四章节正则量子化与路径积分

r
T vxv
函數
算符 若 j 0
j (r ,xv ) 依不同之守恆量而定
則稱其為流異常
Noethe 定理之應用
局部連續轉換
移動 轉動 規範
守恆定律
動量 角動量 電荷
（局部連續轉換）
x x x x
gv xv wv xv
v xv
‧無窮小 Lorentz 轉換
帶入
v gv wwv
x(t) x(tN ) x
t t N
x(ti )
I dx j xi x j j 1,2, N
(eiH/) N
t
x(t) x(t) x
x
i( p2 v( x) )
e 2m
i( p2 ) iv( x)
e 2m . e
(2 )
v 和 p2 互易
e AB e AeBe A,B 2 eAeB
L
Space-time inversion type*** L
sgn 1 1 -1
-1
det
1 -1 -1
1
* spatial reflection ** time reflection *** space-time inversion
1 0 0 0
0 1 0 0
P
0 0 1 0
0 0 0 1
d3xT v
0
當中
Pv
T v
L
r,0
r,v
L
gv
v0
P
d3x rr ( x)
L
(r
,r
,
)
H
Hamitonian 算符
v i 1,2,3
H
Pi
d3
x
r
(
x)
r (
xi
x)
線動量算符
‧轉動不變性－角動量守恆
0 xv wv x v
r
1 2
wv
Srvs s
1 2
T
v wv
x
1T 2
wv
相對論規範下的不變性
‧Lorentz 轉換 x ： x ct , x1 x , x2 y , x3 z x ： x0 ct , x1 x , x2 y , x3 z
逆變 （ contravariant ） 協變 （ convariant ）
度規張量
10 0 0
x gv xv
g (gv ) (gv )
(t) exp iH(t t) | (t)
座標表象 r (t) d3x r exp iH(t t) / r
r (t)
(r, t) d3x
K (rt, rt) 傳播子
(r,t)
輸入
(r,t) (r,t)
d3xK (rt,rt) (r,t)
(r,t) (r,t)
tp d3x(xT 00 (x,t) r (x)Srosis (x))
boost 向量
規範不變性－電荷守恆
L L (r r , r, r, )
r (x) r (x) eir (x) (1 i )r (x)
r (x) r (x) eir (x) (1 i )r (x)
r (x) i r (x) r (x)
輸出
‧K的能量表象
H n En n
K (rt, rt) r n
nn
n exp iH(t t) / n
n r
nn
n
(r)
exp
i En
(t
t)
/
nn
n
(r)
n
n
(r
)
exp
i
Ent
/
n
(r)
exp
i
En
t
/
n
(r
,
t)
n
(r,
t)
n
當
t
t
t
K
(rt,
r t )
n
(r)
n
(r)
(r
r)
n
傳播子的組合規則
1 t ＜ t1 ＜ t
r r1 r
d3xk (r1t1, rt) (r,t)
(r,t) d3x1k(rt, r1t1) (r1,t1)
d3xd3x1k (rt, r1t1)k (r1t1,tt) (r,t)
dxk(rt,rr) (r,t)
k (rt, rt) d3x1k (rt, r1t1)k (r1t1, rt)
r之共軛動量場
d 3xH (x)
Hamitonian 密度
‧正則量子化 （ Canonical Quantization ）
r ( x, t) , s ( x, t) i rs ( x x) r ( x, t ) ,s ( x, t ) r ( x, t ), s ( x, t ) 0
dxd 3x dxdx1dx2dx3
four-dimensional space-time
‧Hamilton原理
(x)
x2
S 0 場方程（Euler方程）
()
x1
(x)
r r (x) r (x)
x
r
(x)
r,
r,
r,u
r (x) r (x) r (x) r (x) 0
取 1( x t1)
2 (x t2 )
廣義 Gauss 發散定理
x
1 d
0 d3xj0 dx3 j0
1
2
d3 xj0 ( x, t1) d3 xj0 ( x, t2 )
J (t1)
J (t2 )
dJ 0 當中
dt
J (t) d3xj (x,t)
2 d
d dt
第四章 正則量子化與路徑積分
正則量子化之一般原理 ‧Lagraian
Lagrangian 密度
L ＝ L （ r , r, ） 向量場變量
r
x
r
L (x ) d 3x L （r , r,）
Lagrangian
S () d 4 x L （ r , r, ） dxL(x )
作用量（action)
r (x) i r (x) r (x)
j
L
r,
(i r )
L
r,
(i )r
j(x)
L
i( r,
r
L
r,
r )
當中
j
(
x)
i(
r
(
x)r
(
x)
r
(
x)r
(
x))
Q
iq
d 3 x(
r
( x)r
( x)
r
( x)r
( x))
dQ 0 dt
,
Q, H 0
電荷守恆
微小常數
全域相位變換 若 ( x)則為 局域相位變換
0 0
0
1 0 0
0 1 0
0
0 1
x g v xv
，
g
v
g gv
(v )
1000 0100 0010 0001
‧ dAlembert 算符
□
1 c2
t 2
3 2
i 1
xi
2
g v v
相對論規範意味□之不變性
‧座標系轉換
x
v
xv
a
a 0 非均勻 Lorentz 轉換（ Poinc'are 轉換 ） a 0 均勻 Lorentz 轉換
2 t0 t,t1,t2, tn t r0 r,r1,r2, rn r
k(rt, rt) d3x1d3x2 d3xn1k(rt, rn1 tn1)k(rn1 tn1,rn2 tn2 ) k(r1t1, rt)
K(G) 滿足的微分方程
定義 G ik
(x,t) i d3xG(xt, xt) (x,t),t＞ t
g v v g
x wv xv
g gv gv w w 0((w)2 ) g
g
0
w w
6個獨立變量
‧波函數之轉換關係 (x) F ( (x)) F ( (1(x a))
S S
S() (x) S() (1(x a))
(x)
N
S () (1(x a))
1
S
d 4 xLr
r
L
r,u
r
,u
On Surface ()
0
()
d
L
r,u
r
d 4 xLr
x
L
r ,
r
d
4x
x
L
r
,
r
0
L
r
x
L
r ,
0
, r 1, 2, r 之場方程
Hamitonian
r
(x)
L r (x)
L
r (x)
H d3 x r ( x)r ( x) L (r ,r, )
1 0 0 0
T
0
1
0
0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
PT
0
1
0
0
0 0 1 0
0 0 0 1
子群
L
L
L L L_
L
L
L
L0
L
L_
子集合
L
_
P L
L
_
T
L
L
P
T
L
Lorentz group (L.G.) restricted L.G. ( is an invariant subgroup ) orthochronous L.G. proper L.G.
