网络动力学课件

2 k k k

利用上式，容易求得Θ (λ )，再代入(*)式可以解得ρ k。最终 的感染个体稳态密度ρ 则可由下式估算： 另外，由自治方程可得：1
k 2 P(k ) ( )[1 ]0 k k 1 k ( )

(**)

显然，该式存在一个平凡解Θ (λ )＝0。如果要使该方程存在 一个非平凡解，必须满足：
S (i) I ( j ) I (i) I ( j ), I (i) R(i)



用s(t)，i(t) ，r(t) 分布标记群体处于 S态、I态、R态的密度。 当易感人群和染病人群充分混合时，SIR模型的动力学可以 用下列微分方程组描述： ds(t )
i (t ) s(t ) dt di(t ) i (t ) s(t ) i (t ) dt dr(t ) i (t ) dt
[1 k (1 )] 0
d (t ) (t ) k (t )[1 (t )] dt


式中，ρ 为感染个体的稳态密度。可以解得，均匀网络流行 病传播的阈值为： 1
c
k

而且满足
0 c

为了刻画网络拓扑对流行病传播的影响，通常将节点按照 度来分组，相同度的节点成为一组。
本小节分别基于 SIS模型和SIR模型两种情形介绍非均匀网 络中的流行病传播规律。


1． 基于SIS模型的情形 设ρ k(t)表示t时刻度为k的节点组中感染节点的密度，则它 满足如下微分方程： 式中第一项为湮灭项，感染群体以单位速率减少(假设概率 β ＝1)；第二项为产生项，它正比于有效传播率、易感人群 的密度[1-ρ k(t)]、节点的度k以及任意邻居被感染的概率。 其中，任意邻居被感染的概率记作 Θ (ρ (t))，它表示从一个 度为k的节点连到度为任意k'的节点的联合概率p(k'|k)ρ k'(t) 的平均。从而上式可重新描述为：



6.1.1复杂网络上的流行病传播

流行病传播的速度很快，对社会的影响非常大，引起全社 会的极大关注，如网络病毒、人类社会中的SARS、性病、 艾滋病和谣言等等。 在复杂网络上，最近的理论和实验都表明流行病的传播阈 值与网络系统的尺寸(节点数)有着紧密联系。 在复杂网络传播动力学的研究中，传播阈值 λ c 是理论和实 验研究工作者特别关注的一个重要参量。对于尺寸非常大 的网络系统而言，如果流行病的传播概率大于该传播阈值， 那么受感染人数将占一个有限大小的比例，即传染病会爆 发且持续地存在；否则，受感染人数会呈指数衰减，其占 总人数的比例将接近于0，即传染病将会自然消失。


在真实系统中不同种类的传染病具有不同的传播方式， 研 究它们的传播行为通常采用不同的传播模型

SIS模型 描述像感冒这类治愈后患者不能获得免疫力的疾病。此外 计算机病毒也属于这一类型。个体分为两类：易感人群(S) 和染病人群(I)。 染病人群为传染的源头，它通过一定的概率λ 把传染病传给 易感人群。染病人群本身也有一定的概率u可以被治愈；易 感人群一旦被感染，就又变成了新的传染源。SIS模型的感 染机制可以用下式表示：

不同于SIS模型，这里传染效率是以最终感染人口 r∞(t趋于 无穷大时r(t)的值)来衡量的。

当λ ＜λ c 时，r∞在非常大的人口极限下为无穷小；而当 λ ＞ λ c时，疾病传播并感染有限比例的人群。在初始条件r(0)＝ k r ( t ) s ( t ) e 0与s(0)≈1下，由上式容易得到： 将此结果与约束条件式相结合，可得到总感染人数满足下 r 1 e k r 列自治方程： d
k
k

对于非关联网络，概率P(k'｜k)满足：
P(k | k ) k P (k ) k
1 k ( )

则Θ (λ )可以写成如下自治方程： 1 k P ( k ) ( ) ( ) P ( k | k ) k 1 k ( )


