第13讲：符号微积分及符号方程求解
符号方程的求解 solve linsolve fsolve dsolve
符号方程的求解solve linsolve fsolve dsolveMATLAB7.0中的符号计算可以求解线性方程（组）、代数方程的符号解、非线性符号方程（组）、常微分方程（组），求解这些方程（组）是通过调用solve函数实现的，如求解代数方程的符号解调用solve函数的格式是solve('eq')、solve('eq','v')、[x1,x2,…xn]=solve('eq1','eq2',…'eqn')等，求解非线性符号方程是调用优化工具箱的fsolve函数，调用格式有fsolve(f,x0)、fsolve(f,x0,options)、[x,fv]=fsolve(f,x0,options,p1,p2…)等，而解常微分方程（组）则是调用dsolve函数，调用的格式有[x1,x2,…]=dsolve('eq1,eq2,…','cond1,cond2…','v')。
现将各函数的调用格式列于下表（表5—1），在各个实例中说明各种格式的用法。
一、代数方程的符号解MATLAB7.0中求代数方程的符号解是通过调用solve函数实现的。
用solve函数求解一个代数方程时的调用格式一般是：solve（'代数方程','未知变量'）或x=solve（'代数方程','未知变量'）当未知变量为系统默认变量时，未知变量的输入可以省略。
当求解由n个代数方程组成的方程组时调用的格式是：[未知变量组]=solve('代数方程组'，'未知变量组')未知变量组中的各变量之间，代数方程组的各方程之间用逗号分隔，如果各未知变量是由系统默认的，则未知变量组的输入可以省略。
实例1、求解高次符号方程和方程对y的解。
山东高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第13讲定积分与微积分基本定理理课件
_____f_(x_)_d_x_______叫做被积式．
(2)其定义体现求定积分的四个步骤：
①__分__割____；②__近__似__代__替____；③__取__和____；④__取__极__限____.
(3)定积分的几何意义：
f(x) f(x)≥0
bf(x)dx 的几何意义
a
表示由直线___x_＝__a____，___x_＝__b____，y＝0 及曲 线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
S△BOC－S1＝2－2(x－1x)dx＝2－(x22－ln x)21 1
＝12＋ln 2，故选 D．
角度2 已知曲线围成的图形的面积求参数
例 3 (2019·广州模拟)曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k>0)所围成的曲边图形的面积 为43，则 k＝___2___.
[解析] 由yy＝ ＝xkx2， 得xy＝＝00， 或xy＝ ＝kk， 2， 则曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k>0)所围 成的曲边梯形的面积为k(kx－x2)dx＝(2kx2－13x3)k0 ＝k23－13k3＝43，即 k3＝8，所以 k＝2.
考点一 定积分的运算——自主练透
例 1 (1)计算：
①3
(3x2－2x＋1)dx＝___2_4____；
－1
②0
(cosx＋ex)dx＝___1_－__e1_π ___；
－π
③若 f(x)＝ 3＋2x－x2，则3f(x)dx 为___π___. 1
x2，x∈[0，1]，
4
(2)设 f(x)＝1x，x∈1，e]
分的概率等于__1_2___.
