波动学基础答案
大学物理练习册习题及答案6--波动学基础
⼤学物理练习册习题及答案6--波动学基础习题及参考答案第五章波动学基础参考答案思考题5-1把⼀根⼗分长的绳⼦拉成⽔平，⽤⼿握其⼀端，维持拉⼒恒定，使绳端在垂直于绳⼦的⽅向上作简谐振动，则（A ）振动频率越⾼，波长越长；（B ）振动频率越低，波长越长；（C ）振动频率越⾼，波速越⼤；（D ）振动频率越低，波速越⼤。
5-2在下⾯⼏种说法中，正确的说法是（A ）波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的；（B ）波源振动的速度与波速相同；（C ）在波传播⽅向上的任⼆质点振动位相总是⽐波源的位相滞后；（D ）在波传播⽅向上的任⼀质点的振动位相总是⽐波源的位相超前 5-3⼀平⾯简谐波沿ox 正⽅向传播，波动⽅程为010cos 2242t x y ππ??=-+ ?. (SI)该波在t =0.5s 时刻的波形图是（）5-4图⽰为⼀沿x 轴正向传播的平⾯简谐波在t =0时刻的波形，若振动以余弦函数表⽰，且此题各点振动初相取-π到π之间的值，则（）（A ）1点的初位相为φ1=0(m)(A )(m)(m)(B )(C )(D )思考题5-3图思考题5-4图（B ）0点的初位相为φ0=-π/2 （C ）2点的初位相为φ2=0 （D ）3点的初位相为φ3=05-5⼀平⾯简谐波沿x 轴负⽅向传播。
已知x=b 处质点的振动⽅程为[]0cos y A t ωφ=+，波速为u ，则振动⽅程为（）(A)()0cos y A t b x ωφ??=+++??(B)(){}0cos y A t b x ωφ??=-++??(C)(){}0cos y A t x b ωφ??=+-+?? (D)(){}0cos y A t b x u ωφ??=+-+?? 5-6⼀平⾯简谐波，波速u =5m?s -1，t =3s 时刻的波形曲线如图所⽰，则0x =处的振动⽅程为（）（A ）211210cos 22y t ππ-??=?- (SI) （B ）()2210cos y t ππ-=?+ (SI) （C ）211210cos 22y t ππ-??=?+ (SI) （D ）23210cos 2y t ππ-?=-(SI) 5-7⼀平⾯简谐波沿x 轴正⽅向传播，t =0的波形曲线如图所⽰，则P 处质点的振动在t =0时刻的旋转⽮量图是（）5-8当⼀平⾯简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论⼀哪个是正确的？（A ）媒质质元的振动动能增⼤时，其弹性势能减少，总机械能守恒；（B ）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期变化，但两者的位相不相同；（C ）媒质质元的振动动能和弹性势能的位相在任⼀时刻都相同，但两者的数值不相等；（D ）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最⼤。
大学物理第十章波动学习题答案
第十章 波动学习题10-1 有一平面简谐波0.02cos20030x y t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ，y 的单位为m ，t 的单位为s 。
（1）求其振幅、频率、波速和波长；（2）求x=0.1m 处质点的初相位。
解：（1）A=0.02m ，v=ω/2π=200π/2π=100s -1，u=30m/s ，λ=u/v=0.3m（2）02000.1200230303x πππφ⨯=-=-=- 10-2 一横波沿绳子传播时的波动方程为()0.05cos 104y t x ππ=-，x ，y 的单位为m ，t 的单位为s 。
（1）求其振幅、频率、波长和波速；（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度；（3）求x=0.2m 处的质点在t=1s 时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？（4）分别画出t=1s ，1.25s ，1.5s 时的波形曲线。
解：（1）A=0.05m ，v=ω/2π=10π/2π=5s -1，λ=0.5m ，u=λv=2.5m/s（2）m A ω=v ，2m a A ω= （3）1041040.29.2t x φπππππ=-=-⨯= 10-3 一平面简谐波()x πt y π2-10sin 05.0=，x ，y 的单位为m ，t 的单位为s 。
（1）求其频率、周期、波长和波速；（2）说明x ＝0时方程的意义，并作图表示。
解：（1）v=ω/2π=10π/2π=5s -1，T=1/v=0.2s ，λ=1m ，u=λv=5m/s（2）0.05sin10y πt = 原点处质点的振动方程10-4 波源作简谐运动，振动方程为()m cos240100.43πt y -⨯=，它所形成的波形以30m·s -1的速度沿一直线传播。
（1）求波的周期及波长；（2）写出波动方程。
解：（1）T=2π/ω=2π/240π=1/120s ，λ=uT=30/120=0.25m（2）()34.010cos240m 30x y πt -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭10-5 如图所示，一平面简谐波在介质中以速度u=20m/s 沿x 轴负方向传播，已知a 点的振动方程为y a =3cos4πt ，t 的单位为s ，y 的单位为m 。
波动学基础作业
第5章 波动学基础思考题5.1 振动和波动有什么联系和区别？平面简谐波方程和简谐振动方程有什么联系和区别？振动曲线和波形图又有什么联系和区别？答: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为)(t f y =；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x ，又是时间t 的函数，即),(t x f y =．(2)在谐振动方程)(t f y =中只有一个独立的变量时间t ，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程),(t x f y =中有两个独立变量，即坐标位置x 和时间t ，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律．当谐波方程)(cos uxt A y -=ω中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．(3)振动曲线)(t f y =描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y ，横轴为t ；波动曲线),(t x f y =描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y ，横轴为x ．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x 变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图．5.2 平面简谐波方程])(cos[),(0ϕω+-=x t A t x y 中u x 项的意义是什么？如果改写为]cos[),(0ϕω+-=kx t A t x y ，kx 又是什么意思？如果t 和x 都增加，但相应的])([0ϕω+-u x t 的值不变，由此能从波方程说明什么？答: 波动方程中的u x /表示了介质中坐标位置为x 的质元的振动落后于原点的时间；uxω则表示x 处质元比原点落后的振动位相；设t 时刻的波动方程为)cos(0φωω+-=uxt A y t则t t ∆+时刻的波动方程为])()(cos[0φωω+∆+-∆+=∆+ux x t t A y t t其表示在时刻t ，位置x 处的振动状态，经过t ∆后传播到t u x ∆+处．所以在)(uxt ωω-中，当t ，x均增加时，)(uxt ωω-的值不会变化，而这正好说明了经过时间t ∆，波形即向前传播了t u x ∆=∆的距离，说明)cos(0φωω+-=uxt A y 描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程．5.3 在波方程中，坐标原点是否一定要选在波源处？0=t 时刻是否一定是波源开始振动的时刻？波方程写成)(cos ),(u x t A t x y -=ω时，波源一定在坐标原点吗？在什么前提下波方程才能写成这种形式？答: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选在波源处，同样，0=t 的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程写成)(cos uxt A y -=ω时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的．因为在此处对于波源的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程．5.4 机械波的波长、频率、周期和波速，（1）在同一种介质中哪些量是不变的？（2）当波从一种介质进入另一种介质后，哪些量是不变的？答: （1）机械波在同一种介质中传播时，其波长、频率、周期和波速都是不变的？（2）当波从一种介质进入另一种介质后，只有频率和周期是不变的？5.5 波在弹性介质中传播时，介质元的能量具有怎样的特点，为什么与弹簧振子不同？ 答: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元dV 内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能．形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定．如果取波动方程为),(t x f y =，则相对形变量(即应变量)为x y ∂∂/.波动势能则是与x y ∂∂/的平方成正比．由波动曲线图(题5-3图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变也为极小(该处0/=∂∂x y )，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值．对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化．5.6 在驻波的两个波节之间，各质点的振幅、频率、相位的关系怎样？在两相邻半波（波节两侧）中又如何？驻波的能量又有什么特点？答: 由驻波方程为vt x A y απλπcos 2cos2=可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的（各质点的振幅是随位置按余弦规律x A λπ2cos2变化的），而在这同一半波长上，各质点的相则是相同的；而在两相邻半波（波节两侧）的质点振动位相则相反．驻波没有能量传播，能量仅在波节与波腹之间传递。
文档波动学
x
B O
x
(C) y A cos{[t (x / u)] 0} (D) y A cos{[t (x / u)] 0}
选择题 5 题
答案：D
提示：将-x 代入波动方程即可得 B 点的振动方程。
10-X 确定平面简谐波中一点的振动方程
6、一平面简谐波，其振幅为 A，频率为 ，波沿 x 轴正方向传播，设 t=t0 时刻波形如图所示，则 x =0 处质点振动方程为
(A) r2 r1 k ； (B)2 1 2k (C)2 1 2 (r2 r1 ) / 2k
r1
P
S1
r2
(D)2 1 2 (r2 r1 ) / 2k
S2
答案：D
提示：两列波的相位差为 ＝（2
1)
2
(r2
r1) 。
10-X 驻波中两个相临波节间各质点的振动
16、在驻波中，两个相临波节间各质点的振动是：
就是各质点运动方向，即可判断各点运动方向。
10-T 平面简谐波波动方程一般形式、初相
- 17 -
6、位于原点的波源产生的平面波以 u=10m/s 的波速沿 x 轴正向传播，使得 x=10m 处的 P 点振动规律
为 y=0.05cos(2t-/2)，该平面波的波动方程为：________________ ________ .
