC ==，所以由勾股定理求得13OH =，所以13CP =，同理，以D 为等腰三角形的顶点，可求出232,8CP CP ==.如图所示.20．【答案】5【解析】作E 点关于直线BD 的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP 的最小值5.三、解答题21．【答案】【解析】解：设运动x 秒时，它们相距15cm ，则CP ＝xcm ，CQ ＝（21﹣x ）cm ，依题意有 x 2+（21﹣x ）2＝152，解得x 1＝9，x 2＝12．故运动9秒或12秒时，它们相距15cm ．22．【答案】【解析】因为a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，所以a 2+b 2+c 2-6a-8b-10c+50=0，即a 2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0，所以（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0，所以a=3，b=4，c=5，因为a 2+b 2=c 2，所以三角形为直角三角形.23．【答案】 【解析】解：点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称，∴AM A M '=，BN B N '=．设BN B N x '==，则9CN x =-．∵ 正方形ABCD ，∴ o 90C ∠=．∴ 222CN B C B N ''+=．∵ C B '＝3，∴ 222(9)3x x -+=．解得5x =．∴ 5BN =.24．【答案】【解析】设EC=xcm ，则DE=（8-x ）cm ，由折叠可知，EF=DE ，AD=AF ，在直角△ABF 中，由勾股定理得AB 2+BF 2=AF 2，即82+BF 2=102，所以BF=6cm ，所以FC=10-6=4（cm ）.在直角△EFC 中，由勾股定理得FC 2+CE 2=EF 2，即42+x 2=（8-x ）2，解之得x=3，即EC 的长度为3cm.25．【答案】【解析】过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，因为∠1=∠2，所以CD=DE=15，在Rt △BDE 中，BE 2=BD 2-DE 2=252-152=202，所以BE=20，因为∠1=2，∠C=∠DEA=90°，AD=AD ，所以Rt △ACD ≌Rt △AED ，又因为AB 2=AC 2+BC 2，即（AC+20）2=AC 2+（15+25）2，解得AC=30.26．【答案】【解析】解：（1）过点A 作AD ⊥ON 于点D ，∵∠NOM=30°，AO=80m ，∴AD=40m ，即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离为40米；（2）由图可知：以50m 为半径画圆，分别交ON 于B ，C 两点，AD ⊥BC ，BD=CD=21BC ，OA=80m ， ∵在Rt △AOD 中，∠AOB=30°，∴AD=21OA=21×80=40m ， 在Rt △ABD 中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：m AD AB BD 3040502222=-=-=， 故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BD 时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即3006018000=米/分钟， ∴重型运输卡车经过BD 时需要60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．27．【答案】【解析】解：如图，作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，∵BC=8cm ，∴BD=CD=21BC=4cm ， ∴AD=3，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA ⊥AC 时，∵AP2=PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2.25，∴BP=4﹣2.25=1.75=0.25t ，∴t=7秒，当点P 运动t 秒后有PA ⊥AB 时，同理可证得PD=2.25，∴BP=4+2.25=6.25=0.25t ，∴t=25秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．28．【答案】【解析】如图，延长AE交BC于点F.因为AB⊥BC，AB⊥AD，所以AD∥BC所以∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，又因为点E是CD的中点，所以DE=CE.因为在△AED与△FEC中，∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，DE=CE，所以△AED≌△FEC（AAS），所以AE=FE，AD=FC.因为AD=5，BC=10.所以BF=5.在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2=122+52=169，所以AF=13，所以AE=AF=6.5.29．【答案】【解析】解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，PA＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t＝，当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，∴当或6时，P在△ABC的角平分线上；（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，∴t＝，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，∴BE＝BC＝，∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝，②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得：t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，∴BF＝BP，∵∠ACB＝90°，由射影定理得；BC2＝BF•AB，即32＝×5，解得：t＝，∴当时，△BCP为等腰三角形．30．【答案】【解析】解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ＝＝＝（cm）；（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t＝，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝，∴CE＝，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．。
勾股定理知识点及练习题及答案
一、选择题1．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）A ．600mB ．500mC ．400mD ．300m 2．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =6，DC =2，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．143．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）A ．47B ．62C ．79D ．98 4．将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（ ）A 37B 13C 3713D 37137 5．如图，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．26．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15，则S 2的值是( )A ．3B ．154C ．5D ．1527．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．以上都不对 8．如图，BD 为ABCD 的对角线，45,DBC DE BC ︒∠=⊥于点E ，BF ⊥DC 于点F ，DE 、BF 相交于点H ，直线BF 交线段AD 的延长线于点G ，下列结论：①12CE BE = ；②A BHE ∠=∠；③AB=BH;④BHD BDG ∠=∠;⑤222BH BG AG +=；其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．②③⑤C ．①⑤D ．③④9．已知直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点B 重合，则BE 的长是（ ）A ．72B ．74C ．254D ．15410．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( )A ．6，8，10B ．5，12，13C ．3，5，6D ．2，3，5二、填空题11．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，若点 M 、N 分别是线段 AC 、AB 上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________．12．如图，AB ＝12，AB ⊥BC 于点B ， AB ⊥AD 于点A ，AD ＝5，BC ＝10，E 是CD 的中点，则AE 的长是____ ___．13．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．14．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．15．如图在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90º，AC=5，BC=4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为________________．16．如图，长方形ABCD中，∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB=CD=6，AD=BC=10，点E为射线AD上的一个动点，若△ABE与△A′BE关于直线BE对称，当△A′BC为直角三角形时，AE 的长为______．17．已知x，y为一个直角三角形的两边的长，且（x﹣6）2=9，y=3，则该三角形的第三边长为_____．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，BD是高，则点BD的长为_____．19．如图所示，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．20．如图，直线423y x=+与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段OA上的一点，若将ABC∆沿BC折叠，点A恰好落在x轴上的'A处，则点C的坐标为______.三、解答题21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？22．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．23．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．（1）求BF的长；（2）求CE的长．24．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，（1）求证：ABD ACE ≅；（2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；②若3BD =，4CF =，求AD 的长，25．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=︒，连接AE ．（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长． （3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由．26．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.27．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.28．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ．（1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.29．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝43，求菱形ABCD 的面积．30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．【详解】解：如右图所示，∵BC∥AD，∴∠DAE=∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m，∴△ABC≌△DEA，∴EA=BC=300m，在Rt△ABC中，AC=22=500m，AB BC∴CE=AC-AE=200，从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，∴最近的路程是500m．故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC ≌△DEA ，并能比较从B 到E 有两种走法．2．B解析：B【分析】过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ，此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．由DC ＝2，BD ＝6，得到BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°，于是得到∠CBC ′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ．此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．