混合策略纳什均衡概述
混合策略纳什均衡
02
混合策略纳什均衡的基本理论
纳什均衡的定义与性质
纳什均衡的定义
在博弈中，如果每个玩家都采取自己的最优策略，那么整个博弈会达到一种均 衡状态，即所有参与者的利益达到最大化。
纳什均衡的性质
纳什均衡是一种自我稳定的状态，即使受到外部干扰，也会迅速恢复到原始状 态。此外，纳什均衡也是最优的，因为它使得每个参与者的利益都达到最大化 。
其次，现有的研究往往只关注特定的博弈模型， 对于更一般化的博弈模型，尤其是对于连续型博 弈和多阶段博弈的研究还比较缺乏。
首先，混合策略纳什均衡的概念和性质仍需进一 步深化和研究。例如，对于非完全信息博弈，如 何准确地刻画混合策略纳什均衡点的数量和分布 等问题仍需探索。
最后，现有的研究主要集中在理论层面，对于如 何将混合策略纳什均衡应用到实际问题中，如何 设计和制定有效的混合策略等问题还需要进一步 探讨。
未来研究方向与挑战
未来研究可以进一步拓展混合策略纳什均衡的应用领域，例如在经济学、政治学、社会学等领域的应 用。
另外，针对现有的研究不足，未来研究可以深入探索混合策略纳什均衡的性质和计算方法，以及如何设 计和制定有效的混合策略等问题。
此外，未来的研究还可以进一步拓展混合策略纳什均衡的理论框架，例如在多阶段博弈、不完全信息博 弈、非线性博弈等领域的研究。
略纳什均衡来分析。
在生物学领域的应用
在生物学中，混合策略纳什均衡可以用来研究生物种 群的进化稳定性和生态平衡。
在生态系统中，生物种群可以通过选择不同的繁殖、 迁徙、捕食等策略来适应环境变化，这种博弈关系可 以通过混合策略纳什均衡来分析。
在其他领域的应用
在社会学中，混合策略纳什均衡可以用来研究社会群 体中的合作与竞争关系。
混合策略纳什均衡名词解释
混合策略纳什均衡名词解释
嘿，朋友们！今天咱来聊聊混合策略纳什均衡！这可不是什么晦涩难懂的概念哦。
想象一下，在一个竞争的场景里，就像一场激烈的游戏，大家都在绞尽脑汁地想着怎么出招。
混合策略纳什均衡呢，就是在这种情况下，各方参与者都没办法通过单独改变自己的策略来获得更好的结果。
它就好像是一场微妙的平衡舞蹈！每个人都要在不同的选择之间跳跃，找到那个最合适的组合。
不是单纯地选择一个固定的策略，而是有时候这样，有时候那样，让对手捉摸不透。
好比是下棋，你不能总是走同样的几步，得灵活多变，根据对手的反应随时调整。
而且啊，这个均衡可不是那么容易达到的哦，需要各方参与者不断地试探、博弈。
它不是那种一眼就能看穿的简单玩意儿，而是隐藏在复杂的互动之中。
就像在迷雾中寻找方向，需要耐心和智慧。
在现实生活中，混合策略纳什均衡也无处不在呢！商业竞争中，企业要考虑怎么定价、怎么推广，不就是在寻找这种微妙的平衡吗？政治博弈中，各方势力也在不断调整策略，试图达到对自己最有利的状态。
甚至在我们的日常生活中，比如和朋友玩游戏，或者在一些选择中纠结，都能看到混合策略纳什均衡的影子。
它让我们明白，有时候没有绝对的最佳策略，只有在不断变化中找到的相对平衡。
混合策略纳什均衡就是这么神奇，这么有趣！它让我们看到了竞争和互动的复杂性，也让我们更加懂得如何在各种情况下做出明智的选择。
所以啊，别小瞧了这个概念，它可是有着大用处呢！。
混合策略纳什均衡例子
混合策略纳什均衡例子混合策略纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，指的是各参与者选择一个概率分布作为他们的策略，从而达到一个稳定的状态。
在混合策略纳什均衡中，没有任何参与者可以通过单独改变自己的策略来获得更好的结果。
一个经典的混合策略纳什均衡的例子是“岩石-剪刀-布”游戏。
在这个游戏中，两个参与者（称为玩家1和玩家2）可以选择出岩石、剪刀或布中的任意一种。
每一种选择都有一定的胜负规则：岩石胜剪刀，剪刀胜布，布胜岩石。
假设玩家1选择出岩石、剪刀和布的概率分别为p1、q1和r1，玩家2选择出岩石、剪刀和布的概率分别为p2、q2和r2。
两个玩家的利益可以用一个支付矩阵表示如下：| 岩石 | 剪刀 | 布-----------------------------岩石 | 0 | -1 | 1-----------------------------剪刀 | 1 | 0 | -1-----------------------------布 | -1 | 1 | 0在混合策略纳什均衡中，每个玩家选择的概率分布必须使得对于每一种选择，玩家都不希望改变自己的概率分布。
在这个例子中，我们可以通过计算来找到混合策略纳什均衡。
假设玩家1选择出岩石的概率为p1，则选择剪刀的概率为q1=1-p1-0=1-p1，选择布的概率为r1=0-0=0。
同样地，玩家2选择出岩石的概率为p2，则选择剪刀的概率为q2=1-p2-0=1-p2，选择布的概率为r2=0-0=0。
为了找到混合策略纳什均衡，我们需要检查每一种选择，并确保玩家对于每一种选择都不希望改变自己的概率分布。
在这个例子中，无论玩家1选择什么概率分布，玩家2都可以通过选择相应的概率分布来获得更好的结果。
所以，不存在一个混合策略纳什均衡。
总结起来，混合策略纳什均衡是博弈论中一种稳定的策略选择状态，即不存在任何参与者可以通过单独改变自己的策略来获得更好的结果。
岩石-剪刀-布游戏是一个经典的混合策略纳什均衡的例子，其中玩家的选择概率分布是关键因素。
博弈论混合策略纳什均衡名词解释
博弈论混合策略纳什均衡名词解释博弈论混合策略纳什均衡是指在博弈论中，当参与者不能确定选
择某一个策略时，采取混合策略的情况下达到的均衡状态。
具体来说，混合策略是指在一个博弈中，参与者以一定的概率选