x
x x
x
□ gvv gv v g □′
gv v g
‧Lorentz 群之分類
2
g g 1
g
1
gv
v
( )2
3
(k
)2
1
或
1
k 1
Proper orthochronous
L
improper orthochronous*
L
time-reflection type **
Orthochronous L.G.
L
L
TL
L
PL
TL
PTL
Noether 定理
r (x) r (x) r (x) 變分
r (x) r (x) r (x) 全變分
(r (x) r (x)) (r (x) r (x))
r ( x)
r
x
x
0( 2 )
r ( x)
r
x
x
0( 2 )
v gv wv
(x) S (gv wv ) (x)
S S S S Ⅱ
(det S ) (det S ) 1
det S 1
S 為ㄠ正算符
S (g v )
( x)
S v
wv
( x)
Sv
v 反稱
(x)
(x) (x)
1 ( S 2 v
S ) v
N 1
x xN dx j
j 1
xN 1 xN 1
xN2 xN2
x0 x
i p2 iv( x)
xN e 2m .e xN 1
i (t t) (x)
i dx3 (t t) 3(x x) (x)
i
H(x)G(x, x) (t t) 3(x x) 4 (x x)
t
（Green 函數）
‧位形空間中的路徑積分
t
H p2 v(x) 一維勢場 v(x) 中粒子運動的 Hamilton t
2m
k(xt, xt) x exp iH(t t) / x
，
d (M v ) 0 dt
取
v, 1,2,3 i, j
M ij
d3x r Srisj s
xiT 0 j
x
jT
0i
I (I1, I2, I3) (M 23 , M 31, M 12 )
自旋
空間角動量
時空分量 （oi) M oi d3xM ooi
K (M 01, M 02,M 03 )
1 ( S 2 v
S v
)wv (x)
對稱
0
反稱
(x) 12 Sv wv
‧純移動－線動量守恆
x wv xv 0
r wv 0
j,
x
T
vxv
0
(T,v v
T v
v
x
)
任意量
=0
T,v 0
當中
T v
L
r,
r,v
L
g v
d
4
x
x
j
0 d j
xv
j
1 2
L
r,
wv
S
v
rs
s
Tv wv x
wv
1 L
2
r
,
Srvs s
( xvT
x T v )w
1M 2
v wv
j, 0 M v 0
Gauss 廣義散度定理 取 0
空間分量
M v d3 xM 0v
d3x r (x)Srvs s (x) xvT 0
x
T
0v
已知
Q,r ( x) iq d3x s (x),r ( x)s (x) qr (x)
irs (x x)
若 Q Q Q Q
(Qr r Q) Q qr Q Qr Q r Q Q qr Q
Qr Q (Q - q)r Q
Qr Q (Q q)r Q
eigen value
eigen state
(t t) (x) i d3xG(x, x) (x)
Q( )
i
H (x) (x) 0
1
t
i
H(x) (t t) (x) i
(t t) (x)
t
t
d ( ) ( ) d
i (t t)
i (t t) (x)
id3x
i
t
H (x)
G(x, x) (x)
路徑積分的一般原理
Heisenberg 矩陣力學 代數形式 Schrödinger 波動力學 局域微分形式
正則經典力學 Hamiton-Jacobi 方程
Hamilton 力學
Feynman
路徑積分 全域積分形式
Lagrange 力學
‧傳播子 （ propagator ） ih H (t)
t
L in I system
L in I system
L (r (x),r, (x)) L (r (x),r, (x))
L (r (x), ) L (r (x), ) L (r (x), ) L (r (x), )
Lபைடு நூலகம்
L x
x
0( 2 )
=0
L
L
r
r
L
r,
r ,
L
r
r
(
x
L
r,
) r
x
L (
r,
r )
(
L
r
x
L
r,
) r
x
L
r,
r
r
x
x
L x
x
x
(L
x )
x
(L
g vxv )
r v
x
L
r,
r
L
r
,
r
xv
L
g
v
xv
0
x
j
0
j,
0
T v能量-動能張量
Classic→Quantum
當中
j
L
r,