环形路上的行程问题1

• 练习1甲乙两人在400米的环形跑道上跑步， 两人朝相反的方向跑。两人第一次和第二 次相遇间隔40秒，已知甲每秒跑6米，乙每 秒跑多少米？
甲乙两人从第一次到第二次相遇共走： 400米 400÷40=10（米/秒）
10－6=4（米/秒） 答：乙每秒跑4米。
练习2.甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙 同时反方向跑，每隔15秒与甲相遇一次。 问乙跑完一圈用多少秒？
100米
• 当甲跑的800米时用时： 800÷7+5×7≈149.28（秒）又离开A点。 而乙到达A点再离开时用时： 600÷5+5×6=150（秒） 因此：从起跑到149.28秒至150秒的间隔内甲 乙都在A点。 所以：甲第一次追上乙，此时乙跑了600米。
例6 已知等边三角形ABC的周长为360米，甲从A点出发，按 逆时针方向前进，每分钟走55米，乙从BC边上D点（距C点30 米）出发，按顺时针方向前进，每分钟走50米。两人同时出发， 几分钟相遇？当乙到达A点时，甲在哪条边上，离C点多远？
小军：
●
C
A
C D走了50米的3倍。 50×3=150（米）
半周：150－BD(30米)
周长（150－30）×2=240（米） 答：这个花园一周长240
随堂练习2
A、B是圆直径的两端点，亮亮在点A，明明在点B， 相向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点100米； 在D点第二次相遇，D点离B点，求圆的周长
练习8.在400米环形跑道上，A、B两点相距100米。 甲乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方 向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人跑 100米，都要停10秒。那么甲追上乙需要多长时 间？ 分析： 如果不考虑休息时间则甲追 上乙需要： 100÷（5-4）=100（秒） 100秒甲跑了： 5×100=500（米） 甲共休息了： 5-1=4（次）4×10=40（秒） 100秒乙跑了： 4×100=400（米） 乙共休息了：4×10=40（秒） 所以甲追上乙需要100+40=140秒。
五年级数学思维培优专项训练
第四讲
环形路上的行程问题
环形道路上的行程问题本质上讲就是 追及问题或相遇问题。当二人或二物 同时运动时就是追及问题，追及距离 是二人初始距离及环形道路之长的倍 数之和；当二人或二物反向运动时就 是相遇问题，相遇距离是二人从出发 到相遇所行路程和。
追及问题
• 相差路程÷速度之差=追上时间 • 追上时间×速度之差=相差路程 • 相差路程÷追上时间=速度之差
• 练习13小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖 而行。小张速度是5.4千米/时，小王的速度是4.2千米/时， 他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后 小张与小李相遇，再过5分钟，小李与小王相遇。那么绕 湖一周的行程是多少千米？ 分析：半小时后小王落后小张： 5.4×0.5－4.2×0.5=0.6（千米）
相遇问题
• 速度之和×相遇时间=相遇路程 （路程之和） • 相遇路程÷相遇时间=速度之和 • 相遇路程÷速度之和=相遇时间
例1 如图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。 甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同 向出发，45分钟后甲追上了乙。如果两人同时同地反向 而跑，经过多少分钟后两人相遇？
解：设乙跑完一圈用x秒。 1 40
+
1 x
=
1 15
X=24
答：乙跑完一圈用24秒。
练习题3 甲乙从360米的环形跑道上的同一地点同向跑 步。甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米。 两人起跑后，第一次相遇在离起点多少米 处？ 360÷（305－275）=12（分） 甲：305×12=3660（米） 共跑的圈数：3660÷360=10（圈）……60（米）
小王和小李5分钟共走了0.6千米。 小王和小李从出发到相遇共用：30+5=35（分钟） 绕湖一周的路程：
0.6×（35÷5）=4.2（千米）
