高中数学综合测试题

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高中数学选修一综合测试题必须掌握的典型题(带答案)

高中数学选修一综合测试题必须掌握的典型题(带答案)

高中数学选修一综合测试题必须掌握的典型题单选题1、椭圆x 2m 2+1+y 2m 2=1(m >0)的焦点为F 1,F 2,与y 轴的一个交点为A ,若∠F 1AF 2=π3,则m =( ) A .1B .√2C .√3D .2 答案:C分析:由椭圆的定义结合已知得|AF 1|=|F 1F 2|,进而求出m 即可.在椭圆x 2m 2+1+y 2m 2=1(m >0)中,a =√m 2+1,b =m ,c =1.易知|AF 1|=|AF 2|=a . 又∠F 1AF 2=π3,所以△F 1AF 2为等边三角形,即|AF 1|=|F 1F 2|,所以√m 2+1=2,即m =√3.故选:C.2、在矩形ABCD 中,O 为BD 中点且AD =2AB ,将平面ABD 沿对角线BD 翻折至二面角A −BD −C 为90°,则直线AO 与CD 所成角余弦值为( )A .√55B .√54C .3√525D .4√225分析:建立空间直角坐标系,利用向量法求得直线AO 与CD 所成角余弦值. 在平面ABD 中过A 作AE ⊥BD ,垂足为E ; 在平面CBD 中过C 作CF ⊥BD ,垂足为F . 由于平面ABD ⊥平面BCD ,且交线为BD , 所以AE ⊥平面BCD ,CF ⊥平面ABD , 设AB =1,AD =2,12×BD ×AE =12×AB ×AD ⇒AE =√5OE =√OA 2−AE 2=2√5, 同理可得CF =√5OF =2√5,以O 为原点,建立如图所示空间直角坐标系, 则A(2√5√5),√52√50),D(−√52,0,0), CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√510,2√50), 设AO 与CD 所成角为θ, 则cosθ=|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=320√52×12=3√525.故选:C3、直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,△ABC 为等边三角形, AA 1=AB ,M 是A 1C 1的中点,则AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为( ) A .710B .√1510C .√8510D .−√1510分析:取AC 的中点D ,以D 为原点,BD,DC,DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,即可根据线面角的向量公式求出.如图所示,取AC 的中点D ,以D 为原点,BD,DC,DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,不妨设AC =2,则A (0,−1,0),M (0,0,2),B(−√3,0,0),N (−√32,−12,2), 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),平面BCC 1B 1的一个法向量为n ⃗ =(√32,−32,0)设AM 与平面BCC 1B 1所成角为α,向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与n ⃗ 所成的角为θ, 所以sinα=|cosθ|=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=32√5×√3=√1510, 即AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为√1510. 故选:B .4、如果AB >0且BC <0,那么直线Ax +By +C =0不经过( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 答案:C分析:通过直线经过的点来判断象限.由AB >0且BC <0,可得A,B 同号,B,C 异号,所以A,C 也是异号; 令x =0,得y =−CB >0;令y =0,得x =−CA >0; 所以直线Ax +By +C =0不经过第三象限. 故选:C.5、在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,点E 在棱AA 1上,AE =3A 1E ,点G 是棱CD 的中点,点F 满足BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<12),当平面EFG 与平面ABCD 所成(锐)二面角的余弦值为√63时,经过E,F,G 三点的截面的面积为( ) A .2√6B .7√64C .√17D .7√66答案:B分析:以D 为坐标原点,分别以DA,DC,DD 1所在的直线为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,由空间向量结合平面EFG 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为√63求出λ的值,画出截面图,求出截面五边形的边长,再由等腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案解:如图,以D 为坐标原点,分别以DA,DC,DD 1所在的直线为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则G(0,1,0),E(2,0,32),F(2,2,2λ),所以GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,32),GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2λ), 设平面EFG 的一个法向量为m ⃗⃗ =(x,y,z),则 {m ⃗⃗ ⋅GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −y +32z =0m ⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y +2λz =0,取z =1,则m ⃗⃗ =(−38−λ2,−λ+34,1),平面ABCD 的一个法向量为n ⃗ =(0,0,1), 由题意得|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗ ||=√(38+λ2)2+(−λ+34)2+1=√63,解得λ=14或λ=1320(舍去),延长EF,AB ,设EF ∩AB =I ,连接IG ,交BC 于K ,延长IG ,交AD 的延长线于L ,连接EL ,交DD 1于H ,则五边形EFKGH 为截面图形,由题意求得EF =√5,FK =√12+(12)2=√52,GK =√2,HG =√52,EH =√5,FH =2√2,截面五边形EFKGH 如图所示,则等腰三角形EFH 底边FH 上的高为√3,等腰梯形HGKF 的高为√32, 则截面面积为S =12×2√2×√3+12(√2+2√2)×√32=7√64故选:B小提示:关键点点睛:此题考查二面角的平面角及其求法,考查平面的基本性质及推理,考查运算能力,解题的关键是建立空间直角坐标系,由平面EFG 与平面ABCD 所成(锐)二面角的余弦值为√63求出λ=14,属于中档题6、点P(2,0)关于直线l:x +y +1=0的对称点Q 的坐标为( ) A .(−1,−3)B .(−1,−4)C .(4,1)D .(2,3) 答案:A分析:根据点关于线对称的特点,利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解. 设点P(2,0)关于直线x +y +1=0的对称点的坐标为(a,b),则{b−0a−2×(−1)=−1a+22+b 2+1=0,解得{a =−1b =−3.所以点Q 的坐标为(−1,−3) 故选:A.7、在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则a ⋅(b ⃗ +c )的值为( ) A .1B .0C .-1D .-2 答案:B分析:由正方体的性质可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 两两垂直,从而对a ⋅(b ⃗ +c )化简可得答案 由题意可得AB ⊥AD,AB ⊥AA 1,所以a ⊥b ⃗ ,a ⊥c ,所以a ⋅b ⃗ =0,a ⋅c =0,所以a⋅(b⃗+c)=a⋅b⃗+a⋅c=0,故选:B8、如果复数z满足|z+1−i|=2,那么|z−2+i|的最大值是()A.√13+2B.2+√3C.√13+√2D.√13+4答案:A分析:复数z满足|z+1−i|=2,表示以C(−1,1)为圆心,2为半径的圆.|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离,求出|CM|即可得出.复数z满足|z+1−i|=2,表示以C(−1,1)为圆心,2为半径的圆.|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离.∵|CM|=√32+22=√13.∴|z−2+i|的最大值是√13+2.故选:A.小提示:本题考查复数的几何意义、圆的方程,求解时注意方程|z+1−i|=2表示的圆的半径为2,而不是√2.多选题9、以下四个命题表述正确的是()A.直线(3+m)x+4y−3+3m=0(m∈R)恒过定点(−3,−3)B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x−y+√2=0的距离都等于1C.曲线C1:x2+y2+2x=0与曲线C2:x2+y2−4x−8y+m=0恰有三条公切线,则m=4D.已知圆C:x2+y2=1,点P为直线x+2y=4上一动点,过点P向圆C引两条切线PA、PB,其中A、B为切点,则直线AB经过定点(14,1 2 )答案:BCD分析:利用直线系方程求解直线所过定点判断A;求出圆心到直线的距离,结合圆的半径判断B;由圆心距等于半径和列式求得m判断C;求出两圆公共弦所在直线方程,再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D.由(3+m)x +4y −3+3m =0,得3x +4y −3+m(x +3)=0, 联立{x +3=03x +4y −3=0 ,解得{x =−3y =3,∴直线(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)恒过定点(−3,3),故A 错误;∵圆心(0,0)到直线l:x −y +√2=0的距离等于1,∴直线与圆相交,而圆的半径为2, 故到直线距离为1的两条直线,一条与圆相切,一条与圆相交, 因此圆上有三个点到直线l:x −y +√2=0的距离等于1,故B 正确;两圆有三条公切线,则两圆外切,曲线C 1:x 2+y 2+2x =0化为标准式(x +1)2+y 2=1, 曲线C 2:x 2+y 2−4x −8y +m =0化为标准式(x −2)2+(y −4)2=20−m >0, 圆心距为√(2+1)2+42=5=1+√20−m ,解得m =4,故C 正确;设点P 的坐标为(m,n),∴ m4+n2=1,以OP 为直径的圆的方程为x 2+y 2−mx −ny =0, 两圆的方程作差得直线AB 的方程为:mx +ny =1,消去n 得,m(x −y2)+2y −1=0, 令x −y2=0,2y −1=0,解得x =14,y =12,故直线AB 经过定点(14,12),故D 正确.故选:BCD10、下列命题中,不正确的命题有( ) A .|a →|+|b →|=|a →−b →|是a →,b →共线的充要条件 B .若a →//b →,则存在唯一的实数λ,使得a →=λb →C .若A ,B ,C 不共线,且OP →=2OA →−4OB →+3OC →,则P ,A ,B 、C 四点共面 D .若{a →,b →,c →}为空间的一个基底,则{a →+b →,b →+2c →,c →+3a →}构成空间的另一个基底 答案:AB分析:利用向量的模相等关系,结合充要条件判断A 的正误;利用平面向量的基本定理判断B ;利用共线向量定理判断C ;利用空间向量的基底的概念和反证法判断D 的正误即可.对于A ,当|a |+|b ⃗ |=|a −b ⃗ |时,a ,b ⃗ 共线成立,但当a ,b ⃗ 同向共线时,|a |+|b ⃗ |≠|a −b ⃗ |, 所以|a |+|b ⃗ |=|a −b ⃗ |是a ,b ⃗ 共线的充分不必要条件,故A 不正确; 对于B ,当b ⃗ =0⃗ 时,a //b ⃗ ,不存在唯一的实数λ,使得a =λb⃗ ,故B 不正确;对于C ,由于OP →=2OA →−4OB →+3OC →,而2−4+3=1,根据共面向量定理知,P ,A ,B ,C 四点共面,故C 正确;对于D ,若{a ,b ⃗ ,c }为空间的一个基底,则a ,b ⃗ ,c 不共面,利用反证法证明a +b ⃗ ,b ⃗ +2c ,c +3a 不共面,假设a +b ⃗ ,b ⃗ +2c ,c +3a 共面,则a →+b →=x(b →+2c →)+y(c →+3a →),所以a →=x−11−3y b →+2x+y 1−3y c →,所以a ,b ⃗ ,c 共面,与已知矛盾.所以a +b ⃗ ,b ⃗ +2c ,c +3a 不共面,则{a +b ⃗ ,b ⃗ +2c ,c +3a }构成空间的另一个基底,故D 正确. 故选:AB11、已知直线l 1:kx −y +2−3k =0与直线l 2:2x +y +1=0的交点在第三象限,则实数k 的值可能为( ) A .65B .45C .67D .2答案:BC分析:联立直线方程求出交点坐标,根据象限列出不等式,求出k 的范围即可得出. 联立方程组{kx −y +2−3k =02x +y +1=0,解得交点为(3k−3k+2,−7k+4k+2), 因为交点在第三象限,所以{3k−3k+2<0−7k+4k+2<0,解得47<k <1,所以实数k 的值可能为45和67. 故选:BC. 填空题12、如图,在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,AB =1,M ,N 分别是棱AB ,CC 1的中点,E 是BD 的中点,则异面直线D 1M ,EN 间的距离为______.答案:√24分析:建立空间直角坐标系,表示出D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求出同时垂直于D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的n ⃗ ,再通过公式|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗ ||n ⃗ |求距离即可.以D 为原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,易知D 1(0,0,1),M(1,12,0),E(12,12,0),N(0,1,12),D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12,−1),EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,12),设n ⃗ =(x,y,z)同时垂直于D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,由{n ⃗ ⋅D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +12y −z =0n ⃗ ⋅EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +12y +12z =0 ,令x =1,得n ⃗ =(1,0,1),又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,12),则异面直线D 1M ,EN 间的距离为|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n ⃗ |=|−1+12|√2=√24. 所以答案是:√24. 13、已知F 1,F 2为椭圆C :x 216+y 24=1的两个焦点,P ,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点,且|PQ |=|F 1F 2|,则四边形PF 1QF 2的面积为________. 答案:8分析:根据已知可得PF 1⊥PF 2,设|PF 1|=m,|PF 2|=n ,利用勾股定理结合m +n =8,求出mn ,四边形PF 1QF 2面积等于mn ,即可求解.因为P,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点, 且|PQ|=|F 1F 2|,所以四边形PF 1QF 2为矩形, 设|PF 1|=m,|PF 2|=n ,则m +n =8,m 2+n 2=48, 所以64=(m +n)2=m 2+2mn +n 2=48+2mn , mn =8,即四边形PF 1QF 2面积等于8. 所以答案是:8.14、若三点A(2,2),B(a,0),C(0,6)共线,则a的值为_________.答案:3分析:由三点共线得k AB=k BC,即可求出答案.由三点A(2,2),B(a,0),C(0,6)共线故k AB=k BC2−0 2−a =6−20−2⇒a=3所以答案是:3.解答题15、疫情期间,作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息,王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域,如图,l1、l2分别是经过王阿姨家(点)的东西和南北走向的街道,且李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向,以点O为坐标原点,l1、l2为x轴、y轴建立平面直角坐标系,已知健康检查点(即点M(100,400))和平安检查点(即点N(400,700))是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.(1)求出k,并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程;(2)王阿姨和李叔叔为交流疫情信息,需在姑山路(直线l:x−y+1000=0)上碰头见面,你认为在何处最为便捷、省时间(两人所走的路程之和最短)?并给出理由.答案:(1)k=300,x2+y2=2002,(x−400)2+(y−400)2=3002;(2)(−300,700)解析:(1)求圆的标准方程,可设出圆心,利用圆上两点距离到圆心相等,可算得圆心和半径.(2)可先求圆心O关于l:x−y+1000=0的对称点P,找到直线PC与l的交点,即为所求.(1)易知,王阿姨负责区域边界的曲线方程为:x2+y2=2002李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向,设李叔叔家所在的位置为C(c,c),离M(100,400)和N(400,700)距离相等故(c−100)2+(c−400)2=(c−400)2+(c−700)2故(c−100)2=(c−700)2即c−100=700−c故c=400k=√(400−400)2+(400−700)2=300故李叔叔负责区域边界的曲线方程为(x−400)2+(y−400)2=3002(2)圆心O关于l:x−y+1000=0的对称点为P(a,b)则有a2−b2+1000=0,ba=−1解得a=−1000,b=1000k PC=1000−400−1000−400=−37PC:y=−37x+40007联立l:x−y+1000=0与PC:y=−37x+40007,可得交点为(−300,700)王阿姨和李叔叔为交流疫情信息,可选择在地点(−300,700)碰面,距离之和最近.小提示:求圆的方程,主要有两种方法:(1)几何法:具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时,切点与两圆心三点共线.(2)待定系数法:根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量.一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式.。

高中数学选修二综合测试题典型例题(带答案)

