广州中考数学25一题多解

一题多解2019年广州中考第25题 1.题目（2019年广州中考数学第25题）

如图12，在四边形ABCD 中，BC AB D B o o ==∠=∠，，3060 （1）求C A ∠+∠的度数；

（2）连接BD ，探究CD BD AD ,,三者之间的数量关系，并说明理由。 （3）若1=AB ，点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足222CE BE AE +=，求点E 运动路径的长度。

2.解答

（1）o o D B 3060=∠=∠， o o D B C A 270-360=∠-∠=∠+∠∴

（2）

【解法1】

证明：将BCD ∆绕点B 逆时针旋转o 60到BAH ∆， 连接DH

则BAH BCD ∆≅∆

BDH ∆∴为等边三角形

【解法2】

将BAD ∆绕点B 顺时针旋转o 60到BCH ∆，

连接DH

易证HCD ∆是直角三角形

即可证明222CD AD BD +=

【解法3】

将BAD ∆绕点A 逆时针旋转o 60到H CA ∆，

连接DH

易证HCD ∆是直角三角形

即可证明222CD AD BD +=

【解法4】

将D B C ∆绕点C 顺时针旋转o 60到CH A ∆，

连接DH

易证D H A ∆是直角三角形

即可证明222CD AD BD +=

（3）

【解法1】

将BCE ∆绕点B 逆时针旋转o 60到'BAE ∆，则BCE ∆≅

'BAE ∆

若满足222CE BE AE +=，

∴点E 的运动路径为BC

【解法2】

将BCE ∆绕点C 顺时针旋转o 60到'C E A ∆，则BCE ∆≅'C E A ∆ 若满足222CE BE AE +=，

E

A B C D C D

∴点E 的运动路径为BC

3.相关练习

（1)在四边形ABCD 中，对角线AC 平分DAB ∠．

①如图甲，当120DAB ∠=︒，90B D ∠=∠=︒时，求证：AB AD AC +=； ①如图乙，当120DAB ∠=︒，B ∠与D ∠互补时，线段AB AD AC 、、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；

①如图丙，当90DAB ∠=︒，B ∠与D ∠互补时，线段AB AD AC 、、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．

答案：① 在四边形ABCD 中，

∵AC 平分DAB ∠，120DAB ∠=︒，∴60CAB CAD ∠=∠=︒． 又∵90B D ∠=∠=︒，∴30ACB ACD ∠=∠=︒，∴12

AB AD AC ==． 如图，以BC 为一边，在ABC △外侧作BCE ACD ∠=∠，

交AB 延长线于E ．

∵AC 平分DAB ∠，120DAB ∠=︒，

又∵ABC ∠与D ∠互补，

∵ABC ∠与CBE ∠是邻补角，

在ACE △中，60CAE ACE ∠=∠=︒，

∴ACE △是等边三角形，AC CE AE ==，

如图，以BC 为一边，在ABC ∆外侧作BCE ACD ∠=∠，

交AB 延长线于E ．

∵AC 平分DAB ∠，90DAB ∠=︒，

又∵ABC ∠与D ∠互补，

∵ABC ∠与CBE ∠是邻补角，

在ACE △中，9045ACE CAE ∠=︒∠=︒，

， ∴ACE △是等腰直角三角形，22AE AC CE ==， （2）等边ABC ∆的边长为6，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，连接AF ，BE 相交于点P ，若BE AF =，当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长。 答案：若BE AF =，由（1）可知，ACF B AE ∆≅∆或A B F B A E ∆≅∆，则会存在AE=CF

和BF AE =两种情况。

①当CF AE =时，

点P 的路径是一段弧，如图所示，当E 为AC 的中点的时候，点P 经过AB 的中点，此时AB F ∆为等腰三角形，且030BAP ABP =∠=∠，所以0120AOB =∠，因为6=AB ，所以32=AO ，故点P 的路径长为：πππ3

3418032120180o o o =⨯⨯==r n l 。 ①当B F AE =时，点P 的路径是过点C 向AB 作的垂线段的长度，因为AB=6，由勾股定理可得点P 的路径长为333622=-。

综上所述，点P 经过的路径长为π3

34或33。