四章节正则量子化与路径积分
正则量子化与路径积分量子化
正则量子化与路径积分量子化
戴启润
【期刊名称】《信阳师范学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】1989()2
【摘要】路径积分量子化在近代物理中的应用愈来愈广泛。
本文叙述路径积分量子化方法及其与正则量子化的等价性;应用路径积分量子化方法研究谐振子体系,并得出相关结论。
【总页数】10页(P148-157)
【关键词】正则量子化;路径积分量子化;传播函数;谐振子
【作者】戴启润
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】N55，G658.3
【相关文献】
1.数字人体微观研究--量子人体的Feynman路径积分与相位及二次量子化 [J], 毕思文
2.泛函积分量子化中的正则对称性质和守恒量 [J], 李子平
3.约束系统的路径积分量子化与正则量子化等价性的探讨 [J], 缪炎刚;岳丛建
4.路径积分量子化和海森堡反铁磁体的拓扑项的研究 [J], 赵一生;黄丹耘
5.关于路径积分量子化中的Feynman规则 [J], 李子平;高海啸
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能量与动量的路径积分量子化解析谐振子的路径积分量子化方法
能量与动量的路径积分量子化解析谐振子的路径积分量子化方法能量和动量是物理学中两个基本的量，它们在许多领域对于描述和分析物理现象非常重要。
在量子力学中，路径积分是一种描述粒子运动轨迹的数学方法，它可以用来解析谐振子的路径积分量子化过程。
一、引言量子力学是描述微观粒子行为的理论，它与经典物理学有着本质的差异。
在传统的路径量子化方法中，物体被看作是经典的粒子，在其演化过程中，其路径是确定的。
然而，路径积分量子化方法则采用了一种全新的观点，认为粒子的路径并不是确定的，而是遵循一定的概率规律。
二、路径积分量子化方法的基本原理路径积分量子化方法的基本思想是将粒子的行为看作是所有可能路径的加权平均。
对于一个系统，其路径的概率幅可以通过积分的方式得到。
量子力学中的路径积分实际上是对所有可能路径的叠加，其中每一条路径都对应着一个相位因子，这个相位因子与路径的作用量有关。
三、能量的路径积分量子化解析在路径积分量子化方法中，能量的路径积分可以通过对动力学作用量的积分得到。
对于谐振子，其动力学作用量可以表示为S = ∫ L dt，其中L是拉格朗日量。
对拉格朗日量进行变分，可以得到对应的运动方程。
通过对拉格朗日量的定义和变分计算，可以得到谐振子的能谱以及隧道效应等现象。
四、动量的路径积分量子化解析类似于能量的路径积分量子化，动量的路径积分量子化可以通过对动力学作用量的积分得到。
对于自由粒子而言，其拉格朗日量只包含动能项，因此动量的路径积分可以直接通过对动能作用量的积分得到。
对于有势场的情况，可以通过引入势能项来处理。
五、谐振子的路径积分量子化方法谐振子是量子力学中最简单的系统之一，其能谱和波函数可以通过路径积分量子化方法进行求解。
路径积分量子化方法将谐振子的运动看作是所有可能路径的加权平均，即通过对作用量的积分得到相应的结果。
通过路径积分方法求解谐振子的能谱和波函数，可以得到与传统量子力学方法一致的结果。
六、结论路径积分量子化方法是一种解析量子力学问题的有效方法，它通过对作用量的积分来求解能量和动量的量子化规律。
4_正则量子化
i k m k k
i k k m k
a
k
,a
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mk 2
i i k , k ' k' k mk mk '
mk i i k , k ' k , k ' 2 mk mk mk i i i kk ' ( i kk ' ) kk ' 2 mk mk 类似可证
0
L
ikx ik ' x '
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i L 0
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i k &业 1 : 证明作为经典场的 ( x, t ) 与作为场算符的 ( x, t ) 满足相同形式的方程
2 t
v 0
2 2 x
引入 ak a
k
mk 2 m k 2
2m
3
d r' (r, t )
3
ˆ (r ' ) (r ' , t ) r ' (r ' , t ) H
ˆ (r ' ) (r ' , t ) d 3 r ' (r, t ), (r ' , t ) H
ˆ (r ' ) (r ' , t ) (r ' , t ) H
c d r (r ) (r )
3 * 3
