高中数学必修三进位制 (2)
高中数学必修三课件(3进位制)
110
101
100
1.除K取余法（十转二）；
() =1× + 0× + 0× + 0× = ()
() =1× + 1× + 1× = ()
() =1× + 1× + 0× = ()
() =1×
示的数。
它的基数为2，进位规则是“逢二进
一”，借位规则是“借一当二”，
由18世纪德国数理哲学大师莱布尼
兹发现。
当前的计算机系统使用的基本上是
二进制系统。
十六进制，我最爱的手游“足球经
理2020移动版”
数字电路用0和1表示开关、是否
如：存储大小
1T=1024G=
能利用数据库编辑器修改各项数据对
+
1× =
() =1× = ()
()
11
10
1
十进制
二进制
0
二进制
位权
2.加权求和法（二转十）
() =1× + 0× + 0× + 0× = ()
2 8
2 4
22
21
0
余数
0
0
0
1
2 7
2 3
21
20
余数
1
1
1
例题讲解
∵ () < ()
∴ () < ()
导图小结
框图
语句
含义
算法
进位制
逢n进一
十进制转
其他进制
除K取余法
其他进制
转十进制
加权求和法
高中数学必修三第一章09秦九韶算法与进位制
高中数学必修三第一章09秦九韶算法与进位制一、引言进位制是现代数学的基础之一，我们所使用的十进制数即是以10为基数的进位制。
而在高中数学必修三第一章中，也介绍了中国古代的一种进位制算法，秦九韶算法，用于做乘法运算。
本文将介绍秦九韶算法与进位制的相关内容。
二、进位制的基础进位制是指一种数的表示方法，采用固定的数字符号和固定的位权，每增加一个位权，数字符号变化一次。
在十进位制中，数字符号为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，位权从右到左依次为1、10、100、1000...，而各个位上的数字符号乘以相应的位权相加即可得到整个数的值。
例如，数1234的表示方式为：(1*1000)+(2*100)+(3*10)+(4*1)=1234进位制的特点是能够方便地进行乘法、除法和算术运算，因此在数学中得到广泛应用。
三、秦九韶算法的定义秦九韶算法，又称秦九韶势算法，是中国古代的一种进位制乘法运算方法，被广泛应用于古代的大量算术题目和通用计算。
其基本思想是将待乘数按照位权展开，然后进行分段相乘在求和的操作。
四、秦九韶算法的步骤1.将被乘数按照位权展开，将每一位上的数乘以相应的位权。
例如，对于被乘数为A=1234，展开后为：A=(1*1000)+(2*100)+(3*10)+(4*1)=1000+200+30+42.将乘数按位权展开。
例如，对于乘数为B=5678，展开后为：B=(5*1000)+(6*100)+(7*10)+(8*1)=5000+600+70+83.分段相乘并求和。
将A和B的每一位进行相乘，然后求和。
五、秦九韶算法的优点1.简单方便：秦九韶算法将乘法运算简化为分段相乘和求和，相对于纯手工计算乘法步骤较为简单，易于操作。
2.提高效率：乘法是基本的数学运算之一，而秦九韶算法能够提高乘法运算的速度和效率，节省计算时间。
3.通用性强：秦九韶算法适用于任意大小的数，无论是小数或大数之间的乘法运算。
六、秦九韶算法的应用秦九韶算法不仅仅在古代被广泛应用于计算、商业和实际生活中的数学问题，同时也是其他进位制乘法算法的基础。
进位制 人教版高中数学必修3教材教案
第3课时案例3 进位制授课时间：第周年月日（星期）导入新课情境导入在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制.提出问题（1）你都了解哪些进位制？（2）举出常见的进位制.（3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法.（4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：（1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等等.也就是说：“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都是大于1的整数）就是几.（2）在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.（3）十进制使用0~9十个数字.计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几，就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位……例如：十进制数3 721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一.于是，我们得到下面的式子：3 721=3×103+7×102+2×101+1×100.与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同.如二进制用0和1两个数字，七进制用0~6七个数字.一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n-1…a1a0（k）（0＜a n＜k，0≤a n-1，…，a1，a0＜k).其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，如110 011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20，7 342（8）=7×83+3×82+4×81+2×80.非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：a n a n-1…a1a0(k)=a n×k n+a n-1×k n-1+…+a1×k+a0.第一步：从左到右依次取出k进制数a n a n-1…a1a0(k)各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即a n×k n,a n-1×k n-1,…,a1×k,a0×k0；第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数.（4）关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其他进制之间的转换.这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.1°十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”.2°非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁.教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先由二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数.应用示例思路1例1 把二进制数110 011(2)化为十进制数.解：110 011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.强调：先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果.变式训练设计一个算法，把k进制数a（共有n位）化为十进制数b.算法分析：从例1的计算过程可以看出，计算k进制数a的右数第i位数字a i与k i-1的乘积a i·k i-1，再将其累加，这是一个重复操作的步骤.所以，可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步，输入a，k和n的值.第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1.第三步，b=b+a i·k i-1，i=i+1.第四步，判断i＞n是否成立.若是，则执行第五步；否则，返回第三步.第五步，输出b的值.程序框图如下图：程序：INPUT “a,k，n=”；a，k，nb=0i=1t=a MOD 10DOb=b+t*k^（i-1）a=a\\10t=a MOD 10i=i+1LOOP UNTIL i＞nPRINT bEND例2 把89化为二进制数.解：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数.具体计算方法如下：因为89=2×44+1，44=2×22+0，22=2×11+0，11=2×5+1，5=2×2+1，2=2×1+0，1=2×0+1，所以89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1=2×（2×（2×（2×（22+1）+1）+0）+0）+1=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1 011 001(2).这种算法叫做除2取余法，还可以用右面的除法算式表示：把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到89=1 011 001(2).上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法.变式训练设计一个程序，实现“除k取余法”.算法分析：从例2的计算过程可以看出如下的规律：若十制数a除以k所得商是q0，余数是r0，即a=k·q0+r0，则r0是a的k进制数的右数第1位数.若q0除以k所得的商是q1，余数是r1，即q0=k·q1+r1，则r1是a的k进制数的左数第2位数.……若q n-1除以k所得的商是0，余数是r n，即q n-1=r n，则r n是a的k进制数的左数第1位数.