最优化方法- 之单纯形法

min 4 x1 x2
例2
s.t
x1 2 x2 x3 2 x1 3 x2 x1 x2 x4
4 12 x5 3
z j c j cB B1Pj c j
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
解：A
P 1
P P3 P P 2 4 5
得基可行解 X (0) (0 0 9 8)T 目标函数值 z (0) 0
• 判断是否最优解?能否找到另一个基可行解使目标函 数 值下降?
• 换基迭代 换基：找一个非基变量作为换入变量，同时 确定一个基变量为 换出变量。
依据原则：
1)新的基可行解能使目标值减少；
2)新的基仍然是可行基。
确定换入变量： 从x1 , x2中选一变量进基; 选取x1为换入变量 确定换出变量: (a) x2仍为非基变量，令x2 0
z j cB B 1 Pj
f x
z
0 jR
j
c j x j
R非基变量下标集
f x f x jR z j c j x j R非基变量下标集 z j c j 称为检验数或判别数。
0

1 对任意的j R, 有z j c j 0，则x 为最优解。 2 存在j R使得z j c j 0. 令
考虑xk的取值
z
0
ck xk
f
x
f

x
0
z
k
ck xk
b1 y1k y2 k b2 x B b y k xk xk 0 b m ymk
(b)确定x3 , x4与x1的关系：
3 4 1 0 9 x3 9 3x1 0 x1 3 5 2 0 1 8 x4 8 5 x1 0 x1 1.6
x1取 min 3,1.6 1.6,
即x4 0 x4出基
3 1 得到新基 5 0
1 1 2 1 0 0 j j B j j A P P P3 P P 2 3 0 1 0 1 2 4 5 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 第2次迭代：B P 3 P P 0 1 2 , B 1 0 1 2 , 4 1 0 0 1 0 0 1 cB 0 0 4
即Pr 是P , , Pr 1 , Pr 1 , , Pm , Pk的线性组合 1 P , , Pr , , Pm ~ P , , Pr 1 , Pr 1 , , Pm , Pk 1 1 即P , , Pk , , Pm线性无关 1
单纯性法计算步骤
初始基为B,初始基本可行解为x(0)=(B-1b 0)T b B1b
yk B 1 Pk
a 若yk 0, 则 f x ，原问题无界。
b 若i, yik
则得新解 且 0, 取 bi br xk min | yik 0 0 yik yrk
T
x x1 ,, xr 1 , 0, xr 1 ,, xm , 0,, xk , 0,, 0

2
0 0

T
z(2) 17.5
• 判断
x2 5 x1 x3 3 x4 3 14 14 2 - 1 x3 2 x4 1 7 7 x2 3 5 x3 3 x4 2 14 14 x1 1 1 x3 - 2 x4 7 7
z 17.5 5 x3 25 x4 代入目标函数： 14 14
x2 min 3 ,4 3 2 2

x3为出基变量
• 换基迭代
0 14 1 - 3 21 5 5 5 2 1 0 1 8 5 5 5
3 0 1 5 - 3 14 14 2 1 2 1 0 1 7 7
X (2) 1 3
代入目标函数得
z 10 x1 5 x2 16 x2 2 x4
(1, 2为检验系数)
• 确定进基变量和出基变量
*确定x2为进基变量，则x4仍为非基变量。
x3 21 14 x2 3 x4 5 5 5 x1 8 2 x2 1 x4 5 5 5
x3 21 14 x2 0 x2 3 5 5 2 x1 8 2 x2 0 x2 4 5 5
最优化方法 Optimization
第五讲
第三章 单纯形法
主要内容
• 单纯形法
(分2讲)
• 两阶段法
• 退化情形
处理方法:
• 修正单纯形法
Bland法则
• 线性规划的最优性条件
单纯形法 The Simplex Method
LP基本定理:
*可行域的极点对应LP问题的基(本)可行解 *LP的最优解一定可以在基(本)可行解中找到
第1次迭代：B P 3 P P I , B 1 B, cB 0 4 5 xB
1 2 1 0 0 2 3 0 1 0 1 1 0 0 1
T
x3
x4 x5
T
B 1b 4 12 3 , xN w cB B 1 0
最优解：
X (1 1.5 0 0)
*
T
z 17.5
*
X
(0)
(0 0 9 8)
T
z (0) 0
X
(1)
8
(1)