(r), (r' ) (r r' ) c , c d r (r) (r), d r ' (r' ) (r' ) d rd r ' (r ) (r ' ) (r ), (r ' ) H d r (r ) V (r ) (r ) t c c 其中 t d r (r ) V (r ) (r )
量子场论的路径积分形式
量子场论的路径积分形式量子场论是现代物理学中的重要理论框架，可以描述微观世界中基本粒子的行为和相互作用。
路径积分形式是量子场论的一种表述方式，通过对所有可能路径的积分来计算量子系统的行为。
本文将介绍量子场论的路径积分形式的基本原理和应用。
一、路径积分的基本原理路径积分是基于费曼图的思想，将量子系统的演化描述为在各个时刻之间所有可能路径的叠加。
具体而言，对于一个自由场系统，其路径积分形式可以表示为：\[ Z = \int [d\phi(x)] e^{iS[\phi(x)]}\]其中，Z是配分函数，$\phi(x)$是场在时空位置x处的取值，S是作用量。
积分号内的\[d\phi(x)\]表示对所有可能的场配置进行积分。
二、路径积分的应用路径积分形式在量子场论的计算中有着广泛的应用，以下将介绍其中几个重要的方面。
1. 有效作用量路径积分可以用于计算有效作用量，有效作用量是描述量子场的低能行为的一个重要概念。
通过对高能自由度进行积分，可以得到一个有效作用量，描述了系统在低能情况下的行为。
2. Feynman规则和费曼图路径积分形式还可以用于导出Feynman规则和绘制费曼图。
Feynman规则是用于计算量子场论中各种过程的概率振幅的规则。
费曼图则是用图形化的方式表示不同粒子之间的相互作用过程。
3. 相互作用的计算路径积分形式可以推导出相互作用的各阶修正，通过对相互作用的展开来计算不同阶的修正项。
这对于研究粒子与场的相互作用、研究量子色动力学等有着重要意义。
4. 转换到Euclidean空间路径积分形式还可以通过将时空坐标转换到Euclidean空间来简化计算。
在Euclidean空间中，路径积分可以被解释为统计力学中的配分函数，这使得计算变得更加方便。
三、总结量子场论的路径积分形式为我们理解和计算量子系统的行为提供了一种有效的数学工具。
通过对所有可能路径的积分，我们可以得到概率振幅、相互作用修正等重要信息。
量子场论中的路径积分方法
量子场论中的路径积分方法路径积分方法（Path Integral Method）是在量子场论中被广泛应用的一种数学工具，它提供了一种计算量子力学系统动力学的非常方便且优雅的方法。
路径积分方法在理论物理中发挥了重要的作用，特别是在量子场论和统计物理中有着广泛的应用。
本文将介绍路径积分方法在量子场论中的基本原理以及其在研究量子场理论中的重要应用。
一、路径积分方法的基本原理路径积分方法是通过对量子体系的所有可能路径进行求和来描述其动力学行为。
在量子力学中，一个粒子由其初始状态到末态的过程可以通过构建路径在相空间中进行描述。
路径积分方法的基本思想是将这个过程划分为无穷小时间间隔，并对每个时间间隔对应的粒子位置进行积分。
然后，将所有可能的路径权重相加，得到最终的路径积分值。
具体而言，对于在时间 t1 到 t2 之间发生的一个过程，可以将时间区间划分为无穷小的时间间隔dt，使得路径积分可以表示为：\[K(x_2, t_2; x_1, t_1) = \int \mathcal{D}x(t)e^{\frac{i}{\hbar}S[x(t)]}\]其中，K(x2,t2;x1,t1)表示从位置x1在时间t1到位置x2在时间t2的传播振幅，而S[x(t)]表示作用量，它是该路径的一个特定量。
而积分符号中的\(\mathcal{D}x(t)\)表示对所有可能的路径进行积分。
这个路径积分的值可以被理解为从一个给定路径开始，然后按照不同路径的权重进行加权求和。
二、路径积分方法在量子场论中的应用路径积分方法在量子场论中的应用非常广泛。
下面将介绍一些路径积分方法在量子场论中的重要应用。
1. 目标粒子传播振幅的计算路径积分方法可以用来计算目标粒子在量子场中的传播振幅。
通过对场变量进行积分，结合路径权重进行加权求和，可以得到目标粒子从一个位置到另一个位置的传播振幅。
2. 散射振幅的计算路径积分方法还可以用于计算散射振幅。
通过将初态和末态粒子的传播振幅相乘，并对中间的场进行积分，可以得到散射振幅。
量子力学中的正则量子化方法
量子力学中的正则量子化方法正则量子化方法是量子力学中一种重要的数学工具，它用于将经典力学系统转化为量子力学系统。
通过正则量子化方法，我们可以得到系统的哈密顿算符和对应的能量本征值，从而得到系统的量子力学描述。
本文将介绍正则量子化方法的基本原理和应用。
一、经典力学系统的描述在开始介绍正则量子化方法之前，我们先回顾一下经典力学系统的描述。
经典力学系统可以由广义坐标q和广义动量p描述，系统的哈密顿函数H(q, p)可以表示系统的总能量。