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高中数学选修二综合测试题典型例题单选题1、函数y=f(x)的图像如图所示,下列不等关系正确的是()A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)−f(2)B.0<f′(2)<f(3)−f(2)<f′(3)C.0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2)D.0<f(3)−f(2)<f′(2)<f′(3)答案:C分析:根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义,结合图象,即可求解.如图所示,根据导数的几何意义,可得f′(2)表示切线l1斜率k1>0,f′(3)表示切线l3斜率k3>0,=f(3)−f(2),表示割线l2的斜率k2,又由平均变化率的定义,可得f(3)−f(2)3−2结合图象,可得0<k3<k2<k1,即0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2).故选:C.,则f(x)()2、已知f(x)=3xe xA .在(−∞,+∞)上单调递增B .在(−∞,1)上单调递减C .有极大值3e ,无极小值D .有极小值3,无极大值 答案:C分析:根据导数判断单调性与极值 f ′(x)=3−3x e x,则x <1时f ′(x)>0,x >1时f ′(x)<0f(x)在区间(−∞,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减 有极大值f(1)=3e故选:C3、若数列{a n }满足a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n =n 2(n ≥2),则a 3=( ) A .9B .3C .94D .49 答案:C分析:利用前n 项积与通项的关系可求得结果. 由已知可得a 3=a 1a 2a 3a 1a 2=3222=94.故选:C.4、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }的前n 和为T n ,已知a 5=11,S 10=120,b n =1a n ⋅a n+1,若T k =17,则正整数k 的值为( ) A .9B .8C .7D .6 答案:A分析:设等差数列{a n }的公差为d ,根据a 5=11,S 10=120求得公差d ,即可求得数列{a n }的通项,从而求得数列{b n }的通项,再根据裂项相消法求得数列{b n }的前n 和为T n ,从而可得出答案. 解:设等差数列{a n }的公差为d , S 10=10(a 1+a 10)2=5(a 5+a 6)=5(11+a 6)=120,所以a 6=13,则d =a 6−a 5=2,所以a n =a 5+2(n −5)=2n +1,所以b n =1a n ⋅a n+1=12(12n+1−12n+3), 所以T n =12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3), 因为T k =17,所以k 3(2k+3)=17,解得k =9. 故选:A.5、设a ≠0,若x =a 为函数f (x )=a (x −a )2(x −b )的极大值点,则( ) A .a <b B .a >b C .ab <a 2D .ab >a 2 答案:D分析:先考虑函数的零点情况,注意零点左右附近函数值是否变号,结合极大值点的性质,对进行分类讨论,画出图象,即可得到a,b 所满足的关系,由此确定正确选项.若a =b ,则f (x )=a (x −a )3为单调函数,无极值点,不符合题意,故a ≠b .∴f(x)有x =a 和x =b 两个不同零点,且在x =a 左右附近是不变号,在x =b 左右附近是变号的.依题意,为函数的极大值点,∴在x =a 左右附近都是小于零的.当a <0时,由x >b ,f (x )≤0,画出f (x )的图象如下图所示:由图可知b <a ,a <0,故ab >a 2.当a >0时,由x >b 时,f (x )>0,画出f (x )的图象如下图所示:由图可知b >a ,a >0,故ab >a 2. 综上所述,ab >a 2成立. 故选:D小提示:本小题主要考查三次函数的图象与性质,利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 6、若直线l 与曲线y =√x 和x 2+y 2=15都相切,则l 的方程为( ) A .y =2x +1B .y =2x +12C .y =12x +1D .y =12x +12 答案:D分析:根据导数的几何意义设出直线l 的方程,再由直线与圆相切的性质,即可得出答案. 设直线l 在曲线y =√x 上的切点为(x 0,√x 0),则x 0>0, 函数y =√x 的导数为y ′=2√x ,则直线l 的斜率k =2√x 0,设直线l 的方程为y −√x 0=2√x 0−x 0),即x −2√x 0y +x 0=0,由于直线l 与圆x 2+y 2=15相切,则√1+4x 0=√5,两边平方并整理得5x 02−4x 0−1=0,解得x 0=1,x 0=−15(舍),则直线l 的方程为x −2y +1=0,即y =12x +12.故选:D.小提示:本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用,属于中档题. 7、已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若−5,S 3,S 6成等差数列,则S 9−S 6的最小值为( ) A .25B .20C .15D .10答案:B分析:利用等比数列前n 项和的性质表示出S 9−S 6,再表示成同一变量S 3,然后利用基本不等式求出其最小值即可.因为{a n }是正项等比数列,所以S 3,S 6−S 3,S 9−S 6仍然构成等比数列, 所以(S 6−S 3)2=S 3(S 9−S 6). 又−5,S 3,S 6成等差数列,所以S 6−5=2S 3,S 6−S 3=S 3+5, 所以S 9−S 6=(S 6−S 3)2S 3=(S 3+5)2S 3=S 3+25S 3+10.又{a n }是正项等比数列,所以S 3>0,S 3+25S 3+10≥2√S 3⋅25S 3+10=20,当且仅当S 3=5时取等号.故选:B.8、已知等比数列{a n }中,a 1=2a 2,则这个数列的公比为( ) A .2B .√2C .12D .√22答案:C分析:结合等比数列的知识求得正确答案. 数列{a n }是等比数列, 所以公比q =a 2a 1=12.故选:C 多选题9、已知数列{a n }满足a 1=−12,a n+1=11−a n,则下列各数是{a n }的项的有( )A .−2B .23C .32D .3 答案:BD分析:根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论.因为数列{a n }满足a 1=−12,a n+1=11−a n,∴a 2=11−(−12)=23;a 3=11−a 2=3;a 4=11−a 3=−12=a 1;∴数列{a n }是周期为3的数列,且前3项为−12,23,3; 故选:BD .小提示:本题主要考查数列递推关系式的应用,考查数列的周期性,解题的关键在于求出数列的规律,属于基础题.10、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1+3a 5=S 7,则以下结论一定正确的是( ) A .a 4=0B .S n 的最大值为S 3C .S 6=S 1D .|a 3|<|a 5| 答案:AC分析:根据等差数列的定义及前n 项和公式可求得公差d 与a 1的关系,再对各项进行逐一判断即可. 设等差数列的公差为d ,因为a 1+3a 5=S 7,可得a 1+3(a 1+4d )=7a 1+21d ,解得a 1=−3d , 又由a n =a 1+(n −1)d =(n −4)d ,所以a 4=0,所以A 正确; 因为公差d 的正负不能确定,所以S 3可能为最大值最小值,故B 不正确; 由S 6−S 1=a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=5a 4=0,所以S 6=S 1,所以C 正确; 因为a 3+a 5=2a 4=0,所以a 3=−a 5,即|a 3|=|a 5|,所以D 错误. 故选:AC.11、已知函数f(x)=xlnx ,若0<x 1<x 2,则下列结论正确的是( ) A .x 2f(x 1)<x 1f(x 2)B .x 1+f(x 1)<x 2+f(x 2) C .f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0D .当lnx >−1时,x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>2x 2f(x 1)答案:AD 分析:设g(x)=f(x)x=lnx ,函数g(x)单调递增,可判断A ;设ℎ(x)=f(x)+x ,则ℎ′(x)=lnx +2不是恒大于零,可判断B ;f(x)=xlnx ,f ′(x)=lnx +1不是恒小于零,可判断C ;当x >1e时,lnx >−1,故f ′(x)=lnx +1>0,函数f(x)=xlnx 单调递增,故(x 2−x 1)[f(x 2)−f(x 1)]=x 1f(x 1)+x 2f(x 2)−x 2f(x 1)−x 1f(x 2)>0,即x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 2f(x 1)+x 1f(x 2),由此可判断D.得选项. 解: 对于A 选项,因为令g(x)=f(x)x=lnx ,在(0,+∞)上是增函数,所以当0<x 1<x 2时,g(x 1)<g(x 2),所以f(x 1)x 1<f(x 2)x 2,即x 2f(x 1)<x 1f(x 2).故A 选项正确;对于B 选项,因为令g(x)=f(x)+x =xlnx +x ,所以g′(x)=lnx +2,所以x ∈(e −2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,x ∈(0,e −2)时,g′(x)<0,g(x)单调递减.所以x 1+f(x 1)与x 2+f(x 2)无法比较大小.故B 选项错误;对于C 选项,令f′(x)=lnx +1,所以x ∈(0,1e )时,f′(x)<0,f(x)在(0,1e )单调递减,x ∈(1e ,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1e,+∞)单调递增,所以当0<x 1<x 2<1e时,f(x 1)>f(x 2),故f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立,当1e<x 1<x 2时,f(x 1)<f(x 2),f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0.故C 选项错误;对于D 选项,由C 选项知,当lnx >−1时,f(x)单调递增,又因为A 正确,x 2f(x 1)<x 1f(x 2)成立, 所以x 1⋅f(x 1)+x 2⋅f(x 2)−2x 2f(x 1)>x 1⋅f(x 1)+x 2⋅f(x 2)−x 2f(x 1)−x 1f(x 2) =x 1[f(x 1)−f(x 2)]+x 2[f(x 2)−f(x 1)] =(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0,故D 选项正确. 故选:AD .小提示:用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面: (1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域; (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式;(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时,一般将其转化为不等式恒成立问题,解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 填空题12、等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 19>0,S 20<0,则使S n 取得最大值的n 为______. 答案:10分析:由S19>0,S20<0,结合等差数列的前n项和公式得到第10项大于0,第10项和第11项的和小于0,得到第10项大于0,这样前10项的和最大.由S19>0,S20<0,可知{a n}为递减的等差数列,设其公差为d,则d<0,由S19=19(a1+a19)2>0,S20=10(a1+a20)<0,得a1+a19=2a10>0,a1+a20=a10+a11<0,所以a10>0,a11<0,所以使S n取得最大值的n为10,所以答案是:10.小提示:一般地,如果{a n}为等差数列,S n为其前n项和,则有性质:(1)若m,n,p,q∈N∗,m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;(2)S n=n(a k+a n+1−k)2,k=1,2,⋯,n且S2n−1=(2n−1)a n;(3)S n=An2+Bn且{S nn}为等差数列;(4)S n,S2n−S n,S3n−S2n,⋯为等差数列.13、若直线y=2x+a是函数f(x)=x+lnx的图象在某点处的切线,则实数a=____________.答案:−1分析:利用f′(x)=2求得切点坐标,代入切线方程,从而求得a.令f′(x)=1+1x=2,解得x=1,所以切点为(1,1),将(1,1)代入切线y=2x+a得1=2+a,a=−1.所以答案是:−114、若对任意的x1,x2∈(m,+∞),且当x1<x2时,都有lnx1−lnx2x1−x2>2x1x2,则m的最小值是________.答案:2分析:将lnx1−lnx2x1−x2>2x1x2变形为x1lnx1+2x1<x2lnx2+2x2,令f(x)=xlnx+2x,利用f(x)在(m,+∞)上是递增函数求解.由题意得:0<x1<x2,所以x 1−x 2<0, 则lnx 1−lnx 2x 1−x 2>2x 1x 2等价于x 1x 2(lnx 1−lnx 2)>2(x 2−x 1), 即x 1lnx 1+2x 1<x 2lnx 2+2x 2,令f (x )=xlnx+2x,则f (x 1)<f (x 2),又x 2>x 1>m ,所以f (x )在(m,+∞)上是递增函数, 所以f ′(x )=x−2x 2>0成立,解得x >2所以m ≥2, 故m 的最小值是2, 所以答案是:2 解答题15、在①a 3=5,S 9=63;②3a 2=a 10,S 2=7;③a 1=3,S 8−S 6=19这三个条件中任选一个,补充在下列问题中的横线上,并解答(若选择两个或三个按照第一个计分).已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,___________,数列{b n }是公比为2的等比数列,且b 2=a 2.求数列{a n },{b n }的通项公式. 答案:a n =n +2;b n =2n分析:设等差数列{a n }的公差为d ,根据等差数列的基本量方法,结合等差数列的性质可得{a n },进而根据b 2=a 2求得{b n }的通项公式即可 设等差数列{a n }的公差为d .若选①:根据等差数列的性质,由S 9=63有9a 5=63,故a 5=7,所以{a 1+2d =5a 1+4d =7 ,解得{a 1=3d =1,故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4,故b n =b 2⋅2n−2=2n若选②:由题意{3(a 1+d )=a 1+9d 2a 1+d =7 ,即{a 1=3d 2a 1+d =7 ,解得{a 1=3d =1,故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4,故b n =b 2⋅2n−2=2n若选③:由S 8−S 6=19可得a 7+a 8=19,即{a 1+2d =52a 1+13d =19 ,解得{a 1=3d =1,故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4,故b n =b 2⋅2n−2=2n。

高中数学必修综合测试题

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高中数学必修综合测试题一、选择题(每题3分,共15分)1. 下列哪个数不是有理数?A. πB. √2C. -3D. 0.333...2. 若函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在区间[-1, 2]上是增函数,则f(x)的最小值出现在:A. x = -1B. x = 0B. x = 1D. x = 23. 已知等差数列的前三项分别为a, a+d, a+2d,若该数列的前三项和为12,则a的值为:A. 2B. 3C. 4D. 64. 已知一个圆的半径为5,圆心到直线的距离为3,那么直线与圆的位置关系是:A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切5. 若sin(α) = 1/3,且α为锐角,求cos(α)的值:A. 2√2/3B. 4/9C. √3D. 2√2二、填空题(每题2分,共10分)6. 已知等比数列的首项为2,公比为3,其第五项为_____________。

7. 若f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2,求f(-1)的值为_____________。

8. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c,且满足a^2 + b^2 =c^2,根据勾股定理,该三角形是_____________三角形。

9. 若直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标为_____________。

10. 已知集合A = {1, 2, 3},B = {2, 3, 4},求A∩B的结果为_____________。

三、解答题(共75分)11. 解不等式:\( x^2 - 4x + 3 < 0 \)(10分)12. 证明:若\( \sin A + \sin B + \sin C = 0 \),\( \cos A +\cos B + \cos C = 0 \),且A, B, C为三角形ABC的内角,求证:三角形ABC是等边三角形。

(15分)13. 已知函数f(x) = \( \frac{2x}{x^2 + 1} \),求f(x)的导数f'(x),并讨论f(x)的单调性。

人教版高中数学必修4综合测试试题含答案(原创,难度适中)

人教版高中数学必修4综合测试试题含答案(原创,难度适中)

人教版高中数学必修4综合测试试题含答案(原创,难度适中)高中数学必修4综合测试满分:150分时间:120分钟注意事项:客观题请在答题卡上用2B铅笔填涂,主观题请用黑色水笔书写在答题卡上。

一、选择题:(共12小题,每小题5分,共60分。

)1.sin300°的值为A。

-31 B。

3 C。

22 D。

1/22.角α的终边过点P(4,-3),则cosα的值为A。

4 B。

-3 C。

2/5 D。

-4/53.cos25°cos35°-sin25°sin35°的值等于A。

3/11 B。

3/4 C。

2/11 D。

-2/114.对于非零向量AB,BC,AC,下列等式中一定不成立的是A。

AB+BC=AC B。

AB-AC=BCC。

AB-BC=BC D。

AB+BC=AC5.下列区间中,使函数y=sinx为增函数的是A。

[0,π] B。

[π,2π] C。

[-π/2,π/2] D。

[-π,0]6.已知tan(α-π/3)=1/√3,则tanα的值为A。

4/3 B。

-3/5 C。

-5/3 D。

-3/47.将函数y=sinx图象上所有的点向左平移π/3个单位长度,再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象的函数解析式为A。

y=sin(2x+π/3) B。

y=sin(2x+2π/3)C。

y=sin(2x-π/3) D。

y=sin(2x-2π/3)8.在函数y=sinx、y=sin(2x+π/2)、y=cos(2x+π)中,最小正周期为π的函数的个数为()A。

1个 B。

2个 C。

3个 D。

4个9.下列命题中,正确的是A。

|a|=|b|→a=b B。

|a|>|b|→a>bC。

|a|=0→a=0 D。

a=b→a∥b10.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如右图所示,此函数的解析式为y=2sin(2x-π/3)11.方程sin(πx)=x的解的个数是()A。

高一数学必修一综合测试题附答案

高一数学必修一综合测试题附答案

高一数学必修一综合测试题附答案高中数学必修1检测题【附答案】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共120分,考试时间90分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共48分)一、选择题:本大题共12小题,每小题4分,共48分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7\}$,$A=\{2,4,6\}$,$B=\{1,3,5,7\}$,则 $A\cap(C\cup B)$ 等于A。

$\{2,4,6\}$ B。

$\{1,3,5\}$ C。

$\{2,4,5\}$ D。

$\{2,5\}$2.已知集合 $A=\{x|x^2-1=0\}$,则下列式子表示正确的有()① $1\in A$② $\{-1\}\in A$③ XXX④ $\{1,-1\}\subseteq A$A。

1个 B。

2个 C。

3个 D。

4个3.若 $f:A\to B$ 能构成映射,下列说法正确的有()1)$A$ 中的任一元素在 $B$ 中必须有像且唯一;2)$A$ 中的多个元素可以在 $B$ 中有相同的像;3)$B$ 中的多个元素可以在 $A$ 中有相同的原像;4)像的集合就是集合 $B$。

A。

1个 B。

2个 C。

3个 D。

4个4.如果函数 $f(x)=x^2+2(a-1)x+2$ 在区间 $(-\infty,4]$ 上单调递减,那么实数 $a$ 的取值范围是()A。

$a\leq-3$ B。

$a\geq-3$ C。

$a\leq5$ D。

$a\geq5$5.下列各组函数是同一函数的是()① $f(x)=-2x^3$ 与 $g(x)=x-2x$;② $f(x)=x$ 与 $g(x)=x^2$;③ $f(x)=x$ 与 $g(x)=\dfrac{x-2}{x-1}$;④ $f(x)=x-2x-1$ 与 $g(t)=t-2t-1$。

A。

①② B。

①③ C。

③④ D。

①④6.根据表格中的数据,可以断定方程 $e^x-x-2=0$ 的一个根所在的区间是()begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}XXXx$ & $-1$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ \\XXXe^x$ & $0.371$ & $2.718$ & $7.389$ & $20.086$ & $54.598$ & $148.413$ \\XXXx+1$ & $0$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\XXXend{tabular}A。

高中数学综合测试(附答案版)

高中数学综合测试(附答案版)

高中数学试卷(本试卷共3页,14道题,满分100分,考试时间60分钟。

)一、选择题:(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

本大题共5小题,每小题5分,总计25分。

)1.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足OB OA OC βα+=,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为 ( ) (A )(x -1)2+(y -2)2=5 (B )3x +2y -11=0 (C )2x -y =0 (D )x +2y -5=0 2.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( ) A.13项 B.12项 C.11项 D.10项3.函数sin 2sin 23y x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是( )A .,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D . 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 4. 两个相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可放入棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个面平行,且各 顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .无穷多个图15.长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,BC=2,AA 1=1,用绳子从点A 沿长方体表面拉到C 1点,绳子最短时长为 ( )A .B .C .D .二、填空题:(本大题共7小题,每小题5分,总计35分。

)6. 已知f x ()是定义在R 上的函数,且满足:f x f x f x ()[()]()+-=+211,2005)1(=f ,则)2005(f =________。

7、已知{a n }是首项为1的正项数列,且),3,2,1(0)1(1221 ==+-+++n a a na a n n n n n ,则它的通项a n = . 8.求函数y =x (1-x 2)(0<x <1)的最大值为______。

高中数学综合测试题(附答案)

高中数学综合测试题(附答案)

高二数学试题一、选择题(每小题5分,共60分,在每小题的四个选项中有且只有一个是正确的,请把正确选项填涂在答题卡上。

) 1. 对于下列命题:①,1sin 1x R x ∀∈-≤≤,②22,sin cos 1x R x x ∃∈+>,下列判断正确的是 A. ① 假 ② 真 B. ① 真 ② 假C. ① ② 都假D. ① ② 都真2.如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减,那么实数a 的取值范围是 ( )A 、3a ≤-B 、3a ≥-C 、a ≤5D 、a ≥53.要得到2sin(2)3y x π=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( ) A .向左平移23π个单位 B .向右平移23π个单位C .向左平移3π个单位 D .向右平移3π个单位4. 有一圆柱形容器,底面半径为10cm ,里面装有足够的水,水面高为12cm ,有一块金属五棱锥掉进水里全被淹没,结果水面高为15cm ,若五棱锥的高为3πcm ,则五棱锥的底面积是A. 100π cm 2B. 100 cm 2C. 30π cm 2D. 300 cm 25. 已知数列1{}n n a pa +-为等比数列,且23n nn a =+,则p 的值为A.2B.3C.2或3D.2或3的倍数6. 若α、β表示平面,a 、b 表示直线,则a ∥α的一个充分条件是A. α⊥β且a ⊥βB. α β=b 且a ∥bC. a ∥b 且b ∥αD. α∥β且a ⊂β7. 已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2xxa a --+,若g(a)=a, 则f(a)的值为A.1B.2C.154D.1748. 已知()f x 是以2为周期的偶函数,当[0,1]x ∈时,()f x x =,那么在区间[1,3]-内,关于x 的方程()1f x kx k =++(其中k 走为不等于l 的实数)有四个不同的实根,则k 的取值范围是A .(1,0)-B .1(,0)2-C .1(,0)3- D .1(,0)4-9.已知命题p 、q ,如果p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件,那么q 是p 的( )( A )必要不充分条件 ( B )充分不必要条件 ( C )充要条件 ( D )既不充分也不必要 10.命题“若090=∠C ,则ABC ∆是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )( A ) 0 ( B ) 1 ( C ) 2 ( D ) 311.直线3440x y --=被圆22(3)9x y -+=截得的弦长为( )A..4 C..2 12.如图,三棱柱111A B C ABC -中,侧棱1AA ⊥底面111A B C ,底面三角形111A B C 是正三角形,E 是BC 中点,则下列叙述正确的是( ) A . 1CC 与1B E 是异面直线 B . AC ⊥平面11ABB A C .11//AC 平面1AB ED .AE ,11B C 为异面直线,且11AE B C ⊥二、填空题(每小题5分,共20分。

高中数学选修一综合测试题总结(重点)超详细(带答案)

高中数学选修一综合测试题总结(重点)超详细(带答案)

