机械振动大作业——简支梁的各情况分析2

0.0356
-0.2817
0.2834
-0.0446
-0.0926
-1.9003
2.9228
-2.4675
1.4375
-0.6862
0.0299
0.5193
-0.6226
0.3193
-0.0446
0.7778
-2.4675
3.8387
-3.3468
1.6331
-0.1417
-0.6684
0.8588
所以，质量矩阵为：
双自由度简支梁的柔度矩阵：
在b= 处作用单位力，挠曲线方程为： 则 处的变形为： ，同理可求： ， ，其中 。
所以，柔度矩阵为：
动力矩阵：
令特征行列式为零，得到频率方程为：
其中， ，将上式整理得：
其中， 。
解上述方程的根为：
,
,
由式 ，
其中 ，分别将 、 代入上式，得
第一、二阶主振型分别为：
2.2447
0.0629
0.1282
-0.0388
1.8642
0.0834
0.0932
-0.0347
1.3333
0.0768
0.0568
-0.0237
0.6941
0.046
0.0258
-0.011
将各列分别归一化得：
求得 和 分别为：
再由李兹法得特征值问题为：
解出：
, , ,
其中， ，相应的主振型为：
，
图2 简支梁的双自由度模型
三、三自由度简支梁的振动特性
如图3，将简支梁简化为三自由度模型，按照双自由度类似的等效思想，可得等效质量：
因此，质量矩阵为：
由机械振动中文教材例6.6可知，系统的柔度矩阵为：
其中， 。
动力矩阵：
令特征行列式为零，得到频率方程为：
其中， ，将上式整理得：
其中， 。
利用Matlab软件,求解上述方程的根为：
1
-0.66304
-0.91659
0.762896
0.488954
0.130435
-0.99949
0.91904
-0.29161
0.845109
-0.75728
1
-0.86745
0.603261
-0.2826
1
-0.89396
-0.39946
0.283105
0.91904
-0.28866
-0.99728
,
,
,
由式 ，
其中 ，分别将 、 、 代入上式，得
第一、二、三阶主振型分别为：
， ,
图3 简支梁的三自由度模型
四、十自由度简支梁的数值方法
将简支梁简化为十自由度模型（如图4）。
图4 简支梁的十自由度模型
通过在一点施加单位力，计算其余点的挠度，可得柔度矩阵：
0.0137
0.0240
0.0306
0.0339
0
0
0
0.0001
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0424
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0001
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.6775
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0011
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0002
由此得到系统的固有频率：
对应各特征值的特征向量即为振型，即 的列向量为各阶振型。
6、子空间迭代法
取假设振型：
由动力矩阵迭代得到：
-0.23256
0.961538
-0.76303
1
-0.81395
0.576923
-0.28436
1
-0.81395
-0.38462
0.28673
0.919362
-0.436
0.455
0.321
0.424
0.230
-0.122
-0.387
-0.387
-0.122
0.231
0.423
0.322
0.161
-0.324
0.419
-0.346
0.087
0.244
-0.460
0.454
-0.282
0.102
0.232
0.388
0.422
0.322
0.120
-0.120
-0.1417
0.778
-2.2932
3.4193
-2.9123
1.6331
-0.6862
0.1647
-0.2817
0.5193
-0.6684
0.4309
0.778
-2.9123
4.2339
-3.3468
1.4375
-0.2649
0.2834
-0.6226
0.8588
-0.6684
-0.1417
1.6331
-0.6226
0.2834
-0.2649
1.4375
-3.3468
4.2339
-2.9123
0.778
0.4309
-0.6684
0.5193
-0.2817
0.1647
-0.6862
1.6331
-2.9123
3.4193
-2.2932
0.778
-0.1417
0.0299
0.0356
0.0356
0.0299
0.0227
0.0339
0.0650
0.0904
0.1071
0.1131
0.1093
0.0973
0.0787
0.0552
0.0284
0.0344
0.0664
0.0934
0.1131
0.1229
0.1212
0.1093
0.0891
0.0628
0.0324
0.0324
0.0628
0.0891
0.1093
0.0306
0.0158
0.0309
0.0443
0.0552
0.0628
0.0664
0.0650
0.0579
0.0443
0.0240
0.0081
0.0158
0.0227
0.0284
0.0324
0.0344
0.0339
0.0306
0.0240
0.0137
表1 十自由度挠度变形矩阵
十自由度简支梁为十个集中质量的振动模型，每个质量都近似等于 ，因此，质量矩阵为：
-0.322
-0.422
-0.388
-0.232
0.104
-0.231
0.354
-0.442
0.466
-0.424
0.351
-0.263
0.155
-0.053
0.120
0.231
0.322
0.388
0.422
0.422
0.388
0.322
0.231
0.120
0.439
0.101
-0.383
-0.219
2.0433
表2矩阵 各元素
假设力作用在简支梁中间位置而得到各点的静变形，可以表示为：
其中， 。
因此，可以假设振型：
则由瑞利第一商公式： ，可得：
（2）瑞利第二商
同样假设力作用在简支梁中间位置，由瑞利第二商公式：
可得:
瑞利法中， 代表质量矩阵， 代表刚度矩阵， 代表柔度矩阵， 为模态向量。
3、李兹法
0.758701
0.762896
0.544919
-0.39674
1
0.545409
0.979381
0.752717
0.914257
0.283808
0.729013
1
0.544394
重复上述过程进行第二次迭代。由：
0.1926
0.0065
-0.0021
-0.0232
0.3699
0.0085
-0.0017
将十自由度简支梁缩减为三自由度，假设振型为：
则可求出：
72.96
0
-0.6
0
23.06
1.2
-0.6
1.2
18
0.1279