动力学方程可以由哈密顿正则方程给出：dq/dt = (∂H/∂p)dp/dt = - (∂H/∂q)其中∂H/∂p和∂H/∂q分别表示对广义坐标和广义动量的偏导数。
这些正则方程描述了系统在经典力学下的演化。
二、正则量子化方法的基本原理正则量子化方法是通过将经典力学系统的广义坐标和广义动量替换为对应的算符来实现的。
我们用q和p分别表示广义坐标和广义动量的算符。
量子力学中，广义坐标和广义动量的对易关系由著名的正则对易关系给出：[q, p] = iħ其中ħ是普朗克常数的约化值。
这个对易关系体现了量子力学中的不确定性原理。
在正则量子化中，我们将广义坐标q替换为算符q，将广义动量p替换为算符p。
然后将广义坐标和广义动量的对易关系转化为对应算符的对易关系。
三、量子力学系统的描述通过正则量子化方法，我们可以得到量子力学系统的哈密顿算符Ĥ。
哈密顿算符描述了系统的总能量，并且它是系统的一个可观测量。
在量子力学中，系统的动力学由著名的薛定谔方程给出：iħ(dψ/dt) = Ĥψ其中ψ是系统的波函数，描述系统的量子态。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的能量本征值和对应的能量本征态。
四、正则量子化方法的应用正则量子化方法在量子力学的各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 粒子在势能场中的量子化：通过将经典力学系统的势能函数转化为对应的势能算符，可以得到势能场中粒子的量子描述。
量子力学中的路径积分方法
量子力学中的路径积分方法量子力学是研究微观世界中粒子行为的一门科学，而路径积分方法是量子力学中的一种重要计算方法。
本文将围绕路径积分方法展开讨论。
一、路径积分方法的基本概念路径积分方法是由物理学家费曼在20世纪50年代提出的一种求解量子力学问题的数学工具。
它的基本思想是将粒子在空间中的各种可能路径进行加权求和，从而得到系统的量子力学性质。
二、路径积分方法的数学表达在路径积分方法中，我们需要将系统的作用量写成粒子在空间中路径的积分形式。
具体而言，假设系统的作用量为S，那么路径积分可以表示为：\[Z=\int e^{iS/\hbar}Dq(t)\]其中，Z表示路径积分的结果，i表示虚数单位，hbar为普朗克常数的约化值，q(t)表示粒子在不同时间点的坐标，Dq(t)表示路径的积分测度。
三、路径积分方法的物理解释路径积分方法提供了一种统一的描述粒子运动的方式，它并没有规定粒子只能沿着经典轨迹运动，而是考虑了粒子同时在空间中所有可能的路径。
通过对所有路径的加权求和，路径积分方法给出了系统的量子力学性质，例如粒子的波函数演化、散射过程等。
四、路径积分方法的应用路径积分方法在量子力学的各个领域中都有广泛的应用。
在量子场论中，路径积分方法可以用来计算费曼图，从而得到粒子的散射振幅；在凝聚态物理中，路径积分方法可以用来研究凝聚态系统的性质，如电子、声子等的激发态；在统计物理学中，路径积分方法可以用来计算系统的配分函数、物理量的期望值等。
五、路径积分方法的优缺点路径积分方法作为一种计算框架，具有许多优点。
首先，它提供了一种直观的图像，可以更好地理解粒子运动的物理过程；其次，路径积分方法对于处理耦合系统和非平衡态问题非常有效；此外，路径积分方法还可以应用于量子力学的其他领域，如量子引力等。
然而，路径积分方法也存在一些限制，例如计算复杂度较高、泛函积分的定义需要额外的数学处理等。
六、结语路径积分方法是量子力学中的一种重要计算方法，它通过对所有可能路径进行加权求和，揭示了量子力学的微观本质。
正则量子化与积分路径量子化
约束体系量子理论讲座报告上海科技大学（/xxgk.asp）（郑重提示：由于本报告略写粗糙，请各位参考相应文献，以作斧正）实际上，在量子场论刚建立时，就遇到了约束系统的量子化方法问题。
大家知道，人们首先认识到的经典场是麦克斯韦电磁场要建立电磁场及电磁相互作用的微观理论，就需要将其量子化。
目前理论物理界广泛使用的约束系统的量子化方法，主要有两种：一种是由狄拉克( Paul Adrie Maurice Dirac)于1950年开始的工作基础上发展起来的正则量子化方法；另一个是在由1967年法捷耶夫( Ludwig．D．Faddeev，1934 )和波波夫( Victor. Nikolaevich. Popov)的工作开始的用路径积分量子化方法发展起来的方法。
（文中采用自然单位制ħ=c=1）1. 正则量子化[1]所谓正则量子化,就是从经典的分析力学出发,加上量子条件使经典体系过渡到量子体系的一种方法。
在经典力学中,设系统的正则坐标为q i；正则动量p i(i=1,2,…,n)。