这样，我们可以得到算法步骤如下：第一步，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k.第二步，求出a除以k所得的商q，余数r.第三步，把得到的余数依次从右到左排列.第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全部余数r排列得到的k进制数.程序框图如下图：程序：INPUT “a，k=”；a，kb=0i=0DOq=a\\kr=a MOD kb=b+r*10^ia=qLOOP UNTIL q=0PRINT bEND思路2例1 将8进制数314 706(8)化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序.解：314 706(8)=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104 902.所以，化为十进制数是104 902.强调：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314 706(8)化为十进制数.例2 把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.解：具体的计算方法如下：89=3×29+2，29=3×9+2，9=3×3+0，3=3×1+0，1=3×0+1，所以:89(10)=10 022(3).强调：根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所得的商，然后按倒序的顺序取出余数组成数据即可.知能训练将十进制数34转化为二进制数．分析：把一个十进制数转换成二进制数，用2反复去除这个十进制数，直到商为0，所得余数（从下往上读）就是所解：即34(10)=100 010(2)拓展提升把1 234(5)分别转化为十进制数和八进制数．解：1 234(5)=1×53+2×52+3×5+4＝194．则1 234(5)=302(8)所以，1 234(5)=194＝302(8)强调：本题主要考查进位制以及不同进位制数的互化．五进制数直接利用公式就可以转化为十进制数；五进制数和八进制数之间需要借助于十进制数来转化．课堂小结（1）理解算法与进位制的关系.（2）熟练掌握各种进位制之间转化.作业习题1.3A组3、4.第2课时授课时间：第周年月日（星期）导入新课思路1客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说.事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.为表示这种相关关系,我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.思路2某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：如果某天的气温是-5 ℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.提出问题（1）作散点图的步骤和方法？（2）正、负相关的概念？（3）什么是线性相关？（4）看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？（5）什么叫做回归直线？（6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？（7）利用计算机如何求回归直线的方程？（8）利用计算器如何求回归直线的方程？活动：学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导.讨论结果：（1）建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）（2）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系.（4）大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来进一步分析.（5）如右图：从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线(regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表.（6）从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线.那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗?有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗?还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距.同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行?（学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.）教师：分别分析各方法的可靠性.如下图：上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.)1(,)())((2121121x b y a x n x yx n yx x x y y x x b n i i ni ii n i i ni i i其中，b 是回归方程的斜率，a 是截距.推导公式①的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理. 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )， 且所求回归方程是^y =bx+a,其中a 、b 是待定参数.当变量x 取x i (i=1,2,…,n)时可以得到^y =bx i +a(i=1,2,…,n), 它与实际收集到的y i 之间的偏差是y i -^y =y i -(bx i +a)(i=1,2,…,n).这样，用这n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于（y i -^y ）可正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用∑=-ni i iy y1^||来代替，但由于它含有绝对值，运算不太方便，所以改用Q=(y 1-bx 1-a)2+(y 2-bx 2-a)2+…+(y n -bx n -a)2 ② 来刻画n 个点与回归直线在整体上的偏差.这样，问题就归结为:当a,b 取什么值时Q 最小，即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算，a,b 的值由公式①给出.通过求②式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法（method of least square ）.（7）利用计算机求回归直线的方程.根据最小二乘法的思想和公式①，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程.以Excel软件为例,用散点图来建立表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的线性回归方程,具体步骤如下：①在Excel中选定表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的散点图（如下图）,在菜单中选定“图表”中的“添加趋势线”选项,弹出“添加趋势线”对话框.②单击“类型”标签,选定“趋势预测/回归分析类型”中的“线性”选项,单击“确定”按钮,得到回归直线.③双击回归直线,弹出“趋势线格式”对话框.单击“选项”标签,选定“显示公式”,最后单击“确定”按钮,得到回归直线的回归方程^y=0.577x-0.448.（8）利用计算器求回归直线的方程.用计算器求这个回归方程的过程如上：所以回归方程为^y=0.577x-0.448.正像本节开头所说的，我们从人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据中，找到了它们之间关系的一个规律，这个规律是由回归直线来反映的.直线回归方程的应用:①描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系.②利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计,即可得到个体Y值的容许区间.③利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化,通过控制x的范围来实现统计控制的目标.如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度.应用示例思路1例1 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：（1）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.解：（1）散点图如下图所示：（2）从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少.（3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式①求出回归方程的系数.利用计算器容易求得回归方程^y=-2.352x+147.767.(4)当x=2时，^y=143.063.