北师大版初一数学(上)讲义

北师大版初一数学(上)讲义
一、字母表示什么
字母可以表示任何数。

1、用字母表示数的运算律和公式法则
1加法交换律加法结合律○
2乘法交换律○
乘法分配律2、用字母表示计算公式
1长方形的周长面积（a、b分别为长、宽）○
2正方形的周长，面积a表示边长）○
3长方体的体积，表面积a、b、c分别为长、宽、高）○
4正方体的体积,表面积a表示棱长）○
5圆的周长面积（r为半径）○
6三角形的面积（a表示底边长，h表示底边上的高）○
3、在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。

用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。

4、注意书写格式的规范
(1) 表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“”，但通常省略不写；
数字与数字相乘必须写乘号；
(2) 数和字母相乘时，数字应写在字母前面；(3) 带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数；
(4) 除法运算写成分数形式，分数线具“÷ ”号和“括号”的双重作用。

(5) 在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加
括号后再写单位。

二、代数式
1、代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫代数式。

如：n-2 、0.8a、2n +500、abc、2ab+2bc +2ac （单独一个数或一个字母也是代数式）列代数式时，数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常用表示或省略不写，并且把数字写在字母的前面，除法运算通常写成分数的形式。

2、单项式：表示数与字母的积的代数式叫单项式。

单独一个数或一个字母也是单项式。

其中的数字因数（连同符号）叫单项式的系数，所有的字母的指数的和叫单项式的次数。

①书写时，系数是1的时候可省略；② 是数字，不是字母。

3、多项式：几个单项式的和叫多项式，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。

每个单项式称为项。

4、单项式多项式统称为整式。

【典型例题】
列代数式表示（注意规范书写）
1、某商品售价为a元，打八折后又降价20元，则现价为_____元
2、橘子每千克a元，买10kg以上可享受九折优惠，则买20千克应
付_________元钱. 3、如图，图1需4根火柴，图2需____根火柴，图3需____根火柴，图n需____根火柴。

（图1）（图2）（图n）4、温度由t℃下降3℃后是
_____________℃.
5、飞机每小时飞行a千米，火车每小时行驶b千米，飞机的速度是火车速度的_______倍.
6、无论a取什么数，下列算式中有意义的是（）A.
1
a 1
B.
1 a
1
C. a 1
2
D.
1
2a 1
7、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为a，排数比每排同学数的3倍还多2，那么全班同学数为（）
3a 2 A. a
B. a(3a 2)
C. a 3a 2
D. 3a(a 2)
填空
x2y① 的系数为_______，次数为_______；
3
②3a 2b2的次数为______ ；ab2的系数是；③ x2的系数是
1
④ x2的系数是
2
⑤代数式5x y x2 x 1有项，第二项的系数是，第三项的系数是，第四项的系数是
【例3 】下列不是代数式的是（）
s
A . 0
B .
C . x 1
D . x 0.1y2
t
用代数式表示
①一个两位数的个位是a，十位是b，用代数式表示这个两位数。

(思考三位数或更多位数的数怎么表示？）
②全体奇数、偶数。

③被5除余1的数。

用语言描述以下代数式的意义① 3a 2b；②
将下列语句转换为代数式
①a除以b与c之和的商加上b与c之积的和②a减去a与b的商的差与c的平方的积
aa ba；③；④(a b)c ；
bca ba b
三、合并同类项
1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

①两个相同:字母相同；相同字母的指数相同. ②两个无关:与系数无关;与字母顺序无关. 如：100a和200a，240b和60b，-2ab和10ba 2、合并同类项法则
（1）写出代数式的每一项连同符号，在其中找出是同类项的项；
（2）合并同类项：同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变. （3）不同种的同类项间，用“+”号连接
（4）没有同类项的项，连同前面的符号一起照抄。

