信道编码MATLAB实验

（3）若码字用于纠正 t 个错误，同时检测 e 个错误时（设 e > t ） ，则 d 0 ≥ e + t + 1 。 编码效率： Rc 可表示为 Rc = k n = ( n − r ) n = 1 − r n 。
（二）线性分组码
所谓线性分组码， 可简单认为是信息码分组后， 附加的监督码和信息码由一些线性代数 方程联系着。线性分组码的任意两码之和仍为可用码，即线性分组码具有封闭性。另外，线 性分组码的最小码距等于非零码的最小码重，因为线性分组码中必有一个全 0 码组。 1．深入认识监督码 在奇偶监督偶校验码中，发送端将一位监督码 附加在信息码后，使得码元中“1”码元 ．．．．． 个数为偶数。在接收时计算接收码中“1”的个数 S ：
A ( x ) = an −1 x n −1 + an − 2 x n −2 + L + a1 x + a0
1．生成多项式 g ( x ) 定义： 若一个循环码的所有码字多项式都是一个次数最低的、 非零的、 首一多项式 g ( x ) 的倍式，则称 g ( x ) 为生成该码，并称 g ( x ) 为该码的生成元或生成多项式。 可以证明生成多项式 g ( x ) 具有以下特性：
a a a a a a
5 4 3 2 1
0
。 ⎤ ⎦
⎡1 1 1 0 1 0 0 ⎤ ⎥ H=⎢ ⎢1 1 0 1 0 1 0 ⎥ = [ P I r ] ⎢ ⎣1 0 1 1 0 0 1 ⎥ ⎦
注意： （1）监督矩阵确定了编码时监督码元与信息码元的关系。 （2）监督矩阵的行数就是监督关系式的数目，即监督位数 r 。 （3）监督矩阵的每行中“1”的位置表示相应的码元参与监督关系。 3．生成矩阵 G 上述关系也可以用矩阵形式来表示：
为 B = [bn −1bn − 2 L b1b0 ] B 。则收、发码组之差（模 2 运算）为：
B − A = [bn −1
= E = [en −1
bn − 2 L b0 ] − [a n −1 e n − 2 L e0 ]
a n − 2 L a0 ]
⎧0 ⎩1 bi = ai bi ≠ ai
这里的 E 就是错码的行矩阵，称为错误图样。其中， ei = ⎨ 5．检错与纠错原理 接收端利用接收到的码组 B 计算校正子：
r r −1
+ L + a1 x + 1 ，则有：
⎡ x k −1 ⋅ g ( x ) ⎤ ⎢ k −2 ⎥ ⎢ x ⋅ g ( x )⎥ G ( x) = ⎢ M⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x ⋅ g ( x )⎥ ⎢ g ( x )⎥ ⎣ ⎦
2．监督多项式 h( x ) 定义：若 g ( x ) 是 ( n, k ) 循环码的生成多项式，则有 x + 1 = g ( x)h( x) 。其中， h( x ) 是
二、实验仪器与设备
1. 2. 3. 微型电子计算机 Windows 2000 以上版本操作系统 Visual C++ 6.0/MATLAB6.5 以上系统 80 台 80 套 80 套
三、实验原理
如果说信源编码的目的是为了提高信号传输的有效性的话， 那么信道编码则是为了提高 通信的可靠性而采取的一种编码策略。 信道编码的核心基础是纠错编码理论， 是在信息码后 面附加上一些监督码，以便在接收端发现和纠正误码。目前常用的方法是线性分组码。
1 1 0 1
1⎤ 0⎥ ⎥ = [a 6 1⎥ ⎥ 1⎦
a5
a4
a3 ] ⋅ Q
其中 Q = P 。
T
如果在 Q 矩阵的左边在加上一个 k × k 的单位矩阵，就形成了一个新矩阵：
G = [I k
⎡1 ⎢0 Q] = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 1 0
1 1 0 1
（一）分组码概念
分组码可表示为 ( n, k ) ，其中 n 表示码字的长度， k 表示信息码的长度。设 r = n − k ， 表示监督码的长度。如下图所示。
图 2.1
分组码结构
码长：码字中码元的数目。 码重：码字中非 0 位的数目。 码距：两个等长码字间对应位不同的数目，有时也称作这两个码字的汉明距离。 最小码距：在码字集合中全体码字之间距离的最小数值，一般记为 d 0 或 d min 。 分组码的抗干扰能力完全取决于可用码字之间的最小距离， 最小距离越大， 说明码字间 的最小差别越大，抗干扰能力也就越强。 （1）当码字用于检测错误时，如果要检测 e 个错误，则 d 0 ≥ e + 1 ； （2）当码字用于纠正错误时，如果要纠正 t 个错误，则 d 0 ≥ 2t + 1 ；