0
0.1354
0
4.3927
-1.2322
0.1354
-1.2322
4.2842
由式 ，得：
, ,
其中， ，因此可得：
以及：
所以系统的前三阶主振型的近似为：
-1.04×
-1.39×
机械振动大作业
*****
学号：SX*******
专业：航空宇航推进理论与工程
能源与动力学院
2013年12月
简支梁的振动特性分析
题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
动力矩阵为：
下面，用如下几种方法计算十自由度简支梁的固有频率与振型。
1、邓克莱法
利用邓克莱法求基频（比准确值小）：
因此，将柔度矩阵主对角线上各元素相加并乘以 ，可求得：
2、瑞利法
（1）瑞利第一商
柔度矩阵求逆得刚度矩阵：
，其中， 矩阵见表2。
2.0433
-1.9003
0.7778
-0.2649
0.1647
-3.3468
3.8387
-2.4675
0.7778
-0.0446
0.3193
-0.6226
0.5193
0.0299
-0.6862
1.4375
-2.4675
2.9228
-1.9003
-0.0926
-0.0446
0.2834
-0.2817
0.0356
0.1647
-0.2649
0.7778
-1.9003
所以：
0.285
0.0527
-0.0249
-0.5397
0.5477
0.0679
-0.0244
-0.9033
0.7661
0.0332
0.0048
-0.985
0.9229
-0.0198
0.0311
-0.7463
1.0042
-0.0589
0.0222
-0.2785
1.0042
-0.0607
-0.0147
0.349
-0.056
-0.417
0.215
0.396
-0.394
-0.217
0.415
0.058
-0.347
0.396
0.323
-0.134
-0.420
-0.212
0.212
0.420
0.134
-0.324
-0.395
0.398
-0.369
-0.032
0.334
-0.185
-0.215
0.340
0.002
0.279
0.9229
-0.0196
-0.0367
0.7477
0.7661
0.037
-0.0146
0.9855
0.5477
0.0665
0.0277
0.901
0.285
0.0495
0.0368
0.5365
各列分别归一化后，得：
0.283808
0.776141
-0.67663
-0.54764
0.545409
0.0344
0.0324
0.0284
0.0227
0.0158
0.0081
0.0240
0.0443
0.0579
0.0650
0.0664
0.0628
0.0552
0.0443
0.0309
0.0158
0.0306
0.0579
0.0787
0.0904
0.0934
0.0891
0.0787
0.0633
0.0443
0.304
0.337
-0.236
-0.391
0.127
0.415
-0.404
0.453
-0.158
-0.184
0.324
-0.242
0.044
0.217
-0.448
0.399
则：
0.0005
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0027
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0Leabharlann Baidu
0.0003
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0084
0
0
0
0
0
0
0
-0.28×
4、矩阵迭代法
单位力作用在简支梁中间位置得到各点的挠度变形，将首项化一，得：
其中， 。
因此可假设振型：
利用矩阵迭代求第一阶固有频率和主振型：
由上，仅3次矩阵迭代后， 与 基本相等，因此可以认为系统的第一阶主振型为：
第一阶固有频率为：
5、雅可比法
根据雅可比法原理，依次找出上三角非对角线上（考虑对称性）的最大元素，利用公式 得到 值，代入旋转矩阵，可得：
0.6941
-0.046
0.0341
-0.0176
1.3333
-0.0768
0.0706
-0.0287
1.8642
-0.0834
0.108
-0.0312
2.2447
-0.0629
0.138
-0.0304
2.4421
-0.0234
0.1537
-0.0318
2.4421
0.0234
0.1506
-0.0361
梁本身的最大动能为：
=
Tmax=2× =
如果用 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：
Tmax=
所以质量为m的简支梁，等效到中间位置的全部质量为：
故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：
ωn= =
图1 简支梁的单自由度模型
二、双自由度简支梁的振动特性
如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在 处的等效质量即可。在 至 之间积分，利用最大动能进行质量等效，略去小量得：
解答：
一、单自由度简支梁的振动特性
如图1，正方形截面（取5mm×5mm）的简支梁，跨长为 =1m，质量m沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为 ,固有频率ωn= ，其中k为等效刚度， 为等效质量。因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F作用在简支梁中间位置而引起的变形为 （ ）, 为最大挠度，则： = =
0.1212
0.1229
0.1131
0.0934
0.0664
0.0344
0.0284
0.0552
0.0787
0.0973
0.1093
0.1131
0.1071
0.0904
0.0650
0.0339
0.0227
0.0443
0.0633
0.0787
0.0891
0.0934
0.0904
0.0787
0.0579
0.0422
0.3699
0.0086
0.0022
0.0388
0.1926
0.0064
0.0026
0.0232
归一化后得：
0.284448
0.755814
-0.80769
-0.54976
0.5463
0.988372
-0.65385
-0.91943
0.763698
0.55814
0.307692
-1
0.919362
-0.0388
0.5171
0.0048
0.0008
-0.0422
0.6225
-0.002
0.0025
-0.0322
0.6771
-0.007
0.0015
-0.012
0.6771
-0.007
-0.001
0.0121
0.6225
-0.0019
-0.0024
0.0322
0.5171
0.0049
-0.0007