与波长的关系即可求得波长，即 2 / 3 1 2 / 。
10-X 由波形图确定波长 10-X 确定平面简谐波中一点的振动方程
5、如图所示，一平面简谐波沿 x 轴正向传播，坐标原点 O 的振动规律为 y A cos(t 0 ) ，则 B
点的振动方程为
u
y
(A) y A cos[t (x / u) 0 ] (B) y A cos[t (x / u)]
波动学基础练习及答案
（C）周期为 1 秒； （D）波沿 x 正方向传播。 3
（C ）
根据公式ω =6 π ，T = 2π / ω =1/3 秒。其它均不正确， λ = 100 / 3, u = 100 （忽略单位），传
播方向为-x。
3．下列叙述中不正确的是
（A）在波的传播方向上，相位差为 2π 的两个质元间的距离称波长；
t (s)
-A
d
O
Px
计算题 1 图
5
解：（1）
yP
=
A cos( 1 2
πt
+
π)
；
（2）
y
=
Acos[2π( t 4
+
x
− λ
d
)
+
π] ；（3）
y0
=
Acos(
1 2
πt) 。
解：（1）由振动曲线可知，P 处质点振动方程为
yP
=
Acos[( 2π t) 4
+
π] =
A cos( 1 2
πt
+
（D ） 由传播方向可知，时间项为正的 x/u；
设表达式为 y = A cos[ω(t + x / u) + φ] ，依图可知，x=0 处在 t=T/4 时相位为 − π ，代入后相 2
位公式得： φ =- π ，等价于 π 。
5．在同一介质中两列相干的平面简谐波的强度之比是 I1 I 2 = 4 ，则两列波的振幅之比是
2
2
O
（C） π 与 − π ； （D） − π 与 π 。
22
22
u
大学物理参考答案(白少民)第10章 波动学基础
3.5 u 15 = 28 cm ， 进而可求得波的频率为 ν = = = 0.54 Hz π /4 λ 28 10.14 证 明 y = A cos( kx −ω t ) 可 写 成 下 列 形 式 ： y = A cos k ( x − u t ) ， x x 1 x y = A cos 2π ( − ν t ) ， y = A cos 2π ( − ) ，以及 y = A cos ω( − t ) 。 λ T u λ ω 2πν t ) = k ( x − ut ) 证明 ： kx − ω t = k ( x − t ) = k ( x − k 2π / λ 所以波函数可写为： y = A cos k ( x − ut ) 2π x x x − 2πν t = 2π ( −νt ) ，则波函数还可写为 y = A cos 2π ( −ν t ) 又 kx − ω t = λ λ λ 1 x t 由ν = 则还可得： y = A cos 2π ( − ) T λ T k x x kx − ω t = ω( x − t ) = ω( − t ) ，则波函数还可写为 y = A cos ω( − t ) ω u u 10.15 波源 做 简谐振动，位移与时间的关系为 y = ( 4.00 ×10 −3 ) cos 240π t m ，它所 激发的波以 30.0m/s 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。 解：由波源的振动方程 y = ( 4.00 ×10 −3 ) cos 240πt m 知振动角频率 ω = 240π . 而波的频率就等于波源的振动频率，所以波的频率和周期分别为 ω 1 1 ν= = 120 Hz ， T = = = 8.33 ×10 −3 s ν 120 2π u 30.0 = 0.25 m 进一步计算波长为 λ = = ν 120 x x −3 )m 最后可写出波函数为 y = A cos ω(t − ) = ( 4.00 ×10 ) cos 240π (t − u 30 10.16 沿 绳子 行进的 横 波波函数为 y =10 cos(0.01π x − 2π t ) ，式中长度的 单 位是 cm，时间的单位是 s。试求：（1）波的振幅、 频率、传播速率和波长；（2）绳上某质点的最 大横向振动速率。 解：（1）由 y = 10 cos(0.01π x − 2π t ) = 10 cos 2π (t − 5.0 ×10 −3 x ) 知： ω 2π ν= = = 1 Hz ； 波 长 振 幅 A = 10cm = 0.1m ； 频 率 2π 2π
波动习题及答案
2 设有一平面简谐波频率为，振幅为A以波速u沿x轴正向传播， 已知波线上距原点为d的B点的振动方程为
yB A cos(2t 0 )
答：全部对。
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一束单色光垂直入射在光栅上，衍射光谱中共出现5条明纹，若已知此光栅缝宽 与不透明部分宽度相等，那么在中央明纹一侧的两条明纹分别是第 级和第 级谱线。
解：∵a=b,故有缺级。
由 a sin k / ,
(a b) sin k
k 2 / k
时缺级
a b
0
D
k＝(n – 1)e/λ = 6.96 ≈7
零级明纹移到原第 7 级明纹处 …
13
例12－7 在双缝装置中，用一折射率为n的薄云母片覆盖其中 一条缝，这时屏幕上的第7条明纹恰好移到屏幕中央零级明纹缝 隙处，如果入射光的波长为，则这云母片的厚度为 （A）n-1, (B)7 C)7n, (D)（n-1/7） 解：因为
a
故
k 2k /
K/=1,则k＝2，即第二级缺级 故应为第一级和第三级谱线。
16
已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84×10-6rad，它们都发出波长 为5500Å的光，试问望远镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星?