[解析] 依题意知点 D 的坐标为(1,4)，所以矩形 ABCD 的面积 S ＝1×4＝4，阴影部分的面积 S 阴影＝4－2x2dx＝4－13x312 ＝4－73＝53，根
符号微分方程求解matlab
符号微分方程求解MATLAB1. 引言在数学和工程学科中，微分方程是一个重要而广泛应用的领域。
而符号微分方程是微分方程的一种特殊形式，可以使用MATLAB来进行求解和分析。
本文将探讨符号微分方程求解的基本原理及使用MATLAB进行符号微分方程求解的方法。
2. 符号微分方程的概念符号微分方程是指微分方程中的未知函数和导数都是符号形式的函数，而非具体的数值。
符号微分方程包含了符号运算，可以用于描述物理系统和工程问题的动态行为。
3. MATLAB符号计算工具箱MATLAB提供了符号计算工具箱，可以用于处理符号运算和符号微分方程求解。
符号计算工具箱可以处理符号函数、符号变量和符号表达式，能够进行符号微分、积分、方程求解等操作。
4. 符号微分方程的求解方法符号微分方程求解的一般步骤包括建立符号微分方程模型、对模型进行符号求解、数值求解和结果分析。
在MATLAB中，可以使用符号计算工具箱来实现这些步骤。
4.1. 符号微分方程模型的建立在MATLAB中，可以使用符号变量和符号函数来表示符号微分方程的未知函数和导数。
首先需要定义符号变量，并将微分方程表示为符号表达式。
对于简单的一阶线性符号微分方程 dy/dx = f(x, y)，可以使用符号变量 x 和 y，并定义符号函数 f(x, y) 来表示微分方程的右侧函数。
4.2. 符号微分方程的符号求解在MATLAB中，可以使用符号计算工具箱中的函数对符号微分方程进行符号求解。
通过调用符号求解函数，可以得到微分方程的解析解表达式。
对于线性微分方程 dy/dx + p(x)y = q(x)，可以使用符号计算工具箱中的 dsolve 函数进行符号求解，得到微分方程的解析解表达式。
4.3. 符号微分方程的数值求解除了符号求解之外，还可以使用MATLAB中的数值计算工具箱对符号微分方程进行数值求解。
通过数值求解可以得到微分方程的数值解，用于进行模拟和仿真分析。
5. MATLAB中符号微分方程求解的例子接下来，我们通过一个简单的例子来演示在MATLAB中求解符号微分方程的方法。
符号运算专题知识讲座
【教学内容】
符号变量、符号体现式和符号方程旳生成 符号变量旳基本操作 符号体现式旳操作 符号矩阵及符号数组旳生成和运算 符号极限求解 符号微分、求导和积分 符号代数方程旳求解 图示化符号函数计算器旳使用措施
【学习目旳】 掌握符号变量和符号体现式旳定义和基本
操作。 掌握符号矩阵旳生成和运算措施。 掌握符号微积分运算措施。 掌握符号方程旳求解措施。 了解符号函数计算器旳使用
3.3 符号体现式旳基本操作
符号体现式旳四则运算 合并符号体现式旳同类项 符号多项式旳因式分解 符号体现式旳简化 符号体现式旳展开 提取有理式旳分子和分母 subs函数用于替代求值 反函数旳运算 复合函数旳运算
3.3.1 四则运算
符号体现式也与一般旳算术体现式一样，能够进行加、减、 乘、除等四则运算。
3.3.2 合并符号体现式旳同类项(collect)
【例3-8】 符号多项式旳同类项合并。 >> syms x y >> collect(x^2*y + y*x - x^2 - 2*x) ans = (y-1)*x^2+(y-2)*x >> f = -1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x); >> collect(f) %对符号多项式f按照默认变量x合
（2）vpa函数：但凡需要控制精度旳，都对运算 体现式使用vpa函数。
【例3-5】控制运算精度为5位有效数字： >>digits(5) >> a=vpa(sqrt(2)) a= 1.4142 >> b=sqrt(2)
vpa函数对运算体现式旳每一步运算都控制精度，并非 只控制成果。另外，也可使用a=vpa(sqrt(2),5)格式，不需 事先用digits设定运算精度，a旳值将依然是1.4142，
清华数学实验第三章符号计算与微积分
S2 k 2 1 22 n2
k n1
14/20
taylor(f,n,x) —n-1次麦克劳林多项式展开
taylor(f,n,x,a) —a点的n-1次泰勒多项式展开.
例3.21求椭圆积分近似表达式
syms t e2 x f=sqrt(1-e2*x) F=taylor(f,3,x) g=subs(F,x,cos(t)^2) int(g,0,pi/2)
19/20
思考题与练习题
1. 用syms x 定义了符号变量,表达式 Y=exp(-0.2*x)*sin(0.5*x)与一般表达式有何不同 2.定积分符号计算与数值计算有何不同？ 3.旋转曲面的面积计算公式如何构造？ 4.写出曲线 y=f(x)绕y轴旋转的旋转曲面方程 5.下面两个曲面是由同一个平面曲线旋转产生的,这个 平面曲线的方程是什么?