Hamilton 量为H(q i;p i;t)= H(q i,…,q n;p i,…,p n;t) (1) 正则运动方程为q i=∂H∂p i ，p i=∂H∂q i(i=1,2,…,n)(2)任意两力学量u,v, Possion括号为（u,v）=∑(∂u∂q i ∂v∂p i−∂u∂p i∂v∂q i)ni(3)由此可导出正则变量的 Poisson括号为(q i，q i)= 0 ; (p i，p i)= 0 ; (q i，p i)= δij(4)一般力学量A的运动方程为A=(A,H)(5)这一套理论完全可以平行地移到量子力学中去。
在量子力学中,正则变量q i，p i以及由它们所构成的力学量H、A、u、v等均是算符,所以,经典Poisson括号要用算符的对易关系的代替。
它们的关系为（u,v）→1i [û,v̂]=−1i(ûv̂−v̂û)(6)当然这种对应仅适用于有经典对应的力学量算符。
正则量子化与量子场论
第三章 正则量子化与量子场论到目前为止，我们所涉及的场都是经典场，即场量是描述相应粒子的几率波函数。
经典场论的不足之处主要包括两方面：一是克莱因-戈登场存在负能与负几率的困难，二是经典场不能描述粒子的产生与湮灭现象，为了克服这两方面的困难，人们将经典场量子化，由此得到了量子场。
人们通常采用的量子化方法有两种。
一是正则量子化，另一种是路径积分量子化，在这里我们将采用正则量子化方法。
3.1 正则量子化如前所述，我们所涉及的经典场称为拉格朗日场，正则量子化，就是把拉格朗日形式的场，变成正则形式进行量子化。
为了便于理解这个过程，我们先讨论力学系统的量子化。
1. 一个自由度力学系统的正则量子化在拉格朗日力学中，描述力学系统的运动规律是拉格朗日方程。
0=∂∂-∂∂qL dt d q L（1）其中)(t q 是广义坐标，)(t q是广义速度。
())(),(t q t q L 是拉格朗日函数。
在哈米顿力学中，描述力学系统的运动规律是哈米顿运动方程。
p H q∂∂= ，qH p ∂∂-=（3）其中)(t q 称为正则坐标。
qLt p ∂∂=)( （4）称为正则动量。
L qp H -= （5）称为哈米顿函数。
这些内容我们在分析力学中已经学过。
正则量子化，就是把正则坐标)(t q 和正则动量)(t p 都看作算符,并满足正则对易关系。
[]i t p t q =)(),(，[]0)(),(=t q t q（6） []0)(),(=t p t p ，[]0)(),(=t qt q（7）其中对易关系[]BA AB B A -=,，由量子力学知：[]pH i q H ∂∂-=,，[]qH i p H ∂∂=,这样哈米顿运动方程（3）可改写为：[]q H i q,= ，[]p H i p ,= （8）2. n 个自由度力学系统的正则量子化在拉格朗日力学中，广义坐标与广义速度各有n 个，即：)(t q i ，)(t qi ，i=1,2,……n ，拉格朗日运动方程为：0=∂∂-∂∂i i qL dt d q L ，i=1,2,……n.（9）拉格朗日函数为()i i qq L ,, i=1,2,……n. 提到哈米顿力学，正则坐标与正则动量各有n 个，即：)(t q i ，)(t p i ，i=1,2,……n 。
论述量子场论和路径积分量子场论
论述量子场论和路径积分量子场论量子场论和路径积分量子场论是当今物理学最为重要的分支之一。
它们是关于自然界最基本粒子和它们的相互作用规律的理论研究。
近年来，随着对物质结构和宇宙发展的探索与深入，量子场论和路径积分量子场论的研究也得到了相应的进展。
本文将对它们的基本概念、发展历程和研究成果进行探讨。
一、量子场论量子场论是描述自然界中基本粒子、相互作用、物质结构和宇宙演化的理论基础。
它将粒子的运动视为场的运动，并将电磁力、弱力、强力等各种相互作用视为场的量子化作用。
量子场论在20世纪40年代初由费曼、斯特林格和朗道等学者首先提出，并在后来经过不断的完善和发展，成为了现代物理学的重要分支。
量子场论的基本概念包括：荷、自旋、质量等。
荷指的是电荷、色荷等物理量；自旋指的是粒子固有的角动量；质量指的是粒子的惯性质量。
这些物理量可以通过场算符对应到它们的算符上，从而使得场的动力学方程等价于粒子的运动方程。
此外，量子场论还可以描绘出场的振荡或激发，那么相互作用也可以描述为通过交换激发的场量子，这就是所谓的相互作用基本原理。
量子场论的重要成果有：量子电动力学(QED)、量子色动力学(QCD)等。
QED是电荷存在时的电动力学，是粒子物理学中的基本理论之一。
它描述了电磁力与电子、光子之间的相互作用。
QCD是强子的理论，是描述强作用现象的基本理论之一。
它将夸克看做是描述粒子互作用的基本粒子在空间中运动的场。
二、路径积分量子场论路径积分量子场论是对传统量子场论的补充和扩展，它将场场的问题转化为路径积分计算，是通过描绘场历史上的所有可能路径够得到的结果之和来得到粒子之间的相互作用。
路径积分量子场论被引入到物理学中，是基于玻尔兹曼体系下的统计物理学和费曼路径积分思想，将统计方式和物理过程联系起来，是从统计力学的路线走到粒子物理学路线上来的具有重大意义的决定。