因此，某天的气温为2 ℃时，这天大约可以卖出143杯热饮.思考气温为2 ℃时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？这里的答案是小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：1.线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差.2.即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x的预报值，能够与实际值y很接近.我们不能保证点（x,y）落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近，事实上，y=bx+a+e=^y+e.这里e是随机变量，预报值^y与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差所决定.一些学生可能会提出问题：既然不一定能够卖出143杯左右热饮，那么为什么我们还以“这天大约可以卖出143杯热饮”作为结论呢？这是因为这个结论出现的可能性最大.具体地说，假如我们规定可以选择连续的3个非负整数作为可能的预测结果，则我们选择142，143和144能够保证预测成功（即实际卖出的杯数是这3个数之一）的概率最大.例2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由；(2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程.解：（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图. 直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系． (2)计算相应的数据之和：∑=81i ix=1 031，∑=81i iy=71.6,∑=812i ix=137 835，∑=81i ii yx =9 611.7.将它们代入公式计算得b≈0.077 4,a=-1.024 1, 所以,所求线性回归方程为=0.077 4x-1.024 1.思路2例1 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：(1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线的方程. 解：(1)散点图如下图．(2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格:故可得到 b=230770003.39930787175⨯-⨯⨯-≈4.75, a=399.3-4.75×30≈257.从而得回归直线方程是^y =4.75x+257.例2 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验,测得数据如下：请判断y 与x 是否具有线性相关关系,如果y 与x 具有线性相关关系,求线性回归方程． 解：在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：∑===1012,7.91,55i ix y x =38 500,∑=1012i iy =87 777,∑=101i i i y x =55 950.b=22101210155********.915510559501010⨯-⨯⨯-=--∑∑==x xyx yx i ii ii≈0.668.a=x b y -=91.7-0.668×55≈54.96.因此,所求线性回归方程为^y =bx+a=0.668x+54.96.例3 已知10条狗的血球体积及红血球数的测量值如下：（1）画出上表的散点图； （2）求出回归直线的方程. 解：（1）散点图如下.（2）101=x (45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=44.50, 101=y (6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37. 设回归直线方程为^y =bx+a,则b=210121011010x xyx yx i ii ii --∑∑===0.175,a=x b y -=-0.418,所以所求回归直线的方程为^y =0.175x-0.148. 知能训练1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C.正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高答案：Ｄ2．三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是（）A.^y=5.75-1.75x B.^y=1.75+5.75xC.^y=1.75-5.75x D.^y=5.75+1.75x答案：Ｄ3．已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y（万元）,有如下统计资料：（1）线性回归方程^y=bx+a的回归系数a,b；（2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少？答案：（1）b=1.23,a=0.08；（2）12.38.4．我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型,δ为误差项,模型如下：模型1：y=6+4x；模型2：y=6+4x+e．（1）如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值；（2）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．解：（1）模型1：y=6+4x=6+4×3=18；模型2：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.（2）模型1中相同的x值一定得到相同的y值,所以是确定性模型；模型2中相同的x值,因δ的不同,所得y值不一定相同,且δ为误差项是随机的,所以模型2是随机性模型．5．以下是收集到的新房屋销售价格y与房屋大小x的数据：（1）画出数据的散点图；（2）用最小二乘法估计求线性回归方程. 解：（1）散点图如下图.（2）n=5,∑=51i ix=545,x =109,∑=51i iy=116,y =23.2,∑=512i ix=60 952,∑=51i ii yx =12 952,b=2545609525116545129525-⨯⨯-⨯≈0.199,a=23.2-0.199×109≈1.509, 所以,线性回归方程为y=0.199x+1.509． 拓展提升某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（X i ）与公司所获得利润（Yi ）的统计资料如下表：科研费用支出（X i ）与利润（Y i ）统计表 单位：万元i i 解：设线性回归模型直线方程为：i i X Y 1^0^^ββ+=,因为：630==∑nX x i =5,6180==∑nYY i=30, 根据资料列表计算如下表：01方法一：3006009001200540060003020061803010006)(2221^=--=-⨯⨯-⨯=--=∑∑∑∑i i i i i X X n Y Y X n β=2, x Y 1^0^ββ-==30-2×5=20.方法二：501005620030561000)(2221^=⨯-⨯⨯-=--=∑∑x n X Y x n Y X ii i β=2，x Y 1^0^ββ-==30-2×5=20.方法三：50100)())((21^=---=∑∑x XY Y x X ii i β=2，x Y 1^0^ββ-==30-2×5=20.所以利润（Y i ）对科研费用支出（X i ）的线性回归模型直线方程为：i Y ^=20+2X i . 课堂小结1．求线性回归方程的步骤：（1）计算平均数y x ,； (2)计算x i 与y i 的积，求∑x i y i ; (3)计算∑x i 2,∑y i 2，(4)将上述有关结果代入公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i in i i i n i i n i i i ,)())((1221121 求b,a,写出回归直线方程．2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.作业 习题2.3A 组3、4,B 组1、2.。
人教A版高中数学必修三课件算法案例--进位制新
44＝2×22＋0 22＝2×11＋0 11＝2×5＋1 5＝2×2＋1
＝2×(2×22＋0)+1 ＝2×(2×(2×11＋0)+0)+1 ＝2×(2×(2×(2×5＋1)+0)+0)+1
＝2×(2×(2×(2×(2×2＋1)+1)+0)+0)+1
所以89＝2×（2×（2×（2×（2×2＋1）＋1）＋0）＋0）＋1
其它进制：
实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一 记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的 记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进 制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。
二进制、七进制、八进制、十二进制、 六十进制……
二进制只有0和1两个数字，七进制用0~6七个数字 十六进制有0~9十个数字及ABCDEF六个字母.