∵DC ＝2，BD ＝6，∴BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°，∴∠CBC ′＝90°，∴BC ′⊥BC ，∠BCC ′＝∠BC ′C ＝45°，∴BC ＝BC ′＝8，根据勾股定理可得DC ′＝22228610BC BD '+=+=．故选：B ．【点睛】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P 为何位置时 PC ＋PD 的值最小是解题的关键．3．C解析：C【分析】依据每列数的规律，即可得到2221,,1a n b n c n =-==+，进而得出x y +的值. 【详解】解：由题可得：222321,42,521=-==+…… 2221,,1a n b n c n ∴=-==+当21658c n n =+==时，63,16∴==x y∴+=79x y故选C【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.4．C解析：C【分析】如图1或图2所示，分类讨论，利用勾股定理可得结论．【详解】当如图1所示时，AB=2，BC=3，∴AC=22+；23=13当如图2所示时，AB=1，BC=6，∴221+6=37故选C．【点睛】本题主要考查图形的拼接，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．5．D解析：D【分析】先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间的距离．【详解】根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，回到起点．乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A．因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，因为2017÷6=336…1，所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点都是A1，B.2，故选D ．【点睛】此题考查了立体图形的有关知识．注意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径是解此题的关键．6．C解析：C【解析】将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=15， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，所以S 2=x+4y=5，故答案为5．点睛：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=15求解是解决问题的关键．7．C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理可以推导出ABD △是直角三角形.再利用勾股定理求出A C ，可得出AB=AC ，即可判断.【详解】解：由已知可得CD=BD=5,22251213+=即222BD AD AB +=,ABD ∴是直角三角形，90ADB ∠=︒，90ADC ∴∠=︒222AD CD AC ∴+=13AC ∴=13AB AC ∴==故ABC 是等腰三角形.故选C【点睛】本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握定理是解题关键.8．B解析：B【分析】根据直角三角形的意义和性质可以得到解答．【详解】解：由题意，90BHE HBE C HBE A C ∠+∠=∠+∠=︒∠=∠，∴A BHE C ∠=∠=∠，②正确；∵∠DBC=45°，DE ⊥BC ，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE∴Rt BEH Rt DEC ≅，∴BH=CD=AB ，③正确；∵AB CD BF CD ⊥，，∴AB ⊥CD ，∴222AB BG AG +=即 222BH BG AG +=，⑤正确，∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确故选B ．【点睛】本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键．9．C解析：C【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE ，设AE=x ，则BE=x ，CE=8-x ，再在Rt △BCE 中利用勾股定理即可求出BE 的长度．【详解】解：∵△ADE 翻折后与△BDE 完全重合，∴AE ＝BE ，设AE ＝x ，则BE ＝x ，CE ＝8﹣x ，在Rt △BCE 中，BE 2＝BC 2+CE 2，即x 2＝62+（8﹣x ）2，解得，x ＝254， ∴BE ＝254． 故选：C ．【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．10．C解析：C【分析】求出两小边的平方和长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】A 、62+82=102，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B 、52+122=132，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C 、32+52≠62，此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D 、222+=，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．二、填空题11．8【解析】如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值作交于，则为所求；设,,由，，h+5=8，即BM+MN的最小值是8.点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．12．5【详解】解：如图，延长AE交BC于点F，∵点E是CD的中点,∴DE=CE，,∵AB ⊥BC ，AB ⊥AD,∴AD ∥BC,∴∠ADE=∠BCE 且DE=CE ，∠AED=∠CEF,∴△AED ≌△FEC （ASA ）,∴AD=FC=5，AE=EF,∴BF=BC-FC=5,∴在Rt △ABF 中，13AF ==,6.52AF AE == 故答案为：6.5．13．48【分析】 用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，则()221S AB a b ==+，2222S HE a b ==+，()223S TM a b ==-， ∵123144S S S ++=，∴()()2222144a b a b a b ++++-= 22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=2233144a b +=2248a b +=，∴248S =．故答案是：48．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．14．【分析】延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，结合D 是中点证得△ADC ≌△EDB ，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E ＝90°，再利用勾股定理求得BD 长进而转化为BC 长即可．【详解】解：如图，延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，连接BE ，∵D是BC边中点，∴BD＝CD，又∵DE＝AD，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝6，又∵AB＝10，∴AE2＋BE2＝AB2，∴∠E＝90°，∴在Rt△BED中，2222=+=+=，BD BE DE64213∴BC＝2BD＝413，故答案为：413．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．15．71-【分析】分别找到两个极端,当M与A重合时，AP取最大值，当点N与C重合时，AP取最小，即可求出线段AP长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M与A重合时，AP取最大值，此时标记为P1，由折叠的性质易得四边形AP1NB是正方形，在Rt△ABC中，2222--，AB=AC BC=54=3∴AP的最大值为A P1=AB=3如图所示，当点N与C重合时，AP取最小，过C点作CD⊥直线l于点D，可得矩形ABCD，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--，∴AP 的最小值为AD PD=47--线段AP 长度的最大值与最小值之差为()1AP AP=347=71----故答案为71-【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.16．2或18【分析】分两种情况:点E 在AD 线段上,点E 为AD 延长线上的一点,进一步分析探讨得出答案即可.【详解】 解：①如图点E 在AD 线段上，△ABE 与△A ′B E 关于直线BE 对称，∴△A ′BE ≌△ABE,∴∠B A′E=∠A=90o ,AB=A ′B∠B A′C =90o ,∴E 、A',C 三点共线,在△ECD 与△CB A′中，{CD A BD BA C DEC ECB='∠=∠'∠=∠,∴△ECD ≌△CB A′,∴CE=BC=10,在RT △CB A′中，A′C=22BC BA -'=22106-=8,∴AE= A′E=CE - A′C=10-8=2;②如图点E 为AD 延长线上,由题意得：∠A"BC+∠A"CB=∠DCE+∠A"CB=90o∴∠A"BC=∠DCE,在△A"BC 与△DCE 中，"={""A CDECD A B A BC DCE∠∠=∠=∠∴△A"BC ≌△DCE,DE= A"C,在RT △ A"BC 中，∴AE=AD+DE=AD+ A"C=10+8=18;综上所知,AE=2或18.故答案为:2或18.【点睛】此题考查翻折的性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理,掌握翻折的性质,分类探讨的思想方法是解决问题的关键.17．【解析】【详解】∵（x-6）2=9，∴x-6=±3，解得：x 1=9，x 2=3，∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，∴当x=3时，x 、y =；当x=9时，x 、y =；当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．18．485【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC 边上的高为8，然后根据三角形的面积法可得111012822BD ⨯⨯=⨯⨯，解得BD=485. 19．78【解析】试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可．试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，∴∠DAC=∠D′AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ，在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，∴32+x 2=（4﹣x ）2，解得x=78， 即BE 的长为78． 20．（0，34）. 【分析】 由423y x =+求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到53122OA '=-=，设点C 的坐标为（0，m ），利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】 在423y x =+中，当x=0时，得y=2，∴A （0,2） 当y=0时，得4203x +=，∴32x =-，∴B(32-,0), 在Rt △AOB 中，∠AOB=90︒，OA=2，OB=32,∴52AB ===, ∴53122OA '=-=, 设点C 的坐标为（0，m ）由翻折得ABC A BC '≌，∴2A C AC m '==-，在Rt A OC '中， 222A C OC A O ''=+,∴222(2)1m m -=+，解得m=34， ∴点C 的坐标为（0，34）. 故答案为：（0，34）. 【点睛】此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得ABC A BC '≌是解题的关键，得到OC与A’C的数量关系，利用勾股定理求出点C的坐标.三、解答题21．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米【解析】试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，梯子距离地面的高度AE=22257-=24米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，∴22CD CE-222520-，∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．22．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2+CE2＝BC2，证明见解析．【分析】（1）先判断出∠BAE=∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论．（2）先求出∠CDA=12∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论．（3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD2+CE2=2（AP2+CP2），再判断出CD2+CE2=2AC2．即可得出结论．【详解】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）如图2，连结BE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，∴∠CDA ＝12∠ADE ＝12×60°＝30°， ∵由（1）得△ACD ≌△ABE ，∴BE ＝CD ＝4，∠BEA ＝∠CDA ＝30°，∴∠BED ＝∠BEA +∠AED ＝30°+60°＝90°，即BE ⊥DE ，∴BD ＝22BE DE +＝2234+＝5．