计算方法模拟题2(答案)

模拟题（二）

一、选择题(单选，14道小题，每题3分，共42分)

1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有 B 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6

2. 取7

3.13≈（三位有效数字），则

≤-73.13 B 。

A 、30.510-⨯

B 、20.510-⨯

C 、10.510-⨯

D 、0.5 3. 下面_ D _不是数值计算应注意的问题。

A 、注意简化计算步骤，减少运算次数

B 、要避免相近两数相减

C 、要防止大数吃掉小数

D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)

0(x

ϖ及常向量g ϖ，迭代过程g x B x

k k ϖ

ϖϖ+=+)()

1(收敛的充分必要条件是_C_。

A 、11<

B B 、1<∞

B

C 、1)(

D 、21B <

5. 用列主元消去法解线性方程组，消元的第k 步，选列主元)

1(-k rk a ，使得)

1(-k rk a ＝ B 。

A 、 )

1(1max -≤≤k ik

n

i a B 、 )

1(max -≤≤k ik

n

i k a C 、 )

1(max -≤≤k kj

n

j k a D 、 )

1(1max -≤≤k kj

n

j a

6. 设ƒ(x)= 5x 3－3x 2＋x ＋6，取x 1=0，x 2=0.3，x 3=0.6，x 4=0.8，在这些点上关于ƒ(x)的插值多项式为3()P x ，则ƒ(0.9)-3(0.9)P =_____A_____。

A 、0

B 、0.001

C 、0.002

D 、0.003

7. 用简单迭代法求方程f (x )=0的实根，把方程f (x )=0转化为x =ϕ(x ),则f (x )=0的根是： B 。 A 、y =x 与y =ϕ(x )的交点 B 、 y =x 与y =ϕ(x )交点的横坐标

C 、y =x 与x 轴的交点的横坐标

D 、 y =ϕ(x )与x 轴交点的横坐标 8. 已知x 0＝2，f (x 0)=46，x 1＝4，f (x 1)=88，则一阶差商f [x 0, x 1]为 C 。 A 、7 B 、20 C 、21 D 、42

9. 已知等距节点的插值型求积公式

()()4

6

3

k

k

k f x dx A f x =≈∑⎰，那么4

k

k A

==∑__C___。

A 、0

B 、2

C 、3

D 、9

10. 用高斯消去法解线性方程组，消元过程中要求__C__。

A 、0≠ij a

B 、0)

0(11≠a C 、0)(≠k kk a D 、0)

1(≠-k kk

a

11. 如果对不超过m 次的多项式，求积公式)()(0

k b

a

n

k k x f A dx x f ⎰

∑=≈精确成立，则该求积公式具有 A 次

代数精度。

A 、至少m

B 、 m

C 、不足m

D 、多于m 12. 计算积分

2

1

1

dx x

⎰

，用梯形公式计算求得的值为 A 。 A 、0.75 B 、1 C 、1.5 D 、2.5

13. 割线法是通过曲线上的点))(,()),(,(11k k k k x f x x f x --的直线与 B 交点的横坐标作为方程0)(=x f 的近似根。

A 、y 轴

B 、x 轴

C 、x y =

D 、)(x y ϕ=

14. 由4个互异的数据点所构造的插值多项式的次数至多是_B___。 A 、 2次 B 、3次 C 、4次 D 、5次

二、计算题（共58分）

1. 将方程3210x x --=写成以下两种不同的等价形式：

①2

1

1x x =+

；②x =

试在区间[1.40,1.55]上判断以上两种格式迭代函数的收敛性。（8分）

解： ①令121()1x x ϕ=+

，则'13

2()x x

ϕ=-，173.0|)40.1(||)(|'

1'1<≈≤ϕϕx ； 又]55.1,40.1[]51.1,42.1[)]40.1(),55.1([)(⊂≈∈ϕϕϕx ，故由定理2.1知，对任意]55.1,40.1[0∈x ，迭代格式收敛；

②令11)(2-=

x x ϕ，则3'

2)

1(21)(--=x x ϕ，123.1|)55.1(||)(|'2'2

>≈>ϕϕx ，故由定理2.2知，对任意]55.1,40.1[0∈x ，且*0x x ≠，迭代格式发散。

2. 设方程f (x )=0在区间[0，1]上有惟一实根，如果用二分法求该方程的近似根，试分析至少需要二分几

次才能使绝对误差限为0.001。（8分）

解：设方程的精确解为x *，任取近似根x ],[n n b a ∈(有根区间)⊂[0,1]，

则

001.0212

1

≤=

-≤

-+*n n

n a b x x

97.812

ln 001

.0ln ,001.0121≈--≥∴≥

+n n 所以至少要二分9次，才能保证近似根的绝对误差限是0.001．

3. 用复化梯形公式、复化辛卜生公式分别计算积分

1

2041dx x +⎰的近似值，要求总共选取9个节点。

（10分）

解：要选取9个节点应用复化梯形公式，则需将积分区间[0, 1]作8等分，即

8n =, 10

0.1258

h -=

=，0.125i x a ih h =+=（08i ≤≤） 设()241f x x =

+，则积分1204

1dx x

+⎰的复化梯形公式为： 1

1

02

017

0814()2()()120.125()2()()2n i n i i i h dx f x f x f x x f x f x f x -==⎡⎤

≈++⎢⎥+⎣⎦

⎡⎤=++⎢⎥

⎣⎦

∑⎰∑

若选取9个节点应用复化辛卜生公式，则

4n =，110

0.254

h -=

=，110.25i x a ih h =+=（04i ≤≤） 积分1

2

04

1dx x +⎰

的复化辛卜生公式为：

11

1

1012001233

010124

()4()2()()160.25()4()2()()6n n k n k k k k n k k k h dx f x f x f x f x x f x f x f x f x --+

==+==⎡⎤≈+++⎢⎥+⎣⎦

⎡

⎤=+++⎢⎥⎣⎦

∑∑⎰∑∑

将所用到的i x 与相应的()i f x ，以及()i f x 的梯形加权系数i T 、()i f x 的辛卜生加权系数i S 全

那么由复化梯形公式求得