路径积分量子场论是孤立粒子图像和相互作用图像的统一，因而被认为是最完备的自然规律描述方法。
路径积分
K ( b, a ) dxc K ( b, c) K ( c, a )
【证】 根据传播子的定义
（ tb tc ta ）
( xb , tb ) dxc K ( b, c) ( xc , tc ) ( xc , tc ) dxa K ( c, a ) ( xa , ta )
tb
2-1
tb L d x L , t ) x dt L( x , x ta dt x x
S ( x) x
ta
tb
tb L L tb d L x dt dt x t a ta x x dt x
tb ta N
（ t j 1 t j ）
相应的折点： x0 xa , x1 , x2 , , xN 1 , xN xb （ xa ， xb 固定，
2-6
但 x1 , x2 , , xN 1 ( , ) ）
t
tN t N 1
t j1 tj
t1 t0
2-3
因此若 ta 时刻粒子位于空间的 xa 点， 则传播子就是在 tb 时刻于 xb 点找到 。 由 ( xa , ta ) 传来的粒子的几率波幅（波函数）
t
( xb , tb )
K(b, a)
( xa , ta )
0
x
【结论】 传播子是一种特殊的波函数，代表着点源的影响。它实际上是薛定谔 （Schrödinger）方程的格林（Green）函数。 （2） 传播子的传递性
2 x 2 x
m 2 L 2
m2 (xb xa cosT )2 2 2xa (xb xa cosT ) cos2 ( ) sin2 ( ) x t t t t a a a 2 sin2 T sinT
粒子物理学中的量子场论与路径积分
粒子物理学中的量子场论与路径积分量子场论是描述微观粒子行为的重要理论框架，而路径积分是量子场论的基本工具之一。
本文将介绍粒子物理学中的量子场论与路径积分的基本概念和原理。
1. 量子场论的基本概念量子场论是对自然界最基本的物质粒子及其相互作用进行描述的理论框架。
它将经典的场论与量子力学相结合，以描述微观粒子的统计性质和相互作用。
1.1 场的概念在量子场论中，物理量被描述为场。
场可以看作是时空中的一个函数，它的值在每个时空点上都有定义。
比如电子场、光子场等。
1.2 量子力学与量子场论的区别传统的量子力学描述个别量子粒子的性质，而量子场论描述了整个系统中所有可能存在的粒子态。
它将物质粒子视作场量子化后的结果，从而推广了传统的量子力学。
2. 路径积分的基本原理路径积分是量子场论中的一种计算方法，它基于泛函积分的思想，通过对场的所有可能轨迹进行积分来求解物理量的期望值。
2.1 量子粒子的路径根据量子力学的基本原理，粒子在空间中并不只有一条明确的运动轨迹，而是存在着所有可能的路径。
路径积分通过对所有可能路径的积分，计算出粒子的平均性质。
2.2 作用量和泛函积分路径积分中的关键概念是作用量，它是描述物理系统的一个函数。
泛函积分则是对作用量在所有可能场路径上的积分，得到一个数值，对应了系统的物理性质。
3. 应用与发展量子场论与路径积分的理论框架为粒子物理学提供了强大的工具，具有广泛的应用和重要的理论价值。
3.1 粒子的相互作用量子场论能够准确描述粒子之间的相互作用，例如强相互作用、弱相互作用和电磁相互作用。
通过路径积分方法，可以计算出这些相互作用的强度和概率。
3.2 粒子的产生和湮灭量子场论和路径积分理论还能够描述粒子的产生和湮灭过程。
它可以解释一些实验观测结果，如粒子衰变和粒子产生。
3.3 粒子的散射过程路径积分方法在粒子的散射过程中也有广泛应用。
通过计算不同路径上的振幅，可以得到粒子之间的散射截面，从而研究粒子的相互作用。
量子力学中的正则方程与量子路径积分
量子力学中的正则方程与量子路径积分量子力学是物理学中的重要分支，研究微观粒子的行为和相互作用。
其中，正则方程和量子路径积分是量子力学的两个核心概念。
首先，让我们简要介绍正则方程。
正则方程是量子力学中描述粒子运动轨迹的方程，它与哈密顿力学紧密相关。
在经典物理中，我们可以通过拉格朗日力学或哈密顿力学来描述粒子的运动。
而在量子力学中，我们需要采用一种量子化的方法来描述微观粒子的运动。
正则方程正是在这个过程中发挥重要作用的数学工具。
正则方程的基本原理是哈密顿力学中的正则变量和正则动量之间的关系。
正则变量是系统中的广义坐标的函数，而正则动量则是广义速度的函数。
在经典物理中，正则方程描述了系统的运动，通过解这些方程，我们可以得到系统的轨迹。
在量子力学中，正则方程同样也扮演了非常重要的角色。
通过求解正则方程，我们可以得到量子态的演化规律，从而了解粒子在不同状态下的行为。
现在，让我们来介绍一下量子路径积分。
量子路径积分是研究量子力学中粒子运动的一种方法，它是由费曼在20世纪50年代提出的。
量子路径积分的基本思想是将粒子的所有可能路径都考虑进去，并对它们进行适当的加权求和。