（3）CD 2、CE 2、BC 2之间的数量关系为：CD 2+CE 2＝BC 2，理由如下：解法一：如图3，连结BE ．∵AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，∴∠D ＝∠AED ＝45°，∵由（1）得△ACD ≌△ABE ，∴BE ＝CD ，∠BEA ＝∠CDA ＝45°，∴∠BEC ＝∠BEA +∠AED ＝45°+45°＝90°，即BE ⊥DE ，在Rt △BEC 中，由勾股定理可知：BC 2＝BE 2+CE 2．∴BC 2＝CD 2+CE 2．解法二：如图4，过点A 作AP ⊥DE 于点P ．∵△ADE 为等腰直角三角形，AP ⊥DE ，∴AP ＝EP ＝DP ．∵CD 2＝（CP +PD ）2＝（CP +AP ）2＝CP 2+2CP •AP +AP 2，CE 2＝（EP ﹣CP ）2＝（AP ﹣CP ）2＝AP 2﹣2AP •CP +CP 2，∴CD 2+CE 2＝2AP 2+2CP 2＝2（AP 2+CP 2），∵在Rt △APC 中，由勾股定理可知：AC 2＝AP 2+CP 2，∴CD 2+CE 2＝2AC 2．∵△ABC 为等腰直角三角形，由勾股定理可知：∴AB 2+AC 2＝BC 2，即2AC 2＝BC 2，∴CD 2+CE 2＝BC 2．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD ，解（2）（3）的关键是判断出BE ⊥DE ，是一道中等难度的中考常考题．23．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10， 又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：2222BF=AF -AB =10-8=6，故BF 的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，∴FE=DE=8-x ，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．24．（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【分析】（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；（2）①结论：222BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG 即可求解．【详解】解：（1）∵AE AD ⊥∴90DAC CAE ∠+∠=︒∵90BAC ∠=︒∴90DAC BAD ∠+∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴在ABD △和ACE △中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD △≌ACE △()SAS（2）①结论：222BD FC DF +=证明：连接EF ，如图：∵ABD △≌ACE △∴B ACE ∠=∠，BD CE =∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴222FC CE EF +=∴222FC BD EF +=∵AF 平分DAE ∠∴DAF EAF ∠=∠∴在DAF △和EAF △中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌EAF △()SAS∴DF EF =∴222FC BD DF +=即222BD FC DF +=②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：∵由①可知222223425DF BD FC =+=+=∴5DF =∴35412BC BD DF FC =++=++=∵AB AC =，AG BC ⊥ ∴1112622BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-=∴在Rt ADG 中，22223635AD DG AG =+=+=故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．25．（1）AE=BD 且AE ⊥BD ；（2）6；（3）PQ 为定值6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE ⊥BD ； （2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长； （3）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC ，可得AE ⊥BD ，由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长．【详解】解：（1）AE=BD ，AE ⊥BD ，理由如下：∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，∴∠EAC+∠CAB=90°，∴AE ⊥BD ；（2）∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；（3）如图3，若点D 在AB 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ， ∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；如图4，若点D 在BA 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE ⊥BD 是本题的关键．26．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ， ∴222GH BG BH BG =+=， ∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．27．（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，∵CD 平分∠ACB ，∴A′点落在CB 上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，∴A′D=A′B ，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，∵AC 平分∠BAD ，∴D′点落在AB 上，∵BC=10，∴D′C=BC ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则D′E=BE ，设D′E=BE=x ，在Rt △CEB 中，CE 2=CB 2-BE 2=102-x 2，在Rt △CEA 中，CE 2=AC 2-AE 2=172-（9+x ）2．∴102-x 2=172-（9+x ）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B 不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.28．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，∴∠PAD=α，AB=AD ，∵90BAC ∠=︒，∴902DAC α∠=︒-，又∵AB=AC ，∴AD=AC ，∴∠ADC=1[180(902)]2α⨯︒-︒-=45α︒+；（3）如图，连接BE，由（2）知：∠ADC=45α︒+，∵∠ADC=∠AED+∠EAD，且∠EAD=α，∴∠AED=45°，∵点B与点D关于直线AP对称，即AP垂直平分BD，∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE，∴∠BED=90°，∴△BED是等腰直角三角形，∴22222BD BE DE DE=+=，∴2BD DE=.【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.29．（1）∠BGD＝120°；（2）见解析；（3）S四边形ABCD＝3【解析】【分析】（1）只要证明△DAE≌△BDF，推出∠ADE=∠DBF，由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；（2）如图3中，延长GE到M，使得GM=GB，连接BD、CG．由△MBD≌△GBC，推出DM=GC，∠M=∠CGB=60°，由CH⊥BG，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH，由CG=DM=DG+GM=DG+GB，即可证明2GH=DG+GB；（3）解直角三角形求出BC即可解决问题；【详解】（1）解：如图1﹣1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝DB ，∠A ＝∠FDB ＝60°，在△DAE 和△BDF 中，AD BD A BDF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAE ≌△BDF ，∴∠ADE ＝∠DBF ，∵∠EGB ＝∠GDB+∠GBD ＝∠GDB+∠ADE ＝60°，∴∠BGD ＝180°﹣∠BGE ＝120°．（2）证明：如图1﹣2中，延长GE 到M ，使得GM ＝GB ，连接CG ．∵∠MGB ＝60°，GM ＝GB ，∴△GMB 是等边三角形，∴∠MBG ＝∠DBC ＝60°，∴∠MBD ＝∠GBC ，在△MBD 和△GBC 中，MB GB MBD GBC BD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBD ≌△GBC ，∴DM ＝GC ，∠M ＝∠CGB ＝60°，∵CH ⊥BG ，∴∠GCH ＝30°，∴CG ＝2GH ，∵CG ＝DM ＝DG+GM ＝DG+GB ，∴2GH ＝DG+GB ．（3）如图1﹣2中，由（2）可知，在Rt △CGH 中，CH ＝GCH ＝30°，∴tan30°＝GH CH， ∴GH ＝4，∵BG ＝6，∴BH ＝2，在Rt △BCH 中，BC =∵△ABD ，△BDC 都是等边三角形，∴S 四边形ABCD ＝2•S △BCD ＝×（2＝． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．30．（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】 ()1由等边三角形的性质可求6AB BC ==，132BG BC ==，1DG =，由勾股定理可求AG ，AD 的长；()2①想法1：过点A 作AM DF ⊥于点M ，作AH DE ⊥，交DE 的延长线于点H ，由角平分线的性质可得AH AM =，由“AAS ”可证Rt AHE ≌Rt AMF ，可得AE AF =； 想法2：延长DE 至N ，使DN DF =，由“SAS ”可证ADN ≌ADF ，可得AN AF =，AFD N ∠=∠，由四边形内角和为360，可得AEN AFD N ∠=∠=∠，可得AN AE AF ==；②由想法1可得224ADM AEDF AHDM S S Sx ===四边形四边形． 【详解】 () 1如图，过点A 作AG BC ⊥于点G ，2BD=，4DC=，6BC∴=，ABC是等边三角形，AG BC⊥，6 AB BC∴==，132BG BC==，321DG BG BD∴=-=-=，在Rt ABG中，2233AG AB BG=-=，在Rt ADG中，2227AD AG DG=+=()2①想法1：如图，过点A作AM DF⊥于点M，作AH DE⊥，交DE的延长线于点H，AD平分EDF∠，AH DE⊥，AM DF⊥AH AM∴=，60ADE ADF∠=∠=，120EDF∴∠=，360AED AFD BAC EDF∠+∠+∠+∠=，180AED AFD∴∠+∠=，且180AED AEH∠+∠=，AEH AFD∴∠=∠，且AH AM=，90H AMF∠=∠=，Rt AHE∴≌()Rt AMF AASAE AF∴=，想法2：如图，延长DE至N，使DN DF=，DN DF =，AD AD =，60ADE ADF ∠=∠=，ADN ∴≌()ADF SASAN AF ∴=，AFD N ∠=∠，60ADE ADF ∠=∠=，120EDF ∴∠=，360AED AFD BAC EDF ∠+∠+∠+∠=，180AED AFD ∴∠+∠=，且180AED AEN ∠+∠=，AEN AFD ∴∠=∠，AEN N ∴∠=∠，AN AE AF ∴==，②如图，由①中想法1可得Rt AHE ≌Rt AMF ，AHE AMF S S ∴=，AEDF AHDM S S ∴=四边形四边形，60ADF ∠=，AM DF ⊥，12DM AD ∴=，33AM DM AD ==， 221332ADMS DM AM AD x ∴=⨯⨯==， AD AD =，AH AM =，Rt ADH ∴≌()Rt ADM HLADH ADM S S ∴=，2324ADM AEDF AHDM S S Sx ∴===四边形四边形． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
勾股定理