择不同的纯策略。
而纳什均衡是指在一个博弈中，参与者无法通过单
独改变自己的选择来获得更好的结果，即不存在任何参与者可以通过
改变自己的策略来让其他参与者不再选择当前策略。
混合策略纳什均衡是指游戏中所有参与者以一定的概率选择不同
的纯策略，并且这种概率分配对于所有参与者都是最优的。
也就是说，在混合策略纳什均衡下，参与者没有更好的选择可供其采取，而其他
参与者也没有更好的概率分配可供其选择。
拓展：
在博弈论中，还有许多其他类型的均衡概念，例如纯策略纳什均衡、帕累托均衡、部分均衡等等。
纯策略纳什均衡是指游戏中参与者
以确定性的纯策略进行选择，使得没有参与者可以通过改变其策略来
获得更好的结果。
帕累托均衡是指在一个博弈中，不存在可以改善任
何一个参与者的情况。
部分均衡是指只有某些参与者达到均衡状态，而其他参与者未达到均衡状态。
博弈论是研究决策制定者在相互影响下进行决策的数学工具。
通过分析不同的博弈策略和可能的结果，博弈论可以帮助我们理解冲突和合作的情况，并提供一些决策建议。
第三讲_混合策略纳什均衡
混合策略
◆混合策略定义：在n人博弈的策略式表述 G S1, , Sn ; u1, , un Si Si1, , SiK ，那么，概率 中，假定参与人 i 有K个纯策略： 分布 pi pi1 , , piK 称为 i 的一个混合策略，这里
pik p(sik ) 是 i 选择 sik 的概率，对于所有
这个故事曾经被很多人当作博弈论的例 子来演绎，但实际上这个故事与博弈论无关。 博弈论会假定所有局中人都是理性的，不能假 定一些局中人聪明而另一些局中人却是傻子。 当田忌出下马时，齐威王最好的选择是出下马 而不是上马。孙膑的计谋中假定齐威王是傻子 ，当田忌出下、上、中马时，他仍然按上、中 、下马出，当然要输了。事实上，当田忌出下 马时，齐威王应出下马，但齐威王出下马时， 田忌不应出下马而是出中马，但此时齐威王又 应出中马而不是下马了，……。这样，博弈不 会有纯战略的均衡。
-2，3
2，2
假定老板选择混合战略（0.2，0.8) 工人选择“偷懒”期望支付为(-1)×0.2+3×0.8=2.2 工人选择“不偷懒”（期望）支付为2×0.2+2×0.8=2 工人应选择“偷懒” 老板选择“监督” “不偷懒’……
假定老板选择混合战略（0.5， 0.5) 工人选择“偷懒”期望支付 0.5 为 (-1)×0.5+3×0.5=1 工人选择“不偷懒”期望支 0.5 付为2×0.5+2×0.5=2 工人应选择“不偷懒” 老板选择“不监督” 工人选择“偷懒’……
由 VA =VB 可得 ：q=0.8 博弈方2：
VB =3q (1 q)
博 弈 方 1
A B
VC =3 p (1 p)
VD =2 p 5(1 p)
混合策略纳什均衡
类似地，令参与人2的纯战略期望效用相等得q ： 1 2
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20 EXIT
社会福利博弈
假定最优混合策略存在，给定流浪汉选择混合策略
( ,1 )
政府选择纯策略救济的期望效用为：
3 (1)(1 ) 4 1
理学院 顾聪 gucong@
EXIT
4.1 严格竞争博弈和混合策略
1. 混合策略的提出——猜硬币博弈
两个参与人各拿一枚硬币，并选择出正面向上还是反面向上。若两枚硬币 是一致的(即全部正面或全部反面)，则参与人2赢走参与人1的硬币；若两 枚硬币不一致(一正一反)，参与人1赢得参与人2的硬币。支付矩阵如下：
• 这样，我们得到一个混合策略组合，每一个参与人的混合策略都是给 定对方混合策略是的最优选择，从而构成混合策略纳什均衡。
策略 期望收益 政府 (0.5, 0.5) -0.2 流浪汉 (0.2, 0.8) 1.5
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11 EXIT
既然参与人在构成混合策略时选择不同纯策略之间是无差异的，他 为什么不选择一个特定的纯策略而要以特定的概率随机地选择不同的纯 策略呢？一个参与人选择混合策略目的是给其他参与人造成不确定性。
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5 EXIT
• 混合策略扩展博弈：
博弈方在混合策略的策略空间(概率分布空间)的选择看作一个博弈，就 是原博弈的“混合策略扩展博弈”。
• 混合策略纳什均衡(MNE)：
由最优的混合策略构成的混合策略组合：
* (* , * ,, * )
12
n
即，如果对于所有的 i 1，2， ，n，有
E1(正面)=(-1)×r+1×(1-r)=1-2r 参与人1选取反面的期望效用为
混合策略纳什均衡
03 混合策略纳什均衡的证明 方法
反证法
总结词
通过假设不成立来证明均衡的存在。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，它首先假设与结论相反的命题成立，然后通过逻辑推理和数学推导，得出矛盾的 结论，从而证明原命题的正确性。在证明混合策略纳什均衡的存在时，反证法可以用来证明当其他玩家采取了最 优策略时，某个玩家采取混合策略能够达到最优结果。
唯一性意味着在给定对手策略的情况下，每个参与者都只有一个最优反应，从而 避免了复杂的策略互动和不确定性。
存在性
混合策略纳什均衡的存在性是指在某 些博弈中，至少存在一个策略组合， 使得每个参与者在给定其他参与者策 略的情况下，采用混合策略是最优的 。
存在性通常通过数学证明和计算机搜 索等方法来证明，但并不是所有博弈 都有混合策略纳什均衡。