解：
1.22
D
5.500107 D 1.22 1.22 0.139m 6 4.8410
，试问： （1）油滴外围（最薄处）区域对应于亮区还是暗 区，为什么？ （2）如果总共可以观察到5条明纹，且中心为明 纹，问中心点油膜厚为多少？
《水声学》习题作业-波动声学基础
一、简答题1.理想流体介质中小振幅波所满足的波动方程可根据哪些方程导出?2.波动方程的定解条件有哪些？3.均匀浅海声道中的简正波是如何形成的？说明简正波的特性。
4.何谓简正波的相速度、群速度？硬底均匀浅海中简正波的相速度、群速度有何特征？5.何谓波导的截止频率？6.判断正误并解释命题：浅海波导中，声波的频率越低，其传播距离就一定越远。
一、简答题答案1.答：根据质量守恒定律、牛顿第二定律和绝热压缩定律，理想流体介质中小振幅波所满足的波动方程可根据连续性方程、运动方程和状态方程导出。
2.答：满足物理问题的具体条件称为定解条件。
波动方程的定解条件有边界条件、辐射条件、奇性条件和初始条件。
其中边界条件包含绝对软边界条件、绝对硬边界条件、混合边界条件、边界上声压和振速连续边界条件。
3.答：简正波的形成原因：与z轴夹角满足特定关系的上行波和下行波的迭加形成某一阶次的简正波。
简正波在垂直方向为驻波、水平方向为行波，每阶简正波有各自的简正频率，简正波的相速度与阶次有关，不同阶次的简正波其相速度不同，称为频散。
4.答：等相位面的传播速度称为相速度，波形包络的传播速度称为群速度。
简正波的相速度、群速度与声波频率有关。
随着频率的升高，相速度逐渐减小群速度逐渐增大，最终趋近于介质的声速。
相速度和群速度的乘积为常数。
5.答：最低阶简正波的临界频率即为波导的截止频率。
当声波频率低于波导的截止频率时，波导中各阶简正波都为衰减的简正波，声波不能远距离传播。
6.答：命题不正确。
对相同的声源，频率越高，介质的吸收衰减越大，因此传播距离就越近。
频率降低，吸收损失减小，传播距离变远。
但是当声波频率低于波导的截止频率时，介质中不存在传播的简正波，它们都随水平距离的增大指数衰减，因此频率低于一定值后，传播距离反而变近。
波动学基础练习题及答案
波动学基础练习题及答案一、选择题1、一平面简谐波沿ox 正方向传播，波动表达式为]2)42(2cos[10.0π+-π=x t y (SI)，该波在t = 0.5 s 时刻的波形图是 ［ B ］-2、在下面几种说法中，正确的说法是： ［ C ］ (A) 波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的 (B) 波源振动的速度与波速相同(C) 在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后(按差值不大于π计)(D) 在波传播方向上的任一质点的振动相位总是比波源的相位超前(按差值不大于π计)3、机械波的表达式为y = 0.03cos6π(t + 0.01x ) (SI) ，则 ［ B ］ (A) 其振幅为3 m (B) 其周期为s 31(C) 其波速为10 m/s (D) 波沿x 轴正向传播4、在简谐波传播过程中，沿传播方向相距为λ21（λ 为波长）的两点的振动速度必定［ A ］(A) 大小相同，而方向相反 (B) 大小和方向均相同 (C) 大小不同，而方向相同 (D) 大小不同，且方向相反 5、横波以波速u 沿x 轴负方向传播．t 时刻波形曲线如图．则该时刻 (A) A 点振动速度大于零 (B) B 点静止不动 (C) C 点向下运动 (D) D 点振动速度小于零［ D ］6、一简谐波沿x 轴正方向传播，t = T /4时的波形曲线如图所示．若振动以余弦函数表示，且此题各点振动的初相取-π 到π 之间的值，则(A) O 点的初相为00=φ(B) 1点的初相为π-=211φ(C) 2点的初相为π=2φ (D) 3点的初相为π-=213φ ［ D ］7、图示一简谐波在t = 0时刻的波形图，波速 u = 200 m/s ，则P 处质点的振动速度表达式为(A) )2cos(A 2v πππ--=t (SI)． ［ A ］ (B) )cos(A 2v πππ--=t (SI)． (C) )22cos(A 2v πππ-=t (SI)．(D) )2/3cos(A 2v πππ-=t (SI)．二、 填空题1、A ，B 是简谐波波线上的两点．已知，B 点振动的相位比A 点落后π31，A 、B 两点相距0.5 m ，则该波的波长 λ = __3______ m 。
波动力学基础
第二章 波动力学基础一、填空1. 一维谐振子的能量本征值E n 与_____有关，能量是量子化的.最低的能量是____，称为_____.能级都是等间距的，间隔都是____.2. 定态的性质：粒子坐标的____和____不随时间变化；任何不显含时间变量的力学量的____和____不随时间变化.二、概念与名词解释1. 态叠加原理；2. 概率流守恒定律；3. 定态，束缚态；4. 奇宇称，偶宇称三、计算1. 由下列定态波函数计算几率流密度： (1) ikr 1e r 1=ψ, (2)ikr 2e r1−=ψ. 从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ2表示向内(即向原点)传播的球面波.2. 设()()为常数a Ae x 22x a 21−=ϕ（1）求归一化常数（2）.?p ?x x ==3. 设在t=0时，粒子的状态为 φ=A[sin 2kx+(coskx)/2]，求粒子动量和能量的平均值.4. 已知做直线运动的粒子处于状态ix11)x (−=ϕ (1) 将φ(x)归一化； (2) 求出粒子坐标取值概率为最大处的位置.5. 若粒子处于状态⎪⎩⎪⎨⎧>β−≤≤<=ϕ)a x ()x exp(B )a x 0()kx sin(A )0x (0)x ( 其中k,β为已知常数。
求归一化常数，并给出在1≤x ≤a 区域内发现粒子的概率.6. 粒子处在势能的场中运动，()⎪⎩⎪⎨⎧+<<+≤≤+≤≤+><∞=b)a x a (,U b)2a x b a a x 0(,0b)2a x 0x (,x U 0当和当和当求在能量小于U 0的情况下，决定能量的关系式.7. 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置.8. 一维运动的粒子处于的状态. 求归一化系数A ，粒子的动量分布函数及动量平均值。
()⎩⎨⎧<>=ϕλ−0x 00x Axe x x9. 若线谐振子处于第一激发态，)x a 21aexp(-)2a ((x)222131π=ϕ，求其坐标概率最大的位置，其中a>0.10. 设粒子的能量E>0，求粒子在势阱壁x=0处的反射系数. ()⎩⎨⎧><= 0)(x 00)(x U x U 011. 一维谐振子处在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ω−−π=ϕt 2i 2x a exp a (x)221/2状态， 求：势能的平均值；动量的概率分布函数；动量的平均值.12. 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似地表示为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤−<≤<∞=x b ,0bx a ,U a x 0,U 0x ,x U 10求束缚态的能级所满足的方程，其中U 0>0,U 1>0.13. 粒子在如下三维势场()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧><∞≤≤==⎩⎨⎧><∞≤≤==b/2)(x -b/2),(x b/2)y (-b/2 0U 0U a/2)(x -a/2),(x a/2)x (-a/2 0U z y,,x U y z x中运动, 求粒子的能量和对应的波函数.14. 设粒子处于一维势阱中，式中U ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤−<∞=a)(x 0a)x (0 U 0)(x U(x) 00>0.若粒子具有一个E=－U 0/4的本征态，试确定此势阱的宽度.15. 设粒子在势阱宽度为a 的一维无限深势阱中运动，如果粒子的状态由波函数a x cos a x sin 4(x)2πππ=ϕ描述，求粒子能量的可能值和相应的概率. 16. 在势阱宽度为a 的一维无限深势阱中运动的粒子，如果粒子的状态由波函数φ(x)=Ax(a-x)描述，A 为归一化常数，求粒子的能量的概率分布和能量的平均值.17. 