定积分数值计算命令 quad(f, a, b) t 例3.14 计算积分上限函数值 F (t ) f=inline('x.^3./(exp(x)-1)'); q=[ ]; for k=1:5 q=[q,quad(f,eps,k)]; end q t F(t) 1 0.2248 2 1.1764 3 2.5522
在符号计算中, 符号表达式是主要操作对象. 符号表达式——符号变量、运算符、函数、数字组成 在定义符号表达式之前,首先要创建符号变量. 符号变量创建方法 syms 符号变量1 符号变量2 · · · · · ·
2/20
例3.2 用符号表达式定义 f(x)= e-0.2xsin0.5x 并绘图. syms x ; f = exp(-0.2*x)*sin(0.5*x); ezplot(f,[0,8*pi])
0
常微分方程的符号解
一阶常微分方程是指未知数的导数为一次方 的方程，如 dy/dx = f(x, y)。二阶及高阶常 微分方程则是导数的次数更高的方程，如 d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)。根据具体问 题的需求，可以选择不同类型和阶数的常微 分方程来描述。
常微分方程的应用
总结词
常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
符号计算库的完善
现有的符号计算库如SymPy等将继续完善，提 供更多实用的功能和算法。
符号解法与其他方法的结合
符号解法将与数值解法、计算机代数等其他方法相结合，形成更全面、高效的 求解方案。
符号解法与其他方法的结合
01
符号解法与数值解法的结合
通过混合符号计算和数值计算的方法，可以在保证析方法 来求解常微分方程的方法，它能够给 出方程的解析解，即以数学表达式形 式给出的解。
符号解法通常使用符号计算软件（如 SymPy）进行计算，能够处理包含任意 常数、函数和它们的导数的复杂方程。
符号解法的步骤
建立微分方程
导入符号计算库
使用Python的SymPy库或其他符 号计算软件进行符号计算。
详细描述
在物理学中，常微分方程被用来描述物体的运动规律、电磁波的传播等。在工程学中，常微分方程用于分析机械、 电路、控制系统等各种实际系统的动态行为。此外，经济学中用于研究经济变量的变化规律，如供需关系、人口 增长等。通过建立适当的常微分方程模型，可以深入了解各种实际问题的内在机制。
02
常微分方程的符号解法
05
常微分方程的数值解法的应用
在物理中的应用
描述物体运动规律
01
常微分方程可以用来描述物体的运动规律，例如牛顿第二定律、
符号函数及其微积分
实验2 符号函数及其微积分一、符号函数计算 MATLAB 中的符号函数计算主要有复数计算、复合函数计算和反函数计算。
这些有关的符号函数的计算命令及说明列于表2—1。
实例1、求的复合函数>> syms x y z u t %定义符号变量>> f=u^3;g=sin(2*x-1); %定义符号表达式f,g >> compos e (f,g) %求f,g 的复合函数 ans =sin(2*x-1)^3 >> compos e (f,g,t) %求f,g 的复合函数，再将自变量x 换为t ans =sin(2*t-1)^3实例2、求的反函数。
>> finver s e(exp(2*x)-2) %求的反函数 ans =1/2*log(2+x)>> finver s e((1-x)/(2+x)) %求的反函数ans =-(2*x-1)/(1+x)二、绘制二维图形 1、图形窗口及其操作 MATLAB 中不仅有用于输入各种命令和操作语句的命令窗口，而且有专门用于显示图形和对图形进行操作的图形窗口。