高中数学选修一综合测试题总结(重点)超详细单选题1、已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为( ) A .√2a B .√3a C .√23a D .√33a 答案:D分析:建立空间直角坐标系,用空间向量求解由正方体的性质,AB 1∥DC 1,D 1B 1∥DB ,AB 1∩D 1B 1=B 1,DC 1∩DB =D , 易得平面AB 1D 1∥平面BDC 1,则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离.以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系,则A (a,0,0),B (a,a,0),A 1(a,0,a ),C (0,a,0),B 1(a,a,a ),D 1(0,0,a ) 所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a ),BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−a,0),AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,a,a ),B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−a,−a,0).连接A 1C ,由CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(0,a,a )=0,CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(−a,−a,0)=0,且AB 1∩B 1D 1=B 1,可知A 1C ⊥平面AB 1D 1,得平面AB 1D 1的一个法向量为n ⃑ =(1,−1,1),则两平面间的距离d =|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n⃑ |n ⃑ ||=√3=√33a . 故选:D2、已知两圆分别为圆C 1:x 2+y 2=49和圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +9=0,这两圆的位置关系是( ) A .相离B .相交C .内切D .外切 答案:B分析:先求出两圆圆心和半径,再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解. 由题意得,圆C 1圆心(0,0),半径为7;圆C 2:(x −3)2+(y −4)2=16,圆心(3,4),半径为4, 两圆心之间的距离为√32+42=5,因为7−4<5<7+4,故这两圆的位置关系是相交. 故选:B.3、在直角坐标平面内,与点A(0,3)距离为2,且与点B(4,0)距离为3的直线共有( ) A .1条B .2条C .3条D .4条 答案:C分析:根据直线是否存在斜率,分类讨论,利用点到直线距离公式进行求解即可. 当直线不存在斜率时,设为x =a ,由题意可知:|a −0|=2且|a −4|=3, 没有实数a 使得两个式子同时成立;当直线存在斜率时,设直线方程为:y =kx +b ⇒kx −y +b =0, 点A(0,3)到该直线的距离为2,所以有22=2(1), 点B(4,0)到该直线的距离为3,所以有22=3(2),由(1)(2)得:b =8k +9或b =9−8k 5,当b =8k +9时,代入(1)中,得15k 2+24k +8=0,该方程的判别式Δ=242−4×15×8=96>0,该方程有两个不相等的实数根, 当b =9−8k 5时,代入(1)中,得9k 2−24k +16=0,该方程的判别式Δ=(−24)2−4×9×16=0,该方程有两个相等的实数根, 所以这样的直线共有三条,故选:C.小提示:关键点睛:本题的关键是解方程组.4、过点P(√3,−2√3)且倾斜角为135∘的直线方程为( ) A .3x −y −4√3=0B .x −y −√3=0 C .x +y −√3=0D .x +y +√3=0 答案:D分析:由倾斜角为135∘求出直线的斜率,再利用点斜式可求出直线方程 解:因为直线的倾斜角为135∘,所以直线的斜率为k =tan135°=−1, 所以直线方程为y +2√3=−(x −√3),即x +y +√3=0, 故选:D5、如图,下列各正方体中,O 为下底面的中心,M ,N 为顶点,P 为所在棱的中点,则满足MN ∥OP 的是( )A .B .C .D .答案:A分析:根据给定条件,建立空间直角坐标系,再对每一个选项逐一分析,利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中,对各选项建立相应的空间直角坐标系,令正方体棱长为2,点O (1,1,0), 对于A ,M (0,0,2),N (2,0,0),P (2,0,1),MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,-1,1),MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0,MN ∥OP ,A 是;对于B ,M (2,0,2),N (0,2,2),P (0,2,1),MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,2,0),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(-1,1,1),MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =4≠0,MN 与OP 不垂直,B 不是;对于C ,M (0,2,2),N (0,0,0),P (2,1,2),MN →=(0,-2,-2),OP →=(1,0,2),MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0,MN 与OP 不垂直,C 不是;对于D ,M (2,2,2),N (0,2,0),P (0,0,1),MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,1),MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0,MN 与OP 不垂直,D 不是.故选:A6、已知直线l 经过点P(1,3),且l 与圆x 2+y 2=10相切,则l 的方程为( )A .x +3y −10=0B .x −3y +8=0C .3x +y −6=0D .2x +3y −11=0 答案:A分析:直线l 经过点P(1,3),且l 与圆x 2+y 2=10相切可知k l =−1k op,再使用点斜式即可.直线l 经过点P(1,3),且l 与圆x 2+y 2=10相切,则k l =−1k op=−13−01−0=−13,故直线l 的方程为y −3=−13(x −1),即x +3y −10=0.故选:A.7、美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭:将整个脸部按照发际线至眉骨,眉骨至鼻底,鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭,各占脸长的13,五眼:指脸的宽度比例,以眼形长度为单位,把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图,假设三庭中一庭的高度为2cm ,五眼中一眼的宽度为1cm ,若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘,且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点,则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为( )A .5√24B .7√24C .9√24D .11√24答案:B分析:建立平面直角坐标系,求出直线AB 的方程,利用点到直线距离公式进行求解.如图,以鼻尖所在位置为原点O ,中庭下边界为x 轴,垂直中庭下边界为y 轴,建立平面直角坐标系,则A (12,4),B (-32,2),直线AB:y-42-4=x-12-32-12,整理为x-y+72=0,原点O到直线距离为|7 2 |√1+17√24,故选:B8、若平面内两条平行线l1:x+(a−1)y+2=0,l2:ax+2y+1=0间的距离为3√55,则实数a=()A.−2B.−2或1C.−1D.−1或2答案:C分析:根据平行关系得出a=2或a=−1,再由距离公式得出a=−1满足条件.∵l1//l2,∴a⋅(a−1)=2,解得a=2或a=−1当a=2时d=|2−1 2 |√2=3√24,当a=−1时d=√5=3√55故选:C多选题9、已知直线l1:x−y−1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论正确的是()A.存在k,使得l2的倾斜角为90∘B.对任意的k,l1与l2都有公共点C.对任意的k,l1与l2都不重合D.对任意的k,l1与l2都不垂直答案:ABD分析:当k=0时可判断A;直线l1与l2均过点(0,−1)可判断B;当k=−12时可判断C,由两直线垂直斜率乘积等于−1可判断D,进而可得正确选项.对于A:当k=0时,直线l2:x=0,此时直线l2的倾斜角为90∘,故选项A正确;对于B,直线l1与l2均过点(0,−1),所以对任意的k,l1与l2都有公共点,故选项B正确;对于C ,当k =−12时,直线l 2为12x −12y −12=0,即x −y −1=0与l 1重合,故选项C 错误;对于D ,直线l 1的斜率为1,若l 2的斜率存在,则斜率为−k+1k≠−1,所以l 1与l 2不可能垂直,所以对任意的k ,l 1与l 2都不垂直,故选项D 不正确; 故选:ABD.10、已知F 为椭圆C :x 24+y 22=1的左焦点,直线l :y =kx(k ≠0)与椭圆C 交于A ,B 两点,AE ⊥x 轴,垂足为E ,BE 与椭圆C 的另一个交点为P ,则( )A .1|AF|+4|BF|的最小值为2B .△ABE 面积的最大值为√2 C .直线BE 的斜率为12k D .∠PAB 为钝角答案:BC分析:A 项,先由椭圆与过原点直线的对称性知,|AF|+|BF|=4,再利用1的代换利用基本不等式可得最小值94,A 项错误; B 项,由直线与椭圆方程联立,解得交点坐标,得出面积关于k 的函数关系式,再求函数最值; C 项,由对称性,可设A(x 0,y 0),则B(−x 0,−y 0),E(x 0,0),则可得直线BE 的斜率与k 的关系; D 项,先由A 、B 对称且与点P 均在椭圆上,可得k PA ⋅k PB =−b 2a 2=−12,又由C 项可知k PB =k BE =12k , 得k PA ⋅k AB =−1,即∠PAB =90°,排除D 项.对于A ,设椭圆C 的右焦点为F ′,连接AF ′,BF ′, 则四边形AF ′BF 为平行四边形, ∴|AF|+|BF| =|AF|+|AF ′|=2a =4, ∴1|AF|+4|BF|=14(|AF|+|BF|)(1|AF|+4|BF|)=14(5+|BF||AF|+4|AF||BF|)≥94,当且仅当|BF|=2|AF|时等号成立,A 错误;对于B ,由{x 24+y 22=1y =kx 得x =√1+2k 2,∴|y A −y B |√1+2k 2,∴△ABE 的面积S =12|x A ||y A −y B |=4|k|1+2k 2=41|k|+2|k|≤√2,当且仅当k =±√22时等号成立,B 正确;对于C ,设A(x 0,y 0),则B(−x 0,−y 0),E(x 0,0), 故直线BE 的斜率k BE =0+y 0x0+x 0=12⋅ y 0x 0=12k ,C 正确;对于D ,设P(m,n),直线PA 的斜率额为k PA ,直线PB 的斜率为k PB , 则k PA ⋅k PB = n−y 0m−x 0⋅n+y 0m+x 0=n 2−y 02m 2−x 02,又点P 和点A 在椭圆C 上,∴m 24+n 22=1①,x 024+y 022=1②,①−②得n 2−y 02m 2−x 02=−12,易知k PB =k BE =12k ,则k PA ⋅12k =−12,得k PA =−1k,∴k PA ⋅k AB =(−1k )⋅k =−1,∴∠PAB =90°,D 错误. 故选:BC.小提示:椭圆常用结论:已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),AB 为椭圆经过原点的一条弦,P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,若k PA ,k PB 都存在,则k PA ⋅k PB =−b 2a 2. 11、设椭圆C:x 24+y 2=1的的焦点为F 1,F 2,P 是C 上的动点,则下列结论正确的是( ).A .离心率e =√32B .|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的最大值为3C .△PF 1F 2面积的最大值为2√3D .|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值为2 答案:AD分析:根据椭圆方程求出a 、b 、c ,即可判断A ,设P(x,y)根据二次函数的性质判断BD ,由S △PF 1F 2=12|y|⋅2c 判断C ; 解:因为椭圆C:x 24+y 2=1,所以a 2=4,b 2=1,所以a =2,b =1,c =√a 2−b 2=√3,所以F 1(−√3,0),F 2(√3,0),e =c a=√32,故A 正确;设P(x,y),所以PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(√3−x,−y),所以|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=(x −√3)2+y 2=(x −√3)2+1−x 24=3x 24−2√3x +4=34(x −43√3)2,因为−2≤x ≤2,所以当x =−2时(|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2)max=7+4√3,即|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |max =2+√3,故B 错误;因为S △PF 1F 2=12|y|⋅2c =12|y|×2√3=√3|y|,又−1⩽y ⩽1,所以当y =±1时,即P 在短轴的顶点时△PF 1F 2面积的取得最大值,(S △PF 1F 2)max=√3×1=√3,故C 错误;对于D :|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2|PO ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√x 2+y 2=2√3x 24+1,因为−2≤x ≤2,所以1≤3x 24+1≤4,所以2≤|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |≤4,故D 正确; 故选:AD 填空题12、已知平面直角坐标系中,A(−1,0),B(1,−1),若A,B,C 是等边三角形的顶点,且依次按逆时针方向排列,则点C 的坐标是___________. 答案:(√32,√3−12)分析:分别点A,B 为圆心,AB 为半径作圆,根据题意得两圆在第一象限中的交点即为所求点C ,进而写出圆的方程并联立求解即可得答案.解:如图,分别以点A,B 为圆心,AB 为半径作圆,两圆在第一象限的交点即为所求的点C . 因为A(−1,0),B(1,−1),|AB |=√(−1−1)2+1=√5所以以点A 为圆心,AB 为半径的圆的方程为(x +1)2+y 2=5; 以点B 为圆心,AB 为半径的圆的方程为(x −1)2+(y +1)2=5. 联立方程{(x +1)2+y 2=5(x −1)2+(y +1)2=5 ,解得x =±√32(负舍),y =√3−12 所以点C 的坐标是(√32,√3−12) 所以答案是:(√32,√3−12)13、已知直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0相交于点P ,点A (4,0),O 为坐标原点,则tan∠OAP 的最大值为_____________. 答案:√33##13√3分析:根据给定条件,求出点P 的轨迹,结合图形利用几何意义求解作答. 直线kx −y +2k =0恒过定点M(−2,0),直线x +ky −2=0恒过定点N(2,0), 显然直线kx −y +2k =0与直线x +ky −2=0垂直,当k ≠0时,PM ⊥PN , 点P 在以MN 为直径的圆x 2+y 2=4(除点M ,N 外)上,当k =0时,点P(2,0), 因此,点P 的轨迹是以原点O 为圆心,2为半径的圆(除点M(−2,0)外),如图,观察图形知,点A 在圆O :x 2+y 2=4(x ≠−2)外,当直线AP 与圆O 相切时,∠OAP 为锐角且最大,tan∠OAP最大,所以(tan∠OAP)max=√42−22=√33.所以答案是:√3314、已知函数f(x)=√1−x2+k(x−2)有两个不同的零点,则常数k的取值范围是___________.答案:0≤k<√33分析:根据题意,函数f(x)=√1−x2+k(x−2)有两个不同的零点,等价于y=√1−x2与y=−k(x−2)的图象有两个不同的交点,作出图象,数形结合即可求解.由函数f(x)=√1−x2+k(x−2)有两个不同的零点,可知y=√1−x2与y=−k(x−2)的图象有两个不同的交点,故作出如下图象,当y=√1−x2与y=−k(x−2)的图象相切时,√k2+1=1,即k=±√33,由图可知−k<0,故相切时k=√33,因此结合图象可知,当0≤k<√33时,y=√1−x2与y=−k(x−2)的图象有两个不同的交点,即当0≤k<√33时,函数f(x)=√1−x2+k(x−2)有两个不同的零点.所以答案是:0≤k<√33.解答题15、设直线l的方程为(a+1)x+y−3+a=0(a∈R).(1)若l 在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(2)若l 不经过第三象限,求a 的取值范围.答案:(1)0或3(2)[−1,3]分析:(1)通过讨论−3+a 是否为0,求出a 的值即可;(2)根据一次函数的性质判断a 的范围即可.(1)当直线l 过原点时,该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零, ∴a =3,方程即为4x +y =0;若a ≠3,则3−a a+1=3−a ,即a +1=1,∴a =0,方程即为x +y −3=0,∴a 的值为0或3.(2)若l 不经过第三象限,直线l 的方程化为y =−(a +1)x +3−a ,则{−(a +1)≤03−a ≥0,解得−1≤a ≤3, ∴a 的取值范围是[−1,3].。

高中数学综合测试题

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综合测试题一、选择题1.某社区有400个家庭,其中高等收入家庭120户,中等收入家庭180户,低收入家庭100户.为了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本记作①;某校高一年级有12名女排球运动员,要从中选出3人调查学习负担情况,记作②;那么,完成上述2项调查应采用的抽样方法是( ) A.①用随机抽样法,②用系统抽样法 B.①用分层抽样法,②用随机抽样法 C.①用系统抽样法,②用分层抽样法 D.①用分层抽样法,②用系统抽样法2.要从已编号(1~60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是( ) A.5,10,15,20,25,30 B.3,13,23,33,43,53 C.1,2,3,4,5,6 D.2,4,8,16,32,483.数据70,71,72,73的标准差是( )A.2B.45 C.2 D.254.数据a 1,a 2,a 3,…,a n 的方差为σ2,则数据2a 1,2a 2,2a 3,…,2a n的方差为( )A.22B.σ2C.2σ25. 右面的伪代码输出的结果是( ).A 3B 5C 9D 136.一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下:[25,25.3),6;[25.3,25.6),4;[25.6,25.9),10;[25.9,26.2),8;[26.2,26.5),8;[26.5,26.8),4;则样本在[25,25.9)上的频率为( ) A.203B.101 C.21 D.417.设有一个直线回归方程为y =2-1.5x ,则变量x 增加一个单位时( )A.y 平均增加1.5个单位B.y 平均增加2个单位C.y 平均减少1.5个单位D.y 平均减少2个单位8.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )(A )49 (B )29 (C )2 (D)319. 某班30名同学,一年按365天计算,至少有两人生日在同一天的概率是( )A .3030365365A 1-B .3030365365AC .3036511-D .30365110.甲乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲乙下成和棋的概率为( )A.60%B.30%C.10%D.50%11.将数字1、2、3填入标号为1,2,3的三个方格里,每格填上一个数字,则方格的标号与所填的数字有相同的概率是( ) A.61B.31 C.21 D.3212. 3名老师随机从3男3女共6人中各带2名学生进行实验,其中每名老师各带1名男生和1名女生的概率为( ) A.52 B.53 C.54 D.109二、填空题13.掷两颗骰子,出现点数之和等于8的概率等于__________.14.为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况,从中抽取100名运动员;就这个问题,下列说法中正确的有 .①2000名运动员是总体;②每个运动员是个体;③所抽取的100名运动员是一个样本;④样本容量为100;⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样;⑥每个运动员被抽到的概率相等15. 某公司有1000名员工,其中:高层管理人员占5%,中层管理人员占15%,一般员工占80%,为了了解该公司的某种情况,现用分层抽样的方法抽取120名进行调查,则一般员工应抽取 人. 16. 从长度分别为1,2,3,4的四条线段中,任取三条的不同取法共有n 种,在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ,则mn等于 。