一个粒子处与中心势场中，设其径向波函数为R(r)=u(r)/r ，u(r)满足的方程为⎩⎨⎧<≥=a)(r 0a)(r U )r (U 00)r (u r )1l (l ))r (U E (2)r (u dr d 2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−µ+h ，若l=0，求该粒子小于U 0的能量和相应的本征函数.18. 粒子在势场中运动，试给出小于零的能量本征值和本征函数，其中U ⎩⎨⎧≥<δ−=0)(x U 0)(x (x)a U )x (U 101>0,U 0a>0.19. 粒子在如下势场中运动，求其能级. ⎩⎨⎧>ω≤∞=0)(x /2x m 0)(x )x (U 2220. 粒子在双δ势阱U(x)= -U 0d[δ(x+a)+ δ(x-a)]中运动，求其束缚能级满足的方程. 21. 设两个方势垒的形状分别是⎩⎨⎧≤≤><<=⎩⎨⎧≤≤<=c)x (b U c)x b,x (a 0)x (U , a)x (0 U 0)(x 0)x (U 21，求粒子连续贯穿两个方势垒的贯穿系数.22. 求势场U(x)= -U 0/(e x/a +1)，入射粒子能量E>0时的反射系数.23. 能量为E=3U 0的粒子射向如下势场，求粒子的透射和反射系数.⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=a)(x 2U a)x (0 U 0)(x 0U(x)0 024. 能量为E>0的粒子通过如下势阱U(x)= -U 0δ(x)，求粒子的透射和反射系数，其中U 0>0.25. 氢原子处在基态0a /r 30e a 1−π=ψ, 求：(1) r 的平均值； (2) 势能-e 2/r 的平均值； (3) 最可几的半径；(4) 动能的平均值； (5) 动量的几率分布函数.26. 设氢原子处于状态()()()()()/2,Y r R 3/2,Y r R ,,r 11211021ϕθ−ϕθ=ϕθψ−求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值, 这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.27. 粒子处于状态()⎥⎦⎤⎢⎣⎡ξ−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛πξ=ψ2202124x x p i exp 21x h 式中ξ为常量. 求粒子的动量平均值, 并计算测不准关系 ()()_______2_____2p x ∆∆28. 设粒子在一维势垒宽度为a 的无限高势垒中运动，求粒子作用在势垒壁上的平均力.29. 设氢原子处在基态，求：它在动量表象中的表示式；p x 和p x 2的平均值；x 和x 2的平均值.30. 设势场为U(r)= -a/r+A/r 2(a 、A>0)，求粒子的能量本征值.31. 设势场为U(r)= Br 2+A/r 2 (A 、B>0)，求粒子的能量本征值.32. 一个质量为m 的粒子被限制在半径为r=a 和r=b 的两个不可穿透的同心球面之间运动,不存在其他势场.求粒子的基态能量和基态波函数.33. 求一维薛定谔方程在势场V(x)= -Ze 2/x 下的能级和波函数，并与势场⎩⎨⎧≤∞>=0)(x 0)(x /x Ze -V(x)2的结果相比较. 四、证明1. 证明在定态中, 几率流密度与时间无关.2. 设粒子处于复位势V(r)=V 1(r)+iV 2(r)中，式中V 1(r)和V 2(r)皆为实函数，证明此时粒子的概率不守恒.3. 设粒子处于实位势V(r)中，证明在任意束缚态下其能量平均值为τ⎥⎦⎤⎢⎣⎡φφ+φ∇⋅φ∇=τρ=∫∫d )r ()r )V(r ()r ()r (2md E **2h 式中ρ为能量密度.4. 证明属于不同本征能量的束缚态本征函数是正交的.5. 利用厄米多项式的递推关系H n+1(ξ)-2ξH n (ξ)+2n H n-1(ξ)=0，证明[][]22n n 2-n n 21n 1-n n /2(x) 2)1)(n (n (x)1)(2n (x) 1)-n(n (x)x /(x) 1)/2(n (x) n/2(x)x αφ+++φ++φ=φαφ++φ=φ++ 式中φn (x)为线谐振子的第n 个本征波函数，h /m ω=α.进而证明在任意本征态下，坐标的平均值为零，势能的平均值为相应本征能量的一半.6. 证明对于一维谐振子，无论处在哪个本征态，它的动能平均值恒等于势能平均值.7. 在一维势场中运动的粒子, 势能对原点对称:U(-x)=U(x), 证明粒子的定态波函数具有确定的宇称.8. 证明对于任意势垒，粒子的反射系数R 和透射系数D 之和等于1.9. 粒子在势能为的场中运动，证明对于能量E<U ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=)a x (U )a x 0(0)0x (U )x (U 21当当当1<U 2的状态，能量由21mU 2k arcsin mU 2k arcsinn ka h h −−π=关系式决定，其中2/mE 2k h = 10. 证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的.11. 证明在非相对论量子力学中，在辏力场V(r)中运动的粒子，其束缚态满足322r L 21dr )r (dV 2m )0(π−π=ϕ，式中φ(0)是原点波函数，L 2是角动量平方（选ћ=1为单位）.五、综合题1. 利用氢原子的能谱公式，写出：(1) 电子偶素(positronium)，即e +-e -形成的束缚态的能级；(2) 以µ-子代表核外电子所形成的µ原子的能级；(3) µ+和e -形成的束缚态(Muonium)的能级.2. 一个质量为m 的粒子在一个三维方势阱V(r)中运动.(1) 证明：对于一个半径R 一定的阱，只有阱深至少有一个极小值时，才可能有束缚态，并计算这一极小值.(2) 在一维情况下，类似问题的结果和三维的有何不同？(3) 上述(1)、(2)结果中的一般性质对任意形状的势阱是否仍然成立？例如在一维情况下，若，保持f(x)不变，讨论不同的λ值.⎩⎨⎧><≤≤<λ=）或b x a (x 0b)x (a 0f(x)U(x)3. 一电子在一无限大接地平面导体的上方运动，它被自己的像电荷吸收，但电子不能穿透导体表面.试写出电子作三维运动的哈密顿量和它满足的边界条件，并求出电子的能级和在基态时，电子和导体表面之间的平均距离.4. 质量为m 的非相对论粒子在一势场中运动，势场是U(x,y,z)=A(x 2+y 2+2λxy)+B(z 2+2µz)，其中A>0,B>0,|λ|<1，µ是任意的，求：(1) 能量的本征值；(2) 使势变成，求基态能量. ⎩⎨⎧µ<∞µ>=任意）、＋任意）、y x ,-(z y x ,-(z U U new 5. 一个刚体具有惯性矩I z ，可以自由的在x-y 平面中运动.令θ为x 轴与转动轴之间的夹角，求：(1) 能量本征值和相应的本征函数；(2) 若在t=0时，转子由波包φ(0)=Asin 2θ描述，求在t>0时的φ(t).6. 考虑一维波函数φ(x)=A(x/x 0)n e -x/x0，其中A 、n 、x 0是常数，(1) 利用薛定谔方程，求势场U(x)和能量E.（这时φ(x)可视为当x →∞时V(x)→0的薛定谔方程的本征函数）.(2) 比较你所给出的势场和轨道角动量为l 的氢原子态的有效径向势的异同.7. 通常在量子力学薛定谔方程中，若已知全部能谱和全部本征函数，可以反过来推出相互作用势，这称为反散射问题.若只知道部分能谱和波函数，有时也可给出关于势场的一些性质.证明：(1) 若势场满足d 2V/dr 2>或<0，则零点波函数满足|φ2s (0) |>或<|φ1s (0) |；(2) 记势场V(r)中粒子状态为l n r r l ,n φ=，则若，0r 1)l(l V dr d 222>⎥⎦⎤⎢⎣⎡++必有|φ0l (0) |≤|φ1l (0) |.8. 对于2P 和3D 能级，定义ε=E 2P －E 3D ，u=r φ2P ，v=r φ3D .势场满足V=λ2V(λr)，λ是小参量，证明：(1) 在(0,∞)区间中，u 2-v 2有且仅有一个零点；(2) 令W(x)=x[2V+x(dV/dx)]，则若满足W(0)=0，且d 2W/dx 2≥或≤0，相应的必有d ε/d λ≤或≥0.9. 粒子在势壁附近的行为，可从下面近似模型出发考虑. 一粒子在一维势场⎩⎨⎧<∞>δ=-d)(x -d)(x (x)U -U(x)0中运动，求： (1) 当势壁离粒子很远时，对束缚态能量的修正值.并据此说明“远离”的意义；(2) 至少存在一个束缚态时，U 0和d 应满足的条件.10. 一维薛定谔方程的本征值谱可依次排列成：E 1<E 2<…<E n <….(1) 若势场U 1(x)给的本征值为E 1n ，U 2(x)给的本征值为E 2n ，且U 1(x) ≤ U 2(x)，证明必有E 1n ≤E 2n .(2) 考虑势场,a)x ( /2ka a)x ( /2kx U(x)22⎪⎩⎪⎨⎧≥<=求这个势所能具有的最大的束缚态的数目N.11. 放射性同位素83Bi 212衰变成81Tl 208，同时放出能量为6.1MeV 的α粒子(1) 为了计算寿命，首先讨论如下图有限高势垒，计算一个质量为M 的粒子从左边入射的透射系数T ，粒子的能量为E ，并设T<<1；(2) 利用上面的结果，选择敏感的势垒参数来近似α粒子势，对83Bi 212的寿命做一个粗略的数值估计.12. 一束单一能量E 的非相对论中子打到一个厚度为t 的平板平面上，在这平板中。
