高中数学解题方法-----导数大题的常用找点技巧和常见模型

x
x +1
x +1
， ， ln (1+ x) ≥ x ln (1+ x) > 2x ( x > 0) ln (1+ x) < 2x ( x < 0)
1+ x
1+ x
1+ x
第二组：指数放缩 （放缩成一次函数）ex ≥ x +1，ex > x ， ex ≥ ex ，
（放缩成类反比例函数）ex ≤ 1 ， ， (x ≤ 0) ex < − 1 ( x < 0)
2
2
2
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第五组：以直线 y = x −1为切线的函数
， ， ， ， y = ln x y = ex−1 −1 y = x2 − x y = 1− 1 y = x ln x . x
引子：（2017 年全国新课标 1·理·21）已知 f ( x) = ae2x + (a − 2)ex − x .
（1）讨论 f (x) 的单调性；
1 a2
> e2
>e.
ln x <
（4）当a ≤ 0 时，1 个零点.
f '( x) = 1 − a > 0 ，单调递增. f (1) = −a > 0 ， x
） x − 1 ( x > 1) x
f
a+1 e a
高中数学解题方法
---导数大题的常用找点技巧和常见模型
常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）
第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln x ≤ x −1，ln x < x ， ln (1+ x) ≤ x
（放缩成双撇函数）
ln
x
<
1 2
x
−
1 x
(
x
>
1)
，
ln
x
>
1 2
x
−
1 x
(0
<
x
<
1)
3 a
−1
另一方面： 时， （目测的） x < 0 ae2x + (a − 2)ex − x > 0 ⇐ (a − 2)ex − x ≥ 0 ⇐ x = −1
几个经典函数模型
经典模型一： y = ln x 或 y = x .
x
ln x
【例 1】讨论函数 f (x) = ln x − ax 的零点个数.
，
， ， ln x < x − 1 ( x > 1) ln x > x − 1 (0 < x < 1)
x
x
（放缩成二次函数） ， ， ln x ≤ x2 − x ln (1+ x) ≤ x − 1 x2 (−1 < x < 0) ln (1+ x) ≥ x − 1 x2 ( x > 0)
2
2
（放缩成类反比例函数） ln x ≥ 1− 1 ， ln x > 2( x −1) ( x > 1) ， ln x < 2( x −1) (0 < x < 1) ，
f (x) < 0 a > 0 min
f
(x) min
=
f
ln
1 1 a = 1− a
− ln
1 a
<0.
构造函数 g ( x) =1− x − ln x ， x > 0 . 易得 g '( x) = −1− 1 < 0 ，所以 g ( x) =1− x − ln x 单调递减. x
又因为 ，所以 g (1) = 0
（目测）， ，其中 （放缩） f (1) = −a < 0
f
1 1− a
=
ln
1 1− a
−
a 1− a
<
1 1− a
−1−
a 1− a
=
0
1< 1 <e. 1− a
f (e) = 1− ea > 0 .
，其中 （用到了 1 1 1 1 1
f a2 = ln a2 − a ≤ a − a − a = −a < 0
1− x
x
（放缩成二次函数） ， ， ex ≥ 1+ x + 1 x2 ( x > 0) ex ≥ 1+ x + 1 x2 + 1 x3
2
26
第三组：指对放缩
ex − ln x ≥ ( x +1) − ( x −1) = 2
第四组：三角函数放缩
， ， sin x < x < tan x ( x > 0) sin x ≥ x − 1 x2 1− 1 x2 ≤ cos x ≤ 1− 1 sin2 x .
x
min
当 时， ， 0 < a <1
( ) f
( −1)
=
a e2
+
a
− e
2
+1=
a
+
ea
+ e2
e2
−
2
>0
， f
ln
3
− a
a
=
a
3 a
2 −1
+
(a
−
2)
3 a
−1
−
ln
3 a
−1
=
3 a
−1−
ln
3 a
−1
>
0
其中 ， ，所以 在 和 上各有一个零点 1 −1 < ln
（1）a > 1 时，无零点. e
， f '( x) = 1 − a x
f
(x) max
=
f
1 1 a = ln a
−1< 0 .
（2） a = 1 时，1 个零点. e
， f '( x) = 1 − 1 f ( x) = f (e) = ln e −1 = 0 .
xe
max
（3）当0 < a < 1 时，2 个零点. e
1−
1 a
−
ln
1 a
<
0
⇔
g
1 a
<
g
(1)
⇔
1 a
>1
⇔
0
<
a
<
1
.
下面只要证明当0 < a <1时， f (x) 有两个零点即可，为此我们先证明当 x > 0 时， x > ln x .
事实上，构造函数 h( x) = x − ln x ，易得 h'( x) =1− 1 ，∴ h( x) = h(1) =1，所以 h( x) > 0 ，即 x > ln x .
ln 3 − a > ln 1
a
a
a
f (x)
−1,
ln
1 a
ln
1 a
,
ln
3
− a
a
.
故a 的取值范围是(0,1) .
注意：取点过程用到了常用放缩技巧。
一
方
面
：
； ae2 x
+(a
−
2)ex
−
x
>
0
⇐
ae2 x
+
(a
−
2)ex
− ex
≥
0
⇐
aex
+
a
−3
≥
0
⇐
ex
≥
3− a
a
⇐
x
≥
ln
a
a
当
x
<
ln
1 a
时，
f
'(
x)
<
0
，所以
f
(
x)
在
−∞, ln
1 a
上递减；
当
x
>
ln
1 a
时，
f
'(
x)
>
0
，所以
f
(
x)
在
ln
1 a
,
+∞
上递增.
综上，当
a
≤
0
时，
f
(
x)
在
R
上递减；当
a
>
0
时，
f
(
x)
在
−∞, ln
1 a
上递减，在
ln
1 a
,
+∞
上递增.
（ ） 有两个零点，必须满足 ，即 ，且 2 f (x)
（2）若 f (x) 有两个零点，求a 的取值范围.
解析：（ ） ( )( ) 1 f '( x) = 2ae2x + (a − 2) ex −1 = 2ex +1 aex −1
若 a ≤ 0 ，则 f '(x) < 0 恒成立，所以 f ( x) 在 R 上递减；
若 ，令 ，得 a > 0
f '( x) = 0 ex = 1 , x = ln 1 .