勾股定理一．选择题（共40小题）1．如图，正方形A、B、C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A、B 的边长分别为3和5，则正方形C的面积为（）A．16B．12C．15D．182．如图，OA=，以OA为直角边作Rt△OAA1，使∠AOA1=30°，再以OA1为直角边作Rt△OA1A2，使∠A1OA2=30°，……，依此法继续作下去，则A1A2的长为（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，若斜边AB=3，则AC2+BC2等于（）A．6B．9C．12D．184．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（）A．64B．81C．128D．1925．如图，在△ABC中，若AB=AC=6，BC=4，D是BC的中点，则AD的长等于（）A．4B．2C．2D．46．直角三角形的两边长分别为6和8，那么它的第三边长度为（）A．8B．10C．8或2D．10或27．直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c．若b=1，c=2，则a的长是（）A．1B．C．2D．8．如图，正方形ABCD中，DE⊥CE，垂足为E，且DE=3，CE=4，则阴影部分的面积是（）A．16B．18C．19D．219．用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），给出下列四个结论：①x2+y2=49；②x﹣y=2；③2xy=45；④x+y=9．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②③④C．①③D．②④10．如图图中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．11．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（）A．5B．C．4D．312．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6B．8，15，17C．5，12，15D．，，13．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a=，b=，c=B．∠A+∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：3：2D．（b+c）（b﹣c）=a214．以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（）A．6，7，8B．1，1，C．6，8，10D．7，24，25 15．三角形的三边长a、b、c满足a2﹣c2=b2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定16．若三角形的三边长分别为3、4、5，则它最短边上的高为（）A．2.4B．2.5C．3D．417．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB=1.5，BC=0.9，AC=1.2，则CD 的值是（）A．0.72B．2.0C．1.125D．不能确定18．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C对应的比例如下，其中能判定△ABC是直角三角形的是（）A．2：3：4B．4：3：5C．1：2：3D．1：2：2 19．下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3B．1，，C．2，3，4D．5，12，13 20．如果3，a，5是勾股数，则a的值是（）A．4B．C．4或D．4或34 21．下列四组数据中是勾股数的有（）①5、7、8②、3③9、12、15④n2+1，n2﹣12n（n＞1）A．1组B．2组C．3组D．4组22．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A．13米B．12米C．5米D．米23．如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（）A．L1B．L2C．L3D．L424．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5 m B．12 m C．13 m D．18 m25．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cm．A．25B．20C．24D．1026．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm27．如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（）A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm28．如图，直线m∥n，等腰直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于（）A．42°B．83°C．24°D．30°29．如图，△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，△BCD是直角三角形，且∠D=30°，则两个三角形重叠部分（△OBC）的面积是（）A．3﹣B．2﹣C．1D．1+30．如图，一块直尺与缺了一角的等腰直角三角形如图摆放，若∠1=115°，则下列结论：①∠2=60°②∠2=∠4③∠2与∠3互余④∠2与∠4互补其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．131．把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1=35°，则∠2的度数为（）A．35°B．10°C．20°D．15°32．如图，两条直线l1∥l2，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，顶点A、B分别在l1和l2上，∠1=20°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°33．如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的直角顶点C落在直线l2上，若∠1=15°，则∠2的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°34．如图，一系列等腰直角三角形（编号分别为①、②、③、④、…）组成了一个螺旋形，其中第1个三角形的直角边长为1，则第n个等腰直角三角形的面积为（）A．2n﹣3B．2n﹣2C．2n﹣1D．2n35．如图，等腰直角三角板的顶点A在直线b上．若a∥b，∠2=34°，则∠1度数为（）A．34°B．56°C．10°D．5°36．若点M（3，﹣2）与点N（x、y）在同一条平行于x轴的直线上，且MN=1，则N点的坐标为（）A．（4，﹣2）B．（3，﹣1）C．（3，﹣1）或（3，﹣3）D．（4，﹣2）或（2，﹣2）37．点（3，﹣1）到原点的距离为（）A．2B．3C．1D．38．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P，Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），动点P （x，y）满足d（P，Q）=3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（）个．A．4B．8C．10D．1239．在平面直角坐标系中，点P（﹣x，2x）到原点O的距离等于5，则x的值是（）A．±1B．1C．D．±40．如图，在平面直角坐标系第一象限有一点P，其横坐标为3，在x轴上有一点A（﹣1，0）．已知PA两点间的距离为，则P的纵坐标为（）A．2B．﹣2C．D．1勾股定理参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．如图，正方形A、B、C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A、B 的边长分别为3和5，则正方形C的面积为（）A．16B．12C．15D．18【分析】先根据勾股定理求出DE，再根据正方形的面积公式求出即可．【解答】解：∵正方形A、B的边长分别为3和5，∴DF=5，EF=3，由勾股定理得：DE==4，所以正方形C的面积为42=16，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理，能根据勾股定理求出DE的长是解此题的关键．2．如图，OA=，以OA为直角边作Rt△OAA1，使∠AOA1=30°，再以OA1为直角边作Rt△OA1A2，使∠A1OA2=30°，……，依此法继续作下去，则A1A2的长为（）A．B．C．D．【分析】由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出OA1，即可得出结果．【解答】解：∵∠OAA1=90°，OA=，∠AOA1=30°，∴AA1=OA1，由勾股定理得：OA2+AA12=OA12，即（）2+（OA1）2=OA12，解得：OA1=2，∵∠A1OA2=30°，∴A1A2的长=，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理，通过计算得出规律是解决问题的关键．3．在Rt△ABC中，若斜边AB=3，则AC2+BC2等于（）A．6B．9C．12D．18【分析】利用勾股定理将AC2+BC2转化为AB2，再求值．【解答】解：∵Rt△ABC中，AB为斜边，∴AC2+BC2=AB2，∴AB2+AC2=AB2=32=9．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出AC2+BC2=AB2是解决问题的关键．4．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（）A．64B．81C．128D．192【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可．【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=82=64（cm2），则所有正方形的面积的和是：64×3=192（cm2）．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键．5．如图，在△ABC中，若AB=AC=6，BC=4，D是BC的中点，则AD的长等于（）A．4B．2C．2D．4【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=BC=2，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=BC=2，∴AD==4，故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．6．直角三角形的两边长分别为6和8，那么它的第三边长度为（）A．8B．10C．8或2D．10或2【分析】分8为直角边、8为斜边两种情况，根据勾股定理计算．【解答】解：当8为直角边时，斜边==10，当8为斜边时，另一条直角边==2，故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．7．直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c．若b=1，c=2，则a的长是（）A．1B．C．2D．【分析】直接利用勾股定理得出a的值．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，∴a2+b2=c2，∵b=1，c=2，∴a==．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．8．如图，正方形ABCD中，DE⊥CE，垂足为E，且DE=3，CE=4，则阴影部分的面积是（）A．16B．18C．19D．21【分析】根据勾股定理得出CD，进而利用正方形的面积和三角形面积公式解答即可．【解答】解：∵DE⊥CE，垂足为E，且DE=3，CE=4，∴由勾股定理可得：CD=，∴阴影部分的面积=，故选：C．【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出CD．9．用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），给出下列四个结论：①x2+y2=49；②x﹣y=2；③2xy=45；④x+y=9．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②③④C．①③D．②④【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．【解答】解：①∵△ABC为直角三角形，∴根据勾股定理：x2+y2=AB2=49，故本选项正确；②由图可知，x﹣y=CE==2，故本选项正确；③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为4××xy+4=49，即2xy=45；故本选项正确；④由2xy=45①，又∵x2+y2=49②，∴①+②得，x2+2xy+y2=49+45，整理得，（x+y）2=94，x+y=≠9，故本选项错误．∴正确结论有①②③．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．10．如图图中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【分析】根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．【解答】解：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理的证明方法，根据图形面积得出是解题关键．11．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（）A．5B．C．4D．3【分析】根据ab的值求得直角三角形的面积，进而得出大正方形的面积．【解答】解：∵ab=6，∴直角三角形的面积是ab=3，∵小正方形的面积是1，∴大正方形的面积=1+4×3=13，∴大正方形的边长为，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．12．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6B．8，15，17C．5，12，15D．，，【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、82+152=172，能构成直角三角形，故符合题意；C、52+122≠152，不能构成直角三角形，故不符合题意；D、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．13．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a=，b=，c=B．∠A+∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：3：2D．（b+c）（b﹣c）=a2【分析】根据勾股定理的逆定理可分析出A、D的正误；根据三角形内角和定理可分析出B、C的正误．【解答】解：A、∵（）2+（）2≠（）2，故不能判定△ABC是直角三角形；B、∵∠A+∠B=∠C，A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，故能判定△ABC为直角三角形；C、∵∠A：∠B：∠C=1：3：2，∴∠B=180°×=90°，故能判定△ABC为直角三角形；D、∵（b+c）（b﹣c）=a2，∴b2﹣c2=a2，即a2+c2=b2，故能判定△ABC为直角三角形．故选：A．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．也考查了三角形内角和定理．14．以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（）A．6，7，8B．1，1，C．