2025届绵阳中学高三12月综合测试数学试题+答案

2025届绵阳中学高三12月综合测试数学试题+答案

四川省绵阳中学2024-2025学年高三上学期12月综合测试数学试题第Ⅰ卷(选择题)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 函数tan y x =值域可以表示为( ) A. {tan }x y x =∣ B. {tan }y y x =∣ C. {(,)tan }x y y x =∣D. {tan }y x =2. 若“sin θ=是“tan 1θ=”的充分条件,则θ是( ) A. 第四象限角B. 第三象限角C. 第二象限角D. 第一象限角3. 下列命题正确的是( ) A x ∃∈R ,20x <B. (0,4)x ∀∈,20log 2x <<C. (0,)x ∃∈+∞,132x x<D. π0,2x∃∈,4sin cos x x = 4. 函数24()f x x x =−的大致图象是( )A. B.CD.5. 已知向量1e ,2e满足121e e == ,120e e ⋅= ,则向量1e 与12e e − 的夹角为( ) A. 45° B. 60°C. 120°D. 135°6. 已知5πtan210α+=,则4π5tan 5α−=( ) A.125 B. 125−C.43D. 43−的..7. 已知0a >,0b >,9a b +=,则36a ba+的最小值为( ) A. 8B. 9C. 12D. 168. 在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知202420241tan tan tan A B C+=,则222a b c +=( )A. 4049B. 4048C. 4047D. 4046二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知函数sin()()2x f x −=,则( ) A. ()f x 的值域为1,22B. ()f x 为奇函数C. ()f x 在ππ,22−上单调递增 D. ()f x 的最小正周期为2π10. 国庆节期间,甲、乙两商场举行优惠促销活动,甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略,乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略.某顾客计划消费(0)x x >元,并且要利用商场的优惠活动,使消费更低一些,则( ) A. 当0200x <<时,应进甲商场购物 B. 当200300x ≤<时,应进乙商场购物 C. 当400500x ≤<时,应进乙商场购物 D. 当500x >时,应进甲商场购物11. 设0x >,函数())2ln ,f x x g x x x==+,则下列说法正确是( ) A. 存在0x >,使得()1f x x >−B. 函数()1f x +图象与函数e 1x y =−的图象有且仅有一条公共的切线C. 函数()g x图象上的点与原点距离的最小值为 D. 函数()()f x g x +的极小值点为1x =第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 已知函数()1ln(2)f x x =−+,则曲线()y f x =在点(1,(1))f −−处的切线方程为______. 13. 已知函数()cos (0)f x x ωω=>,若π2f x+为偶函数,且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点,则ω的值是__________.的14. 若ABC 内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=,则称P 为ABC 布洛卡点,α为布洛卡角.三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现,1875年被法国军官布洛卡重新发现,并用他的名字命名.如图,在ABC 中,AB AC =,3cos 5BAC ∠=,若P 为ABC 的布洛卡点,且PA =,则BC 的长为______.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称"礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据:月份 12345违章驾驶人次125 105 100 90 80附:1221ni ii nii x y nx ybxnx==−=−∑∑ , ay bx =− ,()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++(其中n a b c d =+++)()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k2.0722.7063.8415.0246.635(1)由表中看出,可用线性回归模型拟合违章人次y 与月份x 之间的关系,求y 关于x 的回归方程y bxa =+ ,并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次; (2)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人,调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系,得到下表:不礼让行人礼让行人 的驾龄不超过2年 24 16 驾龄2年以上2624能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关? 16. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和,225,3nnS a a n==− (1)求1a ,并证明212n n n a a a +++=(2)若()22nn a b nn =+,求数列{}n b 的前n 项和n T17. 已知平面向量(,)m a b =,(sin ,cos )n x x ωω= ,且2m n = ,其中0a >,0ω>.设点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象(()f x 的部分图象如图所示)上.(1)求a ,b ,ω的值;(2)若()G x y ,是()y f x =图象上的一点,则1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点,求()g x 在[0,π]上的单调递减区间.18. 已知函数()2()e xf x x mx n =++,m ,n ∈R . (1)当24m n =时,求()f x 的最小值; (2)当2m =−时,讨论()f x 的单调性;(3)当0m n ==时,证明:0x ∀>,()ln 1f x x >+.19. 已知非零向量(,)a m n =,(,)b p q =,a ,b 均用有向线段表示,现定义一个新的向量c以及向量间的一种运算“※”:(,)c a b mp nq mq np ==−+※.(1)证明:c 是这样一个向量:其模是a 的模的 b 倍,方向为将a绕起点逆时针方向旋转β角(β为x轴正方向沿逆时针方向旋转到b所成的角,且02πβ≤<),并举一个具体的例子说明之; (2)如图1,分别以ABC 的边AB ,AC 为一边向ABC 外作ABD △和ACE △,使π2BAD CAE ∠=∠=,(01)AD AEAB ACλλ==<<.设线段DE 的中点为G ,证明:AG BC ⊥; (3)如图2,设(3,0)A −,圆22:4O x y +=,B 是圆O 上一动点,以AB 为边作等边ABC (A ,B ,C 三点按逆时针排列),求||OC 的最大值.四川省绵阳中学2024-2025学年高三上学期12月综合测试数学试题第Ⅰ卷(选择题)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 函数tan y x =的值域可以表示为( ) A. {tan }x y x =∣ B. {tan }y y x =∣ C. {(,)tan }x y y x =∣ D. {tan }y x =【答案】B【详解】因函数的值域是指函数值组成的集合,故对于函数tan y x =,其值域可表示为:{tan }yy x =∣. 故选:B. 2. 若“sin θ=是“tan 1θ=”的充分条件,则θ是( ) A. 第四象限角 B. 第三象限角C. 第二象限角D. 第一象限角【答案】B【详解】由题可知,sin 0θ<,则θ是第三象限角或第四象限角;又要得到tan 10θ=>,故θ是第三象限角. 故选:B3. 下列命题正确的是( ) A x ∃∈R ,20x <B. (0,4)x ∀∈,20log 2x <<C. (0,)x ∃∈+∞,132x x<D. π0,2x∃∈,4sin cos x x = 【答案】C【详解】对于选项A:因为指数函数2x y =的值域为(0,+∞),故x ∀∈R ,20x >,故选项A 错误; 对于选项B: 因为对数函数2log y x =在(0,4)x ∈上单调递增,所以当(0,4)x ∈时,()2log ,2y x ∞=∈−,故选项B 错误;.对于选项C:令14x =,则311464 = ,121142 =,显然11642<,故(0,)x ∃∈+∞,使得132x x <成立,故选项C 正确;对于选项D:结合题意可得:令4sin cos 2sin 2yx x x =,因为π0,2x ∈,所以()20,πx ∈,所以(]2sin 20,2yx ∈,2>,故不存在π0,2x∈,使得4sin cos x x =,故选项D 错误. 故选:C.4. 函数24()f x x x =−的大致图象是( )A. B.C. D.【答案】C【详解】函数24y x x =−是偶函数,图象关于y 轴对称,排出选项A 、B ;再取特殊值12x =和2x =,可得函数的大致图象为C , 故选:C .5. 已知向量1e ,2e满足121e e == ,120e e ⋅= ,则向量1e 与12e e − 的夹角为( ) A. 45° B. 60°C. 120°D. 135°【答案】A【详解】由题可知()21121121e e e e e e ⋅−−⋅,12e e −= ,121e e ==所以()112112112cos ,e e e e e e e e e ⋅−−==−故向量1e 与12e e −的夹角为45°故选:A 6. 已知5πtan210α+=,则4π5tan5α−=( ) A.125 B. 125−C.43D. 43−【答案】C【详解】由题可知,5π4π52π105αα+−×+=25π2tan5π4410tan 25π101431tan 10ααα++ ×===− +−− 所以有4π55π5π4tan tan π2tan 2510103ααα−++ =−×=−×=故选:C7. 已知0a >,0b >,9a b +=,则36a ba+的最小值为( ) A. 8 B. 9C. 12D. 16【答案】A【详解】43644448b a b a a a b b a a b a +=+=++≥+=+ 当且仅当4b aa b=,9a b +=,即26a b ==时等号成立; 故选:A8. 在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知202420241tan tan tan A B C+=,则222a b c +=( )A. 4049B. 4048C. 4047D. 4046【答案】A【详解】在ABC 中,202420241tan tan tan A B C +=,可得cos cos cos 2024()sin sin sin A B CA B C+=, 即sin cos cos sin cos 2024sin sin sin B A B A C A B C +×=,故sin()cos 2024sin sin sin B A CA B C+×=, 即sin cos 2024sin sin sin C C A B C ×=,所以2sin 2024cos sin sin CC A B×=,所以222220242c a b c ab ab+−×=,即22224048c a b c =+−,所以2224049c a b =+故2224049a b c +=. 故选:A.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知函数sin()()2x f x −=,则( ) A. ()f x 的值域为1,22B. ()f x 为奇函数C. ()f x 在ππ,22−上单调递增 D. ()f x 的最小正周期为2π【答案】AD【详解】对于选项A:由sin()()2x f x −=,令()sin t x =−,则2t y =,[]1,1t ∈−, 因为2ty =在[]1,1t ∈−上单调递增,所以12,22ty =∈,故选项A 正确; 对于选项B: 由sin()()2x f x −=可知(),x ∞∞∈−+,对任意的(),x ∞∞−∈−+, 因为sin ()2x f x −=,而sin ()2x f x −=,易验证()(),f x f x −≠−故()f x 不是奇函数, 故选项B 错误;对于选项C :结合选项A 可知()sin t x =−在ππ,22−单调递减,而2t y =在定义域上单调递增, 由复合函数的单调性可得sin()()2x f x −=在ππ,22−单调递减,故选项C 错误; 对于选项D :因为()sin t x =−的最小正周期为2πT =, 所以sin(2π)sin()(2π)22()x x f f x x −−−==+=,所以()f x 的最小正周期为2π,故选项D 正确.故选:AD.10. 国庆节期间,甲、乙两商场举行优惠促销活动,甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略,乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略.某顾客计划消费(0)x x >元,并且要利用商场的优惠活动,使消费更低一些,则( )A. 当0200x <<时,应进甲商场购物B. 当200300x ≤<时,应进乙商场购物C. 当400500x ≤<时,应进乙商场购物D. 当500x >时,应进甲商场购物【答案】AC【详解】当0200x <<时,甲商场的费用为0.84x ,乙商场的费用为x ,0.84x x >,故应进甲商场, 所以选项A 正确;当200300x ≤<时,甲商场的费用为0.84x ,乙商场的费用为40x −,400.840.1640x x x −−=−,因为200250x ≤<,所以80.16400x −≤−<,400.84x x −<,进入乙商场,当250300x ≤<故400.84x x −>应进甲商场,所以选项B 错误; 当400500x ≤<时,甲商场的费用为0.84x ,乙商场的费用为80x −800.840.1680x x x −−=−,因为400500x ≤<,所以160.16800x −≤−<故800.84x x −<,所以应进乙商场,所以选项C 正确;假设消费了600,则在甲商场的费用为6000.84504×=,在乙商场的费用为600120480−=,所以乙商场费用低,故乙商场购物,故选项D 错误. 故选:AC11. 设0x >,函数()()2ln ,f x x g x x x==+,则下列说法正确的是( ) A. 存在0x >,使得()1f x x >−B. 函数()1f x +图象与函数1x y =−的图象有且仅有一条公共的切线C. 函数()g x图象上的点与原点距离的最小值为 D. 函数()()f x g x +的极小值点为1x = 【答案】BD【详解】对于A :设()()()1ln 1(0)h x f x x x x x =−−=−+>,则11()1x h x x x−′=−=, 由()0h x ′>得01x <<,由()0h x ′<得1x >,所以函数()h x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,故()(1)0h x h ≤=,即()1f x x ≤−恒成立,选项A 错误.对于B :由()()1ln 1y f x x =+=+得1e y x +=,即e 1y x =−,所以函数()1y f x =+与函数e 1x y =−互为反函数,图象关于直线y x =对称,结合图象可得函数()1y f x =+与e 1x y =−的图象都过原点,直线y x =为函数()1y f x =+与在e 1x y =−唯一的公切线,选项B 正确.对于C :设点(,)P x y 为函数()g x 图象上任意一点,则OP =≥,当且仅当x =等号成立,选项C 错误. 对于D :令()()()()2ln 0F x f x x x x x x=+=++>,则()()()2222211221x x x x F x x x x x+−+−=′=+−=, 当(0,1)x ∈时,()0F x ′<,当(1,)x ∈+∞时,()0F x ′>,所以()F x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,故1x =是函数()F x 的极小值点,选项D 正确. 故选:BD.第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 已知函数()1ln(2)f x x =−+,则曲线()y f x =在点(1,(1))f −−处的切线方程为______. 【答案】0x y +=【详解】由题可知,()12f x x =−+′,()11f −=, 所以切线斜率()11k f =−=−′, 故切线方程为()110y x x y −=−+⇒+=. 故答案为:0x y +=13. 已知函数()cos (0)f x x ωω=>,若π2f x+为偶函数,且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点,则ω的值是__________.【答案】2【详解】πππcos cos 222f x x x ωωω+=+=+⋅为偶函数, 所以ππ2k ω⋅=,Z k ∈,得2k ω=,Z k ∈, 当xx ∈(0,π)时,()0,πx ωω∈,()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点, 所以3π5ππ22ω<≤,解得:3522ω<≤,所以2ω=. 故答案为:214. 若ABC 内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=,则称P 为ABC 的布洛卡点,α为布洛卡角.三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现,1875年被法国军官布洛卡重新发现,并用他的名字命名.如图,在ABC 中,AB AC =,3cos 5BAC ∠=,若P 为ABC 的布洛卡点,且PA =,则BC 的长为______.【详解】213cos 2cos 125BAC BAC ∠=∠−=,所以BAC ∠为锐角,12BAC ∠为锐角,所以11cos 22BAC BAC ∠∠ 由于AB AC =,所以A ABC CB =∠∠,设ABC ACB θ∠=∠=,则2πBAC θ∠+=, ππ11cos cos cos sin 2222BAC BAC BAC θ−∠==−∠=∠=,θ为锐角,则sin θ. 由于,BAP CBP ABP BCP θα∠=∠∠=∠=−, 所以ABP BCP ,所以ABAP BP BC BP PC==①,在PBC △中,由正弦定理得()()()sin sin sin sin πBP BC BC PC θαθααθα===−−−−, 所以()sin sin BP PC θαα−=,所以()sin sin AB BP BC PC θαα−==, 即()sin sin c a θαα−=,由正弦定理得sin sin cos cos sin sin cos sin sin tan ACB BAC θαθαθθαα∠−==−∠,,解得4tan 7α=,则α为锐角, 由22sin 4tan cos 7sin cos 1ααααα==+=解得sin αα=, 在三角形ABC 中,由余弦定理得222222342cos 2255a b c bc A b b b =+−=−×=,所以225,4b a b ==, 在三角形ACP 中,由正弦定理得()()sin sin sin πAP AC ACBACBAC ααα==∠−−∠−,=,解得a BC =.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称"礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据:月份 12345违章驾驶人次125 105 100 90 80附:1221ni ii nii x y nx ybxnx==−=−∑∑ , ay bx =− ,()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++(其中n a b c d =+++)()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k2.0722.7063.8415.0246.635(1)由表中看出,可用线性回归模型拟合违章人次y 与月份x 之间的关系,求y 关于x 的回归方程y bxa =+ ,并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次; (2)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人,调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系,得到下表:不礼让行人礼让行人 驾龄不超过2年 24 16 驾龄2年以上2624能否据此判断有90%把握认为“礼让行人行为与驾龄有关?【答案】(1) 10.5131.5y x =−+;58 (2)没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关 【解析】 【小问1详解】 由表中数据可得1234535x++++=,12510510090801005y++++=,所以12211395150010.55545ni ii ni i x y nx ybx nx==−−===−−−∑∑ ,()100ˆˆ10.53131.5a y bx =−=−−×=, 所以所求的回归直线方程为 10.5131.5y x =−+; 令7x =,则 10.57131.558y =−×+=,即该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次预测为58人次. 【小问2详解】的零假设:礼让行人行为与驾龄无关,由表中数据可得()229024241626720.576 2.70640505040125K ××−×===<×××,根据小概率值0.1α=的独立性检验,没有充分理由认为零假设不成立,即没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关.16. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和,225,3nnS a a n==− (1)求1a ,并证明212n n n a a a +++=(2)若()22nn a b nn =+,求数列{}n b 的前n 项和n T【答案】(1)13a =,证明见解析 (2)()2221n n nT n +=+【解析】 【小问1详解】令1n =,1112323a S a =−=−, ∴13a =,因为23nn S a n=−, 所以23n n S na n −=,① 所以()112133n n S n a n ++−+=+,②②-①得()113n n na n a +−−=,③ 所以()1213n n n a na +++−=,④ ③-④得212n n n na na na +++=, 所以212n n n a a a +++=. 【小问2详解】由(1)知212n n n a a a +++=,则211n n n n a a a a +++−=−, 所以数列{}n a 等差数列,是又13a =,25,a =所以{}n a 的公差212d a a =−=, 所以()31221n a n n =+−×=+,所以()()()()2222222212111111nn a n n bn n n n n n nn++====−++ ++, 所以()()()2222222221111111211223111n n n T n n n n +=−+−++−=−=+++ . 17. 已知平面向量(,)m a b =,(sin ,cos )n x x ωω= ,且2m n = ,其中0a >,0ω>.设点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象(()f x 的部分图象如图所示)上.(1)求a ,b ,ω的值;(2)若()G x y ,是()y f x =图象上的一点,则1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点,求()g x 在[0,π]上的单调递减区间.【答案】(1)a =1b =,2ω=; (2)π[,π]3【解析】 【小问1详解】因(,)m a b = ,(sin ,cos )n x x ωω= ,由2m n =,可得2=, 由()(,)(sin ,cos )f x m n a b x x ωω=⋅=⋅sin cos )2sin()a x b x x x ωωωϕωϕ=+=+=+,其中tan b aϕ=, 因点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象上,则有,2sin 111πsin()012ϕωϕ=+=①②, 结合图象,由① 可得πZ π2,6k k ϕ=+∈,将其代入② 式,可得11πππ,Z 126n n ω+=∈,即212,Z 1111n n ω=−+∈,(*)由图知,该函数的周期T 满足311π412T T <<,即3π11π2π212ωω<<又0ω>,则有18241111ω<<, 由(*)可得2ω=,故π()2sin(2)6f x x =+.由20b a a ==>解得,1a b = = ,故a =1b =,2ω=; 【小问2详解】不妨记12,2x x y y ′′==,则,22x x y y ′′==, 因()G x y ,是()y f x =图象上的一点,即得π22sin()6y x ′′=+,即πsin()6y x ′′=+, 又因1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点,故有π()sin()6g x x =+. 由ππ3π2π2π,Z 262k x k k +≤+≤+∈,可得π4π2π2π,Z 33k x k k +≤≤+∈, 因[0,π]x ∈,故得ππ3x ≤≤. ()g x 在[0,π]上单调递减区间为π[,π]3.18. 已知函数()2()e xf x x mx n =++,m ,n ∈R . (1)当24m n =时,求()f x 的最小值; (2)当2m =−时,讨论()f x 的单调性;(3)当0m n ==时,证明:0x ∀>,()ln 1f x x >+. 【答案】(1)0 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解析】 【小问1详解】的当24m n =时,22()()e 4xm f x x mx =++,22()[(2)2()e ()2)e 42x x m f x x m x m m mx x ′=+++=++++,由()0f x ′>,可得22mx <−−或2m x >−,由()0f x ′<,可得222m m x −−<<−,即()f x 在(,2)2m −∞−−和(,)2m −+∞上单调递增;在(2,)22m m−−−上单调递减,x →−∞时,()0f x →,x →+∞时,()f x →+∞,故2mx =−时,()f x 取得极小值也即最小值,为()02m f −=. 【小问2详解】 当2m =−时,()2()2e x f x xx n =−+,函数的定义域为R ,()2(e 2)x x f x n =+−′,当2n ≥时,()0f x ′≥恒成立,故()f x 在R 上为增函数;当2n <时,由()0f x ′=,可得x ,故当x <x >时,()0f x ′>;即()f x 在(,∞−和)∞+上单调递增;当x <<()0f x ′<,即()f x 在(上单调递减. 综上,当2n ≥时,()f x 在R 上为增函数;当2n <时,()f x 在(,∞−和)∞+上单调递增,在(上单调递减. 【小问3详解】当0m n ==时,2()e x f x x =,要证0x ∀>,()ln 1f x x >+,只需证2e ln 1x x x >+,即证3e ln 1x x x x+>在(0,)+∞上恒成立.设3e ln 1(),()x x g x h x x x+==,依题意,只需证在0x >时,min max ()()g x h x >. 因e ()=x g x x ,2(1)e()xx g x x −′=,由()0g x ′<,可得01x <<,由()0g x ′>,可得1x >, 故()g x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增, 则()g x 在1x =时取得极小值也是最小值,为(1)e g =; 因3ln 1()x h x x +=,423ln ()x h x x−−′=,由()0h x ′=,可得23x e −=, 由()0h x ′<,可得23x e −>,由()0h x ′>,可得230x e −<<, 故()h x 在23(0,e )−上单调递增,在23(e ,)−+∞上单调递减,则()h x 在23x e −=时取得极大值也是最大值,为22332323ln e ()3e 1e (e )h −−−==+. 因2e e 3>,即min max ()()g x h x >在(0,)+∞上成立,故得证. 即0x ∀>,()ln 1f x x >+.19. 已知非零向量(,)a m n =,,)b p q = ,a ,b 均用有向线段表示,现定义一个新的向量c 以及向量间的一种运算“※”:(,)c a b mp nq mq np ==−+※.(1)证明:c 是这样一个向量:其模是a 的模的 b 倍,方向为将a绕起点逆时针方向旋转β角(β为x轴正方向沿逆时针方向旋转到b所成的角,且02πβ≤<),并举一个具体的例子说明之;(2)如图1,分别以ABC 的边AB ,AC 为一边向ABC 外作ABD △和ACE △,使π2BAD CAE ∠=∠=,(01)AD AEAB ACλλ==<<.设线段DE 的中点为G ,证明:AG BC⊥;(3)如图2,设(3,0)A −,圆22:4O x y +=,B 是圆O 上一动点,以AB 为边作等边ABC (A ,B ,C 三点按逆时针排列),求||OC 的最大值.【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. (3)5. 【解析】 【小问1详解】证明:设(,)(cos ,sin ),(,)(cos ,sin )a m n r r b p q R R ααββ===(0,0,,r R αβ>>分别为x 轴正方向逆时针到,a b所成的角,且,[0,2)αβπ∈), 则cos cos sin sin cos()mp nq Rr Rr Rr αβαβαβ−=−=+, cos sin sin cos sin()mq np Rr Rr Rr αβαβαβ+=+=+,于是cos()sin((,))Rr a b Rr c αβαβ=++=※,即cRr a b ==×,x 轴正方向逆时针到c 所成的角为αβ+. 故:c 是这样一个向量:把a的模变为原来的 b 倍,并按逆时针方向旋转β角(β为x 轴正方向逆时针到b所成的角,且02πβ≤<).例如,1(2ab =,则111,122((0,2)c a b ×+= ※,1,2a b == ,a 与x 轴正方向的夹角为π3,b 与x 轴正方向的夹角为6π,将a 的模变为原来的2倍,并按逆时针旋转π6,即可得c .【小问2详解】证明:记(,),(,)AB m n AC p q ==, 根据新定义,可得()3π3πcos ,sin ,22AD AB n m λλλ==−※,同理(cos ,sin )(,)22q p A AE C ππλλλ− ※,所以1()()()(,)222n q p m AG A AD E λλ−−=+= , 而(,)BC AC AB p m q n =−=−−,所以1[()()()()]02AG BCp m n q q n p m λλ⋅=−−+−−= ,第16页/共16页故:AG BC ⊥.【小问3详解】解:设(,)B u v ,则224,(3,)u v AB u v +==+, ()ππ13cos ,sin 3,33222u v AC AB u v λ + ==+=※※,所以3(3,0)()22u v OC OA AC +=+=−++ ,所以OC =.设2cos ,2sin (02)u v θθθπ=≤<,则OC = , 当πsin 16θ +=,即π3θ=时,max 5OC = .。