S = an −1 ⊕ an − 2 ⊕ L ⊕ a0
这里的 S 称为校正子。若 S 为 0，则认为传输过程中没有发生误码；否则有错。 方程 S = an −1 ⊕ an − 2 ⊕ L ⊕ a0 称为监督关系式。在 S = an −1 ⊕ an − 2 ⊕ L ⊕ a0 中， S 只 有两种取值，故只能表示有错和无错，而不能进一步指明错码的位置。我们设想一下，若使 用二位 监督 码 ，则有两个校正子，组合后将得到有四种情况，例如，设 00 表示无错，01、 ．． ．． ． 10、11 表示一位错码的三种可能位置。从而可以有纠错能力。 推而广之，当监督位增加到 ，则可指示一位错码的 2 − 1 个可能的位置。对于一个 ．．．．．．r 位 ．
实验二 信道编码
一、实验目的与要求
1. 2. 3. 4. 学习并理解信道编码的根本目的、技术要求与基本目标等基本概念； 掌握线性分组码的物理涵义、数学基础及检纠错原理； 掌握循环码的码型特点、检纠错能力、编译码方法及基本技术； 学会使用 VC++6.0 或 MATLAB 等工具实现循环码的编译码及检纠错模拟与分析。
。
S = BHT = ( A + E )HT = AHT + EHT = EHT
因此，校正子 S 仅与 E 有关，即错误图样与校正子之间有确定的关系。所以可从错误 图样与校正子的关系表中确定错码位置，加以纠正。 【例】以（7，4）汉明码为例。设发送码组 A=（0001011） ，接收码组 B=（0000011） ，则收 端译码过程如下： ①计算校正子
计算出校正子 S1S2 S3 ，然后查表判断出错位置。 例：若接收码组为 0000011，则按上三式计算得到：S1 = 0，S2 = 1，S3 = 1。这样，由 表可知，错码位置在a3。 2．监督矩阵 H 我们将上述三个监督方程式可以重新改写为如下形式：
⎧1 ⋅ a6 + 1 ⋅ a5 + 1⋅ a4 + 0 ⋅ a3 + 1⋅ a2 + 0 ⋅ a1 + 0 ⋅ a0 = 0 ⎪ ⎨1 ⋅ a6 + 1 ⋅ a5 + 0 ⋅ a4 + 1⋅ a3 + 0 ⋅ a2 + 1⋅ a1 + 0 ⋅ a0 = 0 ⎪1 ⋅ a + 0 ⋅ a + 1⋅ a + 1⋅ a + 0 ⋅ a + 0 ⋅ a + 1⋅ a = 0 5 4 3 2 1 0 ⎩ 6
⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢ T S = B ⋅ H = [ 0000011] ⎢ 0 ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣ 1 1⎤ 1 0⎥ ⎥ 0 1⎥ ⎥ 1 1 ⎥ = [0 1 1] 0 0⎥ ⎥ 1 0⎥ 0 1⎥ ⎦
②查表，得 a3 为错误位置，即可纠正（0001011） 。
（三）循环码
循环码是线性分组码的一个重要子集， 是目前研究得最成熟的一类码， 它有许多特殊的 代数性质，例如，循环码中任一许用码组经过循环移位后，所得到的码组仍然是许用码。 循环码 A = an −1 + an − 2 + L + a1 + a0 可以表示为如下的码多项式：
即：
⎡1 1 1 0 1 0 0 ⎤ ⎢1 1 0 1 0 1 0 ⎥ ⋅ ⎡ ⎢ ⎥ ⎣a 6 ⎢1 0 1 1 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎣
a a a a a
5 4 3 2
1
⎡0⎤ ⎢ ⎥ a 0⎤ ⎦ = ⎢0⎥ ⎢0⎦ ⎥ ⎣
T
上式可以记作： HA T = 0T 或 AH T = 0 。 其中 0 = [ 0 0 0] ， A = ⎡ ⎣a 6 进而有：
r
( n, k ) 分组码，若希望用 r = n − k 个监督位构造出的 r 个监督关系式，来指示一位错码的 n
种可能位置，则要求 2 r − 1 ≥ n ，即 2 r ≥ k + r + 1 。例如，构造一 k = 4 并能纠正一位错码 的分组码，则要求 r ≥ 3 ，即 n ≥ 7 。 下表显示了当 n = 7, r = 3 时，校正子的 8 种组合与一位错码的对应关系。