图形窗口的操作可以在命令窗口输入相应命令对其进行操作，也可以直接在图形窗口利用图形窗口的本身所带的工具按钮、相关的菜单对其进行操作。
下面将介绍一些对图形窗口进行基本操作的命令和函数。
（1） 图形窗口操作命令 对图形窗口的控制和操作的命令很多，这里主要介绍常用的fig u re 、shg 、clf 、clg 、home 、hold 、subplo t 等常用命令。
它们的调用格式及有关说明了见表2—2。
12sin ,-==x u u x 2x 1,22+--e x22-e xx 2x1+-（2）坐标轴、刻度和图形窗口缩放的操作命令MATLAB中对图形窗口中的坐标轴的操作命令是ax i s，坐标刻度的操作命令是xli m、ylim、zlim等，其使用方法见表2—3，表2—4。
微分方程引入介绍微分方程的概念和基本符号表示法
导数描述了函数值随自变量变化而变化的速率，即函数在某一点处的切线斜率。
导数符号
函数$y = f(x)$的微分用$df$或$Delta y$表示。
微分描述了函数值在某一小区间内的变化量，即函数的局部变化率。微分与导数密切相关，微分是导数乘以自变量的微分。
微分符号
微分的定义
一阶常系数线性微分方程求解方法
1. 首先求出对应的齐次方程$y' + p(x)y = 0$的通解$y_h$。
2. 然后利用常数变易法或待定系数法求出非齐次方程的一个特解$y_p$。
3. 最后将齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解相加，得到非齐次方程的通解$y = y_h + y_p$。
02
01
04
03
初值问题是微分方程的一类重要问题，它要求在给定的初始条件下求解微分方程。对于一阶常系数线性微分方程，初值问题的求解步骤如下
CATALOGUE
04
1
2
3
对于一阶常系数线性齐次方程$y' + p(x)y = 0$，其求解步骤如下
1. 写出方程的特征方程$r + p(x) = 0$，解得特征根$r = -p(x)$。
2. 根据特征根，得到方程的通解形式为$y = Ce^{-p(x)x}$，其中C为任意常数。
1
对于一阶常系数线性非齐次方程$y' + p(x)y = q(x)$，其求解步骤如下
边值问题是微分方程的一类重要问题，它要求求解满足一定边界条件的微分方程的解。常见的边值问题包括两点边值问题、多点边值问题等。
求解边值问题的基本步骤如下
1. 根据问题的实际背景，建立微分方程及相应的边界条件。
方程求解与代数符号化-省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
100 010
0 0 －6 太
(1)
1 －5 太 (2)
11
0 10
（4）下移一位，得
(4)×x,得
00
太
－1 5 －6
0 －1 0
010
0 －6太
－6－6x+5xy+x3y=0
5－6
（6）
(6)
00
即(－6－6x)+(5x+x3)y=0
00
这么就化为只含天、地二元旳两行方程。
（2）与（6）互隐通分相消： 由（2）（6）消去y:
152
0
4.2.4 b 四元术
“四元术”则要求了具有两个、三个或四 个未知数旳方程旳布列措施。 未知数设为 “天”、“地”、“人”、
“物”，就相当于目前旳x、y、z、ω，
用“太”表达常数项，放于筹式旳中心； 表达未知数旳天、地、人、物旳系数分 别放在“太”旳下方、左方、右方和上 方。
例如，方程 3x + 2y +3z + 4w +5 =
（1）
以及
（tu）=（）3 .
（2）
然后他断言
x= .
（3）
他利用（1）及（2）进行消元并解所得旳二次方程，得出
t = + ， u =—.
