实变函数复习题(学生用)

实变函数复习题
一、填空题
1. 设10,1i A i ⎡⎫=+⎪⎢⎣⎭,1,2,.i = 则1
i i A ∞== . 2. 若A =ℵ, B =ℵ, 则=⋃B A 。

3. 给出(1,1)-与(,)-∞+∞之间的一一对应关系 .
4. 设222{(,):1}E x y R x y =∈+<, 则E '= 。

5. 设(1,3)(2,6)E =⋃，写出E 的所有的构成区间 。

6. 设n E R ⊂,若 ,则称E 是开集.
7. 设n E R ⊂,若 ,则称E 是闭集.
8. 设12,E E 为可测集，且21,E E ⊂2mE <+∞，则12()m E E -= 。

9. 设0x 为E 的内点，则*m E 0。

(填大于、等于或小于)
10. 设Q 是有理数集，则mQ = 。

11. 设I 为n R 中的开区间，则*m I = 。

12. 设C 是Cantor 集，则mC = 。

13. 叙述可测函数的四则运算性 。

14. 叙述可测函数与简单函数的关系 。

15. (鲁津定理)设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数,则0δ∀>,存在闭子集F E δ⊂,使()f x 在 上是连续函数,且()m E F δδ-<.
16. 叙述伯恩斯坦定理 。

17．叙述可测集与开集的关系 。

18. 叙述测度的可数可加性 。

19. 叙述叶果洛夫定理 。

20. 叙述()k f x 在可测集E 上几乎处处收敛于)(x f 的定义 。

21. 叙述中开集的结构定理 。

22. 叙述R n
中的集合E 是Lebesgue 可测集的卡氏定义(即 C.Caratheodory 定义) 。

23. 叙述测度的可数可加性 。

24. 叙述可测函数的定义 。

25. 叙述F.Riesz 定理(黎斯定理) 。

二、单选题
1. E 是实数全体，则E 是 ( )
A. 可数集；
B.不可数集；
C.有限集；
D.不可测集.
2. 有限个可数集的并集是 ( )
A.可数集；
B.不可数集；
C.有限集；
D.以上都不对.
3. 若A 是有限集或可数集,B 是不可数集, 则 ( )
A. A B 是可数集；
B. A B 是不可数集；
C. 0A B =ℵ ；
D. A B A = .
4. 设{}G λλ∈Λ是一族开集,G G λλ∈Λ
= , 则G 一定是 ( ) A. 开集; B. 闭集; C. G δ型集; D. 开集，也是闭集.
5. 点集E ⊂R n 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )
A. 开核;
B. 边界;
C. 导集;
D. 闭包.
6. 设{}F λλ∈Λ是一族闭集,F F λλ∈Λ
= ,则F 一定是 ( ) A.开集; B.闭集; C.F σ型集; D. 开集，也是闭集.
7. 设{}n F 是一列闭集,1n n F F
∞== ,则F 一定是 ( )
A.开集;
B.闭集;
C.F σ型集;
D. 开集，也是闭集.
8. 设Q 是1
中有理数全体，则mQ = ( )
A.0;
B.+∞;
C.1;
D.不存在.
9. 关于Cantor 集P ,下述说法不成立的是
A. P 无内点;
B. P 中的点都为孤立点;
C. P 中的点都为聚点;
D. P 是闭集.
10. 设E 是任一可测集, 则 ( )
A.E 是开集; B ．E 是闭集;
C.0ε∀>,存在开集G E ⊃,使得()m G E ε-<; D ．E 是F σ型集或G δ型集.
11. 设{}n E 是一列可测集合,且12n E E E ⊂⊂⊂⊂ ,则有 ( ) A.1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ; B. 1lim n n n n m E mE ∞→∞
=⎛⎫= ⎪⎝⎭ ;
C. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ;
D. 1lim n n n n m E mE ∞→∞
=⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 12. 设{}n E 是一列可测集合,且12n E E E ⊃⊃⊃⊃ ,1mE <+∞,则有 ( )
A.1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ;
B. 1lim n n n n m E mE ∞→∞
=⎛⎫= ⎪⎝⎭ ; C. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ; D. 1lim n n n n m E mE ∞→∞
=⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 13. 关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 ( )
A. 简单函数一定是可测函数;
B. 简单函数列的极限是可测函数;
C. 简单函数与可测函数是同一概念;
D. 简单函数列的极限与可测函数是同一概念.
14. 设{}()n f x 是可测集E 上的几乎处处有限的可测函数列, 则下述命题错误的是( )
A ．{}sup ()n n
f x 是可测函数;
B ．{}inf ()n n
f x 是可测函数; C. 若.()()mes n f x f x −−
−→(依测度收敛), 则()f x 是可测的; D ．若.()()mes n f x f x −−
−→(依测度收敛), 则() ()n f x f x → a .e . 于E . 15. 若)(x f 是连续函数，则它必是. ( )
A. 可测函数；
B. 单调函数；
C.简单函数；
D.连续函数列的极限.
16. 设⎩
⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是 ( ) A.|)(|x f ； B.)(x f ； C.)(x f +； D.)(x f -。