振动、波动学基础选择题及参考答案
)振动学基础一、选择题：1、一质量为m 的物体挂在倔强系数为k 的轻弹簧下面，振动园频率为ω，若把此弹簧分割 为二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动园频率为： （A ）ω2。
（C ）ω2。
（C ）2ω。
（D ）22ω。
2、一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为))(32cos(1042SI t x ππ+⨯=-,从0=t 时刻起，到质点位置在cm x 2-=处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为： （A ）s )8/1(。
（B ）s )4/1(。
（C ）s )2/1(。
（D ）s )3/1(。
（E ）s )6/1(。
3 （A ）s 62.2。
（B ）s 40.2。
（C ）s 20.2。
（D ）s 00.2。
4、已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒，则此简谐振动方程为：（A ）cm t x )3232cos(2ππ+=。
（B ）cm t x )3232cos(2ππ-=。
（C ）cm t x 3234cos(2ππ+=。
（D ）cm t x 3234cos(2ππ-=。
（E ）cm t x )434cos(2ππ-=。
5、一弹簧振子作简谐振动，总能量为1E ，如果简谐振动动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量1E 变为：（A ）4/1E 。
（B ）2/1E 。
（C ）12E 。
（D ）14E 。
6、一物体作简谐振动，振动方程为)2/cos(πω+=t A x 。
则该物体在0=t 时刻的动能与8/T t =（T 为周期）时刻的动能之比为：（A ）4:1。
（B ）2:1。
（C ）1:1。
（D ）1:2。
（E ）1:4。
7、一质点在x 轴上作简谐振动，振幅cm A 4=，周期s T 2=，其平衡位置取作坐标原点。
若0=t 时刻质点第一次通过cm x 2-=处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过cm x 2-=处的时刻为： （A ）s 1。
波动学基础答案
1、频率为3000Hz 的声波，以1560m/s 的传播速度沿以波线传播，该声波的波长为（0.52m ）,同一波线上 相位差为2π的两点间的距离为（0.13m ）。
2、机械波的相干条件为（ 频率相同）、（振动方向相同）和（相位相等或相位差恒定）。
3、已知平面简谐波的波函数为()bx at A y -=cos （a, b 为正值），则…………（④）①波的频率为a ②波的传播速度为b/a③波长为π/b ④波的周期为2π/a4、关于驻波和行波的说法不正确的是………………………………………………（ ②） ①驻波中有些介质点始终不动。
②驻波中相邻两波节的距离是一个波长。
③行波波形随着波的传播向前移动。
④驻波的波形不沿介质前进。
5、（8分）一平面余弦波沿x 轴正向传播，其频率为100Hz ，振幅为1cm ，波速为400m/s ，如果波源位于原点，且以原点处质点经过平衡位置朝y 负方向振动的时刻为计时起点。
（1）写出该余弦波的波动方程；（2）写出该波走2s 后的波形方程。
解：（1）A=0.01m,ππνω2002==，c=400m/s ，根据题意，故可得2πϕ=。
波源的振动方程为[]ϕπ+=t y 200cos 01.0……………………………………（2分） 可得波动方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2400200cos 01.0ππx t y m …………………… （4分） （2）将t=2s 代入即可得波形方程为⎪⎭⎫⎝⎛=x y 2sin 01.0πm. …………………（2分） 6、平面简谐波的波动方程为)2cos(λππxt A y -=(SI 制)，已知x ＝2.5λ，则波源的振动位相较该点的振动位相………………………………………………………………（④ ） ①、落后2.5π②、落后5π③、超前2.5π④、超前5π7、下面对机械波描述不正确的是……………………………………………………（② ） ①、行波传播过程中，介质中质元的动能和势能是同相变化，而且是相等的。
波动学基本
ππ
π
y1
=
A cos(200π
t
−16 ×
2
−
2
)
=
A cos( 200π
t
−
) 2
同理,
y2
=
A cos( 200π
t
−
20 ×
π 2
−
π 2
)
=
A cos(200π
t
−
π) 2
4
自治区精品课程—大学物理学
黄新民、张晋鲁主编《普通物理学》习题解答
初相位分别为：t=0
时， φ1 0
=
−π 2
,φ20
2π
f
(2)
∵平面简谐波的波动方程为： y
=
Acos ω(t −
x )
c
∴绳子上各质点的振动速度为: ν = ∂y = − Aω sin ω(t − x)
∂t
c
绳子上各质点的振动加速度为: a = ∂ 2 y = − Aω 2 cosω(t − x )
∂t 2
c
∴绳子上各质点振动时的最大速度为 vmax = Aω =0.5π=1.57(m/s)
当取波源为原点并且该波沿+X 方向传播时，波动方程为
y
=
0.1cos(4π
t
π −
x)
5
(2) 沿波传播方向距离波源为λ/2 处的振动方程为：
y = 0.1cos(4π t − π ⋅ λ ) = −0.1cos(4π t) 52
(3) 距离波源分别为 λ , λ , 3λ 和λ的各点的振动方程为： 42 4
B
2π
CC
∵ c = λf ，∴ λ = CT = B ⋅ 2π = 2π ． CB C
第二章波动力学基础一、填空1.一维谐振子的能量本征值En与_____
第二章 波动力学基础一、填空1. 一维谐振子的能量本征值E n 与_____有关，能量是量子化的.最低的能量是____，称为_____.能级都是等间距的，间隔都是____.2. 定态的性质：粒子坐标的____和____不随时间变化；任何不显含时间变量的力学量的____和____不随时间变化.二、概念与名词解释1. 态叠加原理；2. 概率流守恒定律；3. 定态，束缚态；4. 奇宇称，偶宇称三、计算1. 由下列定态波函数计算几率流密度： (1) ik r 1e r 1=ψ, (2)ik r 2e r 1-=ψ.从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ2表示向内(即向原点)传播的球面波.2. 设()()为常数a Ae x 22x a 21-=ϕ(1) 求归一化常数 (2) .?p ?x x ==3. 设在t=0时，粒子的状态为 φ=A[sin 2kx+(coskx)/2]，求粒子动量和能量的平均值.4. 已知做直线运动的粒子处于状态ix11)x (-=ϕ(1) 将φ(x)归一化；(2) 求出粒子坐标取值概率为最大处的位置.5. 若粒子处于状态 ⎪⎩⎪⎨⎧>β-≤≤<=ϕ)a x ()x e x p (B )a x 0()kx sin(A )0x (0)x (其中k,β为已知常数。
求归一化常数，并给出在1≤x ≤a 区域内发现粒子的概率.6. 粒子处在势能()⎪⎩⎪⎨⎧+<<+≤≤+≤≤+><∞=b)a x a (,U b)2a x b a a x 0(,0b)2a x 0x (,x U 0当和当和当的场中运动，求在能量小于U 0的情况下，决定能量的关系式.7. 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置.8. 一维运动的粒子处于()⎩⎨⎧<>=ϕλ-0x 00x Axe x x 的状态. 求归一化系数A ，粒子的动量分布函数及动量平均值。