这里我们也像卡当那样取正根。求出了t和u后,并用（3）给出x旳
一种值
《大术》中解四次方程旳费拉利解法。
设方程 x4+bx3+cx2+dx+e=0。
移项后得
x4+bx3=—cx2—dx—e。 在左边加上（bx）2配成平方。得
数）。用几何措施求解这个方程旳根，就等价于由给定线
段P和q求出线段r和s。用当代数学中旳韦达定理可知 r+s=p，rs=q2。于是相应旳几何措施能够是：
3_1、符号微积分
• 例2-1、求极限
lim
x 0
x (e
sin x
1) 2(e sin 3 x
tgx
1)
• 输入命令：
>>syms x； %定义符号变量 f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))1))/sin(x)^3； %确定符号表达式 w=limit(f) %求函数的极限
输入命令：
>>limit(((x+1)/(x-1))^x,inf)
得结果为：
ans = exp(2)
• 例2-4、求： lim (ctgx )
x 0
1 ln x
输入命令：
>>limit((cot(x))^(1/log(x)),x,0,'right')
得结果为：
ans = exp(-1)
三、 符号导数
其中 (x和 i ,yi) 分别为xi和yi 的平均值 O
x y
x
n ( xi x )( y i y ) i 1 a n 2 ( xi x ) i 1 b y ax
解相应方程组，求得：
最小二乘拟合的MATLAB实现
在MATLAB中，用polyfit函数来求得最小二乘 拟合多项式的系数，再用polyval函数按所得的多 项式计算所给出的点上的函数近似值。 polyfit函数的调用格式为：
得结果为：
w= -1/2
1 3 • 例2-2、求：lim( 3 ) x 1 x 1 x 1
输入命令：
>>syms x； f=1/(x+1)-3/(x^3+1)； limit(f，x，-1)
符号计算与符号微积分.
特点：
运算对象可以是没赋值的符号变量，以 推理解析的方式进行，因此不受计算误 差累积所带来的困扰。
可以给出完全正确的封闭解或任意精度 的数值解(当封闭解不存在时)。
③符号计算指令的调用简单，和经典教科 书公式相近。 ④计算所需的时间较长。
2. 字符串与符号变量、符号常量
字符串对象 f = 'sin(x)+5x' f —— 字符串名 sin(x)+5x—— 函数表达式 ' '—— 字符串标识 字符串表达式一定要用' '单引号 括起来Matlab才能识别。 用class( )来返回对象的数据类型。
eval(A) ans = 0.3333 1.4286
2.5000 0.4000
符号矩阵
运算符
+、-、*、.* \ 左除 AX=B A\B相当于求解矩阵方程AX=B的解 .\ 、 ./
右除 / XA=B B/A相当于求解矩阵方程XA=B的解 ^ A^B A为方阵、B为整数 表示A*A*…*A (共B个） .^ A.^B 对应分量进行幂运算 ‘ .’ 矩阵转置(当为复数矩阵时有区别)
前两行是函数 f 和 g 的具体解析式，第三 行是自变量 x 的取值范围和常数 a 的值。 第四行只对 f 起作用，如求导、积分、简 化、提取分子和分母、倒数、反函数。 第五行是处理 f 和 a 的加减乘除等运算。 第六行前四个进行 f 和 g 之间的运算，后 三个分别是：求复合函数；把 f 传递给 ； swap是实现 f 和 g 功能的交换。 最后一行是对计算器自身进行操作。
A=U*S*V
符号矩阵
例子：查看运行结果
.符号微分方程求解（PDF）
3.8 符号微分方程求解符号微分方程求解可以通过函数“dsolve”来实现，dsolve函数的调用格式如下：dsolve(‘equ1’,’equ2’,…)输入参数“equl”、“equ2”代表微分方程与初始条件，几个微分方程与初始条件可以一起输入，只要以逗号分隔开即可。
默认的独立变量是’t’，用户也可以使用别的变量来代替’t’，只要把别的变最放在输入变量的最后即可。
字母‘D’代表微分算子，即d/dt后面所跟的数字代表几阶微分，如D2代表d^2/dr^2。
跟在微分算子后面的字母是被微的变量，如D3y代表对y(t)的三阶微分。
初始条件可以这样的形式给出：’y(a)=b’或’Dy(a)=b’。
此处的y是被微变量，a和b是常量。
如果初始条件的个数少于被微变量的个数，则结果解中会出现C1，C2这样的不定常数。
函数的输出结果可能存在三种情况：(1)一个方程和一个输出，则返回符号向量中非线性方程的联立解；(3)几个方程和一个输出，则返回解的结构。
(2)几个方程与相同个数的输出，返回的结果是按字母顺序排序，并且分配给输出参数；如果解不是显式形式，则被认为是隐式形式。
当一个隐式形式的解返回时，会给出警告。
如果解既不是显式形式，也不是隐式形式，也会给出警告，同时返回的是一个空字符串。
在一些非线性方程中，输出结果可能是降阶的微分方程或是积分方程。
>>S.fans=exp(t)*(cos(t)+2*sin(t))>>S.gans=exp(t)*(-sin(t)+2*cos(t))【例3.7.10】>> dsolve('Dy=y^2*(1-y)')Warning: Explicit solution could not be found; implicit solution returned.> In D:\MATLAB6P1\toolbox\symbolic\dsolve.m at line 292ans=t+1/y-log(y)+log(-1+y)+C1=0上例返回的是隐式的解。
符号计算与符号微积分
2 0
xsin2
xdx
S=x*sin(x)^2;
int(S,0,pi/2)
ans=
-1/8*3^(1/2)+1/12*pi
20
级数求和 (symsum)
1 2n
前n项和
n0
>> syms n k >> f=1/2^n >>r1=symsum(f,0,n-1) r1 =
求1+…+n?
