(完整版)七年级下册数学三角形全等动点问题

初一数学

全等三角形之动点问题专题（B类）

一、考点、热点回顾

动点型问题是近年来中考的一个热点问题。动态几何问题就是以几何知识和

具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。

《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。对学生分析问题的能力，对图形的想象能

力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。

本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，

还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。

二、典型例题

1、单动点问题

引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动. 设点P 的运动时间为（s ），那么t=____时，△PBC 是直角 三角形？

2、双动点问题

引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?

巩固练习，拓展思维

已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为t （s ），那么 当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?

B

C

P

A C

Q

B

P

A Q

D

B

C

P

A

A

变式练习：1、已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形.动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），连接PC. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？

变式练习：2、已知等边三角形△ABC ，（1）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿线段BC 向点C 运动，连接CP 、AQ 交于M ，如果动点P 、Q 都以相同的速度同时出发，则∠AMP=___度。

(2)若动点P 、Q 继续运动，分别沿射线AB 、BC 方向运动，.∠AMP=60°的结论还成立吗？

二、实战训练

1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ．

Q

D B

C

P

A

2、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF

（2）试证明△DFE是等腰直角三角形

3、如图，在等边ABC

∆的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问

（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？

（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中CQE

∠的大小条件不变，求证：︒

CQE

=

∠60

（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE 交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确

4、如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；

（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．

图1 图2 图3

5、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？

6、（2009年本溪）在ABC △中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧．．作ADE △，使AD AE DAE BAC =∠=∠，，连接CE ．

（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=°，则BCE ∠= 度； （2）设BAC α∠=，BCE β∠=．

①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点D 在直线BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

A

B