9. 若线谐振子处于第一激发态，)x a 21aex p(-)2a ((x )222131π=ϕ，求其坐标概率最大的位置，其中a>0.10. 设粒子的能量E>0，求粒子在势阱()⎩⎨⎧><= 0)(x 00)(x U x U 0壁x=0处的反射系数.11. 一维谐振子处在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ω--π=ϕt 2i 2x a exp a (x)221/2状态， 求：势能的平均值；动量的概率分布函数；动量的平均值.12. 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似地表示为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤-<≤<∞=x b ,0bx a ,U a x 0,U 0x ,x U 10求束缚态的能级所满足的方程，其中U 0>0,U 1>0.13. 粒子在如下三维势场()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧><∞≤≤==⎩⎨⎧><∞≤≤==b/2)(x -b/2),(x b/2)y (-b/2 0U 0U a/2)(x -a/2),(x a/2)x (-a/2 0U z y,,x U y z x中运动, 求粒子的能量和对应的波函数.14. 设粒子处于一维势阱中⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a)(x 0a)x (0 U 0)(x U(x) 0，式中U 0>0.若粒子具有一个E=－U 0/4的本征态，试确定此势阱的宽度.15. 设粒子在势阱宽度为a 的一维无限深势阱中运动，如果粒子的状态由波函数a x cos a x sin 4(x )2πππ=ϕ描述，求粒子能量的可能值和相应的概率.16. 在势阱宽度为a 的一维无限深势阱中运动的粒子，如果粒子的状态由波函数φ(x)=Ax(a-x)描述，A 为归一化常数，求粒子的能量的概率分布和能量的平均值.17. 一个粒子处与中心势场⎩⎨⎧<≥=a)(r 0a)(r U )r (U 0中，设其径向波函数为R(r)=u(r)/r ，u(r)满足的方程为0)r (u r )1l (l ))r (U E (2)r (u dr d 2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--μ+ ，若l=0，求该粒子小于U 0的能量和相应的本征函数.18. 粒子在势场⎩⎨⎧≥<δ-=0)(xU 0)(x (x)a U )x (U 10中运动，试给出小于零的能量本征值和本征函数，其中U 1>0,U 0a>0.19. 粒子在如下势场中运动⎩⎨⎧>ω≤∞=0)(x /2x m 0)(x )x (U 22，求其能级. 20. 粒子在双δ势阱U(x)= -U 0d[δ(x+a)+ δ(x-a)]中运动，求其束缚能级满足的方程.21. 设两个方势垒的形状分别是⎩⎨⎧≤≤><<=⎩⎨⎧≤≤<=c)x (b U c)x b,x (a 0)x (U , a)x (0 U 0)(x 0)x (U 21，求粒子连续贯穿两个方势垒的贯穿系数.22. 求势场U(x)= -U 0/(e x/a +1)，入射粒子能量E>0时的反射系数.23. 能量为E=3U 0的粒子射向如下势场⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=a)(x 2U a)x (0 U 0)(x 0U(x)0 0，求粒子的透射和反射系数.24. 能量为E>0的粒子通过如下势阱U(x)= -U 0δ(x)，求粒子的透射和反射系数，其中U 0>0.25. 氢原子处在基态0a /r 30e a 1-π=ψ, 求：(1) r 的平均值； (2) 势能-e 2/r 的平均值； (3) 最可几的半径；(4) 动能的平均值；(5) 动量的几率分布函数.26. 设氢原子处于状态()()()()()/2,Y r R 3/2,Y r R ,,r 11211021ϕθ-ϕθ=ϕθψ-，求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值, 这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.27. 粒子处于状态()⎥⎦⎤⎢⎣⎡ξ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛πξ=ψ2202124x x p i exp 21x ，式中ξ为常量. 求粒子的动量平均值, 并计算测不准关系()()_______2_____2p x ∆∆28. 设粒子在一维势垒宽度为a 的无限高势垒中运动，求粒子作用在势垒壁上的平均力.29. 设氢原子处在基态，求：它在动量表象中的表示式；p x 和p x 2的平均值；x 和x 2的平均值.30. 设势场为U(r)= -a/r+A/r 2(a 、A>0)，求粒子的能量本征值.31. 设势场为U(r)= Br 2+A/r 2 (A 、B>0)，求粒子的能量本征值.32. 一个质量为m 的粒子被限制在半径为r=a 和r=b 的两个不可穿透的同心球面之间运动,不存在其他势场.求粒子的基态能量和基态波函数.33. 求一维薛定谔方程在势场V(x)= -Ze 2/x 下的能级和波函数，并与势场⎩⎨⎧≤∞>=0)(x 0)(x /x Ze -V(x)2的结果相比较. 四、证明1. 证明在定态中, 几率流密度与时间无关.2. 设粒子处于复位势V(r)=V 1(r)+iV 2(r)中，式中V 1(r)和V 2(r)皆为实函数，证明此时粒子的概率不守恒.3. 设粒子处于实位势V(r)中，证明在任意束缚态下其能量平均值为τ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡φφ+φ∇⋅φ∇=τρ=d )r ()r )V (r (*)r ()r (*2m d E 2 式中ρ为能量密度.4. 证明属于不同本征能量的束缚态本征函数是正交的.5. 利用厄米多项式的递推关系H n+1(ξ)-2ξH n (ξ)+2n H n-1(ξ)=0，证明[][]22n n 2-n n 21n 1-n n /2(x) 2)1)(n (n (x)1)(2n (x) 1)-n(n (x)x /(x) 1)/2(n (x) n/2(x)x αφ+++φ++φ=φαφ++φ=φ++，式中φn (x)为线谐振子的第n 个本征波函数， /m ω=α.进而证明在任意本征态下，坐标的平均值为零，势能的平均值为相应本征能量的一半.6. 证明对于一维谐振子，无论处在哪个本征态，它的动能平均值恒等于势能平均值.7. 在一维势场中运动的粒子, 势能对原点对称:U(-x)=U(x), 证明粒子的定态波函数具有确定的宇称.8. 证明对于任意势垒，粒子的反射系数R 和透射系数D 之和等于1.9. 粒子在势能为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=)a x (U )a x 0(0)0x (U )x (U 21当当当的场中运动，证明对于能量E<U 1<U 2的状态，能量由21mU 2k arcsin mU 2k arcsinn ka --π=关系式决定，其中2/mE 2k = 10. 证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的.11. 证明在非相对论量子力学中，在辏力场V(r)中运动的粒子，其束缚态满足322r L 21dr )r (dV 2m )0(π-π=ϕ，式中φ(0)是原点波函数，L 2是角动量平方（选ћ=1为单位）.五、综合题1. 利用氢原子的能谱公式，写出：(1) 电子偶素(positronium)，即e +-e -形成的束缚态的能级；(2) 以μ-子代表核外电子所形成的μ原子的能级；(3) μ+和e -形成的束缚态(Muonium)的能级.2. 一个质量为m 的粒子在一个三维方势阱V(r)中运动.(1) 证明：对于一个半径R 一定的阱，只有阱深至少有一个极小值时，才可能有束缚态，并计算这一极小值.(2) 在一维情况下，类似问题的结果和三维的有何不同？(3) 上述(1)、(2)结果中的一般性质对任意形状的势阱是否仍然成立？例如在一维情况下，若⎩⎨⎧><≤≤<λ=）或b x a (x 0b)x (a 0f(x)U(x)，保持f(x)不变，讨论不同的λ值.3. 一电子在一无限大接地平面导体的上方运动，它被自己的像电荷吸收，但电子不能穿透导体表面.试写出电子作三维运动的哈密顿量和它满足的边界条件，并求出电子的能级和在基态时，电子和导体表面之间的平均距离.4. 