-2*(1/2)^n+2
9
A=sym(magic(3)) sigma=svd(A) digits(3) sig=svd(vpa(A))
10
符号表达式运算
基本运算函数 collect (S,v)合并同类项 expand(S) 将S展开 factor(x)因式分解 [N,D]=numden(A) 求分子N和分母D
simpily(S) S进行简化，若S矩阵则化简其每一个元素 [m,n]=size(A) 符号矩阵的行数、列数 findsym(S) 求S的符号变量 g=finverse(f,v) 求f对指定变量v的反函数g
＝b的解 非线型方程组的符号求解
slove(‘eqn1’,eqn2’,…’eqnN’,var1,var2,…,varN’) 常微分方程的符号求解 dsolve(‘eqn1’,’condition’,’var’)
16
符号函数的极限(limit函数的用法)
求arctanx当x+∞和 x-∞的极限
>>r1=symsum(f,0,n)
r1 = -2*(1/2)^(n+1)+2
21
符号方程求解(solve)
>> syms x y a b >> solve (x^4-3*a*x^2+4*b) ans = 1/2*(6*a+2*(9*a^2-16*b)^(1/2))^(1/2) -1/2*(6*a+2*(9*a^2-16*b)^(1/2))^(1/2) 1/2*(6*a-2*(9*a^2-16*b)^(1/2))^(1/2) -1/2*(6*a-2*(9*a^2-16*b)^(1/2))^(1/2)
符号微积分与符号方程求解资料重点
% 结果用32位数字表示
f2 =
1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2) +14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4)
vf2 =
224.92153573331143159790710032805
14
13.4 级数
13.4.1 级数符号求和
求解命令为solve，其语法为： g = solve(eq) g = solve(eq,var) g = solve(eq1,eq2,...,eqn) g = solve(eq1,eq2,...,eqn,var1,var2,...,varn)
其中：eq为字符串方程，如果仅有表达式，则表示 该表达式等于0；var：表示方程中的变量。
limit(f,x,a,'right') —— 变量x从右边趋近于a。 limit(f,x,a,'left') —— 变量x从左边趋近于a。
4
例1：求极限
x(esin x 1) 2(etgx 1)
lim
x0
sin 3 x
syms x;
%定义符号变量
%确定符号表达式
f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)^3；
求无穷级数的和需要符号求和函数symsum，其调 用格式为： symsum(s,v,n,m)
其中：s 表示级数的通项，是一个符号表达式； v 是求和变量，省略时使用默认变量； n 和 m 是求和的开始项和末项。
15
例9：求级数 1/12+1/22+1/32+1/42+ ……
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
13.3 符号函数积分
其语法格式分别为：
R = int(S)
R = int(S,v) R = int(S,a,b)
R = int(S,v,a,b)
其中：
S：为符号表达式，可能有多个参数 v：以 S 中的符号 v 进行求积分运算 a,b：定积分下限、上限，不指表示求不定积分
12
1 dx 例6：求积分 2 1 x
5
例2：计算函数的各种极限。
syms x
a t h;
limit(sin(x)/x)
limit(1/x,x,0,‘right’)
% sin(x)/x 趋于0 (默认)
% 1/x趋于0的右极限
limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) v
= [(1 + a/x)^x, exp(-x)]; % x趋于无穷时的左极限
4
例1：求极限
x(e sin x 1) 2(e tgx 1) lim x 0 sin 3 x
syms x;
%定义符号变量
%确定符号表达式
f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)^3； %求函数的极限 w=limit(f) w = -1/2
syms x
int(1/(1+x^2))