7 一个圆的周长为1.44米，两只蚂蚁从一条直径的两端 同时出发，沿圆周相向爬行。1分钟后它们都调头而行， 经过3分钟，它们又调头而行，依次按照1、3、5、7、… （连续奇数）分钟调头爬行。这两只蚂蚁每分钟分别爬 行5.5厘米和3.5厘米，那么，经过多少时间，它们初次相 遇？再次相遇需要多少时间？
分析：
A B
半圆的周长：1.44÷2=0.72米=72厘米 如果不折返：72÷（5.5+3.5）=8分钟 折返情况如下表：
经过时间（分） 在上半圆爬行时间
在下半圆爬行时间
1
1
3
2
5
3
7
4
9
5
11 13 15 7
6 8
所以在15分钟的那次爬行中，两只蚂蚁在下半圆爬行刚好都是8分钟。
• 则它们从出发到初次相遇经过的时间是： • 1+3+5+7+9+11+13+15=64分钟 • 第一次相遇在下半圆，折返向上半圆爬去，须爬 行17分钟。去掉在下半圆的8分钟，在上半圆须 爬行17－8=9分钟。但在上半圆爬行8分钟就会相 遇，因此总时间用去了8+8=16分钟。 • 即：在第一次64分钟相遇后再过16分钟第二次相 遇。 • （相遇位置在上半圆）
练习7.绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一 地点同时出发 ，反向而行，小王以4千米/时的速 度每走1小时后休息5分钟；小张以6千米/时的速 度每走50分钟后休息10分钟。问两人出发后多少 时间第一次相遇？ 分析： 假设小王走了2小时10分：4×2=8（千米） 小张在这段时间走了： 2×[ (60－10)÷10]+1=11（千米） 此时两人相距：24－8－11=5（千米） 则现在相遇时间：5÷（6+4）=0.5（小时）=30分 第一次相遇时间：2小时10分+30分=2小时40分。
练习10.在周长为200米的圆形跑道一条直径的两端， 甲乙两人分别以6米/秒，5米/秒的速度同时同向 出发，沿跑道行驶。问：16分钟内甲追上乙多少 次？ 分析： 16分钟=960秒 甲 乙 16分钟甲比乙多走：
960÷（6－5）=960米
第一次追上乙只有100米。 以后每一次追上要200米。
所以16分钟内可以追上：
甲乙两人的相遇时间： （360÷3×2－30）÷（55+50）=2分 乙从D到A用的时间： 210÷50=4.2(分) A 乙到A点时甲走的路程： 甲 55×4.2=231(米) 这时甲在BC边上，离C点的距离：
C D
90m
B
360÷3×2－231=9(米)
随4 .三个环形跑道相切排列，每个环形跑道的周长均为210 厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示的方向出 发，甲爬虫绕1、2号环形跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫 绕3、2号环形跑道作“8”字形循环运动，甲、乙两只爬虫的 速度分别是每分钟20、15厘米。问甲、乙两爬虫第二次相遇 时，甲爬虫爬了多少厘米？ 1 2 3 D B ● ● ● … A C • 分析： • 甲乙爬虫第一次相遇时，它们位于2号环形道的上方。 它们共爬行了3个“半环形”。 • 第二次相遇时它们共爬行了5个“半环形”。 • 则相遇时间是：210÷2×5÷（20+15）=15（分） • 即：甲爬虫爬行了：20×15=300（米）
经过时间（分） 在上半圆爬行时间 在下半圆爬行时间
答：第一次相遇在离起点60米处。
练习4.有一条长500米的环形跑道。甲乙两人同时从 跑道上某一点出发，反向而跑，1分钟后相遇；如 果两人同向而跑，则10分钟后相遇，已知甲跑的 比乙快，问甲乙两人每分钟各跑多少米？ 甲乙速度之和：500÷1=500（米/分） 甲乙速度之差：500÷10=50（米）
甲： （500+50）÷2=275（米/分） 乙： 500－275=225（米/分）
随1.甲、乙两运动员在周长为400米环形跑道上 同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米， 甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米 处。问几分钟后，甲第1次追上乙？ 同一点出发，
●
乙
距离差=跑道长
●
甲
甲的速度：80×1.25=100米/分 （400－100）÷（100－80）=15（分） 答：15分钟后，甲第一次追上乙。
亮：
D
A
C
D走了100米的3倍。 100×3=300（米）
半周：300－BD(80米)
