混合策略纳什均衡概述

➢参与人按照一定概率，随机从策略 组合中选择一种策略作为实际行动
➢随机行动的目的：使自己的行为不被 对手预测
2020年6月11日
博弈论第三章
7
第一讲 概念与方法
混合策略
➢小偷的混合策略 ➢以p的概率偷，（p，1-p）
➢守卫的混合策略 ➢以q的概率睡（q，1-q）
2020年6月11日
博弈论第三章
8
第一讲 概念与方法
4，4 -8，-2 -2，-8 -2，-2
2020年6月11日
博弈论第三章
35
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢五、抗共谋均衡
➢（一）案例：抽象 的选择
➢丙：A
乙
➢
左右
➢上 ➢甲 ➢下
0，0，10 -5，-5，0
-5，-5，0 1，1，-5
➢ ➢ ➢上 ➢甲 ➢下
乙 左右
-2，-2，0 -5，-5，0 -5，-5，0 -1，-1，5
丙：B
2020年6月11日
博弈论第三章
36
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢五、抗共谋均衡 ➢（二）共谋偏离（集体偏离）均衡的激励 ➢1.如果集体偏离（上，左，A） ➢（1）起因：甲、乙集体偏离，选（下，右，
A） ➢（2）结果：甲的支付0→1，乙的支付0→1 ➢（3）结论：甲、乙有集体偏离的动机，
2020年6月11日
博弈论第三章
12
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
➢二、期望支付 ➢（二）数学刻画
mn
1( p, q)
pi q j aij
i 1 j 1
mn
2( p, q)
pi q jbij
i 1 j 1
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博弈论第三章
13
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
➢概率分布pi=（pi1,…,pik）为混合策略 ➢其中：0≤ pik ≤1，∑ pik=1， pik=p（ sik ） ➢混合策略组合p=（p1,…,pi,…pn）
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博弈论第三章
10
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
➢二、期望支付 ➢（一）分析 ➢1.概率 ➢（偷，睡）的概率：pq ➢（偷，不睡）的概率：p(1-q) ➢（不偷，睡）的概率：(1-p)q ➢（不偷，不睡）的概率：(1-p)(1-q)
➢-1→-5， 5→0 ➢ （3）若乙、丙集体偏离，选（下，左，A）
➢-1→-5， 5→0 ➢ （4）结论：缺乏集体偏离的激励， （下，右，B）为
抗共谋均衡
2020年6月11日
博弈论第三章
38
第二讲多重纳什均衡
猎鹿博弈：何为抗共谋均衡？
➢
乙
➢
猎鹿
打兔
➢
猎鹿
10，10 0，4
➢甲
➢
打兔
4，0
4，4
2020年6月11日
（上，左，A）非抗共谋均衡
2020年6月11日
博弈论第三章
37
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢ 五、抗共谋均衡 ➢ （二）共谋偏离（集体偏离）均衡的激励 ➢ 2.如果集体偏离（下，右，B） ➢ （1）若甲、乙集体偏离，选（上，左，B）
➢-1→-2， -1→-2 ➢ （2）若甲、丙集体偏离，选（上，右，A）
➢（一）案例：战争与和平
➢
C国
➢
鹰战略 鸽战
略
➢
鹰战略 -5，-5
8，-10
➢ A国
-10，8 10，10
➢
鸽战略
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2020年6月11日
博弈论第三章
24
第二讲多重纳什均衡
第三节 多重纳什均衡的选择标准
➢一、帕累托优势标准：得益更大 ➢（二）纳什均衡的选择标准
➢帕累托优势标准 ➢按照支付大小筛选纳什均衡
第一节 混合策略与期望支付
➢一、混合策略 ➢（二）混合策略 ➢2.相对概念：纯策略 ➢每个参与人的非随机性选择
➢纯粹行动计划，p=100%,1-p=0
2020年6月11日
博弈论第三章
9
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
➢一、混合策略
➢（二）混合策略
➢3.数学刻画
➢给定博弈G=｛S1，…,Sn;u1,…,un｝以及参 与人i的纯策略Si= ｛si1,…,sik｝
更大：49 ➢（2）不偏离（不作弊，不作弊）
2020年6月11日
9，9
博弈论第三章 8，0
第二讲多重纳什均衡
0，8 7，7
30
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢二、风险优势标准：风险更小 ➢（三）纳什均衡的选择标准：风险优
势标准 ➢比较不同纳什均衡之间的风险状况，
风险小的纳什均衡优先
9，9 0，8 8，0 7，7
➢
企业乙
➢
好产品 差产品
➢
好产品 4，4
➢企业甲
-2，-8
➢
差产品