质量为m 的非相对论粒子在一势场中运动，势场是U(x,y,z)=A(x 2+y 2+2λxy)+B(z 2+2μz)，其中A>0,B>0,|λ|<1，μ是任意的，求：(1) 能量的本征值；(2) 使势变成⎩⎨⎧μ<∞μ>=任意）、＋任意）、y x ,-(z y x ,-(zU U new ，求基态能量.5. 一个刚体具有惯性矩I z ，可以自由的在x-y 平面中运动.令θ为x 轴与转动轴之间的夹角，求：(1) 能量本征值和相应的本征函数；(2) 若在t=0时，转子由波包φ(0)=Asin 2θ描述，求t>0时的φ(t).6. 考虑一维波函数φ(x)=A(x/x 0)n e -x/x0，其中A 、n 、x 0是常数，(1) 利用薛定谔方程，求势场U(x)和能量E.（这时φ(x)可视为当x →∞时V(x)→0的薛定谔方程的本征函数）.(2) 比较你所给出的势场和轨道角动量为l 的氢原子态的有效径向势的异同.7. 通常在量子力学薛定谔方程中，若已知全部能谱和全部本征函数，可以反过来推出相互作用势，这称为反散射问题.若只知道部分能谱和波函数，有时也可给出关于势场的一些性质.证明：(1) 若势场满足d 2V/dr 2>或<0，则零点波函数满足|φ2s (0) |>或<|φ1s (0) |；(2) 记势场V(r)中粒子状态为l n r r l ,n φ=，则若，0r 1)l(l V dr d 222>⎥⎦⎤⎢⎣⎡++必有|φ0l (0) |≤|φ1l (0) |.8. 对于2P 和3D 能级，定义ε=E 2P －E 3D ，u=r φ2P ，v=r φ3D .势场满足V=λ2V(λr)，λ是小参量，证明：(1) 在(0,∞)区间中，u 2-v 2有且仅有一个零点；(2) 令W(x)=x[2V+x(dV/dx)]，则若满足W(0)=0，且d 2W/dx 2≥或≤0，相应的必有d ε/d λ≤或≥0.9. 粒子在势壁附近的行为，可从下面近似模型出发考虑. 一粒子在一维势场⎩⎨⎧<∞>δ=-d)(x-d)(x (x)U -U(x)0中运动，求： (1) 当势壁离粒子很远时，对束缚态能量的修正值.并据此说明“远离”的意义；(2) 至少存在一个束缚态时，U 0和d 应满足的条件.10. 一维薛定谔方程的本征值谱可依次排列成：E 1<E 2<…<E n <….(1) 若势场U 1(x)给的本征值为E 1n ，U 2(x)给的本征值为E 2n ，且U 1(x) ≤ U 2(x)，证明必有E 1n ≤E 2n .(2) 考虑势场,a)x ( /2ka a)x ( /2kx U(x )22⎪⎩⎪⎨⎧≥<=求这个势所能具有的最大的束缚态的数目N.11. 放射性同位素83Bi 212衰变成81Tl 208，同时放出能量为6.1MeV 的α粒子.(1) 为了计算寿命，首先讨论如下图有限高势垒，计算一个质量为M 的粒子从左边入射的透射系数T ，粒子的能量为E ，并设T<<1；(2) 利用上面的结果，选择敏感的势垒参数来近似α粒子势，对83Bi 212的寿命做一个粗略的数值估计.12. 一束单一能量E 的非相对论中子打到一个厚度为t 的平板平面上，在这平板中。
第10章 波动学基础 习题答案
， 周期是T。 y A cos t 2
2 , ,3 2 ,2
（1）这四点与振源的振动相位差各位多少？
（2）这四点的初相位各为多少？
0 , 2 , , 3 2
（3）这四点开始运动的时刻比振源落后多少？
T 4 , T2 ,3 T 4 , T
10-14 两相干波源分别在P，Q两处，它们相距 3 2 ，发 出频率为
2 πx y 0 . 03 cos 1 . 6 x cos 550 t m 0.03cos cos 550 t 1 . 25 1 . 25
10-5 在平面简谐波的波射线上，A，B，C，D 各点距离波
4振动方程
、波长为
的相干波。R为PQ连线上的一
点，求下列两种情况下，两波在R点的合振幅。（1）设两
波源有相同的初相位；（2）两波源的初相位差为 3 2
。
P
Q
R
x A co 2 s t （1）P点波：y P 1 x 3 2 y A cos 2 t Q点波： Q 2
相位差为 。 2 ，∴R点合振幅为 A 1 A 2
10-15 两个波在一根很长的绳子上传播，它们的方程为
y 0 . 06 cos x 4 t y 0 . 06 cos x 4 t 2 1
2 x 2 x 0 . 06 cos 4 t y 0 . 06 cos 4 t y 2 1 2 2 2 x y y y 0 . 12 c os 4 t c os 1 2 2
10-16 绳子上的驻波由下式表示
y 0 . 08 cos 2 x cos 50 t
20220216物理波动学练习答案解析
2022年2月16日物理波动学1课后练习答案解析一、热力学回顾题1、一定量的理想气体在进行卡诺循环时，高温热源的温度为500K ，低温热源的温度为400K ，则该循环的效率为：（ ）（A ）56% （B ）34% （C ）80% （D ）20%2、根据热力学第二定律可知：（D ）。
（A ）功可以全部转换为热，但热不能全部转换为功（B ）热量可以从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体（C ）不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程（D ）一切自发过程都是不可逆的A 选项，开尔文说法，前半句是正确的，能实现，但会引起外界变化，B 也可实现，不可逆是不能完全重复正过程的每一步二、波动学课后练习3、一平面简谐波的表达式为 )3cos(1.0π+π-π=x t y (SI) ，t = 0时的波形曲线如图所示，则 （C ）(A) O 点的振幅为-0.1 m ．) (B) 波长为3 m ．(C) a 、b 两点间相位差为π21 ． (D) 波速为9 m/s ．A 选项，振幅为正，错误；与标准方程进行比对，求出波速、波长、振幅，相位差题目没有给出先后位置关系，看图，是1/4波长，相位差看图对应π/2，也可以用相位差公式2π*1/4λ/λ=π/2.4.两列频率不同的声波在空气中传播，已知频率Hz v 5001=的声波在其传播方向相距为l 的两点振动相位差为π，那么频率Hz v 10002=的声波在其传播方向相距为2/l 的两点的相位差为：（ B ）。
（A ）2/π（B ）π （C ）4/3π （D ）2/3π解析：波速取决于传播波的媒质的性质，两列频率不同的声波在空气中传播的波速相同。
波%20%1005004001%1001%1001%10012121=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯=T T Q Q Q W 净η速与波长和频率的关系为，在波动过程中，波线上二处质元的相位差为，频率的声波在其传播方向相距为的两点振动相位差，频率的声波在其传播方向相距为的两点的相位差，因此，选择答案B 。
20220321物理波动学值班练习答案
20220321物理波动学值班练习答案1、在下面几种说法中，正确的说法是：（C ）(A) 波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的．(B) 波源振动的速度与波速相同．(C) 在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后．(D) 在波传播方向上的任一质点的振动相位总是比波源的相位超前．解析：B ，振动速度方向时刻在变，波速则是振动的传播速度，与介质有关。
C 选项，波源是振动引起的根源，是最先震动的，其振动时间最长，相位最超前。
2、在简谐波传播过程中，沿传播方向相距为λ21（λ为波长）的两点的振动速度必定(A) 大小相同，而方向相反． (B) 大小和方向均相同．(C) 大小不同，方向相同． (D) 大小不同，而方向相反．［ A ］解析：半个波长就是反相，一个波长就是同相。
画一个波形图，也能看出来。
3、沿着相反方向传播的两列相干波，其表达式为)/(2c o s1λνx t A y -π= 和 )/(2c o s 2λνx t A y +π=． 叠加后形成的驻波中，波节的位置坐标为 （D ）(A) λk x ±=． (B)λk x 21±=． (C) λ)12(21+±=k x ． (D) 4/)12(λ+±=k x ．解析：这种考规律，带有K 变化的题，采用代入验证法最快又准，用K=0代入AB ，x 为同一个值，肯定答案不对，只需验证CD 。
4、沿着相反方向传播的两列相干波，其表达式为)/(2c o s1λνx t A y -π= 和 )/(2c o s 2λνx t A y +π=． 在叠加后形成的驻波中，各处简谐振动的振幅是(A) A ． (B) 2A ．(C) )/2cos(2λx A π． (D) |)/2cos(2|λx A π． ［ D ］解析：驻波的振幅是变化的。