混合策略纳什均衡
目录
CONTENTS
• 混合策略纳什均衡的定义 • 混合策略纳什均衡的特性 • 混合策略纳什均衡的证明方法 • 混合策略纳什均衡的应用场景 • 混合策略纳什均衡的局限性 • 混合策略纳什均衡的发展前景
01 混合策略纳什均衡的定义
定义
混合策略纳什均衡是一种博弈论中的均衡概念，它描述了在 给定对手策略的情况下，参与者如何选择最优策略以最大化 自己的期望收益。
代数法是一种通过数学符号和公式进行推 理和证明的方法。在证明混合策略纳什均 衡的存在时，代数法可以用来推导和证明 纳什均衡的条件和性质，利用代数性质和 技巧来证明均衡的存在。
04 混合策略纳什均衡的应用 场景
经济学
竞争策略分析
混合策略纳什均衡在经济学中被用于分析竞 争策略，特别是在不完全竞争市场和寡头垄 断市场中。通过混合策略纳什均衡，可以研 究企业在不确定环境下的最优反应，以及企 业如何通过调整其策略来应对竞争对手的行 为。
混合纳什均衡
混合纳什均衡混合纳什均衡是一种多人博弈模型，也被称为“混合博弈”，可以模拟多方参与者协商、合作和竞争的过程。
这种理论是基于纳什均衡的，在纳什均衡中，每个参与者都有唯一的利益，各参与者的最优策略协作，从而达到最大的利益。
混合纳什均衡是一种非零和纳什均衡，这意味着在一局游戏中，所有参与者可以实现共赢的结果，而不是某些参与者的利益以牺牲其他参与者的利益为代价。
这种理论很有用，因为它可以帮助参与者解决复杂的多方协商问题，降低买卖双方的损失。
混合纳什均衡有三类参与者：合作者、竞争者和不确定者。
这三类参与者行为的不同可能会影响混合纳什均衡的最终结果。
首先，合作者是指参与者之间相互合作，面对游戏的结果，合作者会达成有利于双方的互惠交易。
其次，竞争者是指参与者之间存在竞争，他们拼劲、追求自身最大利益，甚至牺牲他人利益也在所不惜。
最后，不确定者是指参与者对其他参与者的行为不太清楚，不确定者在游戏中会被动地接受其他参与者的影响，不会太过激进地为自身争取利益。
混合纳什均衡的应用非常广泛，它可以用来模拟经济、政治和外交等领域中的多方协商。
例如，混合纳什均衡可以用来模拟多个国家的贸易谈判，各国可以混合地拼争，双赢共赢的结果也可以从混合纳什均衡中获得。
此外，混合纳什均衡还可以用于多方竞争，各参与者一方面决策自身利益，另一方面也考虑到他人利益，以免损害自己的利益。
混合纳什均衡由一系列经典模型构成，例如拉斯维加斯博弈、巴斯-马丁斯博弈、多人贪心渐近博弈和贝叶斯优化博弈等等。
这些经典模型可以帮助参与者更容易地找到最大利益的解决方案，从而使参与者可以面对复杂的多方协商游戏实现共赢。
混合纳什均衡受到了日益普及和重视。
从商业活动到政治事务，混合纳什均衡已经被广泛地应用，而且也取得了许多成功案例。
在政治领域，混合纳什均衡可以帮助各个利益派系达成协议，减少谈判的紧张和矛盾，从而使多方收获相对平衡的政治结果。
此外，混合纳什均衡也有不足之处，例如模型的复杂性使得集成分析变得更加困难，可能引发新的潜在问题，而且由于参与者的利益不断变化，使用混合纳什均衡可能无法达到预期的最终结果。
混合策略纳什均衡
田忌的谋士孙膑了解了田忌的困境
后，就打听到这样一个消息：尽管齐威
王的上、中、下三匹马都要比田忌的对
应上、中、下三匹马好，但碰巧的是田
忌的上马可胜齐威王的中马，田忌的中
马可胜齐威王的下马。于是，孙膑为田
忌献计：下一次比赛中第一局时田忌出
下马对齐威王的上马输一局，第二局田
忌出上马对齐威王的中马，第三局田忌
9
对于大企业，因一旦偷税就数目巨大，所 以，税务部门在随机检查时放在大企业上的可 能性就大一些；而给定税务部门检查大企业的 可能性较大，大企业偷漏税的行为就较少，否 则就容易被逮个正着。所以，偷漏税较多的就 是一些中小企业，大企业纳税的积极性较高。 同样的道理，在犯罪或对错误的监督惩罚博弈 中，也是混合博弈，人们可能总是大错不犯小 错不断。
15
混合策略均衡
◆混合策略定义：在n人博弈的策略式表述G S1,, Sn;u1,,un 中，假定参与人 i 有K个纯策略：Si Si1,, SiK ，那么，概率
分布 pi pi1,, piK 称为参与人 i 的一个混合策略，这里
pik p(sik ) 是参与人 i 选择sik 的概率，对于所有
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混合策略均衡
◆纯策略与纯策略纳什均衡 ➢ 纯策略：肯定会被选择——以100%的概率——被
选择的策略。
➢ 纯策略纳什均衡：各个参与人都选择纯策略的纳 什均衡。
◆混合策略与混合策略纳什均衡
➢ 混合策略：以一定的概率分布选择某几个行动的 策略。
➢ 混合策略纳什均衡：由参与人的混合策略构成的 纳什均衡。
当田忌出下、上、中马时，他仍然按上、中、
下马出，当然要输了。事实上，当田忌出下马
时，齐威王应出下马，但齐威王出下马时，田
混合策略纳什均衡
混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡是博弈论中一个重要的概念。
纳什均衡是指在一个博弈中，每个参与者都选择了最优的策略，而且即使其他参与者知道其他参与者的策略，他们也无法从自己的策略中获得更大的利益。
而混合策略则是指参与者通过随机化选择不同策略的概率来达到最优策略。
本文将深入探讨混合策略纳什均衡的概念、特点以及计算方法。
首先，混合策略纳什均衡是指参与者通过一定概率选择不同策略的方式达到最优策略。
在混合策略中，每个参与者都拥有一个策略概率分布，表示他们在不同策略下的选择概率。