-8，-2 -2，-2
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博弈论第三章
34
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢四、相关均衡
➢（二）相关均衡
➢参与人主动设计某种形式的选择机制， 形成制度安排，从而确定最终均衡
➢“三鹿”事件出现后，河北省其他食品 企业以后如何做？
➢二、期望支付 ➢1.UJim=(-2)pq+2p(1-q)+2(1-p)q+0(1-
p)(1-q)=2p(1-3q)+2q ➢整理原则：一项含p，一项不含p ➢2.UDel=(-2)pq+2p(1-q)+2(1-p)q+0(1p)(1-q)=2q(1-3p)+2p ➢整理原则：一项含q，一项不含q
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博弈论第三章
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第一讲 概念与方法
二、研究方法：反应函数法
➢四、反应函数曲
线
p
➢1.交点（1，0） 1
互相为对方着 想，期望支付
变小
➢双方支付为2
➢2.交点（0，1）
➢双方支付为2 1/3
➢3.交点（1/3，1/3）
➢双方支付为2/3
1/3
q 1
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博弈论第三章
-5，-5 -10，8
8，-10 10，10
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博弈论第三章
25
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢二、风险优势标准：风险更小？
➢（一）案例：串通作弊博弈
➢
帕累托优 势？
学生乙
➢
作弊 不作弊
➢
作弊
➢学生甲
9，9
➢
不作弊 8，0
0，8 7，7
2020年6月11日
博弈论第三章
2020年6月11日
博弈论第三章
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第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
➢二、期望支付 ➢（一）分析 ➢2.期望支付 ➢U小偷=8pq+（-2）p(1-q)+0(1-p)q+0(1-
p)(1-q)=2p(5q-1) ➢U守卫= （-2） pq+0p(1-q)+8(1-
p)q+0(1-p)(1-q)=2q(4-5p)
➢一、混合策略
➢（一）案例：小偷与守卫的猫鼠博弈
➢
守卫
➢
睡 不睡
➢
偷
8，-2
-2，0
➢ 小偷
0，8
➢
不偷
0，0
2020年6月11日
博弈论第三章
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第一讲 概念与方法
小偷与守卫博弈
无纳什均衡，如何分析？
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博弈论第三章
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第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
➢一、混合策略 ➢（二）混合策略 ➢1.表述
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第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢三、聚点均衡 ➢（二）聚点均衡 ➢1.标准
➢使用社会文化习惯、博弈历史等信 息达到均衡
➢1、10、66、888 ➢2.实质
➢规律性
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博弈论第三章
33
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢四、相关均衡
➢（一）案例：“地域连坐”下的产品 质量博弈
社会福利博弈：无纳什均衡
➢ ➢ ➢ ➢政府 ➢
救济
流浪汉 寻找工作 游荡
3，2
-1，3
不救济
-1，1
0，0
你救济，他就游 荡；你游荡，他
就不救济
2020年6月11日
博弈论第三章
1
第一讲 概念与方法
社会福利博弈的特征
➢不存在纳什均衡 ➢类似：父母与啃老族 ➢回望：另一个不正常的博弈
➢情侣博弈——两个纳什均衡
21
第二讲多重纳什均衡
友军博弈特征
两个（多个）纳什均衡 问题：博弈的最终结果？
2020年6月11日
博弈论第三章
22
第二讲多重纳什均衡
第三章 混合策略纳什均衡
第三节 多重纳什均衡的选择 标准
2020年6月11日
博弈论第三章
23
第二讲多重纳什均衡
第三节 多重纳什均衡的选择标准
➢一、帕累托优势标准：得益更大
2020年6月11日
博弈论第三章
14
第一讲 概念与方法
第二节 研究方法：反应函数法
➢——最佳反应函数曲线交叉法