(人教版B版)高中数学必修第二册第四章综合测试03(含答案)

(人教版B版)高中数学必修第二册第四章综合测试03(含答案)

第四章综合测试一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数()()lg 4f x x =-的定义域为M ,函数()g x =的值域为N ,则M N 等于( ) A .MB .NC .[)0,4D .[)0,+∞2.函数||31x y =-的定义域为[]1,2-,则函数的值域为( ) A .[]2,8B .[]0,8C .[]1,8D .[]1,8-3.已知()23log f x =()1f 的值为( ) A .1B .2C .1-D .12 4.21+log 52等于( ) A .7B .10C .6D .925.若1005a =,102b =,则2a b +等于( ) A .0B .1C .2D .36.比较13.11.5、 3.12、13.12的大小关系是( ) A .113.13.13.122 1.5<< B .113.13.13.11.522<<C .11 3.13.13.11.522<<D .11 3.13.13.12 1.52<<7.()()4839log 3log 3log 2log 8++等于( ) A .56B .2512C .94D .以上都不对8.已知0ab >,下面四个等式:①()lg lg lg ab a b =+;②lg lg lg a a b b =-;③21lg lg 2a ab b ⎛⎫= ⎪⎝⎭;④()1lg log 10ab ab =其中正确的个数为( ) A .0B .1C .2D .39.函数x y a =(0a >且1a ≠)与函数()2121y a x x =---在同一个坐标系内的图像可能是( )ABCD10.抽气机每次可抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽( ) (参考数据:120.3010g ≈) A .6次B .7次C .8次D .9次11.已知113log 2x =,1222x -=,3x 满足3331log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则1x ,2x ,3x 的大小关系是( )A .123x x x <<B .132x x x <<C .213x x x <<D .312x x x <<12.已知幂函数()()22421mm f x m x -+=-在()0,+∞上单调递增,函数()2x g x k =-,当[)1,2x ∈时,记()f x ,()g x 的值域分别为集合A ,B ,若A B A = ,则实数k 的取值范围是( )A .()0,1B .[)0,1C .(]0,1D .[]0,1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数()f x 的反函数为()12f x x -=(0x >),则()4=f ________。

高中数学模块综合检测(A,B,C三卷,内含答案)

高中数学模块综合检测(A,B,C三卷,内含答案)

模块综合检测(A)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.对满足AB 的非空集合A 、B 有下列四个命题:①若任取x ∈A ,则x ∈B 是必然事件; ②若x ∉A ,则x ∈B 是不可能事件; ③若任取x ∈B ,则x ∈A 是随机事件;④若x ∉B ,则x ∉A 是必然事件,其正确命题的个数为( ) A .4 B .3 C .2 D .12.要解决下面的四个问题,只用顺序结构画不出其程序框图的是( ) A .当n =10时,利用公式1+2+…+n =n n +12计算1+2+3+…+10B .当圆的面积已知时,求圆的半径C .给定一个数x ,求这个数的绝对值D .求函数F(x)=x 2-3x -5的函数值3.最小二乘法的原理是( ) A .使得∑ni =1[y i -(a +bx i )]最小B .使得∑n i =1[y i -(a +bx i )2]最小C .使得∑ni =1[y 2i -(a +bx i )2]最小D .使得∑ni =1[y i -(a +bx i )]2最小4.用秦九韶算法求一元n 次多项式f(x)=a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x +a 0当x =x 0时的值时,一个反复执行的步骤是( )A.⎩⎨⎧v 0=a 0v k =v k -1x +a n -k k =1,2,…,nB.⎩⎨⎧v 0=a n v k =v k -1x +a kk =1,2,…,nC.⎩⎨⎧v 0=a n v k =v k -1x +a n -k k =1,2,…,nD.⎩⎨⎧v 0=a 0v k =v k -1x +a kk =1,2,…,n5.一次选拔运动员,测得7名选手的身高(单位:cm)分布茎叶图为⎪⎪⎪1817⎪⎪⎪0 13 x 8 9记录的平均身高为177 cm ,有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为x ,那么x 的值为( )A.5 B.6C.7 D.86.一个游戏转盘上有四种颜色:红、黄、蓝、黑,并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4,则指针停在红色或蓝色的区域的概率为( )A.613B.713C.413D.10137.某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示),则新生婴儿的体重(单位:kg)在[3.2,4.0)的人数是( )A.30 B.40C.50 D.558.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为S=105,则判断框中应填入( )A.i<6? B.i<7?C.i<9? D.i<10?9.二进制数111 011 001 001(2)对应的十进制数是( )A.3 901 B.3 902C.3 785 D.3 90410.样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1,则样本方差为( )A. 65B.65C. 2 D.211.废品率x%和每吨生铁成本y(元)之间的回归直线方程为y^=256+2x,表明( ) A.废品率每增加1%,生铁成本增加258元B.废品率每增加1%,生铁成本增加2元C.废品率每增加1%,生铁成本每吨增加2元D.废品率不变,生铁成本为256元12.为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下:5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本,则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为( )A.715B.415C.815D.35题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.某中学高中部有三个年级,其中高一年级有学生400人,采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本,高二年级抽取15人,高三年级抽取10人,那么高中部的学生数为________.14.2010年上海世博会园区每天9∶00开园,20∶00停止入园,在下边的框图中,S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数,a表示整点报道前1个小时内入园人数,则空白的执行框内应填入______________.15.为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况,调查部门在某学校进行了如下的随机调查:向调查者提出了两个问题:(1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口时你是否闯红灯?要求被调查者背对调查人员抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答问题1);否则就不回答问题2).被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪个问题,只需回答“是”或“不是”,因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题,所以都如实作了回答.结果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”,由此可估计这600人中闯红灯的人数是________.16.有20张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数k,k+1,其中k=0,1,2,…,19.从这20张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到标有9,10的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10)不小于14”为A,则P(A)=________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)甲乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)若以A表示和为6的事件,求P(A);(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是否为互斥事件?为什么?(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.18.(12分)甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机到达,试求两船中有一艘在停泊位时,另一艘船必须等待的概率.19.(12分)某校举行运动会,高二·一班有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名,现要选一男一女运动员组成混合双打组合代表本班参赛,试列出全部可能的结果,若某女乒乓球运动员为国家一级运动员,则她参赛的概率是多少?20.(12分)(1)画出散点图判断是否线性相关;(2)如果线性相关,求回归直线方程;(3)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?21.(12分)某中学高中三年级男子体育训练小组2010年5月测试的50米跑的成绩(单位:s)如下:6.4,6.5,7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5,设计一个算法,从这些成绩中搜索出小于6.8 s的成绩,并画出程序框图.22.(12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示.(1)计算甲班的样本方差;(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学,求身高176 cm的同学被抽中的概率.模块综合检测(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.某林场有树苗30 000棵,其中松树苗4 000棵,为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的数量为( )A.30 B.25C.20 D.152.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80 mg/100 mL(不含80)之间,属于酒后驾车,处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证,并处200元以上500元以下罚款;血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时,属醉酒驾车,处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证,并处500元以上2 000元以下罚款.据《法制晚报》报道,2009年8月15日至8月28日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28 800人,如图是对这28 800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为( )A.2 160 B.2 880C.4 320 D.8 6403.下列说法正确的是( )A.任何事件的概率总是在(0,1)之间B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的,在试验前不能确定4.下图是把二进制的数11111(2)化成十进制的数的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是( ) A.i>5? B.i≤5?C.i>4? D.i≤4?5.从1、2、3、4、5、6这6个数字中,不放回地任取两数,两数都是偶数的概率是( )A.12B.13C.14D.156.如果执行下边的程序框图,输入x=-2,h=0.5,那么输出的各个数的和等于( )A.3 B.3.5 C.4 D.4.57.已知直线y=x+b,b∈[-2,3],则直线在y轴上的截距大于1的概率为( )A.15B.25C.35D.458.如图是根据某校10位高一同学的身高(单位:cm)画出的茎叶图,其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字,右边的数字表示学生身高的个位数字,从图中可以得到这10位同学身高的中位数是( )A.161 cm B.162 cmC.163 cm D.164 cm9.如图所示是一样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,可以估计众数与中位数分别是( )A.12.5 12.5B.12.5 13C.13 12.5D.13 1310.甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲,x乙,则下列叙述正确的是( )A.x甲>x乙;乙比甲成绩稳定B.x甲>x乙;甲比乙成绩稳定C.x甲<x乙;乙比甲成绩稳定D.x甲<x乙;甲比乙成绩稳定11.在如图所示的程序框图中,如果输入的n=5,那么输出的i等于( )A.3 B.4 C.5 D.612玩具个数2468101214161820加工时间471215212527313741如回归方程的斜率是b,则它的截距是( )A.a^=11b^-22B.a^=22-11b^C.a^^^^题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.某鱼贩一次贩运草鱼、青苗、鲢鱼、鲤鱼及鲫鱼分别为80条、20条、40条、40条、20条,现从中抽取一个容量为20的样本进行质量检测,若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的青鱼与鲤鱼共有________条.14.某商店统计了最近6个月商品的进价x与售价y(单位:元),对应数据如下:x 3528912y 46391214则x=________,y=________,∑6i=1x2i=_____,∑6i=1x i y i=________,回归方程为:______________________________________________________________.15.阅读下面的程序框图,若输入m=4,n=6,则输出a=________,i=________.16.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率是40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成平局的概率为________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)据统计,从5日期1日2日3日4日5日6日7日人数(万)2123131591214其中,5月1日到5月3(1)把这7天的参观人数看成一个总体,求该总体的平均数(精确到0.1)(2)用简单随机抽样方法从非指定参观日中抽取2天,它们的参观人数组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过2万的概率.18.(12分)设点M(p,q)在|p|≤3,|q|≤3中按均匀分布出现,试求方程x2+2px-q2+1=0的两根都是实数的概率.19.(12分)下列语句是求S=2+3+4+…+99的一个程序.请回答问题:i=1S=0DOS=i+Si=i+1LOOP UNTIL i>=99PRINT SEND(1)程序中是否有错误?若有请加以改正;(2)把程序改成另一种类型的循环语句.20.(12分)(1)(2)用最小二乘法求回归直线方程,并在散点图上加上回归直线;(3)估计房屋的大小为90 m2时的销售价格.21.(12分)假设小明家订了一份报纸,送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到小明家,小明爸爸离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间,问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是多少?22.(12分)设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.模块综合检测(C)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.从2 006名世博会志愿者中选取50名组成一个志愿者团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2 006人中剔除6人,余下的2 000人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的机会( )A.不全相等B.均不相等C.都相等D.无法确定2.若下面的程序框图输出的S是126,则①应为( )A.n≤5? B.n≤6?C.n≤7? D.n≤8?3.阅读下列程序,则其输出的结果为( )S=0n=2i=1DOS=S+1/nn=n*2i=i+1LOOP UNTIL i>=7PRINT SENDA.6364B.3132C.127128D.15164.当x=2时,下面的程序段结果是( )i=1s =0WHILE i<=4s=s*x+1i=i+1WENDPRINT sENDA.3 B.7C.15 D.175.从小到大排列,中间一位,或中间二位的平均数,即b=152.下列说法错误的是( )A.在统计里,把所需考察对象的全体叫作总体B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大6.在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为( )A.14B.13C.427D.4157.10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有( )A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a8.商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月2日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示,已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时至12时的销售额为( )A.6万元B.8万元C.10万元D.12万元9.有五组变量:①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程;②平均日学习时间和平均学习成绩;③某人每日吸烟量和其身体健康情况;④正方形的边长和面积;⑤汽车的重量和百公里耗油量.其中两个变量成正相关的是( )A.①③B.②④C.②⑤D.④⑤10.先后抛掷两颗骰子,设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3,则( )A.P1=P2<P3B.P1<P2<P3C.P1<P2=P3D.P3=P2<P111.为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如下图,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数和为62,设视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为( )A.64 B.54 C.48 D.2712.某化工厂为预测某产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系,现取了8对观测值,计算,得∑8i=1x i=52,∑8i=1y i=228,∑8i=1x2i=478,∑8i=1x i y i=1 849,则其回归直线方程为( )A.y^=11.47+2.62xB.y^=-11.47+2.62xC.y^^题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.有一个底面半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为________.14.甲、乙、丙三人进行传球练习,共传球三次,球首先从甲手中传出,则第3次球恰好传回给甲的概率是________.15.人的身高与手的扎长存在相关关系,且满足y^=0.303x-31.264(x为身高,y为扎长,单位:cm),则当扎长为24.8 cm 时,身高为__________ cm.16.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的结果是16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.18.(12分)已知变量x与变量y有下列对应数据:x 123 4y 12322 3且y对x呈线性相关关系,求y对x的回归直线方程.19.(12分)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况,从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼,称得每条鱼的质量(单位:kg),并将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示).(1)在下面表格中填写相应的频率;分组频率[)1.00,1.05 [)1.05,1.10 [)1.10,1.15 [)1.15,1.20 [)1.20,1.25 [)1.25,1.30(2)估计数据落在[)1.15,1.30中的概率为多少;(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库.几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼,其中带有记号的鱼有6条.请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数.20.(12分)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较.在试制某种洗涤剂时,需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为1,2,3,4,5,6的六种添加剂可供选用.根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于6的概率.21.(12分)为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如下:(1)估计该校男生的人数;(2)估计该校学生身高在170~185 cm 之间的概率;(3)从样本中身高在180~190 cm 之间的男生中任选2人,求至少有1人身高在185~190 cm 之间的概率.22.(12分)(人数分布)如表:(1)用分层抽样的方法在35~2人,求至少有1人的学历为研究生的概率;(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这N 个人中随机抽取出1人,此人的年龄为50岁以上的概率为539,求x 、y 的值.模块综合检测(A)答案1.B [①③④正确,而②是随机事件.] 2.C [C 项中需用到条件结构.]3.D [根据回归方程表示到各点距离最小的直线方程,即总体偏差最小,亦即∑ni =1[y i -(a +bx i )]2最小.]4.C [由秦九韶算法可知,若v 0=a n ,则v k =v k -1x +a n -k .] 5.D [由茎叶图可知10+11+3+x +8+97=7,解得x =8.]6.B [由几何概型的求法知所求的概率为6+16+2+1+5=713.]7.B [频率分布直方图反映样本的频率分布,每个小矩形的面积等于样本数据落在相应区间上的频率,故新生婴儿的体重在[3.2,4.0)(kg)的人数100×(0.4×0.625+0.4×0.375) =40.]8.C [由程序框图可知结果应是由1×3×5×7=105得到的,故应填i<9?.]9.C [1×211+1×210+1×29+0×28+1×27+1×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+1=2 048+1 024+512+128+64+8+1=3 785.]10.D [由样本平均值为1,知15(a +0+1+2+3)=1,故a =-1.∴样本方差s 2=15[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=15(4+1+0+1+4)=2.]11.C12.A [总体平均数为16(5+6+7+8+9+10)=7.5,设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有:(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共15个基本结果.事件A 包含的基本结果有:(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共7个基本结果.所以所求的概率为P(A)=715.]13.900解析 设高二年级有学生x 人,高三年级有学生y 人,则40045-15-10=x15=y10,得x =300,y =200,故高中部的学生数为900. 14.S =S +a解析 每个整点入园总人数S 等于前一个整点报道的入园总人数加报道前1个小时内入园人数,即应填S =S +a. 15.60解析 由于抛掷硬币出现正面和反面的概率都是12,因此我们可认为这600人通过抛掷硬币,其中有300人回答了问题(1),另外300人回答了问题(2);对于问题(1),600人中每个人学号为奇数的概率都为12,因此回答问题(1)的300人中,答“是”的约有150人,故回答问题(2)的300人中,答“是”的人数为180-150=30(人),即300人中约有30人闯红灯,由此可估计600人中闯红灯的人数为60. 16.14解析 从20张卡片中任取一张共有20种可能,其中各卡片上的数字之和大于等于14的有(7,8),(8,9),(16,17),(17,18),(18,19)共5种,因此满足各条件的概率P =520=14. 17.解 (1)甲、乙出手指都有5种可能,因此基本事件的总数为5×5=25,事件A 包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)、(5,1)、(2,4)、(4,2)、(3,3)共5种情况,∴P(A)=525=15.(2)B 与C 不是互斥事件.因为事件B 与C 可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意.(3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件数为13个.(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).所以甲赢的概率为1325,乙赢的概率为1225.所以这种游戏规则不公平.18.解 设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x ,y.则⎩⎨⎧0≤x≤24,0≤y≤24,|x -y|≤6.作出如图所示的区域.本题中,区域D 的面积S 1=242,区域d 的面积为S 2=242-182. ∴P =d 的面积D 的面积=242-182242=716.即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为716.19.解 由于男生从4人中任意选取,女生从3人中任意选取,为了得到试验的全部结果,我们设男生为A ,B ,C ,D ,女生为1,2,3,我们可以用一个“数对”来表示随机选取的结果.如(A,1)表示:从男生中随机选取的是男生A ,从女生中选取的是女生1,可用列举法列出所有可能的结果.如下表所示,设“国家一级运动员参赛”为事件E.123A (A,1) (A,2) (A,3)B (B,1) (B,2) (B,3)C (C,1) (C,2) (C,3) D(D,1)(D,2)(D,3)由上表可知,可能的结果总数是12个.设该国家一级运动员为编号1,她参赛的可能事件有4个,故她参赛的概率为P(E)=412=13. 20.解 (1)作散点图如下:由散点图可知是线性相关的. (2)列表如下:i 1 2 3 4 5 x i 2 3 4 5 6 y i 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 x i y i4.411.422.032.542.0x =4,y =5,∑i =15x 2i=90,∑i =15x i y i=112.3计算得:b ^=∑i =1nx i y i-n x y∑i =1nx 2i-n x2=112.3-5×4×590-5×42=1.23,于是:a ^=y -b ^x =5-1.23×4=0.08, 即得回归直线方程为y ^=1.23x +0.08.(3)把x =10代入回归方程y ^=1.23x +0.08得y ^=12.38, 因此,估计使用10年维修费用是12.38万元. 21.解 算法步骤如下, 第一步:i =1;第二步:输入一个数据a ;第三步:如果a<6.8,则输出a ,否则,执行第四步; 第四步:i =i +1;第五步:如果i>9,则结束算法,否则执行第二步. 程序框图如图:女 结果男22.解(1)x=158+162+163+168+168+170+171+179+179+18210=170.甲班的样本方差s2=110[(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2.(2)设身高为176 cm的同学被抽中的事件为A,从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm的同学有:(181,173),(181,176),(181,178),(181,179),(179,173),(179,176),(179,178),(178,173),(178,176),(176,173)共10个基本事件,而事件A含有4个基本事件:(181,176),(179,176),(178,176),(176,173),∴P(A)=410=25.模块综合检测(B)答案1.C [样本中松树苗的数量为15030 000×4 000=20.]2.C [由题意及频率分布直方图可知,醉酒驾车的频率为(0.01+0.005)×10=0.15,故醉酒驾车的人数为28 800×0.15=4 320.]3.C [概率总在是[0,1]之间,故A错误;概率是客观存在的,与试验次数无关,而频率随试验次数产生变化,故B、D错误;频率是概率的近似,故选C.]4.D [根据程序框图,要使得输出的结果是1+1×2+1×22+1×23+1×24,那么判断框内的条件必须是i≤4?.]5.D [从6个数字中不放回的任取两数有6×5=30(种)取法,均为偶数的取法有3×2=6(种)取法,∴所求概率为630=15.]6.B [当x<0时,输出y恒为0,当x=0时,输出y=0.当x=0.5时,输出y=x=0.5.当1≤x≤2时输出y恒为1,而h=0.5,故x的取值为1、1.5、2.故输出的各个数之和为0.5+3=3.5.]7.B [根据几何概型的概率公式,P=3-13--2=25.]8.B [通过茎叶图可知这10位同学的身高是155 cm,155 cm,157 cm,158 cm,161 cm,163 cm,163 cm,165 cm,171 cm,172 cm.这10个数据的中位数是将这些数据从小到大(或从大到小)排列后中间两个数据的平均数,即为161 cm和163 cm 这两个数据的平均数,所以应选B.]9.B [根据频率分布直方图特点可知,众数是最高矩形的中点,由图可知为12.5,中位数是10+0.5-0.20.1=13.]10.C [由题意可知,x甲=15×(72+77+78+86+92)=81,x乙=15×(78+88+88+91+90)=87.又由方差公式可得s 2甲=15×[(81-72)2+(81-77)2+(81-78)2+(81-86)2+(81-92)2]=50.4,s 2乙=15×[(87-78)2+(87-88)2+(87-88)2+(87-91)2+(87-90)2]=21.6,因为s 2乙<s 2甲,故乙的成绩波动较小,乙的成绩比甲稳定.]11.C [由框图知当n =5时, 将3n +1=16赋给n ,此时i =1; 进入下一步有n =8,i =2;再进入下一步有n =4,i =3;以此类推有n =1,i =5,此时输出i =5.] 12.B [由x =2+202=11.y =110(4+7+12+15+21+25+27+31+37+41)=22.得a ^=y -b ^x =22-11b ^.] 13.6解析 设抽取的青鱼与鲤鱼共有x 条,根据分层抽样的比例特点有20+4080+20+40+40+20=x20,∴x =6.14.6.5 8 327 396 y ^=1.14x +0.59 15.12 3解析 要结束程序的运算,就必须通过n 整除a 的条件运算,而同时m 也整除a ,那么a 的最小值应为m 和n 的最小公倍数12,此时有i =3. 16.50%解析 甲不输为两个事件的和事件,其一为甲获胜(事件A ),其二为甲获平局(事件B ),并且两事件是互斥事件. ∵P (A +B )=P (A )+P (B )∴P (B )=P (A +B )-P (A )=90%-40%=50%.17.解 (1)总体平均数为17(21+23+13+15+9+12+14)≈15.3.(2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过2万”.从非指定参观日中抽取2天可能的基本事件有:(15,9),(15,12),(15,14),(9,12),(9,14),(12,14),共6个,事件A 包含的基本事件有:(15,12),(15,14),共2个.所以P (A )=26=13. 18.解 由|p |≤3,|q |≤3可知(p ,q )的点集为边长是6的正方形,其面积为36.由x 2+2px -q 2+1=0的两根都是实数得Δ=(2p )2+4(q 2-1)≥0⇒p 2+q 2≥1.∴当点(p ,q )落在如图所示的阴影部分时,方程两根都是实数.∴P =1-π36.故方程x 2+2px -q 2+1=0的两根都是实数的概率为1-π36.19.解 (1)有两处错误: ①语句i =1应为i =2.②语句LOOP UNTIL i >=99应为LOOP UNTIL i >99(2)改为WHILE型循环语句i=2S =0WHILE i<=99S=S+ii=i+1WENDPRINT SEND20.解(1)数据的散点图如图所示:(2)x=15∑5i=1x i=109,∑5i=1(x i-x)2=1 570,y=23.2,∑5i=1(x i-x)(y i-y)=308,∴b^=3081 570≈0.196 2,a^=y-b^x=23.2-109×0.196 2=1.814 2,所以回归直线方程为:y^=0.196 2x+1.814 2.(3)若x=90,则y^=1.814 2+0.196 2×90≈19.5(万元).故房屋的大小为90 m2时的销售价格约为19.5万元.21.解为了方便作图,记6∶30为0时,设送报人将报纸送到小明家的时刻为x,小明的爸爸离开家的时刻为y,则0≤x≤60,30≤y≤90(单位:分钟).小明的爸爸离家前能得到报纸只要y≥x.在平面直角坐标系中作上述区域(如图所示),由图知区域D=S矩形ABCD=602.区域d=S五边形AEFCD=602-12×302.∴所求概率P=dD=1-12×(12)2=78,答小明的爸爸离家前能得到报纸的概率是7 8 .22.解设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根当且仅当a≥b.(1)基本事件共有12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.事件A包含9个基本事件,故事件A发生的概率为P(A)=912=3 4.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率为P(A)=3×2-12×223×2=23.模块综合检测(C)答案1.C2.B [程序是计算21+22+…+2n=126,解得n=6,所以n≤6?.]3.A [第1次循环:S=12,n=4,i=2;第2次循环:S=34,n=8,i=3;第3次循环:S=78,n=16,i=4;第4次循环:S=1516,n=32,i=5;第5次循环:S=3132,n=64,i=6;第6次循环:S=6364,n=128,i=7.满足条件结束循环,输出最后的S值为63 64 .]4.C [0×2+1=1,1×2+1=3,3×2+1=7,7×2+1=15.]5.B [平均数不大于最大值,不小于最小值.]6.A [面积为36 cm2时,边长AM=6,面积为81 cm2时,边长AM=9,∴P=9-612=312=14.]7.D [总和为147,a=14.7;样本数据17分布最广,即频率最大,为众数,c=17;中位数为15.]8.C [由0.40.1=x2.5,得x=10(万元),故选C.]9.C [①为负相关;③也为负相关;④中的边长和面积的关系为函数关系;只有②、⑤中的两个变量成正相关.] 10.B [可以通过列表解决,12345 6123410 51011 6101112因此P1=136,P2=236,P3=336,∴P1<P2<P3.]11.B [前两组中的频数为100×(0.05+0.11)=16.∵后五组频数和为62,∴前三组为38.∴第三组为22.又最大频率为0.32的最大频数为0.32×100=32,∴a=22+32=54.]12.A [利用回归系数公式计算可得a^=11.47,b^=2.62,故y^=11.47+2.62x.]13.2 3解析设点P到点O的距离小于1的概率为P1,由几何概型,则P1=V半球V圆柱=2π3·13π·12·2=13.故点P到点O的距离大于1的概率P=1-13=23.14. 1 4解析由树形图可知共有8次传球,其中球恰好再传回甲手中有2种情况,所以所求概率为28=14.15.185.03解析将y=24.8代入,得x=185.03 (cm).16.i>5?(或i≥6?)解析即1+1+2+…+i=16,∴i=5.又i=i+1=6,∴应填i>5?或i≥6?. 17.解f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xV0=7,V1=7×3+6=27,V2=27×3+5=86,V3=86×3+4=262,V4=262×3+3=789,V5=789×3+2=2 369,V6=2 369×3+1=7 108,V7=7 108×3+0=21 324,∴f(3)=21 324.18.解x=1+2+3+44=52,y=12+32+2+34=74,∑ni=1x2i=12+22+32+42=30,∑n i=1x i y i=1×12+2×32+3×2+4×3=432,∴b^=∑ni=1x i y i-n x y∑ni=1x2i-n x2=432-4×52×7430-4×254=0.8,a^=y-b^x=74-0.8×52=-0.25,∴y^=0.8x-0.25.19.解(1)根据频率分布直方图可知,频率=组距×(频率/组距),故可得下表:分组频率[)1.00,1.050.05[)1.05,1.100.20[)1.10,1.150.28[)1.15,1.200.30[)1.20,1.250.15[)1.25,1.300.02(2)0.30+0.15+0.02=0.47,所以数据落在[1.15,1.30)中的概率约为0.47.(3)120×1006=2 000,所以水库中鱼的总条数约为2 000.20.解设试验中先取出x,再取出y(x,y=1,2,3,4,5,6),试验结果记为(x,y),则基本事件列举有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),…,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),共30种结果,事件ξ结果有(1,5),(2,4),(4,2),(5,1),故P(ξ)=430=215.21.解(1)样本中男生人数为40,由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知,样本中身高在170~185 cm之间的学生有14+13+4+3+1=35(人),样本容量为70,所以样本中学生身高在170~185 cm之间的频率f=3570=0.5.故由f估计该校学生身高在170~185 cm之间的概率p1=0.5.(3)样本中身高在180~185 cm之间的男生有4人,设其编号为①②③④,样本中身高在185~190 cm之间的男生有2人,设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为:故从样本中身高在180~190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15,至少有1人身高在185~190 cm之间的可能结果数为9,因此,所求概率p2=915=35.22.解(1)用分层抽样的方法在35~50岁中抽取一个容量为5的样本,设抽取学历为本科的人数为m,∴3050=m5,解得m=3.∴抽取了学历为研究生的2人,学历为本科的3人,分别记作S1、S2;B1、B2、B3.从中任取2人的所有基本事件共10个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3).其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2).∴从中任取2人,至少有1人的教育程度为研究生的概率为7 10 .(2)依题意得:10N =539,解得N =78.∴35~50岁中被抽取的人数为78-48-10=20. ∴4880+x =2050=1020+y.解得x =40,y =5.∴x =40,y =5.。