这样，在博弈中，每个参与者将根据其策略概率分布中的概率随机选择其中一种策略。
对于每个参与者而言，他们的目标是通过选择最优的策略概率分布来最大化自己的期望收益或最小化自己的期望损失。
其次，混合策略纳什均衡与纳什均衡相比具有以下特点。
首先，混合策略纳什均衡可以推翻完全信息博弈中的固定策略均衡结果。
在完全信息博弈中，参与者可以根据对其他参与者策略的了解来做出精确决策，因此均衡状态是唯一确定的。
而在混合策略博弈中，由于参与者通过概率选择不同策略，他们无法准确地预测其他参与者的策略，因此均衡状态不再是唯一确定的。
其次，混合策略纳什均衡可以引入不确定性，增加博弈的复杂性。
参与者无法准确地预测其他参与者的策略，因此他们需要通过一定的概率选择策略来平衡风险与收益。
最后，混合策略纳什均衡可以通过均衡态的共同选择来实现长期的稳定状态。
在混合策略纳什均衡中，参与者通过随机化选择策略，从而消除了其他参与者可以预测自己策略的可能性，增加了稳定性。
最后，计算混合策略纳什均衡的方法主要有以下两种。
一种是通过计算参与者的最优策略概率分布来确定混合策略纳什均衡。
这种方法主要基于线性规划技术，通过最大化或最小化参与者的期望收益或损失来确定最优的策略概率分布。
另一种方法是通过迭代算法来求解混合策略纳什均衡。
这种方法主要是通过反复更新参与者的策略概率分布，直到达到均衡状态。
混合策略纳什均衡计算方法(一)
混合策略纳什均衡计算方法(一)混合策略纳什均衡计算方法什么是混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡是博弈论中的一个概念，指的是每个玩家都选择一定的概率来执行每一个可行的行动。
这样，游戏的结果不再是唯一的，而是有一定的概率分布。
如何计算混合策略纳什均衡计算混合策略纳什均衡需要用到线性规划的方法，具体步骤如下：1.确定每个玩家的策略空间，即每个玩家可选的所有策略。
2.建立概率分布矩阵，即每个玩家选择每个策略的概率。
3.利用概率分布矩阵和游戏的收益矩阵计算出每个玩家的期望收益。
4.建立线性规划模型来最大化每个玩家的期望收益。
5.求解线性规划模型得到混合策略纳什均衡。
混合策略纳什均衡的应用混合策略纳什均衡在实际应用中有广泛的应用。
比如在围棋、国际象棋等棋类游戏中，人类选手常常会使用混合策略来应对对手的不确定性。
同时，在市场竞争、拍卖、投资等领域，混合策略也可以用来帮助决策者做出最优的决策。
总结混合策略纳什均衡是博弈论中的重要概念，在实际应用中具有广泛的应用前景。
计算混合策略纳什均衡需要用到线性规划的方法，但具体计算步骤并不复杂。
我们可以通过深入理解和应用混合策略纳什均衡，来帮助我们更好地应对不确定性和竞争。
混合策略纳什均衡的优势混合策略纳什均衡作为一种考虑不确定性的策略，相较于确定性策略有以下优势：1.能够应对对手的随机性，减小被对手利用的风险；2.能够在一定程度上改变游戏的结果分布，增加自己的收益，同时降低失败的风险。
混合策略纳什均衡的局限性尽管混合策略纳什均衡具有很多优点，但是也存在以下局限性：1.混合策略需要玩家具有一定的判断力和计算能力，否则可能难以计算出最优解；2.没有一个确定的策略来保证获胜，更多地要依靠概率和运气；3.当游戏中有多个混合策略纳什均衡时，玩家可能难以选择最优的策略。
结语混合策略纳什均衡是一个重要的博弈论概念，应用范围广泛。
尽管混合策略存在一些局限性，但是这并不妨碍我们充分应用这一理论来帮助我们在不确定性和竞争中取得更好的结果。
混合纳什均衡
混合纳什均衡混合纳什均衡（MixedNashEquilibrium）是一种在博弈模型中用于表示多人游戏中多个参与者之间协商达成不同利益最优化解决方案的一种综合策略。
它最初由纳什（JohnNash）在1950年的著作中提出，作为一种游戏论中的重要概念，它在很多复杂的博弈中发挥着重要作用。
它是多人博弈的理论基础，在实体经济系统中也有应用。
混合纳什均衡的主要特点是每个参与者都拥有不同的策略，当每个参与者选择其中一种策略时，就能够使参与者的收益达到最大值。
混合纳什均衡的概念混合纳什均衡是多人博弈中最重要的概念之一，它是一种衡量博弈中参与者策略选择的综合结果。
一般情况下，博弈参与者有多种不同的选择，每个参与者也可以选择不同的策略，而混合纳什均衡是描述每个参与者选择某种策略的结果而实现的收益最大化。
当每个参与者选择了一种策略后，就可以使参与者的期望收益达到最大值。
混合纳什均衡在实体经济中的应用混合纳什均衡也可以被应用于实体经济中，比如政府改革。
政府制定改革政策时，通常会考虑政策的社会效应，如政策对收入分配的影响等。
使用混合纳什均衡的政策可以确保政策的实施会增加政府的收入，同时达到社会的最大利益。
例如，当使用混合纳什均衡来解决税收制度时，政府可以通过分析每个阶层的收入分配，制定出一种具有征税灵活性的税收体制，从而确保政府的税收收入和社会的分配公平。
在市场中，混合纳什均衡也可以用来解决政府与市场之间潜在的冲突。
混合纳什均衡可以帮助政府分析平衡市场经济供需关系，确定出最优的市场竞争环境。
总结混合纳什均衡是一种在博弈模型中用于表示多人游戏中多个参与者之间协商达成不同利益最优化解决方案的一种综合策略。
它最初由纳什（John Nash）在1950年的著作中提出。
每个参与者都拥有不同的策略，当每个参与者选择其中一种策略时，就能够使参与者的收益达到最大值。
混合纳什均衡不仅可以在博弈中应用，也可以在实体经济中应用，比如政府改革和市场竞争。
03 混合策略纳什均衡