(2)程序框图:
开始 输入a,k,n
b=0 i=1
把a的右数第i位数字赋给t
b=b+t*ki-1
i=i+1 否
i>n?
是 输出b 结束
2、十进制转换为二进制
方法：除2取余法，即用2连续去除89或所得的商，然后取余数。
例、把89化为二进制数
解：根据“逢二进一”的原则，有
89＝2×44＋1
89＝2×44＋1
k
0 (10)
其它进制数化成十进制数公式
例2、设计一个算法，将k进制数a(共有n位)转换为十进制 数b。
(1)算法步骤: 第一步，输入a,k和n的值； 第二步，将b的值初始化为0,i的值初始化为1；
第三步，b=b+ai*ki-1,i=i+1
高中数学必修三知识点总结3
高中数学必修三知识点总结必修3的学习已经完结，那么数学必修3学问点有哪些呢?下面是我整理的中学数学必修三学问点总结，欢送大家阅读共享借鉴，盼望可以协助到大家。
中学数学必修三学问点总结第一章算法初步1.1.1 算法的概念1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必需是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2. 算法的特点:(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必需在有限操作之后停顿，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应当是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.(3)依次性与正确性：算法从初始步骤起先，分为假设干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进展下一步，并且每一步都精确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不必须是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性：许多详细的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.1.1.2 程序框图1、程序框图根本概念：(一)程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来精确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几局部：表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。
(二)构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和完毕，是任何流程图不行少的。
输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何须要输入、输出的位置。
处理框赋值、计算，算法中处理数据须要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判定框判定某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”;不成立时明“否”或“N”。
学习这局部学问的时候，要驾驭各个图形的形态、作用及运用规那么，画程序框图的规那么如下：1、运用标准的图形符号。
高中数学算法案例-进位制(公开课)教案 新人教A版必修3
必修3第一章1.3算法案例:案例3进位制[教学目标]：（1）了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
（2）学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律。
[教学重点]各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换[教学难点]除k取余法的理解[情感态度价值观] 学生通过合作完成任务，领悟十进制，二进制的特点，了解计算机与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系,培养他们的合作精神和严谨的态度。
[教学方法] 讲解法、尝试法、归纳法、讨论法、[教学用具]多媒体电脑[学法] 学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k取余法。
[教学过程]一、创设情景，揭示课题辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的算法，秦九韶算法是求多项式的值的算法，将这些算法转化为程序，就可以由计算机来完成相关运算。
人们为了计数和运算方便，约定了各种进位制，本节课我们来共同学习《进位制》你都了解那些进位制？比如说？在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进位制，据说这与古人曾以手指计数有关；由于计算机的计算与记忆元件特点，计算机上通用的是二进位制；一周七天是七进位；一年十二个月〔生肖、一打〕是十二进制；旧式的称是十六进制；〔老称一斤为16两，故而有了半斤八两之说〕、24进制〔节气〕一小时六十分、角度的单位是六十进位制。
二进制是有德国数学家莱布尼兹发明的。
第一台计算机ENIAC〔埃尼阿克〕用的就是十进制。
计算机之父冯·诺伊曼研究后，提出改进意见，用二进制替代十进制。
主要原因①二进制只有0和1两个数字，要得到两种不同稳定状态的电子器件很容易，而且制造简单，可靠性高；②各种计数法中，二进制运算规那么简单。
如：十进 制乘法叫九九表，二进制只有4句。
高中数学必修三《进位制》课件
都是大于1的整数.
二进制只有0和1两个数字，七进制用0~6七个数字
十六进制有0~9十个数字及ABCDEF六个字母.
注:为了区分不同的进位制，常在数的右下角 标明基数，十进制一般不标注基数.
例如十进制的133.59，写成133.59(10) 七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2)
=81+18+6+1=106.
十进制数化为二进制数：
例 把89化为二进制数。 解：
把上式各步所得的余数 从下到上排列， 得到89=1011001（2）
除2取余法
2 89 2 44 2 22 2 11
25 22 21
0
余数
1 0 0 1 1 0 1
可以推广为把十进制数化为k进制 数的算法，称为除k取余法。
复习：
1、辗转相除法和更相减损法 2、秦九韶算法
案例3：进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而 约定的计数系统。
十进制：
我们最常用最熟悉的就是十进 制数，它的数值部分是十个不同的
数字符号0，1，2，3，4，5，6，7， 8，9 来表示的。
其它进制：
满二进一，就是二进制；满七进一，就是 七进制；满十二进一，就是十二进制； 满 六十进一，就是六十进制
110011(2)= 1×25+1 ×24+ 0×23+0 ×22 + 1×21+1 ×20
7342(8)= 7×83+3 ×82+4 ×81+2×80
anan1 a1a0(k )
注意这是一个n+1位数.