6，8，10D．7，24，25【分析】先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A、∵62+72≠82，∴以6，7，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；B、∵12+12=（）2，∴以1，1，为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵62+82=102，∴以6，8，10为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵72+242=252，∴以7，24，25为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．15．三角形的三边长a、b、c满足a2﹣c2=b2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定【分析】根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状即可．【解答】解：因为三角形的三边长a、b、c满足a2﹣c2=b2，即a2=c2+b2，所以此三角形是直角三角形，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状是解题的关键．16．若三角形的三边长分别为3、4、5，则它最短边上的高为（）A．2.4B．2.5C．3D．4【分析】根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，即可得出选项．【解答】解：∵三角形三边长分别是3，4，5，∴32+42=52，∴此三角形是直角三角形，它的最短边上的高为4，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能得出三角形是直角三角形是解此题的关键．17．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB=1.5，BC=0.9，AC=1.2，则CD 的值是（）A．0.72B．2.0C．1.125D．不能确定【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据计算直角三角形的面积的两种计算方法求出斜边上的高CD．【解答】解：∵AB=1.5，BC=0.9，AC=1.2，∴AB2=1.52=2.25，BC2+AC2=0.92+1.22=2.25，∴AB2=BC2+AC2，∴∠ACB=90°，∵CD是AB边上的高，∴S=，△ABC1.5CD=1.2×0.9，CD=0.72，故选：A．【点评】该题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形的面积公式及其应用问题；解题的方法是运用勾股定理首先证明△ABC为直角三角形；解题的关键是灵活运用三角形的面积公式来解答．18．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C对应的比例如下，其中能判定△ABC是直角三角形的是（）A．2：3：4B．4：3：5C．1：2：3D．1：2：2【分析】根据三角形的内角和公式分别求得各角的度数，从而判断其形状．【解答】解：A、设三个角分别为2x，3x，4x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：40°，60°，80°，所以不是直角三角形；B、设三个角分别为3x，4x，5x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：45°，60°，75°，所以不是直角三角形；C、设三个角分别为x，2x，3x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：30°，60°，90°，所以是直角三角形；D、设三个角分别为x，2x，2x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：36°，72°，72°，所以不是直角三角形．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，通过设适当的参数，根据三角形内角和定理建立方程求出三个内角的度数后判断．19．下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3B．1，，C．2，3，4D．5，12，13【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．【解答】解：A、∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股数；B、∵12+（）2=3≠（）2=3，但和不是正整数，∴不是勾股数；C、∵22+32=13≠42=16，∴不是勾股数；D、∵52+122=169=132=169，∴是勾股数．故选：D．【点评】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．20．如果3，a，5是勾股数，则a的值是（）A．4B．C．4或D．4或34【分析】满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，依此得到a．【解答】解：∵3，a，5是勾股数，∴a=4，故选：A．【点评】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．21．下列四组数据中是勾股数的有（）①5、7、8②、3③9、12、15④n2+1，n2﹣12n（n＞1）A．1组B．2组C．3组D．4组【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【解答】解：①8、5、7 不是勾股数，因为72+52≠82；②、、3 不是勾股数，因为、不是整数；③9、12、15 是勾股数，因为92+122=152；④n2+1、n2﹣1、2n（n＞1）不是勾股数，因为2n、n2﹣1、n2+1不一定是整数．故选：A．【点评】本题考查了勾股数的概念：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3、4、5；6、8、10；5、12、13；…22．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A．13米B．12米C．5米D．米【分析】根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．【解答】解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E，∵AB=13，CD=8，又∵BE=CD，DE=BC，∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5，∴在Rt△ADE中，DE=BC=12，∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169，∴AD=13（负值舍去），答：小鸟飞行的最短路程为13m．故选：A．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．23．如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（）A．L1B．L2C．L3D．L4【分析】先利用勾股定理计算出AC，然后进行无理数估算后进行判断．【解答】解：在Rt△ACD中，∵AD=5，CD=5，∴AC=，∴拉线AC最好选用L2．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．24．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5 m B．12 m C．13 m D．18 m【分析】旗杆的长=BC+AB，利用勾股定理求出AB即可解决问题；【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，AB==13m，所以旗杆折断之前高度为BC+AB=13m+5m=18m．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题；25．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cm．A．25B．20C．24D．10【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2；把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．【解答】解：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1，AB===5（cm）把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2，AB==25（cm）；把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，AB===5（cm）．∵＞＞25所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为25cm．故选：A．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．26．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2=82+[（2+3）×3]2=172，解得x=17．故选：B．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．27．如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（）A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B′，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AB′，如图，由于AC=24，CB′=7，然后利用勾股定理计算出AB′即可．【解答】解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B′，则蚂蚁爬行的最短路径为AB′，如图，AC=24，CB′=7，在Rt△ACB′，AB′==25，所以它爬行的最短路程为25cm．故选：D．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．28．如图，直线m∥n，等腰直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于（）A．42°B．83°C．24°D．30°【分析】先求出∠1，再根据两直线平行，同位角相等可得∠α=∠1．【解答】解：如图，∠1=180°﹣45°﹣52°=83°，∵直线m∥n，∴∠α=∠1=83°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，要求正确观察图形，熟练掌握平行线的性质．29．如图，△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，△BCD是直角三角形，且∠D=30°，则两个三角形重叠部分（△OBC）的面积是（）A．3﹣B．2﹣C．1D．1+【分析】过O作OE⊥BC于E，设BE=x，求出OE和DC，根据相似得出比例式求出x，再根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：∵在Rt△DCB中，∠DCB=90°，∠D=30°，BC=2，∴DC=BC=2，过O作OE⊥BC于E，∵∠ABC=90°，∴OE∥AB，∴∠BOE=30°，△OEC∽△ABC，∴设BE=x，则OE=BE=x，=，∴=，解得：x=﹣1，即OE=x=3﹣，∴阴影部分的面积S=（3﹣）=3﹣，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形、相似三角形的性质和判定等知识点，能求出OE的长是解此题的关键．30．如图，一块直尺与缺了一角的等腰直角三角形如图摆放，若∠1=115°，则下列结论：①∠2=60°②∠2=∠4③∠2与∠3互余④∠2与∠4互补其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】过三角板的顶点作平行线，利用平行线的性质和对顶角以及三角形内角和解答即可．【解答】解：因为∠1=115°，所以∠4=180°﹣115°=65°，由对顶角性质得∠3+∠1+45°=180°，所以∠3=20°；过E作EF∥CD∥AB，则∠FEH=∠3=20°，所以∠GEF=70°=∠2，即①、②错误，所以∠2+∠3=90°，∠2+∠4=135°，即③正确，④错误．故选：D．【点评】此题考查平行线的性质，关键是利用平行线的性质和对顶角以及三角形内角和解答．31．把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1=35°，则∠2的度数为（）A．35°B．10°C．20°D．15°【分析】由平分线及等腰直角三角形的性质，可得出∠1=∠3、∠2=∠4、∠3+∠4=45°，进而即可求出∠2的度数．【解答】解：∵∠1=∠3，∠2=∠4，∠3+∠4=45°，∴∠2=45°﹣∠1=10°．故选：B．【点评】本题考查了等腰直角三角形以及平行线的性质，利用“两直线平行，同位角相等”找出∠1=∠3、∠2=∠4是解题的关键．32．如图，两条直线l1∥l2，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，顶点A、B分别在l1和l2上，∠1=20°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠CAB=∠2，∵Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∴∠2=20°+45°=65°，故选：C．【点评】本题考查的是等腰直角三角形，根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答是解答此题的关键．33．如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的直角顶点C落在直线l2上，若∠1=15°，则∠2的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】过A作AE∥直线l1，推出直线l1∥直线l2∥AE，根据平行线的性质得出∠2=∠EAC，∠1=∠EAB，即可求出答案．