相关均衡例子 三个纳什均衡： 三个纳什均衡 （U，L）、（D，R） 和混合策略均衡[（1/2，1/2）， （1/2，1/2）] 结果都不理想，不如（D，L）。
5）防联盟均衡 ） 博弈中若有三个及三个以上的局中人，就有可能部分人结 成“联盟”，在极大化联盟成员利益的同时损害了其他局 中人的利益。
甲 乙
2
( p, q ) = ∑∑ pi q j bij
i =1 j =1
混合策略纳什均衡 设 P * = ( P * , L, Pi* , L, Pn* ) 是 n 人策略式博弈 G = {S1 ,LSn ; u1 ,Lun } 1 的一个混合策略组合，如果对于所有的
i = 1, L , n ，
π i ( Pi* , P−*i ) ≥ π i ( Pi , P−*i ) 对于每一个 Pi ∈ ∑i 都成立，则称
i i
随机在其m个可选策略中选择的“策略”，称为一个“混合 策略”，其中 p ij 0≤
≤1
j 对,L, m =1
p 1i 都成立，且 + L + p im = 1
混合策略扩展博弈：博弈方在混合策略的策略空 混合策略扩展博弈 间（概率分布空间）的选择看作一个博弈，就是原 博弈的“混合策略扩展博弈。
L 0，0，10 -5，-5，0 A
R -5，-5，0 1，1，-5
乙 甲
L -2，-2，0 -5，-5，0 B
R -5，-5，0 -1，-1，5
U D
U D 丙
）、（D， ， ） （U，L，A）、（ ，R，B）——纯策略纳什均衡 ， ， ）、（ 纯策略纳什均衡 优于（ ， ， ） （U，L，A） Pareto优于（D，R，B） ， ， ） 优于
2）制式问题
混合策略纳什均衡
目录[隐藏]1 什么是混合策略纳什均衡2 解混合策略纳什均衡的方法3 混合策略纳什均衡的经典博弈——猜谜博弈[1]4 混合策略纳什均衡博弈与其他均衡的关系[1]5 参考文献[编辑][编辑][编辑]混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡（Mixed Strategy Nash Equilibrium ）什么是混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡：在n 个参与人的博弈G={S 1 ,... S n ; u 1,...u n }中，混合策略组合构成一个纳什均衡，如果对于所有的i ＝1，2...，n 下式成立：也就是说，如果一个策略组合使任何一个参与人的策略都是相对于其他参与人的策略的最佳策略，这个策略就构成一个纳什均衡，不管这个策略是混合策略还是纯策略。
混合策略纳什均衡是面对其他博弈者选择的不确定性的一个理性对策，其主要特征是作为混合策略一部分的每一个纯策略有相同的期望值，否则，一个博弈者会选择那个期望值最高的策略而排除所有其他策略，这意味着原初的状态不是一个均衡。
解混合策略纳什均衡的方法1、最大化支付法：即最大化各个参与人的效用函数。
2、支付相等法：根据前面分析的猜硬币博弈中参与人的策略的思路，每个参与人的混合策略都使其余参与人的任何纯策略的期望支付相等，因此，解混合策略纳什均衡可以令参与人的各个纯策略支付相等，构成方程组求解。
混合策略纳什均衡的经典博弈——猜谜博弈[1]两个局中人A 、B 手里各拿一枚硬币，每人可以选择正面向上或反面向上，然后同时亮出，如果两枚硬币正反面相同，B 付给A1元钱，如果两枚硬币正反面不相同，A 付给B1元钱。
在这种情况下，局中人A 、B 如何选择呢?下图给出这个博弈的双变量收益矩阵。
这是一个两人零和博弈，在每一个结局中一方所得即为另一方所失，即两个局中人的收益之和恰好等于零。
在双变量收益矩阵中采用画线的方法，在这个博弈中找不到纯策略纳什均衡。
那么，猜谜博弈是否存在混合策略纳什均衡呢?1950年纳什证明了任何有限博弈都至少存在一个纳什均衡(包括纯策略纳什均衡和混合策略纳什均衡)。
03 混合战略Nash均衡
1
三、混合战略Nash均衡的求解
1. 支付最大化法； 2. 支付等值法；
• 社会福利博弈
流浪汉 寻找工作 流浪
救济 政府 不救济
3，2 -1，1
-1，3 0，0
没有一个策略组合构成纳什均衡
1、支付最大化法 、 流浪汉
寻找工作 流浪
假定政府的混合策略是 σ G = θ，− θ）； （ 1 流浪汉的混合策略是 σ L = γ，− γ）。 （ 1 政府的期望效用函数为 ： （ v（ σ G， σ L） θ（3γ + − 1）（1 − γ）） = （ 0 + 1 − θ）（ − γ + （1 − γ）） = θ（5γ − 1） γ − 求微分，得到政府最优 化的一阶条件： ∂ vG = 5γ − 1 = 0 ∂θ 故 γ * = 0 .2
• 例：
2
q b1 p
1
1−q b2 x2 , y2 x4 , y4
a1
x1 , y1 x3 , y3
1 − p a2
• 参与人1 的混合战略σ 1 = ( p,1 − p) ，参与人2 的 混合战略 σ 2 = (q,1 − q ) ； • 在混合战略组合σ = (σ 1 , σ 2 )下，战略组合 (a1 , b1 ) (a1 , b2 ) 、(a2 , b1 ) 、和 (a2 , b2 ) 出现的概率就分别 为 pq 、p (1 − q ) 、 − p ) q和(1 − p )(1 − q ) 。 (1
= pqy1 + (1 − p)qy3 + p (1 − q ) y2 + (1 − p)(1 − q) y4
二、混合战略Nash均衡