高中数学第一章算法初步1.3.2进位制课件3新人教A版必修3
解：(1)算法步骤:
第一步,输入a,k和n的值. 第二步,令b=0，i=1. 第三步,b=b+ai·ki-1，i=i+1. 第四步,判断i>n 是否成立.若是，则执行第五步；否
则，返回第三步.
第五步,输出b的值.
开始
(2)程序框图
输入a，k，n b=0 i=1 把a的右数第i位数字赋给t b=b+t· ki- 1 i=i+1 i>n? 是 输出b 结束 否
具体计算方法如下： 因为 89=2×44+1, 44=2×22+0, 22=2×11+0, 11=2×5+1, 5=2×2+1, 2=2×1+0, 1=2×0+1,
所以 89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1 =2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1 =… =1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20 =1011001(2)
1.通过阅读进位制的算法案例，体会进位制的算法思想. 2.学习各种进位制转换成十进制的计算方法， 研究十进制转换为各种进位制的除k去余法， 并理解其中的数学规律.(重点) 3.能运用几种进位制之间的转换，解决一些有关的问题. (难点)
【课堂探究1】进位制的概念 思考1:什么是进位制？ 进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统， 如逢十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七 进制；每十二个月为一年，就是十二进制；每六十 秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进 制等等.也就是说，“满几进一”就是几进制，几进 制的基数就是几.
人教新课标版数学高一必修3课件1.3.2进位制
k进制数的特点 剖析:不妨把各种进制统称为k进制,则k进制数具有以下特点: (1)具有k个数字符号,它们是0,1,2,…,(k-1). (2)由低位到高位是按“逢k进一”的规则进行计数. (3)基数是k. (4)可以表示为一串数字连写在一起的形式,即anan1…a1a0(k)(0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k). (5)与十进制类似,也可以用其基数的幂的形式表示,即anan-
1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1+…+a2×k2+a1×k+a0.
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第2课时 进位制
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典例透析
IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三
十进制数化为k进制数 【例1】 (1)将194化成八进制数; (2)将48化成二进制数. 分析:除以k取余→倒序写出→标明基数 解:(1)
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第2课时 进位制 题型一 题型二 题型三
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【变式训练2】 (1)将236(7)转化为十进制的数; (2)将1032(4)转化为十进制的数.
解:(1)236(7)=2×72+3×71+6×70=98+21+6=125. (2)1032(4)=1×43+0×42+3×41+2×40=64+0+12+2=78.
所以96转化为五进制的数为341(5).
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第2课时 进位制 题型一 题型二 题型三
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进位制PPT教学课件
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思考2:上述化十进制数为二进制数的 算法叫做除2取余法，转化过程有些复 杂，观察下面的算式你有什么发现吗？
2 89
2 44 2 22 2 11 25 22 21 0
余数 1 0 0 1 1
0 1
思考3:上述方法也可以推广为把十进 制数化为k进制数的算法，称为除k取 余法，那么十进制数191化为五进制数 是什么数？
5 191
余数
5 38
1
57
3
51
2
191=1231(5)
0
1
理论迁移
例2 将十进制数458分别转化为四进制 数和六进制数.
4 458 4 114 4 28
47 41
0
余数
2 2 0 3 1
6 458 6 76 6 12
62 0
余数
2 4 0 2
458=13022(4)=2042(6)
例3 将五进制数30241(5)转化为七进制数.
10303(4)=1×44+3×42+3×40=307. 1234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=194.
知识探究(三):除k取余法
思考1:二进制数101101(2)化为十进制 数是什么数？十进制数89化为二进制 数是什么数？
101101(2)=25+23+22+1=45.
89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1 =1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21 +1×20=1011001(2).
