一元线性模型

第二部分：一元线性回归模型

习题

（一）基本知识类题型

2-1．解释下列概念：

1)总体回归函数

2)样本回归函数

3)随机的总体回归函数

4)线性回归模型

5)随机误差项（u i）和残差项（e i）

6)条件期望

7)非条件期望

8)回归系数或回归参数

9)回归系数的估计量

10)最小平方法

11)最大似然法

12)估计量的标准差

13)总离差平方和

14)回归平方和

15)残差平方和

16)协方差

17)拟合优度检验

18)t检验

19)F检验

2-2．判断正误并说明理由：

1) 随机误差项u i 和残差项e i 是一回事

2) 总体回归函数给出了对应于每一个自变量的因变量的值 3) 线性回归模型意味着变量是线性的

4) 在线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果 5) 随机变量的条件均值与非条件均值是一回事

6) 下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？

⑴ y x t n t t

=+=αβ12,,, ⑵ y x t n t t t

=++=αβμ12,,, ⑶ y x t n t

t

t

=++= ,,,αβμ12

⑷ ,,,y x t n t t t =++=αβμ12 ⑸ y x t n t

t

=+= ,,,α

β12 ⑹ ,,,y x t n t t

=+=αβ12

⑺ y x t n t t

t =++= ,,,αβμ12 ⑻ ,,,y

x t n t

t

t

=++=αβμ12

2-3．回答下列问题：

1) 线性回归模型有哪些基本假设？违背基本假设的计量经济学模型是否就不可估计？ 2) 总体方差与参数估计误差的区别与联系。 3) 随机误差项u i 和残差项e i 的区别与联系。 4) 根据最小二乘原理，所估计的模型已经使得拟合误差达到最小，为什么还要讨论模型的

拟合优度问题？

5) 为什么用决定系数R 2评价拟合优度，而不用残差平方和作为评价标准？ 6) R2检验与F 检验的区别与联系。 7) 回归分析与相关分析的区别与联系。

8) 最小二乘法和最大似然法的基本原理各是什么？说明它们有何区别？ 9) 为什么要进行解释变量的显著性检验？

10) 是否任何两个变量之间的关系，都可以用两变量线性回归模型进行分析？ 11) 下表列出若干对自变量与因变量。对每一对变量，你认为它们之间的关系如何？是正的、

（二）基本证明与问答类题型

2-4．对于一元线性回归模型，试证明： （1）i i x y E βα+=)( （2）2

)(σ=i y D

（3）0),(=j i y y Cov j i ≠

2-5．参数估计量的无偏性和有效性的含义是什么？从参数估计量的无偏性和有效性证明过程说明，为什么说满足基本假设的计量经济学模型的普通最小二乘参数估计量才具有无偏性和有效性？

2-6．对于过原点回归模型i i i u X Y +=1β ，试证明

∑=

∧

2

2

1)(i u X Var σβ

2-7． 试证明：

（1）

0=∑i

e ，从而：0=e （2）0=∑i

i x e

（3）0=∧

∑i i Y e ；即残差i e 与i

Y 的估计值之积的和为零。

2-8．为什么在一元线性方程中，最小二乘估计量与极大似然估计量的表达式是一致的？证

明：σ2

的ML 估计量为∑=∧=n i i n 1

2

~

2

1σσ ，并且是有偏的。

2-9．熟悉t 统计量的计算方法和查表判断。

2-10．证明：2

2

)(yx r R = ；其中R 2是一元线性回归模型的判定系数，yx r 是y 与x 的相关

系数。

2-11． 试根据置信区间的概念解释t 检验的概率意义，即证明：对于显著性水平α，当

2

αt t i >时，b i 的100（1-α）%的置信区间不包含0。

2-12．线性回归模型

y x t n t t t

=++=αβμ12,,,

的0均值假设是否可以表示为

1

01

n

t

t n

μ

=∑=？为什么？

2-13．现代投资分析的特征线涉及如下回归方程：t m t t u r r ++=10ββ；其中：r 表示股票或债券的收益率；r m 表示有价证券的收益率（用市场指数表示，如标准普尔500指数）；t 表示时间。在投资分析中，β1被称为债券的安全系数β，是用来度量市场的风险程度的，即市场的发展对公司的财产有何影响。依据1956~1976年间240个月的数据，Fogler 和Ganpathy 得到IBM 股票的回归方程；市场指数是在芝加哥大学建立的市场有价证券指数：

mt t r r 0598.17264.0+=∧

4710.02=r

(0.3001) (0.0728) 要求：（1）解释回归参数的意义；（2）如何解释r 2？（3）安全系数β>1的证券称为不稳定证券，建立适当的零假设及备选假设，并用t 检验进行检验（α=5%）。

2-14． 已知模型i i i u x Y ++=βα，证明：估计量α可以表示为：i i n

i y W x n )1

(1

-=∑=∧

α 这里∑∙

∙

=

2

i

i

i x x W

2-15．已知两个量X 和Y 的一组观察值（x i ，y i ），i=1，2，…，n 。

证明：Y 的真实值和拟合值有共同的均值。