• 问题： 问题： 在“猜硬币”游戏中，参与人往往会以50%的概 率选择正面(O)，以50%的概率选择反面(R)，即 选择混合战略σ=(0.5，0.5)。如我们在介绍Nash 均衡的概念时一样，我们想知道，有没有参与 有没有参与 人会偏离混合战略σ 人会偏离混合战略 i=(0.5，0.5)呢？ ， 呢
第三讲混合策略纳什均衡
博弈方2的期望得益为：
u1e pqu2 A,C p(1 q)u2 A, D (1 p)qu2 B,C (1 p)(1 q)u2 B, D
0.8 0.83 0.8 0.21 0.2 0.8 2 0.2 0.25 2.6
假定老板选择混合战略（0.2，0.8)
工人选择“偷懒’……
工人选择“偷懒”期望支付为(-1)× 0.2+3×0.8=2.2
工人选择“不偷懒”（期望）支付为2×0.2+2×0.8=2
工人应选择“偷懒”
懒’……
老板选择“监督”
工人选择“不偷
混合策略均衡
什么情况下达到纳什均衡状态？ 假定存在一个概率q，老板选择混合策略（q，1-q） 工人选择“偷懒”期望收益为(-1)×q+3×(1-q)=3-4q 工人选择“不偷懒”收益为2 如果老板真的以概率q选择监督，1-q选择不监督，那么意 味着他不会始终重复地选择某个纯策略，而他不重复选择的 条件必须是工人也不会重复地选择纯策略。
那么概率分布称为的一个混合策略这里选择的概率对于所有ikikikik显然纯策略可以理解为混合策略的特例比如说纯策略等价于混合策略即选择纯策略的概率为1选择任何其他纯策略的概率为0
第三讲 混合策略纳什均衡
引言
◆有些博弈不存在纳什均衡，或者纳什均衡不唯
一，如猜硬币博弈，前述纳什均衡分析就无法 对博弈方的选择和博弈结果作明确的预测。 ◆这部分对不存在纳什均衡和存在多个纳什均衡 的博弈作一些讨论。
两人只能玩混合战略博弈，齐威 王分别以1/6随机的概率选择出上、中 、下马的任一排列，田忌也如此。由于 齐威王存在绝对优势，他平均看来仍然 会赢田忌一千斤铜。
第四章 混合策略纳什均衡
第四章 混合策略纳什均衡攻而必取者，攻其所不守也；守而必固者，守其所必攻也。
故善攻者，敌不知其所守；善守者，敌不知其所攻；不乎神乎，至于无声，故能为敌之司命。
——孙子故事模型假设你在地面逃亡，而你的敌人正在空中对你实施打击。
你可以选择躲到坚固的掩体下面，也可以选择躲到一间民房里。
你首先可能想到躲到坚固掩体下面是更好的，因为更坚固的地方会更安全。
但是，你可能马上意识到，你的敌人很可能也会猜测到你将躲到最坚固的地方，所以他们也就会集中火力轰炸那些坚固的掩体——最安全的地方反而变成了最危险的地方；于是你决定还是到民房，但是你的敌人也会想到这一点而进攻民房……最后，你想不出究竟该躲在哪里，你的敌人也不知道你究竟会躲在哪里，于是大家都在碰运气。
这样的局势并非假想，现实中的确存在诸多类似的情形，我们称之为混合对策情形。
§4-1 策略混合动机1、懦夫博弈中的策略混合回想一下上一章图3-5的懦夫博弈。
当时我们得到了两个纯策略纳什均衡：（向前，转向）和（转向，向前）。
为了更方便，我们将这个博弈的赢利在这里再画一遍（见图4-1）。
司机乙 转向 向前司机甲（你）转向向前图4-1 懦夫博弈但问题可以想得更复杂些。
假如你是司机甲，你究竟会转向还是继续向前？这很可能取决于你对司机乙的判断：司机乙选择转向还是选择向前决定着你的选择。
但是你无法肯定司机乙是否会转向，因为他的行为取决于他对你的揣摩。
所以，最终你也许只能猜测司机乙有多少可能转向、有多少可能向前。
假如，你认为司机乙转向的可能性为50%，向前的可能性也为50%，那么你应该选择转向还是向前？这取决于你采取不同策略的预期赢利，它们可以计算如下：◆你选择转向的预期赢利：1×50%＋（-2）×50%= － 0.5◆你选择向前的预期赢利：2 × 50%＋(-4)×50% =－1你将发现，当司机乙转向、向前的可能性各为50%的时候，你选择转向是最合适的，因为转向的预期贏利(—0.5)比向前的预期赢利( -1)要大一些。
混合策略纳什均衡
混合策略纳什均衡简介混合策略纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，用于描述多方参与的博弈情境中，每个参与者按照一定的概率分布选择不同的策略，使得任何人无法通过改变自己的策略来获得更好的结果。
在这种均衡状态下，每个参与者的预期收益最大化。
混合策略在传统的博弈理论中，参与者通常会选择一个确定性的策略来对抗其他参与者。
然而，在现实生活中，我们经常遇到的情况是，每个参与者都存在一定的不确定性和随机性，犹豫在不同的策略之间选择。
这时，混合策略就应运而生了。
混合策略是指参与者以一定的概率分布选择不同的策略来进行博弈。
例如，在一个石头剪刀布的游戏中，参与者可以以1/3的概率选择石头，1/3的概率选择剪刀，1/3的概率选择布。
这样的不确定性选择使得博弈更具有变数和策略性。
纳什均衡纳什均衡是由约翰·福布斯·纳什在20世纪50年代提出的一个概念，用于描述博弈理论中的均衡状态。
在纳什均衡中，每个参与者选择的策略都是最优的，即在其他参与者选择的策略下，自己无法通过改变策略来获得更好的收益。
通常情况下，纳什均衡是以确定性策略为基础进行定义的。
但是当参与者选择混合策略时，纳什均衡也可以被定义为每个参与者选择混合策略的概率分布，使得任何人都无法通过改变自己的概率分布来获得更高的收益。
混合策略纳什均衡的计算方法计算混合策略纳什均衡的方法主要是通过解析求解和数值求解两种方式。
解析求解解析求解是一种通过代数和数学推导的方式来找到混合策略纳什均衡的方法。
通过建立参与者的效用函数和概率分布函数等数学模型，应用最优化理论和微积分等数学工具，可以得到参与者的最优混合策略。