人教版高中数学高一必修3教参 1.3.2进位制
教学建议本课时的主要内容是进位制的概念以及对一个数可以做不同进位制间的转换,十进制是进位制之间相互转换的桥梁,在学习中要充分把握十进制的桥梁作用.另外教材通过实例将不同进位制的相互转换用程序框图和算法语句程序表示了出来,加深了学生对算法的理解.建议教师通过生活中的实例阐述不同进位制在生活中的广泛应用,以加深学生对进位制概念的理解,并通过一个数的十进制分解去挖掘一个数不同进位制间相互转换的特征.多通过实例让学生亲自体验,建议教师适当点拨,让学生充分掌握不同进位制之间的相互转换.资源参考进位制数的转换人们日常使用的计数方法是由0、1、2、…、9这10个符号组成各个数字,执行“逢十进一,退一换十”的运算规则,称为十进制数.计算机中含有大量的电子元件.电子元件很难有10种不同的稳定状态,但是常具有两种状态,如:电灯的开与关,可以用1和0来表示这两种状态.因此,计算机对信息的处理都是用二进制代码进行的.1.十进制数转换成二进制数(1)整数部分的转换十进制整数转换成二进制整数的方法是“除2取余法”,即把十进制整数除以2,记下余数(0或1),再把所得的商除以2,记下余数,直到商为0时为止,然后从最后一位的余数开始倒序写出所有的余数,就是所得的二进制数.【例题1】将十进制数20转换成二进制数做除法.20(10)=10100(2).(2)小数部分的转换十进制小数转换成二进制小数的方法是“乘2取整法”,即将十进制小数乘以2,取出乘积中的整数部分,再用余下的小数乘以2,再取其乘积的整数部分,直到乘积为0或达到小数点后某一位精度要求为止.从第一个所取整数开始,写出所有整数,即为所求的二进制小数.【例题2】将十进制数0.6875转换成二进制.0.6875(10)=0.1011(2).(3)整数和小数的转换对于同时含有整数和小数部分的十进制数,将整数部分和小数部分分别按上面的方法进行转换,再把结果和在一起,得到一个既有整数部分又有小数部分的二进制数.【例题3】将十进制数20.6875转换成二进制数.整数部分转换:20=10100(2)小数部分转换:0.6875=0.1011(2)和在一起得: 20.6875=10100.1011(2)2.二进制数转换成十进制数(1)整数部分的转换设二进制整数共有n位,转换的方法是:将它的最高位乘以2n-1,次高位乘以2n-2,…,最后一位乘以20,这些乘积相加的和就是所求的十进制数.【例题4】将二进制数1010101转换成十进制数.1010101(2)=1×26+0×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20=64+0+16+0+4+0+1=85.(2)小数部分的转换设二进制小数共有n位,转换的方法是:将它的最高小数位乘以2-1,次高位乘以2-2,……,最后一位乘以2-n,将所有的乘积加到一起,其和就是所求的十进制小数.【例题5】将二进制数0.101转换成十进制数.0.101(2)=1×2-1+0×2-2+1×2-3=0.5+0+0.125=0.625.(3)整数和小数的转换对于同时含有整数和小数部分的二进制数,可按下例的方法转换.【例题6】将11001.0101(2)转换成十进制数.11001.0101(2)=1×24+1×23+0×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2+0×2-3+1×2-4=16+8+0+0+1+0+0.25 +0+0.0625=25.3125.十进制数和二进制数之间的转换方法,可以推广到十进制与八进制、十进制与十六进制数的转换上.例如:十进制整数转换成八进制整数的方法是“除8取余法”;十进制小数转换成八进制小数的方法是:“乘8取整法”.。
人教版高中数学必修三 算法案例(进位制)优质教案
第3课时案例3 进位制（一）导入新课情境导入在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制.（二）推进新课、新知探究、提出问题（1）你都了解哪些进位制？（2）举出常见的进位制.（3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法.（4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：（1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等等.也就是说：“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都是大于1的整数）就是几.（2）在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.（3）十进制使用0~9十个数字.计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几，就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位……例如：十进制数3 721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一.于是，我们得到下面的式子：3 721=3×103+7×102+2×101+1×100.与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同.如二进制用0和1两个数字，七进制用0~6七个数字.一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n-1…a1a0（k）（0＜a n＜k，0≤a n-1，…，a1，a0＜k).其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，如110 011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20，7 342（8）=7×83+3×82+4×81+2×80.非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：a n a n-1…a1a0(k)=a n×k n+a n-1×k n-1+…+a1×k+a0.第一步：从左到右依次取出k进制数a n a n-1…a1a0(k)各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即a n×k n,a n-1×k n-1,…,a1×k,a0×k0；第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数.（4）关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其他进制之间的转换.这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.1°十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”.2°非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁.教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先由二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数.（三）应用示例思路1例1 把二进制数110 011(2)化为十进制数.解：110 011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.点评：先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果.变式训练设计一个算法，把k进制数a（共有n位）化为十进制数b.算法分析：从例1的计算过程可以看出，计算k进制数a的右数第i位数字a i与k i-1的乘积a i·k i-1，再将其累加，这是一个重复操作的步骤.所以，可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步，输入a，k和n的值.第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1.第三步，b=b+a i·k i-1，i=i+1.第四步，判断i＞n是否成立.若是，则执行第五步；否则，返回第三步.第五步，输出b的值.程序框图如下图：程序：INPUT “a,k，n=”；a，k，nb=0i=1t=a MOD 10DOb=b+t*k^（i-1）a=a\\10t=a MOD 10i=i+1LOOP UNTIL i＞nPRINT bEND例2 把89化为二进制数.解：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数.具体计算方法如下：因为89=2×44+1，44=2×22+0，22=2×11+0，11=2×5+1，5=2×2+1，2=2×1+0，1=2×0+1，所以89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1=2×（2×（2×（2×（22+1）+1）+0）+0）+1=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1 011 001(2).