这样，我们就可以得到粒子在不同路径上的概率幅度。
量子路径积分的核心是费曼路径积分表达式。
该表达式通过对时间的积分来计算粒子行为的概率幅度。
具体而言，费曼路径积分的计算是在时间的离散化上进行的，将时间划分为无数个小时间片。
然后，通过对每个时间片的粒子位置进行积分，最终得到整个路径上的概率幅度。
正则方程和量子路径积分在量子力学中有着广泛应用。
正则方程可以用来描述粒子在势能场中的运动，从而了解粒子的反射、透射、散射等现象。
而量子路径积分则可以用来计算各种物理量的期望值，比如能量、动量和角动量等。
通过正则方程和量子路径积分的研究，我们可以深入了解量子力学中微观粒子的行为规律，揭示出微观世界的奥秘。
当然，正则方程和量子路径积分的研究还存在一些问题和挑战。
正则量子化与路径积分量子化报告
(q, t ) q (t ) q U (t, t0 ) (t0 )
dq0 K (q, t; q0 , t0 )(q0 , t0 )
K (q, t; q0 , t0 ) q U (t, t0 ) q0
i dtL ( q , q ) Feynman公式： K (q, t ; q0 , t0 ) N Dqe
正则量子化 与路径积分量子化
姓名：曹兴敏 学号：31546016
目
1 1
录
正则量子化
2
路径积分量子化
3
两种量子化的等效关系
4
总结
一、正则量子化
1.经典力学
2.量子力学
正则坐标 q i
正则动量 p i
正则坐标 q i
力学量→算符
正则动量 p i
力学量：H、U、V、A
H H q p 正则方程： i i pi qi
L
为 （x, t）对时间求导
H - L
H
H
二、路径积分量子化
提出：Feynman首先提出的另一种建立量子力学的方案； 基本思想：把每条路径的贡献进行叠加，从而实现量子化； 定义了传播函数（跃迁振幅）： K (q, t; q0 , t0 )
H H q p i 正则方程： i p qi i
0 （qi , q j） 0（pi , p j） 正则变量：
（qi , p j） ij
正则变量：[qi , q j ] 0 [pi , p j ] 0
[qi , p j ] i ij
3.场论
（x, t） 定义：正则定量
量子场 路径积分量子化
量子场路径积分量子化
量子场论是描述自然界中基本粒子行为的理论框架，而路径积分量子化则是量子场论中的一种重要方法。
路径积分量子化是由费曼在20世纪50年代提出的，它提供了一种全新的描述量子系统的方式，通过对所有可能的路径进行求和来描述粒子的运动和相互作用。
在传统的量子场论中，我们通常使用哈密顿量和薛定谔方程来描述系统的演化。
然而，路径积分量子化提供了一种更加直观和自然的描述方式。
它不需要引入波函数或者算符，而是直接对所有可能的路径进行积分。
这种方法在描述复杂系统时特别有用，比如描述多体相互作用或者强相互作用的系统。
路径积分量子化的核心思想是，粒子在空间中的运动并不是沿着某条确定的轨迹进行的，而是沿着所有可能的路径进行的。
每条路径都对应着一种可能的运动方式，而路径积分则是对所有可能路径的贡献进行求和。
这种方法提供了一种更加全面和统一的描述方式，能够更好地理解量子系统的行为。
路径积分量子化在理论物理和高能物理领域有着广泛的应用，
特别是在描述强相互作用和量子引力等复杂系统时。
它为研究者提供了一种更加灵活和直观的工具，能够更好地理解和预测量子系统的行为。
总之，路径积分量子化是量子场论中的一种重要方法，它提供了一种全新的描述量子系统的方式，能够更好地理解和预测复杂系统的行为。
随着对路径积分量子化理论的深入研究，相信它将会在未来的物理研究中发挥越来越重要的作用。
4、场的正则量子化
§4、场的正则量子化场的量子化的形式与质点系相似。
场函数及正则共轭场函数过渡至算符，不再描写体系的态，而物理的态则由Hilbert 空间的矢量描述。
力学量随时间演化的方程中，以量子Piosson 括号取代经典Piosson 括号：（仍在海森堡绘景中讨论，算符随时间变，而态不变）：][1],[1},{GF FG i G F i G F -≡→（4-1） ],[1H F i F= （4-2） 当F 显含t 时，右边还有一项tF∂∂。
一、电磁场的量子化经典电磁场满足Maxwell 方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇=⋅∇=⋅∇t c c t c E J B BE B E 14104ππρ （4-3） 用四度矢势),(ϕA 表为：J A A A ct c t c t c t c t c πφπρφφ4)1()1(4)1(1)1(222222=∂∂+⋅∇∇-∇-∂∂=∂∂+⋅∇∂∂-∇-∂∂ （4-4） 由电磁场B E,在以下规范变换下χ∇+→A A tc ∂∂+→χϕϕ1 （4-5） 具有不变性。