17. 设()f x 是可测集E 上的可测函数,则对任意的实数a ,有 ( )
A ．()E f a ≥是闭集;
B ．()E f a >是开集;
C. ()E f a =是零测集; D ．以上都不对.
18. 设()f x 是定义在E 上的实值函数.令{}()max (),0f x f x +
=, {}()max (),0f x f x -=-, 则下述哪个说法不成立的是 ( )
A ．()f x +与()f x -
都是定义E 上的非负函数;
B ．()()()f x f x f x +-=-,()()()f x f x f x +-
=+; C. (0)(0)E f E f +-≥≥=∅ ;
D ．()f x 在
E 上可测⇔()f x +与()f x -都在E 上可测.
19. 设{}()n f x 是可测集E 上的几乎处处有限的可测函数,则下述命题中错误的是( )
A ．{}sup ()n n f x 是可测函数;
B ．{}inf ()n n
f x 是可测函数;
C. 若()()n f x f x ⇒,则()f x 是可测的; D ．若()()n f x f x ⇒,则() ()n f x f x →.
20. 设在可测集E 上()()n f x f x ⇒,()()n f x g x ⇒. 则 ( )
A.()()f x g x =,x E ∈;
B. ()()f x g x ≠,x E ∈;
C. ()()f x g x =..a e 于E ;
D. ()()E E
f x dx
g x dx =⎰⎰. 21. 设()f x 是可测集E 上的可测函数,则()f x 是 ( )
A. ()f x 在E 上基本一致连续;
B. ()f x 在E 上几乎处处连续;
C.存在简单函数列{}()n x ϕ使()()n x f x ϕ→.a e 于E ;
D. ()0mE f =+∞=.
22. 集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )
A 、开核
B 、边界
C 、导集
D 、闭包
23. 集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )
A 、开核
B 、边界
C 、导集
D 、闭包
24. 集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )
A 、开核
B 、边界
C 、导集
D 、闭包
25. E -E ＇所成的集合是 ( )
A 、开核
B 、边界
C 、外点
D 、{
E 的全体孤立点}
26. E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )
A 、开核
B 、边界
C 、导集
D 、闭包
27. 设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的是（ ）
（A ）'[0,1]E = (B) o
E =∅ (C) E =[0，1] (D) 1mE =
28. 若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是： （ ）
A 、开集
B 、闭集
C 、既非开集又非闭集
D 、无法判断
29. 若}{n A 是一开集列，则n n A ∞
=⋂1是： （ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断
30.若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞
=⋃1是： （ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断
31.若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞
=⋂1是： （ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断
三、判断题
1、任意集合都有子集 。

（ ）
2、E 的孤立点必然属于E. （ ）
3、lim {|n n A x →∞
=当n 充分大以后都有}.n x A ∈. （ ） 4、 若+∞<mE ，且f f n ⇒，)()(lim x f x f n n =∞
→ a , e 于E （ ） 5、函数()f x 在E 上可测，当且仅当对于每一个实数a ,集合()E f a =可测. （ × ）
6、若0=mE ，则E 一定是可数集 （ ）
7、设M 是n R 中的紧集，则M 是n R 中的有界闭集. ( )
8、凡博雷尔集都是可测集.. ( )
9、若)(x f 在可测集E 上可测，则)(+∞=f E 也可测。

（ ）
10、若+∞<mE ，且f f n ⇒，)()(lim x f x f n n =∞
→ a , e 于E （ ） 11、设21,S S 都可测，则21S S -也可测，且2121)(mS mS S S m -=-。

（ ）
12、若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意可测子集上也可测（ ）。

13、若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上可测（ ）
14、设A ,B 是两个集合，则()A B B A -= 。

（ ）
15、E '和E 都是闭集。

（ ）
16、对任意n
E R ⊆，*m E 都存在。

（ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。

（ ）
18、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。

（ ）
19、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对某个实数a ， [()]E x f x a ≥为可测集。

（ ）
20、设E 是零测集，()f x 是E 上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数。

（ ）
21、若)(x f 在可测集E 上可测，则)(+∞=f E 也可测。

（ ）
22、设()f x 是可测集n E R ⊆上的非负简单函数，则
()d E f x x ⎰一定存在。

（ ） 23、设()f x 是可测集n E R ⊆上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -∈至少
有一个成立，则()d E f x x ⎰一定存在。

（ ）
四、证明题
1. 证明：自然数集与奇数集对等。

2. 证明在圆周上去掉一点后余下的点所成之集与实数集对等。

3. 证明：由直线上互不相交的开区间所组成的集合至多只有可数个。

4. 设0{}E x =是n 中的一个独点集，证明*
()0m E =
5. 证明：E 为闭集⇔E E =。

6. 证明：开集减闭集的差集仍为开集；闭集减开集的差集仍为闭集。

7. 证明：若E有界，则*m E<+∞。

8.证明零测度集上任意广义实值函数均是可测函数。

9. 证明：1R上的连续函数必为可测函数。

10. 证明：1R上的单调函数必为可测函数。