ans = atan(x)
例7：计算二重不定积分
syms x y
xe
xy
dxdy
F = int(int('x*exp(-x*y)','x'),'y') F=
1/y*exp(-x*y)
13
例8：求积分
syms
1 x
2
x2
x2 y xy
14
9
2、求偏导数的jacobian命令
设列向量每一个分量
w,v 为
w( x, y ) 自变量 x,y 的函数，即 f v ( x, y )
( w, v) 则jacobian命令计算矩阵 J ( x, y )
Jacobian命令的一般形式为：
J = jacobian([w;v],[x,y])
10
J= [ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f) ] 例5：直角坐标系转化为球形坐标，即， [ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f) ] x r cos cos sin(l), [ r*cos(l), 0]
diff(S, n)
diff(S, 'v', n)
其中： S：符号函数表达式，可能有多个符号参数 v：以符号 v 进行微分或求导运算 n：对S进行n次求导，默认为1
7
例3：求导数
d sin x dx
2
x = sym('x'); diff(sin(x^2)) ans = 2*cos(x^2)*x
了解符号级数和符号积分变换
掌握符号函数图形的绘制
掌握符号方程和方程组的求解
3
13.1 符号极限
极限是微积分的基础，微分和积分都是“无穷
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
逼近”时的结果。
函数limit用于求极限，其格式为：
limit(f,x,a) —— 计算当变量x趋近于常数a时，f(x) 函数的极限值。
limit(f,a) —— 计算findsym(f)确定的自变量，即x 趋近于a时f(x)的极限值。 limit(f,x,a,'right') —— 变量x从右边趋近于a。 limit(f,x,a,'left') —— 变量x从左边趋近于a。
( x y z )dzdydx
2 2 2
xyz
f2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,
sqrt(x),x^2),x,1,2)
vf2=vpa(f2)
% 结果用32位数字表示
f2 = 1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2) +14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4) vf2 = 224.92153573331143159790710032805
y r cos sin z r sin
% 分别用 l 和 f 来表示两个角度
syms r l f x = r*cos(l)*cos(f); % 定义符号变量
y = r*cos(l)*sin(f);
z = r*sin(l); J = jacobian([x; y; z], [r l f])
f=[a,t^3;t*cos(x), df=diff(f) dfdt2=diff(f,t,2)
log(x)];
dfdxdt = %求矩阵f对x的导数 [ 0, 0] [ -sin(x), 0] %求矩阵 f对t的二阶导数
dfdxdt=diff(diff(f,x),t)
%求二阶混合导数
第13讲 符号微积分 与符号方程求解
数值微积分中可以进行极限、导数、微分、积
分、级数展开等解析运算，也可以进行多元函
数的微积分运算，同样符号运算也可以进行上
述各种操作。
在运算的同时，结合图形的显示可以更好地帮
助我们理解微积分的概念和计算。
2
本讲教学目标
掌握符号极限运算
掌握符号微积分运算
% 定义符号变量 % 求导运算
8
df =
例4：求导数
t3 d a dx t cos x ln x
syms
[ 0, [ -t*sin(x),
d2 dt 2
0] 1/x ]
a t x;
a t3 t3 d2 a = dfdt2 t cos x ln x dxdt t cos x ln x [ 0, 6*t ] [ 0, 0]
limit(v,x,inf,'left')
ans = 1
ans = inf ans = cos(x) ans = [ exp(a), 0]
6
13.2 符号函数微分与求导
1、单变量函数
函数的一般引用格式为：
diff(S) —— 由findsym函数确定默认变量 diff(S, 'v')