2证明垂直平分线和角平分线
2、垂直平分线与角平分线
第二讲、垂直平分线与角平分线知识回顾1、线段的垂直平分线垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点的距离相等。
垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心。
2、角平分线角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三边距离相等，这个点叫做三角形的内心。
典型例题1．如图，点D，E分别在△A B C的边A C、B C上，∠A B D：∠A：∠C＝2：6：5，若D E垂直平分B C，则∠B D E＝（）A．30°B．35°C．40°D．50°2．在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）A．三条角平分线的交点B．三条高线的交点C．三条中线的交点D．三条边垂直平分线的交点3．已知△A B C边A B、A C的垂直平分线D M、E N相交于O，M、N在B C边上，若∠M A N＝20°，则∠B A C 的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．160°4．如图，在△A B C中，边A C的垂直平分线交A C于点M，交B C于点N，若A B＝3，B C＝13．那么△A B N的周长是（）A．10B．13C．16D．无法确定5．如图，在△A B C中，∠C＝30°，点D是A C的中点，D E⊥A C交B C于E；点O在D E上，O A＝O B，O D＝1，O E＝2，则B E的长为（）A．3B．4C．5D．66．已知如图，O P平分∠M O N，P A⊥O N于点A，点Q是射线O M上的一个动点，若∠M O N＝60°，O P ＝4，则P Q的最小值是（）A．2B．3C．4D．不能确定7．如图，△A B C的∠B的外角的平分线B D与∠C的外角的平分线C E相交于点P，若点P到直线A C的距离为4，则点P到直线A B的距离为（）A．4B．3C．2D．18．如图，在△A B C中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交A C，A B于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于M N长为半径画弧，两弧交于点O，作射线A O，交B C于点E．已知C E＝3，B E＝5，则A C的长为（）A．8B．7C．6D．59．已知：如图，△A B C中，∠C＝90°，点O为△A B C的三条角平分线的交点，O D⊥B C，O E⊥A C，O F ⊥A B，点D，E，F分别是垂足，且A B＝5，B C＝4，C A＝3，则点O到三边A B，A C和B C的距离分别等于（）A．1，1，1B．2，2，2C．3，3，3D．1，2，310．如图，在R t△A B C中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交A C，A B于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于M N的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线A P交边B C于点D，若C D＝5，A B＝12，则△A B D的面积是（）A．15B．30C．45D．6011．如图，A D是△A B C的角平分线，D E⊥A C，D F⊥A B，E，F分别是垂足，若B D＝2C D，A B＝6，则A C的长为（）A．3B．6C．9D．1212．如图，△A B C中，A D⊥B C交B C于D，A E平分∠B A C交B C于E，F为B C的延长线上一点，F G⊥A E交A D的延长线于G，A C的延长线交F G于H，连接B G，下列结论：①∠D A E＝∠F；②∠A G H＝∠B A E+∠A C B；③S△A E B：S△A E C＝A B：A C，其中正确的结论有（）个．A．0B．1C．2D．3二．解答题（共5小题）13．如图，△A B C中，∠A B C＝30°，∠A C B＝50°，D E、F G分别为A B、A C的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠D A F的度数；（2）若△D A F的周长为10，求B C的长．14．如图，A B垂直平分线段C D（A B＞C D），点E是线段C D延长线上的一点，且B E＝A B，连接A C，过点D作D G⊥A C于点G，交A E的延长线与点F．（1）若∠C A B＝α，则∠A F G＝（用α的代数式表示）；（2）线段A C与线段D F相等吗？为什么？（3）若C D＝6，求E F的长．15．如图，D E⊥A B于E，D F⊥A C于F，若B D＝C D，B E＝C F求证：A D平分∠B A C．16．如图，D是∠E A F平分线上的一点，若∠A C D+∠A B D＝180°，请说明C D＝D B的理由．17．如图，A D∥B C，∠D＝90°．如图，若∠D A B的平分线与∠C B A的平分线交于点P，试问：点P是线段C D的中点吗？为什么？课后作业1．如图，在△A B C中，A B边的中垂线D E，分别与A B边和A C边交于点D和点E，B C边的中垂线F G，分别与B C边和A C边交于点F和点G，又△B E G周长为16，且G E＝1，则A C的长为（）A．13B．14C．15D．162．如图，△A B C中，∠C＝90°，E D垂直平分A B，若A C＝12，E C＝5，且△A C E的周长为30，则B E的长为（）A．5B．10C．12D．133．如图，在△A B C中，A B，A C的垂直平分线D F，E G交于点M，点F，G在B C上．若∠G A F＝46°，则∠M的度数为（）A．67°B．65°C．55°D．45°4．如图，A D是△A B C的角平分线，D E⊥A B，垂足为E，A B＝20，C D＝6，若∠C＝90°，则△A B D面积是（）A．120B．80C．60D．40（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）5．如图，B M是∠A B C的平分线，点D是B M上一点，点P为直线B C上的一个动点．若△A B D的面积为9，A B＝6，则线段D P的长不可能是（）A．2B．3C．4D．5.56．如图，在△A B C中，∠B＝90°，点O是∠C A B、∠A C B平分线的交点，且B C＝4c m，A C＝5c m，则点O到边A B的距离为（）A．1c m B．2c m C．3c m D．