（1） g ( x ) 是一个常数项为 1 的 r = n − k 次多项式； （2） g ( x ) 是 x n + 1 的一个因式； （3）该循环码中其它码多项式都是 g ( x ) 的倍式。 为了保证构成的生成矩阵 G 的各行线性不相关，通常用 g ( x ) 来构造生成矩阵。因此， 一旦生成多项式 g ( x ) 确定以后，该循环码的生成矩阵就可以确定。 设 g ( x ) = x + a r −1 x
1⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ 1⎦
这里 G 称为生成矩阵， 利用它可以产生整个码组：A = M ⋅ G = [ a6 注意：编码方法完全由生成矩阵 G 确定。 4．错误图样
a5
a4
a3 ] ⋅ G 。
设发送组码 A = [ an −1an − 2 L a1a0 ] ，在传输过程中有可能出现误码，这时接收到的码组
表 2-1 S1S2S3 000 001 010 100 错码位置 无错 a0 a1 a2 校正子与错码位置关系 S1S2S3 011 101 110 111 错码位置 a3 a4 a5 a6
则仅当在 a6 , a5 , a4 , a2 位置上有错码时，校正子 S1 的值才等于 1；否则为零。这就意味 着 a6 , a5 , a4 , a2 四个码元构成偶数监督关系： S1 = a6 ⊕ a5 ⊕ a4 ⊕ a2 。 同理，有 S 2 = a6 ⊕ a5 ⊕ a3 ⊕ a1 ， S3 = a6 ⊕ a4 ⊕ a3 ⊕ a0 。
⎡ a6 ⎤ ⎡ a2 ⎤ ⎡1 1 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ a ⎥ = ⎢1 1 0 1 ⎥ ⋅ ⎢ a5 ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢a ⎥ 4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a 1 0 1 1 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢a ⎥ ⎣ 3⎦
或表示成为：
[ a2
a1
a0 ] = [ a6
a5
a4
Leabharlann Baidu
⎡1 ⎢1 a3 ] ⋅ ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣0
给定信息位后，为了计算监督位，上式可以改写为：
⎧a2 = a6 ⊕ a5 ⊕ a4 ⎪ ⎨a1 = a6 ⊕ a5 ⊕ a3 ⎪a = a ⊕ a ⊕ a 3 6 4 ⎩ 0
按照上式计算结果为：
在接收端解码时，对于每个接收码组，先按式：
S1 = a6 ⊕ a5 ⊕ a4 ⊕ a2 S2 = a6 ⊕ a5 ⊕ a3 ⊕ a1 S3 = a6 ⊕ a4 ⊕ a3 ⊕ a0
n
k 次多项式，称为监督多项式。也称校验多项式。
xn + 1 h ( x) = = x k + hk −1 x k −1 + L + h1 x + 1 g ( x)
监督矩阵可表示为：
⎡ x n − k −1 ⋅ h∗ ( x ) ⎤ 0⎤ ⎢ n−k −2 ∗ ⎥ ⎡ h0 h1 L hk 0 L x h x ⋅ ( ) ⎢ ⎢ ⎥ 0 h0 h1 L hk 0 L 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥= H=⎢ M ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ ∗ ⎥ ⎢ x ⋅ h ( x) ⎥ ⎢ 0 L 0 h0 h1 L hk ⎦ ⎢ h∗ ( x ) ⎥ ⎣ ⎣ ⎦
在编码时， 信息位 a6 , a5 , a4 , a3 的值决定于输入信号， 它们是随机的。 监督位 a2 , a1 , a0 是 按监督关系确定的，应该保证上列 3 式中的校正子等于 0，即有
⎧a6 ⊕ a5 ⊕ a4 ⊕ a2 = 0 ⎪ ⎨a6 ⊕ a5 ⊕ a3 ⊕ a1 = 0 ⎪ ⎩a6 ⊕ a4 ⊕ a3 ⊕ a0 = 0
其中： h∗ (x ) = x k + h1 x k −1 + h2 x k − 2 + L + hk −1 x + 1 。 3．伴随式 发送码 C ( x ) 通过含噪信道时，会因各种扰而产生误码。 例如发送码为： 00000000001111111111 接收码为： 01101001001111001001 产生错误序列： 01101001000000110110