➢一、案例：麦琪的礼物
➢
Dela
➢
剪发q 保留（1-q）
➢
卖表p
-2，-2
2，2
➢Jim
2，2
0，0
➢ 保留（1-p）
2020年6月11日
博弈论第三章
15
第一讲 概念与方法
二、研究方法：反应函数法
博弈论第三章
41
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢六、颤抖手精炼均衡 ➢Trembl一in个g人-用h手a抓n东d西perfect
equilibr时可iu，能手抓m一 不颤 住抖 他， 想就 抓 ➢（一）颤的东抖西：手误非蓄意错 ➢某一参与人的非蓄意错误
➢博弈偏离均衡路径的原因
2020年6月11日
➢3.偏离损失比较
➢方法：偏离“作弊”的损失VS偏离 “不作弊”的损失
➢1×1＜7×7
9，9 0，8
8，0 7，7
2020年6月11日
博弈论第三章
29
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢二、风险优势标准：风险更小 ➢（二）分析：偏离损失比较法 ➢4.结论 ➢（1）偏离（不作弊，不作弊）的损失
2020年6月11日
博弈论第三章
16
第一讲 概念与方法
二、研究方法：反应函数法
➢三、反应函数 ➢1.Jim：Dela剪发的概率越小，Jim卖
表越好
➢UJim=2p(1-3q)+2q
1, ifq 1/ 3, 此时1 3q 0, p越大越好 p [0,1],ifq 1/ 3
0, ifq 1/ 3, 此时1 3q 0, p越小越好
2020年6月11日
博弈论第三章
2
第一讲 概念与方法
思考
如何分析“不存在”纳什均衡 或存在多个纳什均衡的博弈？
2020年6月11日
博弈论第三章
3
第一讲 概念与方法
第三章 混合策略纳什均衡
第一节 基本概念：混合策略 与期望支付
2020年6月11日
博弈论第三章
4
第一讲 概念与方法
第一节 混合策略与期望支付
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第一讲 概念与方法
作业
➢利用反应函数法求解“社会福利博弈” ➢是否需要调整数据？ ➢可得出有关社会保障体系改革的结 论？
2020年6月11日
博弈论第三章
20
第一讲 概念与方法
友军博弈
➢
英
➢
支持巴顿
➢ 支持巴顿 4，3
➢美国
1，1
➢ 支持蒙帅
国 支持蒙帅
2，2 3，4
2020年6月11日
博弈论第三章
➢二、风险优势标准：风险更小 ➢（二）分析：偏离损失比较法 ➢2.乙：单独偏离均衡的损失 ➢（1）偏离“作弊”：9-8=1 ➢（2）偏离“不作弊”：7-0=7
9，9 0，8
8，0 7，7
2020年6月11日
博弈论第三章
28
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢二、风险优势标准：风险更小
➢（二）分析：偏离损失比较法
2020年6月11日
博弈论第三章
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第一讲 概念与方法
二、研究方法：反应函数法
➢三、反应函数 ➢2. Dela ： Jim卖表的概率越小，
Dela 剪发越好
➢UDel=2q(1-3p)+2p
1,ifp 1/ 3,此时1 3p 0, q越大越好 q [0,1],ifp 1/ 3
0,ifp 1/ 3,此时1 3p 0, q越小越好
26
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢二、风险优势标准：风险更小 ➢（二）分析：偏离损失比较法 ➢1.甲：单独偏离均衡的损失 ➢（1）偏离“作弊”：9-8=1 ➢（2）偏离“不作弊”：7-0=7
9，9 0，8
8，0 7，7
2020年6月11日
博弈论第三章
27
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
博弈论第三章
39
第二讲多重纳什均衡
金无足赤，人无 完人
➢人总是要犯错误 的，所以要对别 人宽容
2020年6月11日
博弈论第三章
40
第二讲多重纳什均衡
经得起考验的纳什均衡
➢下在，其某他参参与与人人仍选能择实了他 你现错人能纳误不实什策犯现均略错最衡的误优，；情况
他人犯错误， 你仍能实现最
优
2020年6月11日
➢三、混合策略纳什均衡 ➢给定策略式博弈G=
｛S1，…,Sn;u1,…,un｝以及混合策略组 合p*=（p1*,…,pi*,…pn*） ➢对于所有i和pi∈∑i， ∑i——i的混合策 略空间
➢如果有：πi(pi*,p-i*)≥πi(pi’,p-i*) ➢则 为：G的混混合合策策略略组纳合什p*均=（衡p1*,…,pi*,…pn*）
2020年6月11日
博弈论第三章
31
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢三、聚点均衡 ➢（一）案例：城市分组博弈 ➢参与人： 甲 乙 ➢策略：把上海、长春、南京、哈尔滨
四个城市分成两组，每组2个城市 ➢支付：甲乙分法相同——奖励100元；
甲乙分法不同——奖励0元
2020年6月11日
博弈论第三章