例如：合并同类项3x2y和5x2y，字母x、y及x、y的指数都不变，只要将它们的系数3和5相加，即3x2y+5x2y=（3+5）x2y=8x2y．3、合并同类项的步骤（1）准确的找出同类项；
（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起；（3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；（4）写出合并后的结果. 4、注意
（1）不是同类项不能合并；
（2）求代数式的值时,如果代数式中含有同类项,通常先合并同类项再代入数值进行计算. 【典型例题】
判断下列各组中的两个项是不是同类项：
25
（1）a2b和a2b （2）2m2np和pm2n (3) 0和1
37
下列各组中：
1111
①5x2y与xy；② 5x2y与yx2；③5ax2与yx2；④83与x3；⑤ x2与x2；⑥3x2
2555
与x；⑦3x2与2，同类项有（填序号）
1111
如果xky与-x2y是同类项，则k=______，xky+（-x2y）=________．3333
直接写出下列各式的结果：
11
xy+xy=_______；（2）7a2b+2a2b=________；22
11
（3）-x-3x+2x=_______；（4）x2y-x2y-x2y=_______；
23
（1）-
（5）3xy2-7xy2=________．合并下列多项式中的同类项．
（1）4x2y-8xy2+7-4x2y+10xy2-4；（2）a2-
2ab+b2+a2+2ab+b2．
（3）3x2 5x 6x2 1 （4）6xy2 2x2 4x2y 5yx2 x2
1
若x 0,y 0，xy2 axy2 0，则a 2
四、去括号法则1、去括号法则
①括号前是“+”号，把括号和前面的“+”号去掉，括号里的各项的符号都不改变。

②括号前是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里的各项的符号都要改变。

2、去括号法则中乘法分配律的应用：若括号前有因式，应先利用乘法分配律展开，同时注意去括号时符号的变化规律。

3、多重括号的化简原则：（1）由里向外逐层去掉括号（2）由外向里逐层去掉括号；【典型例题】
一个两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字2倍少3，这个两位数是去括号，合并同类项
（1）－3（2s－5）+6s (2)3x－[5x－（x－4）]
（3）6a2－4ab－4(2a2+ ab) （4）3(2x2 xy) 4(x2 xy 6)
（5）(x y) (x y) （6）2(m n) 3(m x) 2x
1
2
12
（7）2x2 3x 1 (5 3x x2) （8）(2a2
11
3a) 4(a a2 ) 22
111
（9）a (5a 3b) 2( a 2b) （10）m2n nm2 mn2 n2m
326
五、代数式求值――先化简，再求值代数式求值：
1）用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算，所得的结果是代数式的值。

2）求代数式的值时应注意以下问题: ①严格按求值的步骤和格式去做．
②一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值代替，若有多个字母，代入时要注意对应关系，千万不能混淆．
③在代入值时，原来省略的乘号要恢复，而数字和其他运算符号不变；④字母取负数代入时要添括号。

⑤有乘方运算时，如果代入的数是分数或负数，要加括号。

【典型例题】
1(x y)222
当x=，y=-3时，求下列代数式的值:（1）3x-2y+1；（2）
3xy 1
当x 2时，求代数式5x (4x 1)的值
已知a，b互为倒数，m，n互为相反数，求代数式(2m 2n 3ab)2的值
化简，求值：
*****
①x 2(x y2) ( x y2),其中x 2,y *****
12
②9ab 6b2 3(ab b2) 1，其中(a )4 99|b 1| 0
23
课后针对训练（一）
1、甲乙两地相距x千米，某人原计划t小时到达，后因故提前1小时到达，则他每小时应比原计划多走千米；
2(a b)2
2、代数式3xy 2 x的次数是的系数是5
2
2
3、当x - y=2时，代数式（x - y）2+2（x - y）+5的值是
_______．4. 已知4 y 2 ― 2y + 5=9时，则代数式2 y 2 ― y + 1等于
_______．5.已知│a-1│+(2a-b) 2=0,那么3abC15b 2-6ab+15a-2b 2等于_______．
1x2 4xy22
6、当x=3，y=时，求下列代数式的值:（1）2x-4xy+4y；（2）2
22xy y11
7、小明读一本共m页的书，第一天读了该书的，第二天读了剩下的．
35
（1）用代数式表示小明两天共读了多少页．（2）求当m=120时，小明两天读的页数．8、当x= -1,y= -2时，求2x2 -5xy+2y2 -x2-xy-
2y2-3x2的值。

1
9、.去括号(a2b 2ab2 3) 1 2( 3a2 4ab )
3
10、a 2b 3c的相反数是（）
A. a 2b 3c
B. a 2b 3c
C. a 2b 3c
D. a 2b 3c 11、化简2a－5(a＋1)的结果是（）A．－3a＋5 B．3a－5 C．－3a－5 D．－3a－1 12．求下列多项式的值:（1）
*****a-8a-+6a-a2+，其中a=；*****
（2）、3xy+2xy-7xy-
13、先化简，再求值。

