锐角三角函数的经典测试题含答案

锐角三角函数的经典测试题含答案

一、选择题

1．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( )

A ．asinα+asinβ

B ．acosα+acosβ

C ．atanα+atanβ

D ．tan tan a a αβ

+ 【答案】C

【解析】

【分析】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝atanα，BD ＝atanβ，得出CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ即可．

【详解】

在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα＝

BC AB ，tanβ＝BD AB ， ∴BC ＝atanα，BD ＝atanβ，

∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ，

故选C ．

【点睛】

本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的关键．

2．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40︒，若55DE =米，DE CE ⊥，36CE =米，CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）

A ．78.6米

B ．78.7米

C ．78.8米

D ．78.9米

【答案】C

【分析】

如下图，先在Rt △CBF 中求得BF 、CF 的长，再利用Rt △ADG 求AG 的长，进而得到AB 的长度

【详解】

如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点F ，延长DE 交AB 延长线于点G

∵BC 的坡度为1:0.75

∴设CF 为xm ，则BF 为0.75xm

∵BC=140m

∴在Rt △BCF 中，()2

220.75140x x +=，解得：x=112

∴CF=112m ，BF=84m

∵DE ⊥CE ，CE ∥AB ，∴DG ⊥AB ，∴△ADG 是直角三角形

∵DE=55m ，CE=FG=36m

∴DG=167m ，BG=120m

设AB=ym

∵∠DAB=40° ∴tan40°=1670.84120

DG AG y ==+ 解得：y=78.8 故选：C

【点睛】

本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.

3．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）

A 5

B ．35

C ．22

D ．23

【解析】

【分析】

先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ∆≅∆，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ∠=，设1CD =，CF x =，则2CA CB ==，再根据勾股定理即可求解．

【详解】

解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，

∴△DEF ≌△AEF ，∠A ＝∠EDF ，

∵△ABC 是等腰直角三角形，

∴∠EDF ＝45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°＝∠BED +45°，

∴∠BED ＝∠CDF ，

设CD ＝1，CF ＝x ，则CA ＝CB ＝2，

∴DF ＝FA ＝2﹣x ，

∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，

CF 2+CD 2＝DF 2，

即x 2+1＝（2﹣x ）2， 解得：34x =， 3sin sin 5CF BED CDF DF ∴∠=∠=

=． 故选：B ．

【点睛】 本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．

4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）

A ．247

B 7

C ．724

D ．13

【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意，BE=AE ．设BE=x ，则CE=8-x ．

在Rt △BCE 中，x 2=（8-x ）2+62，

解得x=254，故CE=8-254=74

，

∴tan ∠CBE=724CE CB =. 故选C. 考点：锐角三角函数.

5．如图，从点A 看一山坡上的电线杆PQ ，观测点P 的仰角是45︒，向前走6m 到达B 点， 测得顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60︒和30，则该电线杆PQ 的高度（ ）

A ．623+

B ．63+

C ．103-

D ．83+

【答案】A

【解析】

【分析】 延长PQ 交直线AB 于点E ，设PE=x 米，在直角△APE 和直角△BPE 中，根据三角函数利用x 表示出AE 和BE ，列出方程求得x 的值，再在直角△BQE 中利用三角函数求得QE 的长，则问题求解．

【详解】

解：延长PQ 交直线AB 于点E ，设PE=x ．

在直角△APE 中，∠A=45°，

AE=PE=x ；

∵∠PBE=60°

∴∠BPE=30°

在直角△BPE 中，BE=

33PE=33x ， ∵AB=AE-BE=6米，

则3， 解得：3