这种算法叫做除2取余法，还可以用下面的除法算式表示：把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到89=1 011 001(2).上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法.变式训练设计一个程序，实现“除k取余法”.算法分析：从例2的计算过程可以看出如下的规律：若十制数a除以k所得商是q0，余数是r0，即a=k·q0+r0，则r0是a的k进制数的右数第1位数.若q0除以k所得的商是q1，余数是r1，即q0=k·q1+r1，则r1是a的k进制数的左数第2位数.……若q n-1除以k所得的商是0，余数是r n，即q n-1=r n，则r n是a的k进制数的左数第1位数.这样，我们可以得到算法步骤如下：第一步，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k.第二步，求出a除以k所得的商q，余数r.第三步，把得到的余数依次从右到左排列.第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全部余数r排列得到的k进制数.程序框图如下图：程序：INPUT “a，k=”；a，kb=0i=0DOq=a\\kr=a MOD kb=b+r*10^ii=i+1a=qLOOP UNTIL q=0PRINT bEND思路2例1 将8进制数314 706(8)化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序.解：314 706(8)=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104 902.所以，化为十进制数是104 902.点评：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314 706(8)化为十进制数.例2 把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.解：具体的计算方法如下：89=3×29+2，29=3×9+2，9=3×3+0，3=3×1+0，1=3×0+1，所以:89(10)=10 022(3).点评：根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所得的商，然后按倒序的顺序取出余数组成数据即可.（四）知能训练将十进制数34转化为二进制数．分析：把一个十进制数转换成二进制数，用2反复去除这个十进制数，直到商为0，所得余数（从下往上读）就是所求．解：即34(10)=100 010(2)（五）拓展提升把1 234(5)分别转化为十进制数和八进制数．解：1 234(5)=1×53+2×52+3×5+4＝194．则1 234(5)=302(8)所以，1 234(5)=194＝302(8)点评：本题主要考查进位制以及不同进位制数的互化．五进制数直接利用公式就可以转化为十进制数；五进制数和八进制数之间需要借助于十进制数来转化．（六）课堂小结（1）理解算法与进位制的关系.（2）熟练掌握各种进位制之间转化.（七）作业习题1.3A组3、4.。
高中数学人教A版必修三第一章1.3.3进位制-算法案例课件
把89化为五进制的数.
5 89 5 17 53
0
余数
4 2 3
∴ 89=324(5)
练习：把3282化为16进制的数.
10
11
12
13
14
15
A
B
C
D
E
F
思考 你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?
解:第一步:先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
51
把89化为二进制的数.
2 89
2 44 2 22 2 11 25
22 21
0
余数
1 0 0 1 1 0 1
把算式中各步所得的余 数从下到上排列,得到
89=1011001(2) 可以用2连续去除89或所得 商(一直到商为0为止),然后 取余数---除2取余法.
这种方法也可以推广为把 十进制数化为k进制数的 算法,称为除k取余法.
=81+18+6+1=106. 第二步:再把十进制数化为二进制数:
106=1101010(2). ∴10221(3)=106=110就是几，基数都是大于1的数.
按照十进制数的运算规则计算出结果， 结果就是十进制下该数的大小了.
1.3算法案例
进位制
十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个 十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100.
同理: 3421(5)= 3×53+4×52+2×51+1×50.
每一位上的数都是整数.
2021高中数学 1.3 第2课时 进位制 教案(人教A版必修3)
1.3算法案例第2课时进位制●三维目标1．学问与技能了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换．2．过程与方法学习各种进位制转换成十进制的计算方法，争辩十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律．3．情感、态度与价值观领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步生疏到计算机与数学的联系．●重点难点重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换．难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计．课标解读1.了解进位制的概念．(重点)2．把握不同进位制之间的相互转化．(难点)进位制的概念【问题导思】十进制使用0～9十个数字，那么二进制使用哪些数字？六进制呢？【提示】二进制使用0～1两个数字，六进制使用0～5六个数字．进位制是人们为了计数和运算便利而商定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．进位制之间的相互转化【问题导思】二进制数110 011(2)化为十进制数是多少？【提示】110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝51.k进制化为十进制的方法a n·a n－1·a n－2……a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…a1k＋a0.k进制转化为十进制将二进制数101 101(2)化为十进制数．【思路探究】按二进制化十进制的方法，写成不同位上的数乘以基数的幂的形式，再相加求和．【自主解答】101 101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45.一个k进制的正整数就是各位数码与k的方幂的乘积的和，其中幂指数等于相应数码所在位数(从右往左数)减1，再依据十进制数的运算法则计算出结果．例如：230 451(k)＝2×k5＋3×k4＋0×k3＋4×k2＋5×k1＋1×k0.将下列各数化成十进制数．(1)11 001 000(2)；(2)310(8)．【解】(1)11 001 000(2)＝1×27＋1×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋0×20＝200；(2)310(8)＝3×82＋1×81＋0×80＝200.十进制转化为k进制(1)将194化成八进制数；(2)将48化成二进制数．【思路探究】除k取余→倒序写出→标明基数【自主解答】(1)∴194化为八进制数为302(8)．(2)∴48化为二进制数为110 000(2)．1．将十进制化成k进制的方法：用除k取余法，用k连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将各步所得的余数倒序写出，即为相应的k进制数，切忌将余数挨次写反．2．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．十进制数一般不标注基数．将十进制数30化为二进制数．【解】∴30(10)＝11 110(2)．不同进位制之间的转化将七进制数235(7)转化为八进制数．【思路探究】七进制→十进制→八进制【自主解答】235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124，利用除8取余法(如图所示)．∴124＝174(8)，∴235(7)转化为八进制为174(8)．。
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anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1
注意这是一 +…+a1×k1+a0×k0 . 个n+1位数.