驻波方程采用一分一合快速写出来，记住比较难。
5、一个余弦横波以速度u 沿x 轴正向传播，t 时刻波形曲线如图1所示．试分别指出图中A ，B ，C 各质点在该时刻的运动方向．A ____向下_________；B __向上___________ ；C _____向上“振向波向同侧法”是利用“质点的振动方向与波的传播方向都位于波形的同一侧”来分析判断波形问题的方法。
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1、频率为3000Hz 的声波，以1560m/s 的传播速度沿以波线传播，该声波的波长为（0.52m ）,同一波线上 相位差为2π的两点间的距离为（0.13m ）。
2、机械波的相干条件为（ 频率相同）、（振动方向相同）和（相位相等或相位差恒定）。
3、已知平面简谐波的波函数为()bx at A y -=cos （a, b 为正值），则…………（④）①波的频率为a ②波的传播速度为b/a
③波长为π/b ④波的周期为2π/a
4、关于驻波和行波的说法不正确的是………………………………………………（ ②） ①驻波中有些介质点始终不动。
②驻波中相邻两波节的距离是一个波长。
③行波波形随着波的传播向前移动。
④驻波的波形不沿介质前进。
5、（8分）一平面余弦波沿x 轴正向传播，其频率为100Hz ，振幅为1cm ，波速为400m/s ，如果波源位于原点，且以原点处质点经过平衡位置朝y 负方向振动的时刻为计时起点。
（1）写出该余弦波的波动方程；（2）写出该波走2s 后的波形方程。
解：（1）A=0.01m,ππνω2002==，c=400m/s ，根据题意，故可得2π
ϕ=。
波源的振动方程为[]ϕπ+=t y 200cos 01.0……………………………………（2分） 可得波动方程为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2400200cos 01.0ππx t y m …………………… （4分） （2）将t=2s 代入即可得波形方程为⎪⎭⎫
⎝⎛=x y 2sin 01.0πm. …………………（2分） 6、平面简谐波的波动方程为)2cos(λππx
t A y -=(SI 制)，已知x ＝2.5λ，则波源的振动
位相较该点的振动位相………………………………………………………………（④ ） ①、落后2.5π②、落后5π③、超前2.5π④、超前5π
7、下面对机械波描述不正确的是……………………………………………………（② ） ①、行波传播过程中，介质中质元的动能和势能是同相变化，而且是相等的。
②、驻波中有些介质点始终静止不动，相邻波节之间的距离是一个波长。
③、行波的波形随着波的传播向前移动，而驻波的波形不沿介质前进。
④、波在介质中的传播速度不同于介质中质元的振动速度。
8、一横波沿绳子传播时的波动表式为0.5(124)y cos t x ππ=-，计以计，
以s t m y x ,。
求此波的振幅、波速、频率和波长。
解：对比简谐波的波动表式02(,)cos(2)y x t A t x π
πγφλ=-+
其中A 为振幅；γ为频率；λ为波长。
故振幅0.5A m =………（2分）
2126Hz πγπγ=⇒=频率………………………………………………（2分）
240.5m π
πλλ=⇒=波长………………………………………………（2分） 波速 3/u m s γλ==…………………………………………………（2分）
9、当平面简谐波()x t y ππ01.05.2cos 20+= cm 传到x=100cm 处时，该处质点的振动速度为（ t ππ5.2sin 50(cm/s) ）。
10、（8分）一列平面简谐横波以400/m s 的波速在均匀介质中沿x 轴正方向传播，质点的振动周期为0.01s ，振幅为0.01m ，取在原点处质点经过平衡位置且向正方向运动时作为计时起点。
写出
（1）波动函数；
（2）距原点为2m 处的质点P 的振动表达式。
解：（1）当0000,00,0t x y v ===>时，，由此可得 原点振动的初相位12φπ=-………………………………（2分） 故原点的振动表式为00.01cos(200)2
y t m π
π=-……………（2分） 因此：波动表式为0.01cos[200()]4002
x y t m ππ=--………2分） （2）令2x m =
则距原点为2m 处的质点P 的振动表式 230.01cos[200()]0.01cos(200)40022
P y t m t m ππππ=--=-…（2分） 11、一平面余弦波沿x 轴向右传播，在t=0时，O 点处于平衡位置向下运动，P 点的位移为+A/2向上运动（向上为正），A 为振幅，P 点在O 点右方，且OP=10cm<λ，则该波的波长为………………………………………………………………………………………（④） ① 20cm ； ② 120cm ； ③ 12cm ； ④ 24cm 。
12、在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动……………………………………（ ② ） ①振幅相同，相相同； ②振幅不同，相相同；
③振幅相同，相不同； ④振幅不同，相不同。
13、已知波源的振动周期为4.00×10-2s, 波的传播速度为300ms –1, 波沿x 轴正方向传播，
则位于x 1=10.0m 和x 2=16.0m 的两质点振动相位差为（π ）。
13、同一媒质中两列频率相同的平面简谐波的强度之比为I 1:I 2=9，则两列波的振幅之比A 1:A 2为（ 3:1 ）。
14、（10分）一平面简谐横波沿着x 轴正方向传播，波线上每个质点的最大位移为3.0cm ，振动频率为100Hz ，两相邻波峰之间的距离为40cm ，当t=0时，在x=0处质元的位移为零并
向y 轴正向运动。
（1）试写出该波的波动表达式；
（2）求x=0.1m 处质点t=2s 时的振动位移。
解：（1）由题意可设该波的波动表达式为
])(cos[0ϕω+-=u
x t A y （2分） 由已知：A=0.03m ；λ=0.4m （1分）；ν=100Hz ；
由λν=u ，可得s m u /40= （1分）；
ππνω2002== （1分）；
已知t=0时，x=0处质元的位移为零，并向x 轴正向运动，由矢量图示法可知： ）或2
3(20ππ
ϕ-= （ 2分） 所以该波的表达式为 ]2)40(200cos[03.0ππ--
=x t y （ 1分） （2）由题意得
m y s t m x 03.0)1(03.0)cos(03.0]2)401.02(200cos[03.02,1.0-=-⨯=-=--
===πππ （ 2分）
15、（10分）一平面简谐波在t=0时刻的波形曲线如图所示，波速u=0.08m/s ，向x 轴正方向传播；求：
（1）原点O 处质点的振动方程；
（2）该波的波动方程。
解：（1）设O 点的振动方程为)cos()(0ϕω+=t A t y
由图中可以看出m A 04.0=， （1 分） m 4.0=λ，（1分） 则有
s s
m m u T
/4.0/08.04.0222ππλππω====
（1分） 因为0)0(0=y ，0)0(0<∂∂=t
y v 所以O 处的初相位为 2πϕ=； （1分） 故O 处的振动方程为
)24.0cos(04.0)(0π
π+=t t y （2分）
（2）该波的波动方程为
)
254.0cos(04.0]2
)(4.0cos[04.0),(π
ππππ+-=+-=x t u x t t x y （4分） 16、已知一波源位于x=5m 处，其振动方程为)cos(ϕω+=t A y m ，当这波源产生的平面简谐波以波速u 沿x 轴正向传播时，其波动方程为………………………………………（ ④ ） ①)(cos u
x
t A y -=ω； ②])(cos[ϕω+-=u x t A y ； ③])5(cos[ϕω++-=u x t A y ； ④])5(cos[ϕω+--=u
x t A y 。
17、两列完全相同的余弦波左右相向而行，叠加后形成驻波。
下列叙述中，不是驻波特性的是…………………………………………………………………………………………（ ④ ） ① 叠加后，有些质点始终静止不动；②叠加后，波形既不左行又不右行；
③两静止而相邻的质点之间的各质点的相位相同；④振动质点的动能与势能之和不守恒。
18、在驻波中，始终静止不动的各点称为（ 波节 ），振幅有最大值的各点称为（ 波腹 ）；两个相邻的始终静止不动的点之间的距离为波长的（ 1/2 ）倍。
19、一简谐波的波动方程为]4cos[π+
-=Cx Bt A y ，则该波的波长为（C π2 ），频率为（ π2B ），原点处质点初位相为（ 4
π）。