【解答】解：过A作AE∥直线l1，因为直线l1∥l2，所以直线l1∥直线l2∥AE，所以∠2=∠EAC，∠1=∠EAB=15°，因为∠BAC=45°，所以∠2=∠EAC=45°﹣15°=30°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质的应用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．34．如图，一系列等腰直角三角形（编号分别为①、②、③、④、…）组成了一个螺旋形，其中第1个三角形的直角边长为1，则第n个等腰直角三角形的面积为（）A．2n﹣3B．2n﹣2C．2n﹣1D．2n【分析】分别写出几个直角三角形的直角边的长，找到规律，从而写出第n个等腰三角形的直角边的长，从而求得直角三角形的面积即可．【解答】解：第①个直角三角形的边长为1=（）0，第②个直角三角形的边长为=（）1，第③个直角三角形的边长为2=（）2，第④个直角三角形的边长为2=（）3，…第n个直角三角形的边长为（）n﹣1，面积为：×（）n﹣1×（）n﹣1=2n﹣2．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形及图形的变化类问题，要结合图形熟练运用勾股定理计算几个具体值，从中发现规律．35．如图，等腰直角三角板的顶点A在直线b上．若a∥b，∠2=34°，则∠1度数为（）A．34°B．56°C．10°D．5°【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图，∵a∥b，∠ABC=90°，∴∠2+∠4=90°，∠3=∠4，∠4=56°，∴∠3=56°，∴∠1=∠3=56°，故选：B．【点评】此题考查等腰直角三角形的性质，关键是根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答．36．若点M（3，﹣2）与点N（x、y）在同一条平行于x轴的直线上，且MN=1，则N点的坐标为（）A．（4，﹣2）B．（3，﹣1）C．（3，﹣1）或（3，﹣3）D．（4，﹣2）或（2，﹣2）【分析】利用平行于x轴的直线上点的坐标特征得到y=﹣2，再利用MN=1得到|x﹣3|=1，然后去绝对值求出x即可得到N点坐标．【解答】解：∵点M（3，﹣2）与点N（x、y）在同一条平行于x轴的直线上，MN=1，∴y=﹣2，|x﹣3|=1，∴x=2或4，∴N点的坐标为（2，﹣2）或（4，﹣2）．故选：D．【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=．理解与坐标轴平行的直线上点的坐标特征．37．点（3，﹣1）到原点的距离为（）A．2B．3C．1D．【分析】直接利用两点间的距离公式计算即可．【解答】解：点（3，﹣1）到原点的距离==．故选：D．【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=．38．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P，Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），动点P （x，y）满足d（P，Q）=3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（）个．A．4B．8C．10D．12【分析】由条件可得到|x﹣2|+|y﹣1|=3，分四种情况：①x﹣2=±3，y﹣1=0，②x﹣2=±2，y﹣1=±1，③x﹣2=±1，y﹣1=±2，④x﹣2=0，y﹣1=±3，进行讨论即可求解．【解答】解：依题意有|x﹣2|+|y﹣1|=3，①x﹣2=±3，y﹣1=0，解得，；②x﹣2=±2，y﹣1=±1，解得，，，；③x﹣2=±1，y﹣1=±2，解得，，，；④x﹣2=0，y﹣1=±3，解得，．故满足条件的点P有12个．故选：D．【点评】考查了两点间的距离公式，本题为新概念题目，理解题目中所给新定义是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．39．在平面直角坐标系中，点P（﹣x，2x）到原点O的距离等于5，则x的值是（）A．±1B．1C．D．±【分析】根据两点间的距离公式列出关于x的方程，求出x的值即可．【解答】解：∵点P（﹣x，2x）到原点O的距离等于5，∴x2+4x2=25，解得x=±．故选：D．【点评】本题考查的是两点间的距离公式，熟记两点间的距离公式是解答此题的关键．40．如图，在平面直角坐标系第一象限有一点P，其横坐标为3，在x轴上有一点A（﹣1，0）．已知PA两点间的距离为，则P的纵坐标为（）。
小学奥数勾股定理与弦图练习及答案【三篇】
【导语】天⾼鸟飞，海阔鱼跃，学习这舞台，秀出你独特的精彩⽤好分秒时间，积累点滴知识，解决疑难问题，学会举⼀反三。
以下是为⼤家整理的《⼩学奥数勾股定理与弦图练习及答案【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇】
例2、△ABC是直⾓三⾓形，在边AB、BC、CA上分别取点D、E、F，使得AD=AF=FC=EC。
当△DEF成为等腰直⾓三⾓形、BE=3cm、DB=1cm时，求△ABC的⾯积。
【第⼆篇】
例1、如图，P是正⽅形ABCD外⾯的⼀点，PB=12厘⽶，△APB的⾯积是90平⽅厘⽶，△CPB的⾯积是48平⽅厘⽶。
请问：正⽅形ABCD的⾯积是多少平⽅厘⽶？
【第三篇】
习题：从⼀个正⽅形的⽊板上锯下宽0.5⽶的⼀个长⽅形⽊条以后，剩下的长⽅形⾯积为5平⽅⽶，问：锯下的长⽅形⽊条的⾯积等于多少平⽅⽶？。
初中数学勾股定理知识点及练习题及答案
一、选择题1．△ABC 的三边的长a 、b 、c 满足：2(1)250a b c -+-+-=，则△ABC 的形状为（ ）． A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( )A ．8B ．8.8C ．9.8D ．104．如图，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）A ．0B ．1C 3D 25．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2()a b + 的值为（ ）.A ．49B ．25C ．13D ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt △ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD 的长为（ ）A ．10B ．5C ．4D ．3 7．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A ．1、2、3B ．2、3、4C ．1、2、3D ．4、5、68．长度分别为9cm 、12cm 、15cm 、36cm 、39cm 五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ）A ．17B ．5C ．2D ．710．有下列的判断：①△ABC 中，如果a 2＋b 2≠c 2，那么△ABC 不是直角三角形 ②△ABC 中，如果a 2－b 2＝c 2，那么△ABC 是直角三角形 ③如果△ABC 是直角三角形，那么a 2＋b 2＝c 2 以下说法正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．②二、填空题11．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．12．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC=DC ，点E 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若∠A =60°，AB=4，CE=3，则BC 的长为_______．13．若ABC ∆为直角三角形，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 在斜边AC 上，且2AC BD =，则AD 的长为__________．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．15．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．16．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．17．如图，长方形ABCD 中，∠A =∠ABC =∠BCD =∠D =90°，AB =CD =6，AD =BC =10，点E 为射线AD 上的一个动点，若△ABE 与△A ′BE 关于直线BE 对称，当△A ′BC 为直角三角形时，AE 的长为______．18．在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，过点C 作直线lAB ，F 是l 上的一点，且AB AF =，则FC =__________．19．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．20．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．三、解答题21．如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，有一动点M 自A 向B 以1 cm/s 的速度运动，动点N 自B 向C 以2 cm/s 的速度运动，若M ，N 同时分别从A ，B 出发．(1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形； (2)经过多少秒，△BMN 为直角三角形．22．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．23．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2． 24．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒； ②求AB 的长．25．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长； （2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=︒，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转90︒）；（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=︒，1AM =，求BM 的长．26．已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．27．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？ （2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值. ②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积. 28．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ． （1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.29．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手 许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小 的形状…直角三角形 …直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般结论在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________；③若为钝角三角形，则满足_____________．（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）A．一定是锐角三角形B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由等式可分别得到关于a 、b 、c 的等式，从而分别计算得到a 、b 、c 的值，再由222+=a b c 的关系，可推导得到△ABC 为直角三角形．【详解】∵2(1)250a b c --=又∵()2102050a b c ⎧-≥-≥-≥⎪⎩∴()21=02=05a b c ⎧-⎪⎪-⎨⎪⎪⎩∴125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴222+=a b c ∴△ABC 为直角三角形 故选：D ． 【点睛】本题考察了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．2．C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
《第17章 勾股定理》测试卷(1)