Baidu Nhomakorabea
均匀网络中存在一个传播阈值λ c。 当有效传播率λ 大于λ c时，感染个体能够将病毒传播扩散， 并使得整个网络中感染个体的总数最终稳定于某一平衡状 态，网络此时处于激活相态(active phase)； 当有效传播率λ 小于λ c时，感染个体的数量呈指数衰减，无 法大范围传播，网络此时处于吸收相态(absorbing phase)。 所以在均匀网络中，存在一个正的传播阈值以将激活相态 和吸收相态明确地分隔开。



不失一般性，令 β ＝1( 这种做法只是改变演化时间的尺度 ) ， 利用平均场理论，均匀网络中被感染个体的密度随时间的 演化满足如下方程： 式中第一项表示感染个体以单位速率减少 ( 因为假设概率 β ＝ 1) ，第二项表示单个感染个体产生的新感染个体的平均 密度，它与有效传播率、节点(个体)的平均度＜k＞及感染 节点与易感节点连接的概率ρ (t)[1-ρ (t)]成正比。
c c

由此可见，传播阈值与平均度成反比。这很好理解，因为 接触的人越多，被感染的几率就越大，故降低平均度是控 制传染病传播的一个有效手段。

2.基于SIR模型的情形 对于SIR模型来说，处于易感状态、感染状态和移除状态的 个体的密度s(t)、i(t)和r(t)满足如下约束条件：
S (i) I ( j ) I (i) I ( j ), I (i) S (i)



s(t)，i(t)分布标记群体中个体在时刻t处于S态和I态的密度， 当易感人群和感染人群充分混合时，其动力学可以用下列 微分方程组描述：
ds(t ) dt i(t ) s(t ) i(t ) di(t ) i(t ) s(t ) i(t ) dt
复杂系统与复杂网络——网络动力学

6.1复杂网络上的物理传输过程动力学 6.2网络的同步

6.1 网络上的物理传输过程动力学

复杂网络上的传播动力学问题是复杂网络研究的一个重要 方向。 主要研究社会和自然界中各种复杂网络的传播机理与动力 学行为以及对这些行为高效可行的控制方法。 复杂网络上的传播过程可以分为两类：不符合物质或能量 守恒的过程以及符合物质或能量守恒的过程。 首先介绍复杂网络上的流行病传播机理，接着介绍复杂网 络的免疫策略，然后介绍复杂网络上的舆论传播，最后介 绍复杂网络上的数据包传递机理和拥塞控制。


其他模型 SI 模型用于描述那些染病后不可能治愈的疾病，或对于突 然爆发尚缺乏有效控制的流行病，如黑死病及非典型肺炎。 也就是说，在 SI 模型中，个体一旦被感染就会永久处于感 染状态。 SIRS模型适合于描述免疫期有限或者说免疫能力有限的疾 病。与SIR模型不同的是，在SIRS模型中，处于移除状态的 个体(治愈后具有免疫力)还会以概率γ 失去免疫力。 SEIR模型适合于描述具有潜伏态的疾病，如季节性感冒。 与SIR模型不同，易感个体与感染个体接触后先以一定概率 α 变为潜伏态(E)，然后再以一定概率β变为感染态。



1． 基于SIS模型的情形 均匀网络中每个节点的度近似等于网络的平均度，即k≈＜ k＞。 对于SIS模型来说，在每一个时间步，如果网络中易感个体 至少和一个感染个体相连，则它被感染的概率为 α ；同时， 感染个体被治愈变为易感个体的概率为β。 为了便于研究，这里对 SIS 模型作了两个假设： (1) 均匀混 合假设：有效传染率λ 与系统中处于感染状态的个体的密度 ρ (t)成正比，即α 和β 都是常数。(2)假设病毒的时间尺度远 远小于个体的生命周期，从而不考虑个体的出生和自然死 亡。令有效传染率(或叫有效传播率)λ ＝α ／β ，它是一个非 常重要的参量。