[问题3]二进制只用0和1两个数字,这正好 与电路的通和断两种状态相对应,因此 计算机内部都使用二进制.计算机在进 行数的运算时,先把接受到的数转化成 二进制数进行运算,再把运算结果转化 为十进制数输出.
同理: 3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.
C7A16(16)=12×164+7×163+10×162 +1×161+6×160.
一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数 的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式
anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k)
开始
输入a,k 求出a除以k所得的商q 求出a除以k所得的余数r
把所得的余数依次从右出全部余数r排列得到的k进制数
N
结束
程序: INPUT “a,k=”;a,k b=0 i=0 DO q=a\k r=a MOD k b=b+r﹡10^i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END
如二进制可使用的数字有0和1,基数是2; 十进制可使用的数字有0 , 1 , 2 , … , 8 , 9等 十个数字,基数是10; 十六进制可使用的数字或符号有0 ~ 9等10 个数字以及A ~ F等6个字母(规定字母A ~ F对应 10~15),十六进制的基数是16.
注意:为了区分不同的进位制,常在数字的 右下脚标明基数. 如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.
[问题4]你会把三进制数10221(3)化为十进制数吗?
解:10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31 +1×30 =81+18+6+1=106.
k进制数转化为十进制数的方法
先把k进制的数表示成不同位上数字 与基数k的幂的乘积之和的形式,即 anan-1…a1a0(k)
=an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 .
思考 你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗? 解:第一步:先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30 =81+18+6+1=106.
第二步:再把十进制数化为二进制数: 106=1101010(2).
∴10221(3)=106=1101010(2).
再按照十进制数的运算规则计算出结果.
例2:把89化为五进制的数. 解:以5作为除数,相应的运算式为:
89 = 5 17 + 4 = 5 (5 3 + 2) + 4 = 3 52 + 2 5 + 4 = 324(5)
5 89 5 17 5 3 0 余数 4 2 3
∴ 89=324(5).
十进制数一般不标注基数.
[问题2]十进制数3721中的3表示3个千,7 表示7个百,2表示2个十,1表示1个 一,从而它可以写成下面的形式: 3721=3×103+7×102+2×101+1×100. 想一想二进制数1011(2)可以类似的写 成什么形式? 1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.
例3:把89化为二进制的数. 分析:把89化为二进制的数,需想办法将 89先写成如下形式
89=an×2n+an-1×2n-1+…+a1×21+a0×20 .
89=64+16+8+1=1×26+0×25+1×24 +1×23+0×22+0×21+1×20 =1011001(2).
但如果数太大,我们是无法这样凑出来的,怎么办?
s4，判断i>n是否成立。若 是，则执行s5；否则， 返回s3。 s5，输出b的值。
b=b+t· ki-1 i=i+1 i>n? Y 输出b
结束
N
设计一个算法，把k进制数a（共有n 位数）转化成十进制数b。
开始
只需要验证 1101（2）化 成十进制就 OK了。
输入a,k,n
b=0 i=1 把a的右数第i位数字赋给t b=b+t· ki-1 i=i+1 i>n? Y 输出b
结束
N
程序: INPUT “a,k,n=”;a,k,n b=0 i=1 t = a mod 10 DO b= b+t＊k^(i-1) a= a\10 t=a mod 10 i=i+1 LOOP UNTIL i>n PRINT b END
例4 设计一个程序,实现“除k取余法” 步骤： s1，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k. s2，求出a除以k所得的商q，余数r. s3，把得到的余数依次从右到左排列. s4，若q=0则输出全部余数r排列得到的k进制数； 否则a=q，返回s2.
那么二进制数与十进制数之间是 如何转化的呢?
例1:把二进制数110011(2)化为十进制数. 分析:先把二进制数写成不同位上数 字与2的幂的乘积之和的形式,再按照十进 制数的运算规则计算出结果. 解:110011(2) =1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 =1×32+1×16+1×2+1=51.
[问题1]我们常见的数字都是十进制的,但是并 不是生活中的每一种数字都是十进制的.比 如时间和角度的单位用六十进位制,电子计 算机用的是二进制.那么什么是进位制?不 同的进位制之间又有什么联系呢?
进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的 一种记数系统，约定满二进一,就是二进制; 满十进一,就是十进制;满十六进一,就是 十六进制;等等. “满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几. 可使用数字符号的个数称为基数. 基数都是大于1的整数.
例3:把89化为二进制的数.
我们可以用下面的除法算式表示除2取余法: 把算式中各步所得的余 余数 2 89 数从下到上排列,得到 2 44 1 89=1011001(2). 2 22 0 可以用2连续去除89或所得 2 11 0 商(一直到商为0为止),然后 2 5 1 取余数---除2取余法. 1 2 2 这种方法也可以推广为把 0 21 十进制数化为k进制数的 0 1 算法,称为除k取余法.
89=44×2+1, 44=22×2+0, 11=5×2+1, 2=1×2+0,
22=11×2+0, 5=2×2+1, 1=0×2+1,
设计一个算法，把k进制数a（共有n位数）转 化成十进制数b。 开始 算法步骤： 输入a,k,n s1，输入a，b，n的值。 b=0 s2，赋值b=0，i=1。 i=1 s3，b=b+ai· ki-1，i=i+1。 把a的右数第i位数字赋给t