《第17章勾股定理》测试卷（1）一、选择题（共10小题）1．如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（）A．+1B．﹣1C．﹣+1D．﹣﹣12．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12B．7+C．12或7+D．以上都不对3．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m4．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角的度数之比为1：2：3B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为3：4：5D．三内角的度数之比为3：4：55．下列各组数据中，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，6，96．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（）A．x2+102＝（x+1）2B．（x﹣1）2+52＝x2C．x2+52＝（x+1）2D．（x﹣1）2+102＝x27．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想8．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，则BC边上的高AD为（）A．8B．9C．D．109．下列是勾股数的有（）①3，4，5 ②5，12，13 ③9，40，41④13，14，15 ⑤⑥11，60，61A．6组B．5组C．4组D．3组10．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．二、填空题（共10小题）11．如图由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是m．12．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，…线段（如图所示）．”即：OA＝1，过A作AA1⊥OA且AA1＝1，根据勾股定理，得OA1＝；再过A1作A1A2⊥OA1且A1A2＝1，得OA2＝；…以此类推，得OA2018＝．13．如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为cm2．14．已知：△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝5cm，则△ABC的面积是cm2．15．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为．16．有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为．17．下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组数为．18．下列各组数：①1、2、3；②，，2；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41，其中是勾股数的是（填序号）．19．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若a+b＝，ab＝2，则小正方形的面积为．20．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾AE＝6，弦AD＝10，则小正方形EFGH的面积是．三、解答题（共10小题）21．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点．当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知梯子长2.5m，D点到地面的垂直距离DE＝1.5m，两墙的距离CE长3.5m．求B点到地面的垂直距离BC．22．如图，一架25米长的云梯AC斜靠一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C离墙7米．（1）这个梯子的顶端A距离地面多远？（2）如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了4米吗？23．如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷，若绳子的长度为5.5米，固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离是4.5米，现有一根高为3.2米的竿，它能否做帐篷的支撑竿，请说明理由．24．如图，在△ABD中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知BC＝9，AB＝17，AC＝10，求AD的长．25．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．26．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．27．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM2002）的会标（图2），其图案正是由“弦图”演变而来．“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题：（1）叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；（2）证明勾股定理；（3）若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值．28．通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2给予解释．图乙中的△ABC是一个直角三角形，∠C＝90°，人们很早就发现直角三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2的关系．图丙是2002年国际数学家大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，求出（a+b）2的值．29．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），可以看作（22﹣1，2×2，22+1）；同时8，6，10也为勾股数组，记为（8，6，10），可以看作（32﹣1，2×3，32+1）．类似的，依次可以得到第三个勾股数组（15，8，17）．（1）请你根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组；（2）若设勾股数组中间的数为2n（n≥2，且n为整数），根据上述规律，请直接写出这组勾股数组．30．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、、；（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝…，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为；（3）用所学知识加以说明．。
八年级数学勾股定理30道必做题(含答案和解析)
八年级数学勾股定理30道必做题（含答案和解析）1、如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为a ，b ，c. A ，B ，N ，E ，F 五点在同一直线上，则c ＝ ．（用含有a ，b 的代数式表示）．答案：√a 2+b 2.解析：由三个正方形如图的摆放.∵四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形. ∴∠CNB ＋∠ENH ＝90°.又∵∠CNB ＋∠NCB ＝90°，∠ENH ＋∠EHN ＝90°. ∴∠CNB ＝∠EHN ，∠NCB ＝∠ENH. 在△CBN 和△NEH 中：{∠BNC =∠EHNNC =HN ∠NCB =∠HNE .∴△CBN ≌△NEH （ASA ）. ∴HE ＝BN.在Rt △CBN 中，BC 2＋BN 2＝CN 2.又已知三个正方形的边长分别为a ，b ，c. 则有a 2＋b 2＝c 2. ∴c =√a 2+b 2．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.三角形——直角三角形——勾股定理. 四边形——正方形——正方形的性质.2、在Rt △ABC 中，斜边长BC ＝3，AB 2＋AC 2＋BC 2的值为（ ）． A.9 B.18 C.6 D. 无法计算答案：B.解析：在Rt△ABC中，斜边长BC＝3.BC2＝AB2＋AC2＝9.∴AB2＋AC2＋BC2＝9＋9＝18．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.3、三角形三边长分别为① 3，4，5；② 9，40，41；③ 5，12，13；④ 6，8，10；⑤ 7，24，25；⑥ 8，15，17．其中能构成直角三角形的有．答案：①②③④⑤⑥.解析：① 3，4，5；② 9，40，41；③ 5，12，13；④ 6，8，10；⑤ 7，24，25；⑥ 8，15，17．全都能构成直角三角形．考点：三角形——直角三角形——勾股数.4、已知点A（3,5），B（-1，1）那么线段AB的长度为（）．A.4B.3√2C.4√2D.5答案：C.解析：已知A（3,5）和B（-1，1），由两点间的距离公式可知AB=√(3+1)2+(5−1)2=4√2．考点：函数——平面直角坐标系——坐标与距离.5、等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为，斜边上的高为．答案：1．5√2.2．5.解析：等腰三角形的三边关系为1∶1∶√2.因为等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为5√2.斜边上的高，即为斜边的中线，为斜边的一半，长为5．考点：三角形——直角三角形——等腰直角三角形——勾股定理.6、若正方形的周长为40，则其对角线长为（）．A.100B.20√2C.10√2D.10答案：C.解析：正方形边长为10，根据勾股定理得对角线长为10√2．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.7、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AC的长是（）．A.2B.√32C.√3D.√3+2答案：C.解析：略.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.8、等边三角形的边长为4，则它的面积是．答案：4√3 .解析：等边三角形的面积=√34×42=4√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.9、已知一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，则此三角形斜边是__________，斜边上的高为__________．A.5；125B.6；145C.6；125D.5；145答案：A.解析：略.考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.直角三角形——勾股定理.10、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它的斜边上的高为．答案：6013.解析：设斜边的长为c，斜边上的高为h.∵直角三角形的两直角边长分别为5和12.∴c=√52+122=13.∴5×12＝13h，解得h＝60．13考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.11、如图所示，小明同学在距离某建筑物6米的点A处测得条幅两端点B，C点的仰角分别为60°和30°，则条幅的高度BC为米（结果可以保留根号）．答案：4√3.=2√3，BC=BD−CD=4√3．解析：依题可知，BC=6√3，CD=√3考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.三角形——锐角三角函数——解直角三角形.12、一张直角三角形的纸片，按图所示折叠，使两个锐角的顶点A，B重合，若∠B＝30°，AC＝√3，则DC的长为．答案：1.解析：由题知∠DAE＝∠B＝30°.∴∠DAC＝90°－∠B－∠DAE＝30°．AC=1．∴在Rt△ADC中，DC=√33考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.13、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，D是AB延长线上一点且∠CDB＝45°．求DB与DC的长．答案：证明见解析．解析：过C作CE⊥AB于E.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4.∴BC＝2，∠ABC＝60°.∴∠BCE＝30°.∴BE＝1，CE＝√3.在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠CDB＝45°.∴∠ECD＝45°.∴DE＝CE＝√3.∴CD＝√CE2+DE2=√6.∴BD＝√3－1．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形——等腰直角三角形——勾股定理.14、如图，数轴上有两个Rt△OAB，Rt△OCD，OA，OC是斜边，且OB＝1，AB＝1，CD＝1，OD＝2，分别以O为圆心，OA，OC为半径画弧交x轴于E，F，则E，F分别对应的数是.答案：−√2，√5.解析：在Rt△OAB中，OA＝√OB2+AB2=√2.∴OE＝√2.∴点E对应的数为−√2．在Rt△OCD中，OC＝√OD2+CD2=√5.∴OF＝√5.∴点F对应的数为√5．考点：数——有理数——数轴.三角形——直角三角形——勾股定理.15、在△ABC中，三条边的长分别为AB＝√5，BC＝√10，AC＝√13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格，其中每个小正方形的边长为1，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样就不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为√2a，√13a，√17a(a>0).请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上．（3）若△ABC中有两边的长分别为√2a,√10a(a>0).且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上．.答案:（1）72a2.（2）52（3）4a或2√2a.解析:（1）△ABC的面积为72．（2）△ABC的面积为52a2.（3）图中三角形为符合题意的三角形．第三边的长度为4a或2√2a.考点：函数——平面直角坐标系——坐标与面积.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.16、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝5，c＝4，则S△ABC＝．答案：94.解析：在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2＋b2＝c2．又有(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，∴(a＋b)2－c2＝2ab.∴S△ABC＝12ab=94．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.17、已知Rt△ABC的周长为2+√6，其中斜边AB＝2，则这个三角形的面积为．答案：12.解析：在Rt△ABC中，设BC＝a，AC＝b．由勾股定理得a2＋b2＝4．由题意得a ＋b ＋2＝2＋√6. ∴a ＋b ＝√6. ∴ab =(a+b)2−(a 2+b 2)2=6−42=1．∴s =12ab =12．考点：式——整式——完全平方公式.三角形——直角三角形——勾股定理.18、在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为 ． 