ch9+电磁感应和电磁场+习题及答案

第9章 电稳感应和电磁场 习题及答案

1. 通过某回路的磁场与线圈平面垂直指向纸面内，磁通量按以下关系变化：

23(65)10t t Wb -Φ=++⨯。求2t s =时，回路中感应电动势的大小和方向。

解：310)62(-⨯+-=Φ

-

=t dt

d ε 当s t 2=时，V 01.0-=ε

由楞次定律知，感应电动势方向为逆时针方向

2. 长度为l 的金属杆ab 以速率υ在导电轨道abcd 上平行移动。已知导轨处于均匀磁场B ϖ

中，

B ϖ的方向与回路的法线成60°角，如图所示，B ϖ

的大小为

B =kt (k 为正常数)。设0=t 时杆位于cd 处，求：任一时刻t

导线回路中感应电动势的大小和方向。

解：任意时刻通过通过回路面积的磁通量为

202

1

60cos t kl t Bl S d B m υυ==⋅=Φρρ

导线回路中感应电动势为 t kl t

m

υε-=Φ-

=d d 方向沿abcda 方向。

3. 如图所示，一边长为a ，总电阻为R 的正方形导体框固定于一空间非均匀磁场中，磁场方向垂直于纸面向外，其大小沿x 方向变化，且)1(x k B +=，0>k 。求： （1）穿过正方形线框的磁通量；

（2）当k 随时间t 按t k t k 0)(=(0k 为正值常量)变化时，线框中感生电流的大小和方向。 解：（1）通过正方形线框的磁通量为

⎰⎰=⋅=Φa S Badx S d B 0ρρ⎰+=a dx x ak 0)1()2

1

1(2a k a +=

（2）当t k k 0=时，通过正方形线框的磁通量为

)2

1

1(02a t k a +

=Φ 正方形线框中感应电动势的大小为

dt d Φ=

ε)2

1

1(02a k a += 正方形线框线框中电流大小为

)2

1

1(02a R k a R I +==ε

，方向：顺时针方向

4.如图所示，一矩形线圈与载有电流t I I ωcos 0=长直导线共面。设线圈的长为b ，宽为a ；

0=t 时，线圈的AD 边与长直导线重合；线圈以匀速度υρ

垂直

离开导线。求任一时刻线圈中的感应电动势的大小。

解：建立图示坐标系，长直导线在右边产生的磁感应强度大小为

x

I B πμ20=

t 时刻通过线圈平面的磁通量为

⎰⎰⋅=ΦS S d B ρρbdx x I a t t ⎰+=υυπμ20t

a

t Ib υυπμ+=ln 20 t

a t t

b I υυωπμ+=ln cos 200

任一时刻线圈中的感应电动势为

]ln sin )(cos [200t

a

t t t a t t a b I dt d i υυωωυωπμε+++=Φ-

= 5.如图所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈。两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以

t

I

d d 的变化率增大，求： (1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势。

解：(1) 任一时刻通过线圈平面的磁通量为 r l r

I

r l r I

a

b b

a

d d m d π2d π200⎰

⎰

++-=

Φμμ

）（d

a d

b a b Il +-+=ln ln π20μ (2) 线圈中的感应电动势为

t

I

b a b d a d l t d d ln ln π2d d 0）（+-+=Φ-

=με 6. 如图所示，长直导线AB 中的电流I 沿导线向上，并以12-⋅=s A dt

dI

的变化率均匀增长。导线附近放一个与之共面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示。求此线框中产生的感应电动势的大小和方向。

解：建立图示的坐标系，在直角三角形线框上x 处取平行于y 轴的宽度为dx 、高度为y 的窄条。

I

A

B

C

D

b a

υρ

t υ

O

x

由几何关系得到 2.02+-=x y (SI) 通过此窄条的磁通量为

=

⋅=ΦS d B d ρ

ρydx x I

）（5.0020+πμdx x x I ）

（（5.002)2.020++-=πμ

通过直角三角形线框的磁通量为

⎰Φ=Φd dx x x I b ⎰++-=

00)05.02.02(2πμ I b I Ib 8001059.205

.005.0ln 15.0-⨯=++-=πμπμ (SI)

三角形线框中产生的感应电动势为

V dt

dI dt d 881018.51059.2--⨯-=⨯-=Φ-

=ε 感应电动势大小为8

5.1810V -⨯ ，方向为逆时针方向。

7. 如图所示，长直导线通以电流I ，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长b ，宽a ，线圈以速率υ垂直于直线平移远离。求：线圈离长直导线距离为d 时，线

圈中感应电动势的大小和方向。

解：AB 、CD 运动速度υρ

方向与磁力线平行，不产生感应电动势。

DA 产生动生电动势为

⎰==⋅⨯=A

D d

I b Bb l B πμυυυε2d )(01ϖ

ϖρ

BC 产生电动势为

)

(π2d )(02d a I

b

l B C

B

+-=⋅⨯=⎰

μυυεϖ

ϖρ

回路中总感应电动势为

)11

(π2021a

d d Ib +-=

+=υμεεε 方向沿顺时针。

8. 如图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直。半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a 。设半圆环以速率υ平行导线平移。求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压N M U U -。

解：作辅助线MN ，则在MeNM 回路中，沿υρ

方向运动时0d =m Φ

∴ 0=MeNM ε

O

x

y