高中数学必修综合测试卷(三套+含答案)

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高一数学必修一综合测卷子一、选择题〔本大题共12小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.假设集合}1,1{-=A ,}1|{==mx x B ,且A B A =⋃,则m 的值为〔 〕 A .1 B .1- C .1或1- D .1或1-或02、函数1()(0)f x x x x =+≠是〔 〕A 、奇函数,且在(0,1)上是增函数B 、奇函数,且在(0,1)上是减函数C 、偶函数,且在(0,1)上是增函数D 、偶函数,且在(0,1)上是减函数 3. 已知b ax y x f B y A x R B A +=→∈∈==:,,,是从A 到B 的映射,假设1和8的原象分别是3和10,则5在f 下的象是〔 〕A .3B .4C .5D .64. 以下各组函数中表示同一函数的是〔 〕⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ,52-=x y ; ⑵111-+=x x y , )1)(1(2-+=x x y ;⑶x x f =)(, 2)(x x g = ; ⑷x x f =)(,()g x =; ⑸21)52()(-=x x f ,52)(2-=x x fA 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸5.假设)(x f 是偶函数,其定义域为()+∞∞-,,且在[)+∞,0上是减函数,则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是〔 〕A .)23(-f >)252(2++a a f B .)23(-f <)252(2++a a f C .)23(-f ≥)252(2++a a f D .)23(-f ≤)252(2++a a f 6.设⎪⎩⎪⎨⎧-=-)1(log 2)(231x ex f x )2()2(≥<x x 则[])2(f f =〔 〕 A .2 B .3 C .9 D .187.函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是〔 〕8.给出以下结论:①11)(--+=x x x f 是奇函数;②221)(2-+-=x x x g 既不是奇函数也不是偶函数;③)()()(x f x f x F -= )(R x ∈是偶函数 ;④xxx h +-=11lg )(是奇函数.其中正确的有〔 〕个A .1个B .2个C .3个D .4个9. 函数1)3(2)(2+-+=x a ax x f 在区间[)+∞-,2上递减,则实数a 的取值范围是〔 〕A .(]3,-∞-B .[]0,3-C . [)0,3-D .[]0,2-10.函数33()11f x x x =++-,则以下坐标表示的点肯定在函数f(x)图象上的是〔 〕A .(,())a f a --B .(,())a f a -C .(,())a f a -D .(,())a f a ---11. 假设函数a x x x f +-=24)(有4个零点,则实数a 的取值范围是〔 〕A . []0,4- B. []4,0 C. )4,0( D. )0,4(-12. 设()f x 是奇函数,且在(0,)+∞内是增函数,又(3)0f -=,则()0x f x ⋅<的解集是〔 〕 A .{}|303x x x -<<>或 B .{}|303x x x <-<<或C .{}|3003x x x -<<<<或D .{}|33x x x <->或二、填空题〔本大题共4小题,每题5分〕13.假设函数2()(1)3f x kx k x =+-+是偶函数,则()f x 的递减区间是 ;14.已知函数11()()142x x y =-+的定义域为[3,2]-,则该函数的值域为 ;15. 函数()()R b a xbax x f ∈+-=,25,假设()55=f ,则()=-5f ; 16.设函数()f x =x |x |+b x +c ,给出以下四个命题: ①假设()f x 是奇函数,则c =0②b =0时,方程()f x =0有且只有一个实根 ③()f x 的图象关于(0,c )对称④假设b ≠0,方程()f x =0必有三个实根 其中正确的命题是 (填序号)三、解答题〔解容许写文字说明,证明过程或演算步骤〕17.(10分)已知集合{}0652<--=x x x A ,集合{}01562≥+-=x x x B ,集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<---=09m x m x x C〔1〕求B A ⋂〔2〕假设C C A =⋃,求实数m 的取值范围;18.〔本小题总分值12分〕已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中)10(≠>a a 且,设()()()h x f x g x =-.〔1〕求函数()h x 的定义域,推断()h x 的奇偶性,并说明理由; 〔2〕假设(3)2f =,求使()0h x <成立的x 的集合。

高中数学选修一综合测试题专项训练(带答案)