2222
3122
xy+2+4xy，其中x=2，y=．24
（1）（5a2－3b2）＋(a2－b2)－(5a2－2b2) 其中a=－1，b＝1
（2）9a－[－6a＋2（a－a）] 其中a=－2
14、（1）已知一个多项式与a2－2a+1的和是a2 +a－1，求这个多项式。

（2）已知A=2x2＋y2+2z,B=x2－y2 +z ,求2A－B
3
2
3
2
3
2
课后针对训练（二）
1．将如图两个框中的同类项用线段连起来: 2．当m=________时，-x3b2m与
13
xb是同类项．4
3．如果5akb与-4a2b是同类项，那么5akb+（-4a2b）=_______．第1题
4、下列各组中两项相互为同类项的是（）
22
xy与-xy2; B．0.5a2b与0.5a2c; 3
1
C．3b与3abc; D．-0.1m2n与m2n
2
A．
5、下列说法正确的是（）
A．字母相同的项是同类项B．只有系数不同的项，才是同类项
C．-1与0.1是同类项D．-x2y与xy2是同类项6、合并下列各式中的同类项:
（1）-4xy-8xy+2xy-3xy；（2）3x-1-2x-5+3x-x；
（3）-0.8a2b-6ab-1.2a2b+5ab+a2b；（4）5yx-3x2y-7xy2+6xy-12xy+7xy2+8x2y．
（5）2（x - y）2―3（x - y）+5（x - y）2 + 3（x - y）
7、先化简，再求值
2
2
2
2
2
2
2(a2b ab2) 2(a2b 1) 2ab2 2，其中,a 2,b 2
8、已知（a－2）2＋+1＝0，求5ab2－[2a2b－（4ab2－2a2b）]的值。

课后针对训练（三）
1、代数式
1
xy的系数是________________. 2
2、2ab 的系数为
3、化简：2y2 6y 3y2 5y=_____________
4、下列各题中，去括号正确的是（）
A. 2a2 (3a 2b c) 2a2 3a 2b c
B. 3a (5b 2c 1) 3a 5b 2c 1
C. a ( 3x 2y 1) a 3x 2y 1
D. (a 2b) (c 2) a 2b c 2 5、a 2b 3c的相反数
是（） A. a 2b 3c
B. a 2b 3c
C. a 2b 3c
D. a 2b 3c
6、计算：5(2x 7y) 3(4x 10y)
7、计算22 3 1 1
3
4
5
1
8、计算16 ( 22) ( ) ( 2)2
4
9、长方形的一边长为3a 2b，另一边比它大a b，求这个长方形的周长。

能力提升
能力提升1：用字母表示数
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第12 页
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能力提升2：图形关系的代数表示
有些数量关系表现为图形中的数量关系，如果能将这些关系表示为代
数式，这样就初步地实现了数与形相结合，抽象与直观相结合，对培养数学能力是非常重要的。

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第16 页
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能力提升3：由代数式展开的推理
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第19 页
能力提升4：求代数式的值
用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．求下列代数式的值：（1）5ab 4
2
*****
ab 2ab a3b2 2ab a2b 5，其中a 1,b 2；2424
2
2
2
2
（2）3xy {xyz (2xyz xz) 4xz [3xy (4xyz 5xz 3xyz)]}，其中x 1,y 2,z 3. 分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、
法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．
=0-4a3b2-a2b-5
=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5 =-16+2-5=-19．
(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2z[3x2y-(xyz-5x2z)] =3x2y-
xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)
=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) =2xyz-2x2z
=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3) =12+6=18．
说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．已知a b 1，求a 3ab b的值．分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．
解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3
=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3 =-1．
说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2 因为a-b=-1，所以
原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab =-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab =-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2 =-(-1)2=-1．
说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 =(-1)3=-1．
说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-
3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-
1)3=1，即a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以a3-b3-3ab(-1)=-1，即a3-b3+3ab=-1．
说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法5 a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab =(a-b)3+3ab(a-b)+3ab =(-1)3+3ab(-1)+3ab =-1．
说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：
(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ；
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；。