z
5 16
0 21
5
0

T
4
3 2
x2
可行域 （OABC）
C
l2
X
(2)
1 3

z (2)
2 17.5
0 0

T
1 O
B(1,1.5) 最优解：X= （1 1.5)T l1 A x1 3 2 4 1
1. 单纯形法的步骤
初始基可行解
换基迭代
新的基可行解 最优性条件
N
Y
最优解
2. 举例
min z 10 x1 5 x2 s.t 3 x1 4 x2 9 l1 5x1 2 x2 8 l2 x1 , x2 0
可行域 （OABC）
4 3 2 1 O
x2
C
l2
B(1,1.5) 最优解：X= （1 1.5)T l1 A x1 3 2 4 1
min f x cx L s.t. Ax b x0 A P , P2 , , Pn 1
Amn r A m
b0
设(L)有一个初始基 B P , P2 ,, Pm , A B, N 1 初始基本可行解为: x
0 21
5
0

T
z (1) 16
• 判断
0 14 1 - 3 21 5 5 5 1 2 0 1 8 5 5 5
14 x x 3 x 21 5 2 3 5 4 5 x1 2 x2 1 x4 8 5 5 5
x3 21 14 x2 3 x4 5 5 5 x1 8 2 x2 1 x4 5 5 5
f x f x
z
0
k
ck
br 0 f x . yrk

旧基为 P , , Pr , , Pm 1 新基为 P , , Pk , , Pm 1 yk B 1 Pk ,
xr 为离基变量 xk 为进基变量。
证明：因为B P , , Pr , , Pm , P , , Pr , , Pm线性无关， 1 1
• 迭代（求新的基本可行解）
3 4 1 0 9 5 2 0 1 8
主元素
3 4 1 0 9 1 2 0 1 8 5 5 5
0 14 1 - 3 21 5 5 5 2 1 0 1 8 5 5 5

X
(1)
8

5
0
B b 0
1
T
f ( x ) cB B1b
0
f x cB xB cN x N cB B 1b B 1Nx N cN x N cB B b c B B N c N x N
1 1
xB 设x 为任一可行解，由Ax b得 xN xB B 1b B 1 Nx N
x1
x2
T
0
f1 cB B 1b 0,
z1 c1 wP c1 4 1
z2 c2 wP c2 1 2
T T
最大判别数是z1 c1， x1是进基变量。计算 y1 B 1 P P 1 2 1 , 而b 4 12 3 1 1 b2 br b3 3 12 3 min , , min yr 1 1 1 2 y21 y31 r 3, 即x5为离基变量，用P 代替P 得到新基。 1 5
min z x1 x2
例1
s.t
3 x1 2 x2 x3 2 x1 x2
1
x4 5
z j c j cB B1Pj c j
x1 , x2 , x3 , x4 0 3 2 1 0 解：系数矩阵A 1 3 P P2 P P4 2 1 0 1 1 0 1 第1次迭代：B B 0 1
0
注：基变量的检验数 0
zk ck max jR z j c j 取 x N 0, ,0, xk ,0, ,0 y j B 1Pj
k T
则 xB B 1b B 1 Nx N b yk xk 其中 b B 1b, 而 f x f x
是
是否所有的cB B Pj c j 0
1
x(0)为最优解
zk ck max z j c j 0
是否yk=B-1Pk≤0
是
无界
bi br 取 min | yik 0 yrk yik
以Pk 代替PBr 换基，即xBr 为离基变量，xk为进基变量。
y1k y2 k Pk Byk P , , Pr , , Pm y1k P yrk Pr ymk Pm 1 1 ymk 即Pk 是P , , Pr , , Pm的线性组合； 1 又因为yrk 0， 所以有 Pr 1 1 Pk y1k P1 yr 1k Pr 1 yr 1k Pr 1 ymk Pm yrk yrk
• 化成标准形
min z 10 x1 5 x2 s.t 3 x1 4 x2 x3 5 x1 2 x2 x1 , x2 , x3 , x4 0 9 x4 8
• 找初始基可行解
系数的增广矩阵 3 4 1 0 9 A 5 2 0 1 8
1 0 取初始可行基为B1 0 1
xB B 1b x3 x4 1 5 , xN x1 x2 0 0Biblioteka Baidu
T T T
T
cB 0 0 , f1 cB B 1b 0 令w cB B 1 称为单纯形乘子 z1 c1 wP c1 1 0 1 z2 c2 wP2 c2 1 0 2 y2 B 1 P2 0 原问题无界。 1