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高中数学选修一综合测试题专项训练单选题1、设圆C 1:x 2+y 2−2x +4y =4,圆C 2:x 2+y 2+6x −8y =0,则圆C 1,C 2的公切线有( ) A .1条B .2条C .3条D .4条 答案:B分析:先根据圆的方程求出圆心坐标和半径,再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系,从而得解.由题意,得圆C 1:(x −1)2+(y +2)2=32,圆心C 1(1,−2),圆C 2:(x +3)2+(y −4)2=52,圆心C 2(−3,4),∴5−3<|C 1C 2|=2√13<5+3,∴C 1与C 2相交,有2条公切线. 故选:B .2、经过点(-√2,2),倾斜角是30°的直线的方程是( ) A .y +√2 =√33(x -2)B .y +2=√3(x -√2) C .y -2=√33(x +√2)D .y -2=√3(x +√2) 答案:C分析:根据k =tan30°求出直线斜率,再利用点斜式即可求解. 直线的斜率k =tan30°=√33,由直线的点斜式方程可得y -2=√33(x +√2), 故选:C .3、已知点P(x ,y)在直线x −y −1=0上的运动,则(x −2)2+(y −2)2的最小值是( ) A .12B .√22C .14D .√34 答案:A分析:(x −2)2+(y −2)2表示点P(x ,y)与(2,2)距离的平方,求出(2,2)到直线x −y −1=0的距离,即可得到答案.(x −2)2+(y −2)2表示点P(x ,y)与(2,2)距离的平方,因为点(2,2)到直线x −y −1=0的距离d =√2=√22, 所以(2,2)的最小值为d 2=12. 故选:A4、动点P ,Q 分别在抛物线x 2=4y 和圆x 2+y 2−8y +13=0上,则|PQ|的最小值为( ) A .2√3B .√3C .12√3D .32√3 答案:B分析:设P (x 0,14x 02),根据两点间距离公式,先求得P 到圆心的最小距离,根据圆的几何性质,即可得答案. 设P (x 0,14x 02),圆化简为x 2+(y −4)2=3,即圆心为(0,4),半径为√3,所以点P 到圆心的距离d =√(x 0−0)2+(14x 02−4)2=√116(x 02)2−x 02+16,令t =x 02,则t ≥0,令f(t)=116t 2−t +16,t ≥0,为开口向上,对称轴为t =8的抛物线,所以f(t)的最小值为f (8)=12, 所以d min =√12=2√3,所以|PQ|的最小值为d min −√3=2√3−√3=√3. 故选:B5、已知圆C 1:x 2+y 2+4x −2y −4=0,C 2:(x +32)2+(y −32)2=112,则这两圆的公共弦长为( )A .4B .2√2C .2D .1 答案:C分析:先求出两圆的公共弦所在直线的方程,用垂径定理求弦长.由题意知C 1:x 2+y 2+4x −2y −4=0,C 2:x 2+y 2+3x −3y −1=0,将两圆的方程相减,得x +y −3=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为x +y −3=0.又因为圆C 1的圆心为(−2,1),半径r =3,所以圆C 1的圆心到直线x +y −3=0的距离d =√2=2√2.所以这两圆的公共弦的弦长为2√r2−d2=2√32−(2√2)2=2. 故选:C.6、设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是()A.[√22,1)B.[12,1)C.(0,√22]D.(0,12]答案:C分析:设P(x0,y0),由B(0,b),根据两点间的距离公式表示出|PB|,分类讨论求出|PB|的最大值,再构建齐次不等式,解出即可.设P(x0,y0),由B(0,b),因为x02a2+y02b2=1,a2=b2+c2,所以|PB|2=x02+(y0−b)2=a2(1−y02b2)+(y0−b)2=−c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2,因为−b≤y0≤b,当−b3c2≤−b,即b2≥c2时,|PB|max2=4b2,即|PB|max=2b,符合题意,由b2≥c2可得a2≥2c2,即0<e≤√22;当−b3c2>−b,即b2<c2时,|PB|max2=b4c2+a2+b2,即b4c2+a2+b2≤4b2,化简得,(c2−b2)2≤0,显然该不等式不成立.故选:C.小提示:本题解题关键是如何求出|PB|的最大值,利用二次函数求指定区间上的最值,要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值.7、如图1所示,双曲线具有光学性质;从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且cos∠BAC=−35,AB⊥BD,则E的离心率为()A .√52B .√173C .√102D .√5 答案:B分析:利用双曲线的光学性质及双曲线定义,用|BF 2|表示|BF 1|,|AF 1|,|AB|,再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.依题意,直线CA,DB 都过点F 1,如图,有AB ⊥BF 1,cos∠BAF 1=35,设|BF 2|=m ,则|BF 1|=2a +m ,显然有tan∠BAF 1=43,|AB|=34|BF 1|=34(2a +m),|AF 2|=32a −14m ,因此,|AF 1|=2a +|AF 2|=72a −14m ,在Rt △ABF 1,|AB|2+|BF 1|2=|AF 1|2,即916(2a +m)2+(2a +m)2=(72a −14m)2,解得m =23a ,即|BF 1|=83a,|BF 2|=23a ,令双曲线半焦距为c ,在Rt △BF 1F 2中,|BF 2|2+|BF 1|2=|F 1F 2|2,即(23a)2+(83a)2=(2c)2,解得ca =√173, 所以E 的离心率为√173. 故选:B小提示:方法点睛:求双曲线离心率的三种方法:①定义法,通过已知条件列出方程组,求得a,c 得值,根据离心率的定义求解离心率e ;②齐次式法,由已知条件得出关于a,c 的二元齐次方程,然后转化为关于e 的一元二次方程求解;③特殊值法:通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.8、已知直线l 1:√3x +y =0与直线l 2:kx −y +1=0,若直线l 1与直线l 2的夹角是60°,则k 的值为( ) A .√3或0B .−√3或0 C .√3D .−√3 答案:A分析:先求出l 1的倾斜角为120°,再求出直线l 2的倾斜角为0°或60°,直接求斜率k . 直线l 1:√3x +y =0的斜率为k 1=−√3,所以倾斜角为120°. 要使直线l 1与直线l 2的夹角是60°, 只需直线l 2的倾斜角为0°或60°, 所以k 的值为0或√3. 故选:A 多选题9、下列四个命题中,错误的有( ) A .若直线的倾斜角为θ,则sinθ>0 B .直线的倾斜角θ的取值范围为0≤θ≤πC .若一条直线的倾斜角为θ,则此直线的斜率为tanθD .若一条直线的斜率为tanθ,则此直线的倾斜角为θ 答案:ABCD分析:根据倾斜角与斜率的定义判断即可;解:因为直线的倾斜角的取值范围是[0,π),即θ∈[0,π),所以sinθ≥0, 当θ≠π2时直线的斜率k =tanθ,故A 、B 、C 均错误; 对于D :若直线的斜率k =tan 4π3=√3,此时直线的倾斜角为π3,故D 错误;故选:ABCD10、(多选)已知三条直线x -2y =1,2x +ky =3,3kx +4y =5相交于一点,则k 的值为( ) A .-163B .-1C .1D .163分析:由任意两个直线方程联立方程组求出交点坐标,再由其会标代入第三个方程中可求出k 的值 解:由{x −2y =12x +ky =3,得{x =6+k4+ky =14+k ,所以三条直线的交点为(6+k4+k ,14+k),所以3k ⋅6+k 4+k+4⋅14+k =5,化简得3k 2+13k −16=0,解得k =1或k =−163, 故选:AC11、已知直线l 经过点P(3,1),且被两条平行直线l 1:x +y +1=0和l 2:x +y +6=0截得的线段长为5,则直线l 的方程为( ) A .x =2B .x =3 C .y =1D .y =2 答案:BC分析:先分析当直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为x =3,符合题意;再分析直线l 的斜率存在时,先求出A,B 的坐标,解方程(3k−2k+1−3k−7k+1)2+(−4k−1k+1+9k−1k+1)2=52求出k 的值,综合即得解.若直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为x =3, 此时与l 1、l 2的交点分别为A(3,−4),B(3,−9), 截得的线段AB 的长|AB|=|−4+9|=5,符合题意, 若直线l 的斜率存在,则设直线l 的方程为y =k(x −3)+1, 解{y =k(x −3)+1x +y +1=0 得A(3k−2k+1,−4k−1k+1),解{y =k(x −3)+1x +y +6=0 得B(3k−7k+1,−9k−1k+1),由|AB|=5,得(3k−2k+1−3k−7k+1)2+(−4k−1k+1+9k−1k+1)2=52,解得k =0,即所求的直线方程为y =1,综上可知,所求直线l 的方程为x =3或y =1,填空题12、已知抛物线y 2=2px (p >0),圆(x −p 2)2+y 2=1与y 轴相切,斜率为k 的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A ,D 两点,与圆交于B ,C 两点(A ,B 两点在x 轴的同一侧),若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =λCD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,λ∈[2,4],则k 2的取值范围为___________. 答案:[8,16+12√2]分析:先求出p ,然后设出直线,让直线与抛物线联立,再根据向量之间的关系及韦达定理求出x A ,x D ,再利用抛物线的定义及条件建立等式,再转化为不等式求解即可.由圆的方程可知,其圆心坐标为(p2,0),当圆与y 轴相切可知p2=1,得p =2,所以抛物线的焦点坐标为(1,0),抛物线方程为y 2=4x ,设斜率为k 的直线方程为y =k(x −1),设A(x A ,y A ),D(x D ,y D ),直线与抛物线联立, {y =k(x −1)y 2=4x,得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0, 所以x A +x D =2k 2+4k 2①,x A x D =1②所以|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AF ⃑⃑⃑⃑⃑ |−1=x A +1−1=x A ,|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DF ⃑⃑⃑⃑⃑ |−1=x D +1−1=x D , 而AB⃑⃑⃑⃑⃑ =λCD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,则有|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=λ|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |,λ∈[2,4], 所以x A =λx D ③,由①,③解得x A =λ(2k 2+4)(λ+1)k 2,x D =2k 2+4(λ+1)k 2,代入②有λ(λ+1)2⋅(2k 2+4)2k 4=1,变形得(2k 2+4)2k 4=(λ+1)2λ,因为λ∈[2,4],所以(λ+1)2λ=λ+1λ+2∈[92,254],所以92≤(2k 2+4)2k 4≤254,变形得√2≤2k 2+4k 2≤52,解得8≤k 2≤16+12√2. 所以答案是:[8,16+12√2].小提示:关键点睛:解决本题的关键一是先求出抛物线方程,二是运用抛物线的定义,三是解不等式. 13、设m ∈R ,圆M:x 2+y 2−2x −6y =0,若动直线l 1:x +my −2−m =0与圆M 交于点A 、C ,动直线l2:mx−y−2m+1=0与圆M交于点B、D,则|AC|+|BD|的最大值是________.答案:2√30分析:求出圆的圆心和半径,求出两条直线位置关系和经过的定点,作出图像,设圆心到其中一条直线的距离为d,根据几何关系表示出|AC|+|BD|,利用基本不等式即可求出其最大值.x2+y2−2x−6y=0⇒(x−1)2+(y−3)2=10,圆心M(1,3),半径r=√10,x+my−2−m=0⇒x−2+m(y−1)=0⇒l1过定点E(2,1),mx−y−2m+1=0⇒m(x−2)−y+1=0⇒l2过定点E(2,1),且l1⊥l2,如图,设AC和BD中点分别为F、G,则四边形EFMG为矩形,设|MF|=d,0≤d≤|ME|=√5,则|MG|=√|ME|2−|EG|2=√|ME|2−|MF|2=√5−d2,则|AC|+|BD|=2√10−d2+2√10−(5−d2)=2(√10−d2+√5+d2)⩽2√2(10−d2+5+d2)=2√30,当且仅当10−d2=5+d2即d=√102时取等号.所以答案是:2√30.14、已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,M为椭圆C上任意一点,N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点,则|MN|−|MF1|的最小值为___________. 答案:2√2−5分析:首先根据椭圆的定义将|MN|−|MF1|的最小值转化为|MN|+|MF2|−4,再根据|MN|≥|ME|−1(当且仅当M、N、E共线时取等号),最后根据|ME|+|MF2|≥|EF2|求得|MN|−|MF1|的最小值.如图,由M为椭圆C上任意一点,则|MF1|+|MF2|=4又N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点,则|MN|≥|ME|−1(当且仅当M、N、E共线时取等号),∴|MN|−|MF1|=|MN|−(4−|MF2|)=|MN|+|MF2|−4≥|ME|+|MF2|−5≥|EF2|−5,当且仅当M、N、E、F2共线时等号成立.∵F2(1,0),E(3,2),则|EF2|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2,∴|MN|−|MF1|的最小值为2√2−5.所以答案是:2√2−5.小提示:思路点睛;本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题,主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型,考查学生的转化与化归思想,属于较难题.解答题15、如图所示,某隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度AD为6√3m,行车道总宽度BC为2√11m,侧墙高EA,FD为2m,弧顶高MN为5m.(1)以EF所在直线为x轴,MN所在直线为y轴,1m为单位长度建立平面直角坐标系,求圆弧所在的圆的标准方程;(2)为保证安全,要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为0.5m ,问车辆通过隧道的限制高度是多少?答案:(1)x 2+(y +3)2=36;(2)3.5m . 分析:(1)设出圆的方程,代入F,M 即可求解;(2)设限高为ℎ,作CP ⊥AD ,求出点P 的坐标,即可得出答案. (1)由题意,有E(−3√3,0),F(3√3,0),M(0,3).∵所求圆的圆心在y 轴上,∴设圆的方程为(x −0)2+(y −b)2=r 2(b ∈R ,r >0), ∵F(3√3,0),M(0,3)都在圆上, ∴{(3√3)2+b 2=r 202+(3−b )2=r 2,解得{b =−3r 2=36 .∴圆的标准方程是x 2+(y +3)2=36.(2)设限高为ℎ,作CP ⊥AD ,交圆弧于点P , 则CP =ℎ+0.5.将点P 的横坐标x =√11代入圆的方程,得(√11)2+(y +3)2=36, 得y =2或y =−8(舍去).∴ℎ=CP −0.5=(2+2)−0.5=3.5(m ). 故车辆通过隧道的限制高度为3.5m .。

(人教版A版)高中数学必修第一册 第二章综合测试试卷02及答案

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第二章综合测试一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知,,a b c ÎR ,那么下列命题中正确的是( )A .若a b >,则22ac bc >B .若a bc c>,则a b>C .若33a b >,且0ab <,则11a b >D .若22a b >,且0ab >,则11a b<2.如果a ÎR ,且20a a +<,那么2,,a a a -的大小关系为( )A .2a a a ->>B .2a a a ->>C .2a a a ->>D .2a a a->>3.若函数14(2)2y x x x =+-->,则函数y 有( )A .最大值0B .最小值0C .最大值2-D .最小值2-4.不等式1021x x -+的解集为( )A .1|12x x ìü-íýîþ<≤B .1|12x x ìü-íýîþ≤C .1| 12x x x ìü-íýîþ<或≥D .1|| 12x x x x ìü-íýîþ≤或≥5.若不等式220ax bx ++<的解集为11|| 23x x x x ìü-íýîþ<或>,则a b a -的值为( )A .16B .16-C .56D .56-6.若不等式()(2)3x a x a a --->对任意实数x 都成立,则实数a 的取值范围是( )A .(1,3)-B .(3,1)-C .(2,6)-D .(6,2)-7.若0,0a b >>,且4a b +=,则下列不等式恒成立的是( )A .114ab B .111a b+≤C 2D .228a b +≥8.不等式3112x x--≥的解集是( )A .3|24x x ìüíýîþ≤B .3|24x x ìüíýîþ≤<C .3| 24x x x ìüíýîþ≤或>D .{|2}x x <9.若命题“0x $ÎR ,使得200230x mx m ++-<”为假命题,则实数m 的取值范围是( )A .26m ≤≤B .62m --≤≤C .26m <<D .62m --<<10.若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是( )A .245B .285C .5D .611.已知210a +<,关于x 的不等式22450x ax a -->的解集是( )A .{|5 }x x a x a -<或>B .{|5 }x x a x a ->或<C .{|5}x a x a -<<D .{|5}x a x a -<<12.某厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求110x ≤≤),每小时可获得的利润是310051x x æö+-ç÷èø元.若使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,则x 的取值范围为( )A .{|3}x x ≥B .1| 35x x x ìü-íýîþ≤或≥C .{|310}x x ≤≤D .{|13}x x ≤≤二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.若1x ->,则当且仅当x =________时,函数111x x y +++=的最小值为________.14.若不等式20x ax b ++<的解集为{}|12x x -<<,则不等式210bx ax ++<的解集为________.15.已知,x y +ÎR ,且满足22x y xy +=,那么34x y +的最小值为________.16.若x ÎR ,不等式224421ax x x ++-+≥恒成立,则实数a 的取值范围是________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.[10分]已知不等式2340x x --<的解集为A ,不等式260x x --<的解集为B .(1)求A B I ;(2)若不等式20x ax b ++<的解集为A B I ,求,a b 的值.18.[12分]已知命题p :方程210x mx ++=有两个不相等的实根,命题p 是真命题.(1)求实数m 的取值集合M ;(2)设不等式()(2)0x a x a ---<的解集为N ,若x N Î是x M Î的充分条件,求a 的取值范围.19.[12分](1)若0,0x y >>,且281x y+=,求xy 的最小值;(2)已知0,0x y >>满足21x y +=,求11x y+的最小值.20.[12分]要制作一个体积为39m ,高为1m 的有盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米10元,侧面造价是每平方米5元,盖的总造价为100元.求该长方体容器的长为多少时总造价最低,最低为多少元?21.[12分]已知,,a b c 均为正实数.求证:(1)()2()4a b ab c abc ++≥;(2)若3a b c ++=+.22.[12分]设2()1g x x mx =-+.(1)若()0g x x对任意0x >恒成立,求实数m 的取值范围;(2)讨论关于x 的不等式()0g x ≥的解集.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】C 6.【答案】D 7.【答案】D 8.【答案】B 9.【答案】A 10.【答案】C【解析】由35x y xy +=可得13155y x+=,所以139431213131234(34)5555555555x y x y x y y x y x æö+=++=++++=+=ç÷èø,当且仅当31255x yy x =且35x y xy +=,即1x =,12y =时取等号.故34x y +的最小值是5.11.【答案】A【解析】方程22450x ax a --=的两根为,5a a -.1210,,52a a a a +\-\-Q <<>.结合2245y x ax a =--的图像,得原不等式的解集是{|5 }x x a x a -<或>.12.【答案】C【解析】根据题意,得3200513000x x æö+-ç÷èø≥,整理,得35140x x --≥,即251430x x --≥.又110x ≤≤,可解得310x ≤≤.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,x 的取值范围是|310{}x x ≤≤.二、13.【答案】0214.【答案】1| 1 2x x x ìü-íýîþ<或>15.【答案】5+16.【答案】2|3a a ìü-íýîþ≥【解析】不等式224421ax x x ++-+≥恒成立2(2)430a x x Û+++≥恒成立220443(2)0a a +>ìïÛí-´´+ïî≤23a Û-≥,故实数a 的取值范围是2|3a a ìü-íýîþ≥.三、17.【答案】(1)解:{|14},{|23}A x x B x x =-=-<<<<,{|13}A B x x \Ç=-<<.(2)解:Q 不等式20x ax b ++<的解集为{|13}x x -<<,1,3\-为方程20x ax b ++=的两根.10,930,a b a b -+=ì\í++=î2,3.a b =-ì\í=-î18.【答案】(1)解:命题p :方程210x mx ++=有两个不相等的实根,所以240m D =->,解得2m >或2m -<.所以{| 2 2}M m m m =->或<.(2)解:因为x N Î是x M Î的充分条件,所以N M Í.因为{|2}N x a x a =+<<,所以22a +-≤或2a ≥,所以4a -≤或2a ≥.19.【答案】(1)解:0,0x y Q >>且281x y+=,281x y \=+=≥,8,当且仅当82x y =且281x y+=即4x =,16y =时取等号.64xy \≥..故xy 的最小值是64.(2)解:0,0,21x y x y >>+=Q11112(2)1233x y x y x y x y y x æö\+=++=++++=+ç÷èø≥当且仅当x =且21x y +=.即x =,y =.故11x y+的最小值是3+20.【答案】解:设该长方体容器的长为m x ,则宽为9m x.又设该长方体容器的总造价为y 元,则9991021510019010y x x x x æöæö=´++´´+=++ç÷ç÷èøèø.因为96x x +=≥(当且仅当9x x =即3x =时取“=”).所以min 250y =.即该长方体容器的长为3m 时总造价最低,最低为250元.答:该长方体容器的长为3m 时总造价最低,最低为250元.21.【答案】(1)证明:因为,,a b c 均为正实数,由基本不等式得a b +≥,2ab c +≥,两式相乘得()2()4a b ab c abc ++≥,当且仅当a b c ==时取等号.所以()2()4a b ab c abc ++≥..(2)解:因为,,a b c 12322a a +++=,当且仅当12a +=时取等号;12322b b +++=,当且仅当12b +=时取等号;12322c c +++=.当且仅当12c +=时取等号.以上三式相加,得962a b c ++++=≤,当且仅当1a b c ===时取等号.22.【答案】(1)解:由题意,若()0g x x≥对任意0x >恒成立,即为10x m x-+对0x >恒成立,即有1(0)m x x x+≤>的最小值.由12(0)x x x +≥>,可得1x =时,1x x+取得最小值2.所以2m ≤.(2)解:2()1g x x mx =-+对应的一元二次方程为210x mx -+=.当240m D =-≤,即22m -≤≤时,()0g x ≥的解集为R ;当0D >,即2m >或2m -<时,方程的两根为x =可得()0g x ≥的解集为|x x x ìïíïî.。