通常有两种规范 Lorentz 规范01=∂∂+⋅∇tc φA （4-6）此方程具有协不变性，然而与量子化不相容。
Coulomb 规范0=⋅∇A （4-7）此时，虽然矢势方程丧失了Lorentz 协变性，但不影响真正的物理量B E,，而且能很方便的进行量子化。
在Coulomb 规范下，场方程成为ϕππρϕ∇∂∂+=∇-∂∂=∇t c c tc 14)1(422222J A （4-8） 下面考虑自由场：0=ρ，0=J ，因而0=ϕ，于是0)1(2222=∇-∂∂A tc （4-9） A B ⨯∇= tc ∂∂-=AE 1 （4-10） 拉格朗日量⎰∑∂∂-∂∂=})()(1{81222ij ji x A t c d L A x π （4-11） A 的共轭场量i i ii E c A c A πππ41412-==∂∂=（4-12） 相应的Hamilton 函数)(81})(812{22222B E d x A c d H ijj i +=∂∂+=⎰⎰∑x x ππππ （4-13） 在量子化以后，),(t x A 成为算符。
四章节正则量子化与路径积分
irs (x x)
若 Q Q Q Q
(Qr r Q) Q qr Q Qr Q r Q Q qr Q
Qr Q (Q - q)r Q
Qr Q (Q q)r Q
eigen value
eigen state
路徑積分的一般原理
Heisenberg 矩陣力學 代數形式 Schrödinger 波動力學 局域微分形式
Orthochronous L.G.
L
L
TL
L
PL
TL
PTL
Noether 定理
r (x) r (x) r (x) 變分
r (x) r (x) r (x) 全變分
(r (x) r (x)) (r (x) r (x))
r ( x)
r
x
x
0( 2 )
r ( x)
r
x
x
0( 2 )
i (t t)
i (t t) (x)
id3x
i
t
H (x)
G(x, x) (x)
i (t t) (x)
i dx3 (t t) 3(x x) (x)
i
H(x)G(x, x) (t t) 3(x x) 4 (x x)
t
（Green 函數）
‧位形空間中的路徑積分
j
L
r,
(i r )
L
r,
(i )r
j(x)
L
i( r,
r
L
r,
r )
當中
j
(
x)
i(
r
(
x)r
(
x)
r
(
x)r
(
x))
Q
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L
r,
) r
x
L (
r,
r )
(
L
r
x
L
r,
) r
x
L
r,
r
r
x
x
L x
x
x
(L
x )
x
(L
g vxv )
r v
x
L
r,
r
L
r
,
r
xv
L
g
v
xv
0
x
j
0
j,
0
T v能量-動能張量
Classic→Quantum
當中
j
L
r,
n
傳播子的組合規則
1 t ＜ t1 ＜ t
r r1 r
d3xk (r1t1, rt) (r,t)
(r,t) d3x1k(rt, r1t1) (r1,t1)
d3xd3x1k (rt, r1t1)k (r1t1,tt) (r,t)
dxk(rt,rr) (r,t)
k (rt, rt) d3x1k (rt, r1t1)k (r1t1, rt)
輸出
‧K的能量表象
H n En n
K (rt, rt) r n
nn
n exp iH(t t) / n
n r
nn
n
(r)
exp
i En
(t
t)
/
nn
n
(r)
n
n
(r
)
exp
i
Ent
/
n
(r)
exp
i
En
t
/
n
(r
,
t)
n
(r,
t)
n
當
t
t
t
K
(rt,
r t )
n
(r)
n
(r)
(r
r)
S
d 4 xLr
r
L
r,u
r
,u
On Surface ()
0
()
d
L
r,u
r
d 4 xLr
x
L
r ,
r
d
4x
x
L
r
,
r
0
L
r
x
L
r ,
0
, r 1, 2, r 之場方程
Hamitonian
r
(x)
L r (x)
L
r (x)
H d3 x r ( x)r ( x) L (r ,r, )
r (x) i r (x) r (x)
j
L
r,
(i r )
L
r,
(i )r
j(x)
L
i( r,
r
L
r,
r )
當中
j
(
x)
i(
r
(
x)r
(
x)
r
(
x)r
(
x))
Q
iq
d 3 x(
r
( x)r
( x)
r
( x)r
( x))
dQ 0 dt
,
Q, H 0
電荷守恆
微小常數
全域相位變換 若 ( x)則為 局域相位變換
2 t0 t,t1,t2, tn t r0 r,r1,r2, rn r
k(rt, rt) d3x1d3x2 d3xn1k(rt, rn1 tn1)k(rn1 tn1,rn2 tn2 ) k(r1t1, rt)
