数学思想在高考解题中的应用(一)

数学思想在高考解题中的应用(一)

一、函数与方程思想

(1)函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，并通过函数形式建立函数关系，然后利用函数有关的知识(定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、图象、导数)使问题得以解决．函数思想贯穿于高中数学教学的始终，不仅在函数各章的学习，而且在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时也起着十分重要的作用．

(2)方程的思想是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．在实际问题的解决过程中，函数、方程、不等式等常常互相转化．因此，函数与方程的思想是高考考查的重点知识．

二、数形结合思想

(1)数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学规律性与灵活性的有机结合．

(2)数形结合的思想方法应用广泛，如解方程、不等式问题，求函数的值域、最值问题、三角函数问题，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程．

常考查：利用构造函数的方法解决方程根的分布、数列的最值和证明不等式的成立等问题．

【例1】► 证明：x 3－x 2＋x ＋1＞sin x (x ＞0，x ∈R )．

[审题视点] 可构造函数，利用函数的单调性进行证明

根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问

题的关键，本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中，而是具体问题具体分析，使问题得解，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想．

【突破训练1】 设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：

(1)当x ＞1时，f (x )＜32(x －1)；(2)当1＜x ＜3时，f (x )＜9(x －1)x ＋5

.

常考查：以方程的角度来观察、分析问题，运用数学语言将问题中的条件转化为方程模型加以解决，如有关直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题．

【例2】► (2012·湖南)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12

的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心．

(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12

的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标．

[审题视点] (1)将圆的一般方程化为标准方程，然后根据条件列出关于a ，b ，c ，e 的方程，解方程(组)即可；(2)设出点P 的坐标及直线方程，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，构造一元二次方程，利用根与系数的关系及P 在椭圆上列出方程组，求解得P 点的坐标．

答案 (1) x 216＋y 212＝1. (2) (－2,3)或(－2，－3)或⎝⎛⎭⎫185

，575或⎝⎛⎭⎫185，－575.

直线与圆锥曲线的位置关系中渗透着函数与方程的思想，在解决解析几何问题时常

常用到函数与方程的思想．

【突破训练2】 (2012·安徽)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.

(1)求椭圆C 的离心率；

(2)已知△AF 1B 的面积为40 3，求a ，b 的值．

答案 (1) 12

.(2) a ＝10，b ＝5 3.

常考查：方程解的个数可构造两个函数，使求方程的解的问题转化为讨论两曲线交点的问题，

但用图象法讨论方程的解，一定要注意图象的精确性、全面性．

【例3】► 方程⎝⎛⎭⎫12x －sin x ＝0在区间[0,2π]上的实根个数为( )．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 [审题视点] 转化为两函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝sin x 图象的交点个数．

答案 B

用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的

个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．

【突破训练3】设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案 C

常考查：在解含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长．如

果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决．

【例4】► (2012·潍坊模拟)不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值

范围为( )．

A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)

B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)

C ．[1,2]

D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)

[审题视点] 去掉绝对值化为分段函数，画出函数图象找到这个函数的最大值再求解．

答案 A

本题的知识背景涉及函数、不等式、绝对值“题目中的某些部分都可以使用图形”

表示，在解题时我们就是把这些可以用图形表示的部分用图形表示出来，借助于图形的直观获得了解决问题的方法，这就是以形助数，是数形结合中的一个主要方面．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，并综合图象的特征得出结论．