然而，解析求解的方法通常只适用于简单的博弈情境，并且求解过程繁琐复杂。
数值求解数值求解是一种通过计算机模拟和迭代计算的方式来找到混合策略纳什均衡的方法。
通过构建博弈模型，设定参与者的初始混合策略，然后通过迭代计算，逐渐优化参与者的混合策略，直到收敛到纳什均衡。
混合策略纳许均衡课件
策略纳什均衡的算法优化。
混合策略纳什均衡与人工智能
02
随着人工智能的发展，可以尝试将混合策略纳什均衡应用于机
器学习和人工智能领域，以实现更高效和智能的决策。
混合策略纳什均衡与演化博弈论的结合
03
研究混合策略纳什均衡与演化博弈论的结合，可以更好地解释
现实生活中的动态博弈现象。
06
参考文献
参考文献
定义
混合策略纳什均衡课件
CONTENTSБайду номын сангаас
• 混合策略纳什均衡简介 • 混合策略纳什均衡的数学模型 • 混合策略纳什均衡的求解方法 • 混合策略纳什均衡的应用实例 • 混合策略纳什均衡的挑战与展
望 • 参考文献
01
混合策略纳什均衡简介
定义与概念
混合策略纳什均衡是一种博弈论中的概念，它描述了在给定对手策略的情况下，参 与者如何选择最优的行动方案。
定义策略空间
为每个参与人定义一个策略选 择的空间，这些策略可以是离 散的、连续的或混合的。
定义支付函数
根据每个参与人的策略选择， 定义他们的支付函数，即每个 参与人在该策略下的期望收益。
构建博弈矩阵
根据参与人的策略空间和支付 函数，构建一个博弈矩阵，用 以表示每个参与人选择不同策
略时的收益。
模型参数解 释
纳什均衡点或满足一定的收敛条件。
优化算法
优化算法是一种基于数学优化的方法，用于求解混合策略纳什均衡。
优化算法的基本步骤包括：定义一个目标函数，然后使用优化算法（如 梯度下降法、牛顿法等）寻找目标函数的最大值或最小值，从而得到纳
什均衡点。
优化算法的优点是能够快速找到纳什均衡点，适用于大规模问题。但缺 点是需要对问题进行数学建模，且对初始点的选择敏感。
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2020年6月11日
博弈论第三章
31
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢三、聚点均衡 ➢（一）案例：城市分组博弈 ➢参与人： 甲 乙 ➢策略：把上海、长春、南京、哈尔滨
四个城市分成两组，每组2个城市 ➢支付：甲乙分法相同——奖励100元；
甲乙分法不同——奖励0元
2020年6月11日
博弈论第三章
-5，-5 -10，8
8，-10 10，10
2020年6月11日
博弈论第三章
25
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢二、风险优势标准：风险更小？
➢（一）案例：串通作弊博弈
➢
帕累托优 势？
学生乙
➢
作弊 不作弊
➢
作弊
➢学生甲
9，9
➢
不作弊 8，0
0，8 7，7
2020年6月11日
博弈论第三章
21
第二讲多重纳什均衡
友军博弈特征
两个（多个）纳什均衡 问题：博弈的最终结果？
2020年6月11日
博弈论第三章
22
第二讲多重纳什均衡
第三章 混合策略纳什均衡
第三节 多重纳什均衡的选择 标准
2020年6月11日
博弈论第三章
23
第二讲多重纳什均衡
第三节 多重纳什均衡的选择标准
➢一、帕累托优势标准：得益更大
➢
企业乙Leabharlann ➢好产品 差产品➢
好产品 4，4
➢企业甲
-2，-8
➢
差产品
-8，-2 -2，-2
2020年6月11日
博弈论第三章
34
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢四、相关均衡
➢（二）相关均衡
➢参与人主动设计某种形式的选择机制， 形成制度安排，从而确定最终均衡
➢“三鹿”事件出现后，河北省其他食品 企业以后如何做？
4，4 -8，-2 -2，-8 -2，-2
2020年6月11日
博弈论第三章
35
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢五、抗共谋均衡
➢（一）案例：抽象 的选择
➢丙：A
乙
➢
左右
➢上 ➢甲 ➢下
0，0，10 -5，-5，0
-5，-5，0 1，1，-5
➢ ➢ ➢上 ➢甲 ➢下
乙 左右
-2，-2，0 -5，-5，0 -5，-5，0 -1，-1，5
社会福利博弈：无纳什均衡
➢ ➢ ➢ ➢政府 ➢
救济
流浪汉 寻找工作 游荡
3，2
-1，3
不救济
-1，1
0，0
你救济，他就游 荡；你游荡，他
就不救济
2020年6月11日
博弈论第三章
1
第一讲 概念与方法
社会福利博弈的特征
➢不存在纳什均衡 ➢类似：父母与啃老族 ➢回望：另一个不正常的博弈
➢情侣博弈——两个纳什均衡
32
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢三、聚点均衡 ➢（二）聚点均衡 ➢1.标准
➢使用社会文化习惯、博弈历史等信 息达到均衡
➢1、10、66、888 ➢2.实质
➢规律性
2020年6月11日
博弈论第三章
33
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢四、相关均衡
➢（一）案例：“地域连坐”下的产品 质量博弈
2020年6月11日
博弈论第三章
12
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