K(G) 滿足的微分方程
定義 G ik
(x,t) i d3xG(xt, xt) (x,t),t＞ t
tp d3x(xT 00 (x,t) r (x)Srosis (x))
boost 向量
規範不變性－電荷守恆
L L (r r , r, r, )
r (x) r (x) eir (x) (1 i )r (x)
r (x) r (x) eir (x) (1 i )r (x)
r (x) i r (x) r (x)
路徑積分的一般原理
Heisenberg 矩陣力學 代數形式 Schrödinger 波動力學 局域微分形式
正則經典力學 Hamiton-Jacobi 方程
Hamilton 力學
Feynman
路徑積分 全域積分形式
Lagrange 力學
‧傳播子 （ propagator ） ih H (t)
t
L
Space-time inversion type*** L
sgn 1 1 -1
-1
det
1 -1 -1
1
* spatial reflection ** time reflection *** space-time inversion
1 0 0 0
0 1 0 0
P
0 0 1 0
0 0 0 1
r
T vxv
函數
算符 若 j 0
j (r ,xv ) 依不同之守恆量而定
則稱其為流異常
Noethe 定理之應用
局部連續轉換
移動 轉動 規範
守恆定律
動量 角動量 電荷
（局部連續轉換）
x x x x
gv xv wv xv
v xv
‧無窮小 Lorentz 轉換
帶入
v gv wwv
x(t) x(tN ) x
t t N
x(ti )
I dx j xi x j j 1,2, N
(eiH/) N
t
x(t) x(t) x
x
i( p2 v( x) )
e 2m
i( p2 ) iv( x)
e 2m . e
(2 )
v 和 p2 互易
e AB e AeBe A,B 2 eAeB
xv
j
1 2
L
r,
wv
S
v
rs
s
Tv wv x
wv
1 L
2
r
,
Srvs s
( xvT
x T v )w
1M 2
v wv
j, 0 M v 0
Gauss 廣義散度定理 取 0
空間分量
M v d3 xM 0v
d3x r (x)Srvs s (x) xvT 0
x
T
0v
dxd 3x dxdx1dx2dx3
four-dimensional space-time
‧Hamilton原理
(x)
x2
S 0 場方程（Euler方程）
()
x1
(x)
r r (x) r (x)
x
r
(x)
r,
r,
r,u
r (x) r (x) r (x) r (x) 0
g v v g
x wv xv
g gv gv w w 0((w)2 ) g
g
0
w w
6個獨立變量
‧波函數之轉換關係 (x) F ( (x)) F ( (1(x a))
S S
S() (x) S() (1(x a))
(x)
N
S () (1(x a))
1
x
x x
x
□ gvv gv v g □′
gv v g
‧Lorentz 群之分類
2
g g 1
g
1
gv
v
( )2
3
(k
)2
1
或
1
k 1
Proper orthochronous
L
improper orthochronous*
L
time-reflection type **
Orthochronous L.G.
L
L
TL
L
PL
TL
PTL
Noether 定理
r (x) r (x) r (x) 變分
r (x) r (x) r (x) 全變分
(r (x) r (x)) (r (x) r (x))
r ( x)
r
x
x
0( 2 )
r ( x)
r
x
x
0( 2 )
取 1( x t1)
2 (x t2 )
廣義 Gauss 發散定理
x
1 d
0 d3xj0 dx3 j0
1
2
d3 xj0 ( x, t1) d3 xj0 ( x, t2 )
J (t1)
J (t2 )
dJ 0 當中
dt
J (t) d3xj (x,t)
2 d
d dt
(t) exp iH(t t) | (t)
座標表象 r (t) d3x r exp iH(t t) / r
r (t)
(r, t) d3x
K (rt, rt) 傳播子
(r,t)
輸入
(r,t) (r,t)
d3xK (rt,rt) (r,t)
(r,t) (r,t)
i (t t) (x)
i dx3 (t t) 3(x x) (x)
i
H(x)G(x, x) (t t) 3(x x) 4 (x x)
t
（Green 函數）
‧位形空間中的路徑積分
t
H p2 v(x) 一維勢場 v(x) 中粒子運動的 Hamilton t
2m
k(xt, xt) x exp iH(t t) / x
r之共軛動量場