高中数学综合测试题-参考答案

高中数学综合测试题-参考答案

高中数学综合检测题一(必修3、选修2-1)参考答案BBACB BDACC CC 4813x 216+y 28=1 600三、解答题17.解 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示,女教师用C 表示;乙校男教师用D 表示,两女教师分别用E 、F 表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为:(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F )共9种,从中选出两名教师性别相同的结果有:(A ,D ),(B ,D ),(C ,E ),(C ,F )共4种,选出的两名教师性别相同的概率为P =49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F )共15种. 从中选出两名教师来自同一学校的结果有:(A ,B ),(A ,C ),(B ,C ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F )共6种, 选出的两名教师来自同一学校的概率为P =615=25.18.解 (1)频率分布表:(2)(3)答对下述两条中的一条即可:(i)该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平,占当月天数的115;有26天处于良的水平,占当月天数的1315;处于优或良的天数共有28天,占当月天数的1415.说明该市空气质量基本良好.(ii)轻微污染有2天,占当月天数的115.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天,加上处于轻微污染的天数,共有17天,占当月天数的1730,超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善.19.证明 (1)因为∠DAB =60°,AB =2AD ,由余弦定理得BD =3AD . 从而BD 2+AD 2=AB 2,故BD ⊥AD . 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD . 所以BD ⊥平面P AD ,故P A ⊥BD .(2)解 如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴,建立空间直角坐标系D -xyz , 则A (1,0,0),B (0,3,0),C (-1,3,0),P (0,0, 1).AB →=(-1,3,0),PB →=(0,3,-1),BC →=(-1,0, 0).设平面P AB 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →=0,n ·PB →=0.即⎩⎨⎧-x +3y =0,3y -z =0.因此可取n =(3,1,3).设平面PBC 的法向量为m ,则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →=0,m ·BC →=0.可取m =(0,-1,-3).cos 〈m ,n 〉=-427=-277.故二面角A -PB -C 的余弦值为-277.20.解 (1)设M 的坐标为(x ,y ),P 的坐标为(x P ,y P ), 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P=x ,y P =54y .∵P 在圆上, ∴x 2+(54y )2=25,即轨迹C 的方程为x 225+y 216=1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x -3),设直线与C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 将直线方程y =45(x -3)代入C 的方程,得x 225+(x -3)225=1,即x 2-3x -8=0.∴x 1=3-412,x 2=3+412.∴线段AB 的长度为|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=(1+1625)(x 1-x 2)2=4125×41=415. 21.(1)证明 因为四边形ABCD 是菱形,所以AC ⊥BD . 又因为P A ⊥平面ABCD ,所以P A ⊥BD ,所以BD ⊥平面P AC . (2)解 设AC ∩BD =O , 因为∠BAD =60°,P A =AB =2, 所以BO =1,AO =CO = 3.如图,以O 为坐标原点,建立空间直角坐标系O -xyz ,则P (0,-3,2), A (0,-3,0),B (1,0,0),C (0,3,0). 所以PB →=(1,3,-2),AC →=(0,23,0).设PB 与AC 所成角为θ,则cos θ=|PB →·AC →|PB →||AC →||=622×23=64.(3)解 由(2)知BC →=(-1,3,0).设P (0,-3,t )(t >0),则BP →=(-1,-3,t ). 设平面PBC 的法向量m =(x ,y ,z ), 则BC →·m =0,BP →·m =0.所以⎩⎨⎧-x +3y =0,-x -3y +tz =0.令y =3,则x =3,z =6t .所以m =(3,3,6t ).同理,平面PDC 的法向量n =(-3,3,6t).因为平面PBC ⊥平面PDC ,所以m·n =0,即-6+36t 2=0,解得t = 6.所以P A = 6.22.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +bx 2=4y 得x 2-4x -4b =0(*),因为直线l 与抛物线C 相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b )=0,解得b =-1. (2)由(1)可知b =-1,故方程(*)为x 2-4x +4=0,解得x =2, 代入x 2=4y ,得y =1,故点A (2,1).因为圆A 与抛物线C 的准线相切,所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y =-1的距离,即r =|1-(-1)|=2, 所以圆A 的方程为(x -2)2+(y -1)2=4.高中数学综合检测题二(必修3、选修2-1)参考答案DBDAA ADCAD DA 101312 5三、解答题17.解 本题考查概率统计的基础知识和方法,考查运算能力,分析问题、解决问题的能力. (1)当X =8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,所以平均数为:x =8+8+9+104=354; 方差为:s 2=14×[⎝⎛⎭⎫8-3542+⎝⎛⎭⎫8-3542+⎝⎛⎭⎫9-3542+⎝⎛⎭⎫10-3542]=1116. (2)记甲组四名同学为A 1,A 2,A 3,A 4,他们植树的棵数依次为9,9,11,11;乙组四名同学为B 1,B 2,B 3,B 4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16个:(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 1,B 4), (A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(A 2,B 4), (A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,B 3),(A 3,B 4), (A 4,B 1),(A 4,B 2),(A 4,B 3),(A 4,B 4),用C 表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则C 中的结果有4个,它们是:(A 1,B 4),(A 2,B 4),(A 3,B 2),(A 4,B 2).故所求概率为P (C )=416=14.18.解 (1)由频率分布表得a +0.2+0.45+b +c =1,即a +b +c =0.35. 因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,所以b =320=0.15,等级系数为5的恰有2件,所以c =220=0.1,从而a =0.35-b -c =0.1.所以a =0.1,b =0.15,c =0.1.(2)从日用品x 1,x 2,x 3,y 1,y 2中任取两件,所有可能的结果为:{x 1,x 2},{x 1,x 3},{x 1,y 1},{x 1,y 2},{x 2,x 3},{x 2,y 1},{x 2,y 2},{x 3,y 1},{x 3,y 2},{y 1,y 2}.记事件A 表示“从日用品x 1,x 2,x 3,y 1,y 2中任取两件,其等级系数相等”,则A 包含的基本事件为:{x 1,x 2},{x 1,x 3},{x 2,x 3},{y 1,y 2},共4个. 又基本事件的总数为10,故所求的概率P (A )=410=0.4.19. (1)证明 因为EF ∥AB ,FG ∥BC ,EG ∥AC ,∠ACB =90°. 所以∠EGF =90°, △ABC ∽△EFG .由于AB =2EF ,因此BC =2FG . 连接AF ,由于FG ∥BC ,FG =12BC ,在▱ABCD 中,M 是线段AD 的中点, 则AM ∥BC ,且AM =12BC ,因此FG ∥AM 且FG =AM , 所以四边形AFGM 为平行四边形, 因此GM ∥F A .又F A ⊂平面ABFE ,GM ⊄平面ABFE , 所以GM ∥平面ABFE .(2)解 因为∠ACB =90°,所以∠CAD =90°. 又EA ⊥平面ABCD ,所以AC ,AD ,AE 两两垂直. 分别以AC ,AD ,AE 所在直线为x 轴,y 轴和z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AC =BC =2AE =2,则由题意得A (0,0,0),B (2,-2,0),C (2,0,0),E (0,0,1), 所以AB →=(2,-2,0),BC →=(0,2,0).又EF =12AB ,所以F (1,-1,1),BF →=(-1,1,1). 设平面BFC 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则m ·BC →=0,m ·BF →=0,所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1=0,x 1=z 1,取z 1=1,得x 1=1,所以m =(1,0,1).设平面向量ABF 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2),则n ·AB →=0,n ·BF →=0,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2=y 2,z 2=0,取y 2=1,得x 2=1,则n =(1,1,0).所以cos 〈m ,n 〉=m ·n |m|·|n|=12.因此二面角A - BF - C 的大小为60°.20.解 (1)点P (x 0,y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上,有x 02a 2-y 02b 2=1.由题意又有y 0x 0-a ·y 0x 0+a =15,即x 02-5y 02=a 2,可得a 2=5b 2,c 2=a 2+b 2=6b 2,则e =c a =305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2-5y 2=5b 2,y =x -c ,得4x 2-10cx +35b 2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎨⎧x 1+x 2=5c 2,x 1x 2=35b24. ①设OC →=(x 3,y 3),OC →=λOA →+OB →,即⎩⎪⎨⎪⎧x 3=λx 1+x 2,y 3=λy 1+y 2, 又C 为双曲线上一点,即x 32-5y 32=5b 2, 有(λx 1+x 2)2-5(λy 1+y 2)2=5b 2,化简得λ2(x 12-5y 12)+(x 22-5y 22)+2λ(x 1x 2-5y 1y 2)=5b 2,②又A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在双曲线上,所以x 12-5y 12=5b 2,x 22-5y 22=5b 2. 由①式又有x 1x 2-5y 1y 2=x 1x 2-5(x 1-c )(x 2-c )=-4x 1x 2+5c (x 1+x 2)-5c 2=10b 2, 由②式得λ2+4λ=0,解出λ=0,或λ=-4.21.解 如图,以D 为坐标原点,线段DA 的长为单位长, 射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz .(1)证明 依题意有Q (1,1,0),C (0,0,1),P (0,2,0),则DQ →=(1,1,0),DC →=(0,0,1),PQ →=(1,-1,0).所以PQ →·DQ →=0,PQ →·DC →=0.即PQ ⊥DQ ,PQ ⊥DC ,又DQ ∩DC =D ,故PQ ⊥平面DCQ . 又PQ ⊂平面PQC ,所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)依题意有B (1,0,1),CB →=(1,0,0),BP →=(-1,2,-1). 设n =(x ,y ,z )是平面PBC 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →=0,n ·BP →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x =0,-x +2y -z =0.因此可取n =(0,-1,-2).设m 是平面PBQ 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BP →=0,m ·PQ →=0.可取m =(1,1,1),所以cos 〈m ,n 〉=-155.故二面角Q -BP - C 的余弦值为-155.22. 解(1).21∴.2102-32.,4321∴4322222211的离心率为解得,联立整理得:且由题知,C e e e c b a c a b F F MF ==++==•=(2)7277271423-23-442222211111122====+===+=+====•=b a b a c b a ace NF MF c e a NF ec a MF c c N M m MF m N F ab MF ,.,.,,::)(,:.,,.,.所以,联立解得,且由焦半径公式可得两点横坐标分别为可得由两直角三角形相似,由题可知设,即知,由三角形中位线知识可友情提示:部分文档来自网络整理,供您参考!文档可复制、编辑,期待您的好评与关注!。

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高中数学必修2综合测试题一、选择题1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为 ( )2、直线:30l y ++=的倾斜角α为 ( )A 、30o ;B 、60o ;C 、120o ;D 、150o 。

3、边长为a 正四面体的表面积是 ( )A、34a ; B、312a ; C、24a ; D2。

4、对于直线:360l x y -+=的截距,下列说法正确的是 ( )A 、在y 轴上的截距是6;B 、在x 轴上的截距是6;C 、在x 轴上的截距是3;D 、在y 轴上的截距是3-。

5、已知,a b αα⊂//,则直线a 与直线b 的位置关系是 ( )A 、平行;B 、相交或异面;C 、异面;D 、平行或异面。

6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=,且12l l //,则满足条件a 的值为 ( )A 、12-; B 、12; C 、2-; D 、2。

7、在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点。

若AC BD a ==,且AC 与BD 所成的角为60o ,则四边形EFGH 的面积为 ( )A2; B2; C2; D2。

8、已知圆22:260C x y x y +-+=,则圆心P 及半径r 分别为 ( )A 、圆心()1,3P ,半径10r =;B 、圆心()1,3P,半径r =;图(1)ABCDC 、圆心()1,3P -,半径10r =;D 、圆心()1,3P -,半径r =9、下列叙述中错误的是 ( )A 、若P αβ∈I 且l αβ=I ,则P l ∈;B 、三点,,A BC 确定一个平面;C 、若直线a b A =I ,则直线a 与b 能够确定一个平面;D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈,则l α⊂。

10、两条不平行的直线,其平行投影不可能是 ( )A 、两条平行直线;B 、一点和一条直线;C 、两条相交直线;D 、两个点。

11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 ( )A 、25π;B 、50π;C 、125π;D 、都不对。

12、四面体P ABC -中,若PA PB PC ==,则点P 在平面ABC 内的射影点O 是ABC V 的 ( )A 、外心;B 、内心;C 、垂心;D 、重心。

二、填空题(本大题共4道小题,把答案填在题中横线上)13、圆柱的侧面展开图是边长分别为2,a a 的矩形,则圆柱的体积为 ; 14、命题:一条直线与已知平面相交,则面内不过该交点的直线与已知直线为异面直线。

用符号表示为 ;15、点()2,1M 直线0l y --=的距离是 ; 16、已知,a b 为直线,,,αβγ为平面,有下列三个命题: (1) a b αβ////,,则a b //; (2) ,a b γγ⊥⊥,则a b //; (3) ,a b b α⊂//,则a α//; (4) ,a b a α⊥⊥,则b α//;其中正确命题是 。

三、解答题(本大题共6道小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、如下图(2),建造一个容积为316m ,深为2m ,宽为2m 的长方体无盖水池,如果池底的造价为120m 2/元,池壁的造价为80m 2/元,求水池的总造价。

18、如下图(3),在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是平行四边形,,M N 分别是,AB PC 的中点,求证:MN PAD //平面 。

2m2m图(2)BCA DMNP图(3)19、如下图(4),在正方体1111ABCD A B C D -中, (1)画出二面角11A B C C --的平面角; (2)求证:面11BB DD ⊥面1AB C20、已知三角形ABC V 的三个顶点是()()()4,0,6,7,0,8A B C (1) 求BC 边上的高所在直线的方程; (2) 求BC 边上的中线所在直线的方程。

图(4)1A1B1D1CCABD21、如下图(5),在三棱锥A BCD -中,,O E 分别是,BD BC 的中点,2CA CB CD BD ====,AB AD ==(1) 求证:AO ⊥平面BCD ;(2) 求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值; (3) 求点E 到平面ACD 的距离。

E ABC图(5)DO2m2m图(2)高中数学必修2综合测试题(答案卷)一、选择题二、填空题13、3a π或32a π; 14、 ,a P b αα=∀⊂I ,且P b ∉,则a 与b 互为异面直线; 15、12; 16、(2)。

三、解答题(本大题共6道小题,共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、(本小题满分12分)如下图(2),建造一个容积为316m ,深为2m ,宽为2m 的长方体无盖水池,如果池底的造价为120m 2/元,池壁的造价为80m 2/元,求水池的总造价。

解:分别设长、宽、高为,,am bm hm ;水池的总造价为y 元16,2,2V abh h b ====Q ,4a m ∴=—————————————3分则有2428S m =⨯=底————————6分()2224224S m =⨯+⨯=壁—————9分12080120880242880y S S =⨯+⨯=⨯+⨯=底壁(元)————————————12分18、(本小题满分12分)如下图(3),在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是平行四边形,,M N 分别是,AB PC 的中点,求证:MN PAD //平面 。

证明:如图,取PD 中点为E ,连接,AE EN ———1BCA DM NP图(3)E分,E N Q 分别是,PD PC 的中点12EN DC ∴//———————————————4分 M Q 是AB 的中点 12AM DC ∴// ——————7分EN AM ∴// ∴四边形AMNE 为平行四边形 —9分AE MN ∴// ———————————————11分又AE APD ⊂Q 面 MN APD ⊄Q 面 ∴MN PAD //平面 。

————————12分 19、(本小题满分12分)如下图(4),在正方体1111ABCD A B C D -中,(1)画出二面角11A B C C --的平面角; (2)求证:面11BB DD ⊥面1AB C解:(1)如图,取1B C 的中点E ,连接1,AE EC 。

11,,AC AB B C Q 分别为正方形的对角线 11AC AB B C ∴==E Q 是1B C 的中点1AE B C∴⊥——————————————2分又Q 在正方形11BB C C 中11EC B C ∴⊥ ——————————————3分∴1AEC ∠为二面角11A B C C --的平面角。

—————————————————4分(2) 证明: 1D D ABCD ⊥Q 面,AC ABCD ⊂面 1D D AC ∴⊥ —————6分 又Q 在正方形ABCD 中 AC BD ∴⊥ —————————————————8分1D D BD D =Q I 11AC DD B B ∴⊥面 ———————————————10分图(4)1A1B1D1CCABD E(又1AC AB C⊂Q面∴面11BB DD⊥面1AB C——————————————12分20、(本小题满分12分)光线自点()2,3M射到点()1,0N后被x轴反射,求该光线及反射光线所在的直线方程。

(请用直线的一般方程表示解题结果)解:如图,设入射光线与反射光线分别为1l与2l,11,M l N l∈∈Q由直线的两点式方程可知:1030:121ylx--=--——3分化简得:1:330l x y--=——————4分其中13k=,由光的反射原理可知:12∠=∠213k k∴=-=-,又2N l∈Q—————8分由直线的点斜式方程可知:()2:031l y x-=--—————————————————————————10分化简得:2:330l x y+-=——————————————————————12分21、(本小题满分12分)已知三角形ABCV的三个顶点是()()()4,0,6,7,0,8A B C(1)求BC边上的高所在直线的方程;(2)求BC边上的中线所在直线的方程。

解:(1)如图,作直线AD BC⊥,垂足为点D。

781606BCk-==--—————2分BC AD⊥Q16ADBCkk∴=-=4分由直线的点斜式方程可知直线AD的方程为:()064y x-=-化简得: 624y x =- ——6分(2)如图,取BC 的中点()00,E x y ,连接AE 。

由中点坐标公式得000632871522x y +⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩,即点153,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ———————————9分由直线的两点式方程可知直线AE 的方程为:1502430y x --=-- ——————————11分化简得:5102y x =- ——————————————————————————12分 22、(本小题满分14分)如下图(5),在三棱锥A BCD -中,,O E 分别是,BD BC 的中点,2CA CB CD BD ====,AB AD ==(1) 求证:AO ⊥平面BCD ; (2) 求异面直线AB 与BC 所成角的余弦值;(3) 求点E 到平面ACD 的距离。

(1)证明:连接OC ,BO DO AB AD ==QAO BD ∴⊥ ———————————1分,BO DO BC CD ==QCO BD ∴⊥ —————————————2分在AOC V 中,由已知可得:1,AO CO ==而2222,AC AO CO AC =∴+=90AOC ∴∠=o ,即AO OC ⊥ ———————4分BD OC O=Q I AO BCD∴⊥平面——————————————————5分(2)解:取AC 的中点M ,连接E ABC 图(5)DOE ABC图(5)DOM,,OM ME OE由E 为BC 的中点知,ME AB OE DC ////∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角。

——————6分在OME V 中, 122EM AB ==, 112OE DC == Q OM 是Rt AOC V 斜边AC 上的中线112OM AC ∴== ——————————————————————————8分cos 4OEM ∴∠=———————————————————————————10分(3)解:设点E 到平面ACD 的距离为h 。

E ACD A CDE V V --=Q ———————————————————————— ———12分1133ACD CDE h S AO S ∴•=••V V 在ACD V中,2,CA CD AD ===12ACDS ∴==V而211,2242CDE AO S ==⨯=V7CDE ACD AO S h S •∴==V V ∴点E————————————————————————14分。

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