➢二、期望支付 ➢（二）数学刻画
mn
1( p, q)
pi q j aij
i 1 j 1
mn
2( p, q)
pi q jbij
i 1 j 1
2020年6月11日
博弈论第三章
13
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
2020年6月11日
博弈论第三章
16
第一讲 概念与方法
二、研究方法：反应函数法
➢三、反应函数 ➢1.Jim：Dela剪发的概率越小，Jim卖
表越好
➢UJim=2p(1-3q)+2q
1, ifq 1/ 3, 此时1 3q 0, p越大越好 p [0,1],ifq 1/ 3
0, ifq 1/ 3, 此时1 3q 0, p越小越好
更大：49 ➢（2）不偏离（不作弊，不作弊）
2020年6月11日
9，9
博弈论第三章 8，0
第二讲多重纳什均衡
0，8 7，7
30
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢二、风险优势标准：风险更小 ➢（三）纳什均衡的选择标准：风险优
势标准 ➢比较不同纳什均衡之间的风险状况，
风险小的纳什均衡优先
9，9 0，8 8，0 7，7
博弈论第三章
41
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢六、颤抖手精炼均衡 ➢Trembl一in个g人-用h手a抓n东d西perfect
equilibr时可iu，能手抓m一 不颤 住抖 他， 想就 抓 ➢（一）颤的东抖西：手误非蓄意错 ➢某一参与人的非蓄意错误
➢博弈偏离均衡路径的原因
2020年6月11日
博弈论第三章
39
第二讲多重纳什均衡
金无足赤，人无 完人
➢人总是要犯错误 的，所以要对别 人宽容
2020年6月11日
博弈论第三章
40
第二讲多重纳什均衡
经得起考验的纳什均衡
➢下在，其某他参参与与人人仍选能择实了他 你现错人能纳误不实什策犯现均略错最衡的误优，；情况
他人犯错误， 你仍能实现最
优
2020年6月11日
➢（一）案例：战争与和平
➢
C国
➢
鹰战略 鸽战
略
➢
鹰战略 -5，-5
8，-10
➢ A国
-10，8 10，10
➢
鸽战略
2020年6月11日
博弈论第三章
24
第二讲多重纳什均衡
第三节 多重纳什均衡的选择标准
➢一、帕累托优势标准：得益更大 ➢（二）纳什均衡的选择标准
➢帕累托优势标准 ➢按照支付大小筛选纳什均衡
2020年6月11日
博弈论第三章
14
第一讲 概念与方法
第二节 研究方法：反应函数法
➢——最佳反应函数曲线交叉法
➢一、案例：麦琪的礼物
➢
Dela
➢
剪发q 保留（1-q）
➢
卖表p
-2，-2
2，2
➢Jim
2，2
0，0
➢ 保留（1-p）
2020年6月11日
博弈论第三章
15
第一讲 概念与方法
二、研究方法：反应函数法
2020年6月11日
博弈论第三章
18
第一讲 概念与方法
二、研究方法：反应函数法
➢四、反应函数曲
线
p
➢1.交点（1，0） 1
互相为对方着 想，期望支付
变小
➢双方支付为2
➢2.交点（0，1）
➢双方支付为2 1/3
➢3.交点（1/3，1/3）
➢双方支付为2/3
1/3
q 1
2020年6月11日
博弈论第三章
第一节 混合策略与期望支付
➢一、混合策略 ➢（二）混合策略 ➢2.相对概念：纯策略 ➢每个参与人的非随机性选择
➢纯粹行动计划，p=100%,1-p=0
2020年6月11日
博弈论第三章
9
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
➢一、混合策略
➢（二）混合策略
➢3.数学刻画
➢给定博弈G=｛S1，…,Sn;u1,…,un｝以及参 与人i的纯策略Si= ｛si1,…,sik｝
2020年6月11日
博弈论第三章
11
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
➢二、期望支付 ➢（一）分析 ➢2.期望支付 ➢U小偷=8pq+（-2）p(1-q)+0(1-p)q+0(1-
p)(1-q)=2p(5q-1) ➢U守卫= （-2） pq+0p(1-q)+8(1-
p)q+0(1-p)(1-q)=2q(4-5p)
26
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢二、风险优势标准：风险更小 ➢（二）分析：偏离损失比较法 ➢1.甲：单独偏离均衡的损失 ➢（1）偏离“作弊”：9-8=1 ➢（2）偏离“不作弊”：7-0=7
9，9 0，8
8，0 7，7
2020年6月11日
博弈论第三章
27
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢-1→-5， 5→0 ➢ （3）若乙、丙集体偏离，选（下，左，A）
➢-1→-5， 5→0 ➢ （4）结论：缺乏集体偏离的激励， （下，右，B）为
抗共谋均衡
2020年6月11日
博弈论第三章
38
第二讲多重纳什均衡
猎鹿博弈：何为抗共谋均衡？
➢
乙
➢
猎鹿
打兔
➢
猎鹿
10，10 0，4
➢甲
➢
打兔
4，0
4，4
2020年6月11日
2020年6月11日
博弈论第三章
17
第一讲 概念与方法
二、研究方法：反应函数法
➢三、反应函数 ➢2. Dela ： Jim卖表的概率越小，
Dela 剪发越好
➢UDel=2q(1-3p)+2p
1,ifp 1/ 3,此时1 3p 0, q越大越好 q [0,1],ifp 1/ 3