周长（300－80）×2=440（米）
●
●
●
●
第1次相遇两人合起来走了 半周长，从C点开始到D点 相遇两人共走了一周长，两 次共走了一周半。
A
●
C
B
例3 如图，一个边长为100米的正方形跑道。甲从 A点出发，乙从C点出发都逆时针同时起跑，甲的 速度每秒7米，乙的速度每秒5米。他们拐弯处都 要停留5秒，当甲第一次追上乙时，乙跑了多少 米？ A D 甲乙相距200米（相差距 甲 离）。且甲第一次追及乙要 7米/秒 多拐两个弯。即要多休息 5+5=10秒钟。 100米 乙 5米/秒 B C 甲走的路程－乙走到路程=200米 解：设甲纯跑步时间为x秒。则乙跑步的时间为x+10秒。 7x－5（x+10）=200 x=125 甲跑的路程是：125×7=875（米）
练习6.小明在360米长的环形跑道上跑了一圈。已知 他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米， 那么小明后一半路程用了多少秒？ 解：设小明跑一圈用x秒。
(x÷2) ×5+(x÷2) ×4=360
X=80 前一半用时：180÷5=36（秒） 后一半用时：80－36=44（秒）
答：小明后一半路程用了44秒。
例2 下图是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端。 小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩 第1次在C点相遇，C点离A有50米；第2次在D点相遇， D离B有30米。问这个花园一周长多少米？
●
D
●
A
●
●
B
小勇
小军
第1次相遇两人合起来走 了半周长，从C点开始到 D点相遇两人共走了一周 长，两次共走了一周半。
乙 甲 200／分 乙甲 200／分 250／分
250／分
同一点出发， 距离差=跑道长
（ 2）
（ 1）
•追上时间×速度之差=相差路程 （跑道长） 跑道长：45×（250－200）=2250（米） •相遇路程÷速度之和=相遇时间 相遇时间：2250÷（250+200）=5（分钟） 答：经过5分钟两人相遇。
（960－100）÷200=4（次）……60（米）
4+1=5（次）
• 练习11如图：某单位围墙外面的小路 是边长300米的正方形，甲乙两人分 别从两个对角处沿逆时针方向同时出 发。已知甲每分钟走90米，乙分钟走 70米，问至少经过多长时间甲才能看 到乙？
甲
乙Leabharlann 分析： 甲追上乙一条边的时间：
300÷（90－70）=15（分）
15分钟甲走了：90×15=1350（米） 走的边数： 1350÷300=4.5（条） 两人相差一 条边的距离 70 × 15=1050 （米） 15分钟乙走了： 走的边数： 1050÷300=3.5（条） 甲只要再走0.5条边就和乙在同一条边上了。 就能看到乙了。经过的时间：300×5÷90=16分40秒。
9、如图，在一圆形跑道上。小明从A点出发，小强从B点同 时出发，相向行走。6分钟后，小明与小强相遇，再过4分 钟，小明到达B点，又再过8分钟，小明与小强再次相遇。 问小明环形一周要多少时间？
分析： 小明走4分钟的路程相当于 小强走6分钟的路程。 从第一次相遇到第二次相遇小明走了： 4+8=12（分） 小明走12分钟，小强同样也走12分钟，但小强走 12分钟的路程，小明只需走8分钟。 所以小明走一周要：12+8=20（分钟）
答：甲每分钟跑275米，乙每分钟跑225米。
5.甲乙两人同时从A点反向出发，沿400米环形跑道 行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，这两 人至少用多少分钟再在A点相遇？ 甲走一圈的时间：400÷80=5（分） 乙走一圈的时间：400÷50=8（分） 因为5和8的最小公倍数是40. 所以两人至少用40分钟再在A点相遇。
• 练习12在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同 时出发，反向而行，8分钟后两人相遇。再过6分 钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，甲环形 一周需要多少分钟？ 分析：因为第一次相遇到第二次相遇用时： 10+6=16（分钟） 从出发到两人第一次相遇用了8分钟。所以两 人共行了半圈，即A到B是半圈。 甲走半圈共用了： 8+6=14（分钟） 甲环形一周用时： 14×2=28（分钟）