答案：132cm. 解析：略.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.19、如图所示，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m ，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，求水深是多少？答案：水深为1.5米．解析：设水深AC 为x 米．则红莲的长是(x ＋1)米．在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，AC 2＋BC 2＝AB 2． ∴(x ＋1)2＝x 2＋4． 解得x ＝1.5． 答：水深为1.5米．考点：三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的应用.20、如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若DA ⊥AB ，AD ＝1，BD ＝√17，则BC 的长为 ．.答案：178解析：在Rt△ABD中，由勾股定理可知，AD＝1，BD＝√17，AB＝4．设BC＝BD＝x，AC＝4－x..由勾股定理可知12＋(4－x)2＝x2，解得x＝178考点：三角形——直角三角形——勾股定理.21、如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于．答案：6.解析：∵AB＝10，EF＝2.∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4.∴四个直角三角形的面积和为100－4＝96.ab=96.设AE＝a，DE＝b，即4×12∴2ab＝96，a2＋b2＝100．∴a＋b＝14.∵a－b＝2.解得a＝8，b＝6.∴AE＝8，DE＝6.∴AH＝8－2＝6．考点：方程与不等式——二元一次方程组——解二元一次方程组.三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.22、在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，则AB边的长是．答案：13或√119.解析：若AC＝5，BC＝12都是直角边，则AB＝13．若BC＝12是斜边，则AB＝√122−52=√119．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.23、等腰三角形的一边长为12，另一边长是10，则其面积为．答案：48或5√119.解析：作出底边上的高AD.当AB＝AC＝12，BC＝10时，BD＝5.由勾股定理得：AD＝√AB2−BD2=√119．∴S=12BC×AD=12×10×√119=5√119．当AB＝AC＝10，BC＝12时，BD＝6.由勾股定理得：AD＝√AB2−BD2=√102−62=8．∴S=12BC×AD＝48.考点：三角形——直角三角形——勾股定理.24、在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为cm2．答案：66或126.解析：如图所示，分如下两种情况：由勾股定理可得，B1H＝B2H＝5，CH＝16．∴CB1＝21，CB2＝11.∴△ABC的面积为66或126cm2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理.25、下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）．A.3，4，5B.1，1，√2C.5，12，13D.4，6，8答案：D.解析：∵32＋42＝52，∴选项A正确.∵12＋12＝(√2)2，∴选项B正确.∵52＋122＝132，∴选项C正确.∵42＋62≠82，∴选项D错误．考点：三角形——直角三角形——勾股定理的逆定理.26、在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，如果三边长满足b2－a2＝c2，那么△ABC中互余的一对角是．答案：∠A和∠C.解析：∵b2－a2＝c2.∴b2＝a2＋c2.∴△ABC为直角三角形，且∠B＝90°.∴∠A＋∠C＝90°．考点：几何初步——角——余角和补角.三角形——直角三角形——勾股定理的逆定理.27、如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝14CD．求证：△AEF 是直角三角形．答案：证明见解析．解析：如图所示，延长FE交AB的延长线于点G.∵∠C＝∠GBE＝90°，CE＝BE，∠1＝∠2．∴△CEF≌△BEG．∴EF＝EG，CF＝BG．设正方形ABCD的边长为a，则CF＝14a，DF＝34a．在Rt△ADF中，根据勾股定理，得AF2＝AD2＋DF2＝a2+(34a)2=2516a2．∴AF=54a，BG=14a．∴AG=54a.∴AF＝AG．∵EF＝EG.∴AE⊥FG．∴∠AEF＝90°．∴△AEF是直角三角形.考点：三角形——全等三角形——全等三角形的应用.三角形——等腰三角形——等腰三角形的性质.三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.28、如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．答案：四边形ABCD的面积为1＋√5．解析：连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.∴AC＝√AB2+BC2=√5．在△ACD中，AC2＋CD2＝5＋4＝9＝AD2.∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD＝12AB×BC+12AC×CD=12×1×2+12×√5×2=1+√5.故四边形ABCD的面积为1＋√5．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.29、在△ABC中，点D为BC的中点，点M，N分别为AB，AC上的点，且MD⊥ND．（1）若∠A＝90°，以线段BM，MN，CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形？（2）如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2，求证AD2=14(AB2+AC2)．答案：（1）能，该三角形是直角三角形．（2）证明见解析．解析：（1）略.（2）延长ND至E，使DE＝DN，连接EB，EM，MN．因为DE＝DN，DB＝DC，∠BDE＝∠CDN，则△BDE≌△CDN．从而BE＝CN，∠DBE＝∠C．而DE＝DN，∠MDN＝90°，故ME＝MN.因此DM2＋DN2＝MN2＝ME2.即BM2＋BE2＝ME2，则∠MBE＝90°.即∠MBD＋∠DBE＝90°．因为∠DBE＝∠C，故∠MBD＋∠C＝90°．则∠BAC＝90°．AD为Rt△ABC斜边BC上的中线.BC．故AD＝12(AB2+AC2)．由此可得AD2=14考点：三角形——全等三角形——全等三角形常用辅助线——倍长中线.三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.三角形——直角三角形——勾股定理.30、阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP’C，连接PP’，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．（1）图1中∠APB的度数等于．（2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝2√2，PB＝1，PD＝√17，则∠APB的度数等于，正方形的边长为．（3）如图，在正六边形ABCDEF内有一点，且PA＝2，PB＝1，PF＝√13，则∠APB的度数等于，正六边形的边长为（并写出解答过程）．答案:（1）150°.（2）1．135°.2．√13.（3）1．120°.2．√7.解析：（1）∵△ABC为正三角形，PA＝P’A.∴△AP P’为正三角形.∴∠A P’P＝60°，P’P＝AP＝3.∵P’C＝PB＝4，PC2＝P’P2＋P’C2.∴∠PP’C＝90°.∴∠APB＝∠AP’C＝150°.（2）1．135°；2．√13.（3）图4中∠APB的度数等于120°，正六边形的边长为√7．将△APB绕点A逆时针旋转120°得到△A P’F，连接P’P．过点A作AN⊥P’P，过点A作AH⊥FP’于点H．∵△APB绕点A逆时针旋转120°得到△A P’F.∴∠PAP’＝120°，P’A＝PA＝2，P’F＝PB＝1.∴∠AP’P＝30°．在Rt△ANP’中，P’A＝2AN＝2.∴P’N＝√3．∴PP’＝2√3．在△FPP’中，PF＝√13，PP’＝2√3，P’F＝2．∴PF2＝P’F2＋P’P2.∴∠FP’P＝90°．∴∠APB＝∠FP’A＝∠FP’P＋∠AP’P＝120°.∴∠HP’A＝60°．在Rt△HP’A中，AP’＝2, ∠P’AH＝30°．∴HP’＝1．在Rt△HFA中，FA2＝FH2＋HA2.∴FA＝√FH2+HA2=√7.考点：三角形——直角三角形——勾股定理——勾股定理的逆定理.几何变换——图形的旋转——旋转全等.。
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勾股定理及弦图题库
这就是一个“弦图”。
“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。
三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。
我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。
【例】.2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它由四个相同的直角三角形拼成的（直角边的长度分别为2和3），问大正方形的面积是多
少
【例】在边长为10的正方形ABCD中，内接着6个大小相同的正方
形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，
则这6个小正方形的总面积是。
【例】.如图，如果长方形ABCD的面积是56cm2，那么四边形MNPQ
的面积是多少cm2?
【例】点P是正方形ABCD外一点，PB=12cm，?APB的面积是
90cm2，?CPB的面积是48cm2。
请你回答：正方形ABCD的面积
是多少cm2
【例】如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、
F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且
是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的
面积为1，则矩形ABCD的面积为
【例】如下图，正方形ABCD的面积是S，A、
B、C、D分别是线段EB、FA、GD、HC的三
；
等分点，试用S表示四边形EFGH的面积S
1
【例】（2009?安顺）下图是我国古代着名的“赵爽
弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围
成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为
6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数
学风车”，则这个风车的外围周长是——
【例】（ 2010年广西河池）如图是用4个全等的
直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（ x>y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x－y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）.A.
①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
【例】（ 2011年浙江温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” ，后人称其为“赵爽弦图” ．图7由“弦图” 变化得到的，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=10，则S2的值是______
【例】小明遇到这样一个问题：如图13，在边长为a （ a＞2）的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE =BF =CG =DH =1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形．
请回答：
（ 1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），求这个新的正方形的边长；
（ 2）求正方形MNPQ的面积．
（ 3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图15，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点 D，E，F 作 BC，AC，AB 的垂线，得到等边△
RPQ，若S△RPQ=3，则AD的长为______
【例】如图，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条边是分别是a，b，则a+b和的平方的值（）
A．13 B．19 C．25 D．169 【例】“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形
与大正方形的面积差是（）
【例】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最
大的正方形的边长为10cm，正方形A
2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是
cm2．
【例】如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三
角形，正方形A、B、C、D的面积的和是64cm2，则最大的正方形的边长为
cm．
【例】2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是
由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的
面积是13，小正方形的面积是1，则两条直角三角形的两条边的立方和等于。