均匀网中的流行病传播

按照度分布，复杂网络可以分为均匀网络和非均匀网网络。 均匀网的度分布范围不大，在某一平均值附近且度分布指 数衰减，如随机网络与小世界网络。 对于均匀网络，其传播动力学通常可以由平均场或均匀混 合方法给出。 本小节介绍均匀网络中的流行病传播规律，分别基于SIS和 SIR两种模型加以讨论。



为了得到非零解，必须满足下列条件：
d r
(1 e k r )
1
r 0
这个条件等价于限制λ ＞λ c，其阈值在这个特殊情形下取λ c ＝＜k＞-1。在λ ＝λ c处进行泰勒展开，可得传染效率为： r ( )
c

上面两种模型讨论可见：对于均匀网络，有效传染率存在 一个大于零的临界值，当有效传染率大于传播阈值时，疾 病可以在网络中传播，并可以持久的存在，当有效传染率 小于传播阈值，疾病则在网络中消亡。

随着时间进行，感染人数将逐步增加。经过充分长的时间 后，因为易感个体的不足使得感染个体也开始减少，直至 感染人数变为0，传染过程结束。 因此，SIR 模型在稳态时刻 t=T 的传染密度r(T) 和有效传染 率λ 存在着一一对应的关系，且r(T)可以用来测量传染的有 效率。当λ <λ c时感染无法扩散，而当λ >λ c时感染爆发。

此方程中存在一个阈值 λ c = α/β ，当 λ < λ c 时其定态解为 i(T)=0，而当λ >λ c时其定态解为i(T)>0，这里T为达到稳定 态的时间。

SIR模型 适合描述那些染病者在治愈后可以获得终生免疫能力的疾 病，如麻疹、腮腺炎、水痘、百日咳等，或者几乎不可避 免走向死亡的疾病，如艾滋病等。 人群分为三类：易感人群(S)、染病人群(I)和免疫人群(R)。 不同于SIS模型，这里染病人群将不再变为易感人群而是以 概率u变成免疫人群。在每一个给定的时间，个体处于三态 之一，其动力学方程如下：
非均匀网中的流行病传播

在无标度网络中，无论流行病的传染性是多么弱，流行病 仍然能够爆发并且持续的存在。 在无标度网络中，由于度分布满足幂律分布，一个随机选 取的节点倾向于连接关键节点或连接度大的节点，因此度 大的节点就容易感染，然后作为种子去感染其他人，从而 导致比均匀网络上更快的流行病传播。

d k (t ) k (t ) k [1 k (t )]( (t )) dt
d k (t ) k (t ) k [1 k (t )] P( k | k ) k (t ) dt k


设ρ k为度为k的节点组中感染个体的稳态密度。显然，ρ k只 是 λ 的函数，因而稳态时相应地概率 Θ 也变为 λ 的隐函数。 利用稳态条件 t(t) 0 可得： k ( ) (*)


流行病传播的基本模型

需要采用不同的数学模型来表征不同的传播规律，它们是 复杂网络传播动力学研究的基础。 传播模型中的每一类个体都处于同一种状态。基本状态包 括：易感状态(S)，即健康的状态，但有可能被感染；感染 状态(I)，即染病的状态，具有传染性；移除状态(R)，即感 染后被治愈并获得了免疫力或感染后死亡的状态。处于移 除状态的个体不具有传染性，也不会再次被感染，即不再 对相应动力学行为产生任何影响，可以看作已经从系统中 移除。
s (t ) i (t ) r (t ) 1

同样令λ ＝α ／β ，β ＝1(这种做法只是改变演化时间的尺度 ) ，在与 SIS 模型相同的假设条件下，易感个体、感染个体 和免疫个体(处于移除状态的个体)的密度满足：
d s(t ) d t k i (t ) s (t ) d i (t ) k i (t ) s (t ) i (t ) d t d r (t ) i (t ) dt