4c m7．平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（）个．A．3B．4C．5D．68．如图，R t△A C B中，∠A C B＝90°，∠A B C的平分线B E和∠B A C的外角平分线A D相交于点P，分别交A C和B C的延长线于E，D．过P作P F⊥A D交A C的延长线于点H，交B C的延长线于点F，连接A F交D H于点G．则下列结论：①∠A P B＝45°；②P F＝P A；③B D﹣A H＝A B；④D G＝A P+G H．其中正确的是（）A．1B．2C．3D．4二．解答题（共2小题）9．如图，在△A B C中，∠B A C＝90°，B E平分∠A B C，A M⊥B C于点M交B E于点G，A D平分∠M A C，交B C于点D，交B E于点F．求证：线段B F垂直平分线段A D．10．△A B C中，∠C＝90°，∠B A C的平分线交B C于D，且C D＝15，A C＝30，求A B的长．。
三角形的角平分线与垂直平分线
三角形的角平分线与垂直平分线角平分线与垂直平分线是三角形中重要的几何概念。
它们可以帮助我们研究三角形的性质和推导出一些有用的结论。
本文将详细介绍角平分线与垂直平分线的定义、性质和应用。
一、角平分线角平分线定义为从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线段。
以三角形ABC为例，假设角A的角平分线为AD，则角BAD 与角DAC是相等的。
这一定义可以推广到任意三角形中的任意角。
角平分线具有以下性质：1. 一个角的两条平分线相交于该角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。
2. 三角形的内角平分线三条相交于一点，称为内心。
这个点到三角形三边的距离相等，可以证明是三角形内接圆的圆心。
3. 三角形的外角平分线三条相交于一点，称为外心。
这个点到三角形的顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。
4. 三角形的角平分线分割对边成比例，即根据角平分线定理可得：AB/BC=AD/DC。
角平分线的应用广泛，特别是在证明三角形的性质和推导结论时非常有用。
例如，可以利用角平分线证明角的等分性质、三角形的相似性质、垂心定理等。
二、垂直平分线垂直平分线定义为从一个线段的中点出发，与该线段垂直且将该线段平分为两段相等的线段。
以三角形ABC为例，假设AB的垂直平分线为DE，则AD=BD=BE=CE=CD。
这一定义可以推广到任意线段。
垂直平分线具有以下性质：1. 一个三角形的三条垂直平分线交于一点，称为垂心。
这个点到三角形三顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。
2. 一个角的垂直平分线经过角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。
3. 垂直平分线等分线段，即对于一个线段AB，若点D是其垂直平分线的交点，则AD=DB。
垂直平分线也有许多应用，特别是在几何证明中常常能发挥关键作用。
例如，可以利用垂直平分线证明角的等分性质、直角三角形的性质、垂心定理等。
总结：角平分线与垂直平分线是三角形中重要的概念，它们有着许多有用的性质和应用。
三角形的角平分线和垂直平分线
三角形的角平分线和垂直平分线三角形是几何学中最常见的形状之一，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时，我们经常会遇到角平分线和垂直平分线这两个重要的概念。
本文将详细介绍三角形的角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在解题中的应用。
一、角平分线1. 定义：三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的角的线段。
具体而言，设三角形ABC中的∠BAC的角平分线为AD，那么AD将∠BAC分为两个相等的角∠BAD和∠DAC。
2. 性质：（1）角平分线与对边的关系：角平分线将对边分成两个部分，这两个部分的长度之比等于与它们相对的两个角的正弦值之比。
即AB/AC = BD/DC = sin∠BAD/sin∠DAC。
（2）角平分线的交点：三角形的三条角平分线交于一点，称为内心。
内心是三角形内切圆的圆心，三条角平分线相交于该点的原因是，该点到三条边的距离相等，满足等距离定理。
（3）内心到三边的距离：内心到三边的距离相等，且等于内切圆的半径。
设内心到三边的距离分别为r₁、r₂和r₃，那么r₁=r₂=r₃=r。
二、垂直平分线1. 定义：三角形中的垂直平分线是指从一个角的顶点出发，与对边垂直相交，并将对边分成两个相等部分的直线。
以三角形ABC中∠BAC的垂直平分线为例，假设该垂直平分线与BC相交于点D，那么BD=DC。
2. 性质：（1）垂直平分线与对边的关系：垂直平分线平分对边，并且被平分的两部分的长度相等。
即BD=DC。
（2）垂直平分线与角平分线的关系：垂直平分线与角平分线互相垂直。
也就是说，三角形的垂直平分线同时也是它的内角平分线。
三、角平分线和垂直平分线的应用角平分线和垂直平分线在解决三角形相关问题时起着重要的作用，它们能够提供关键的几何信息，帮助我们求解未知量、证明定理。
1. 解题应用：（1）角平分线的应用：在求解三角形相关问题时，可以利用角平分线的性质来求解未知量，比如利用角平分线将角分为两个相等的角，从而应用三角函数关系进行计算。
高中数学垂直平分线与角平分线的证明与应用
高中数学垂直平分线与角平分线的证明与应用在高中数学中，垂直平分线和角平分线是两个重要的概念和性质。
它们在几何证明和应用问题中起着重要的作用。
本文将从证明和应用两个方面，详细介绍垂直平分线和角平分线的相关知识。
一、垂直平分线的证明与应用垂直平分线是指一条直线将一条线段分成两个相等的部分，并且与这条线段垂直相交。
在几何证明中，垂直平分线的性质经常被应用于证明两个线段相等或两个角相等。
例如，考虑以下问题：已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO。
证明AC=BD。
解法：连接OA、OB、OC、OD，并延长OB、OD分别交AC于点E、F。
由于AO=CO，所以∠OAE=∠OCE；又由于BO=DO，所以∠OBF=∠ODF。
根据垂直平分线的性质，可知AE=CE，BF=DF。
又因为三角形ABE与三角形CFD有共边BE=DF，∠ABE=∠CFD，∠BAE=∠DCF，根据ASA（边角边）的证明方法，可得三角形ABE≌三角形CFD。
因此，AC=BD。
这个例子中，垂直平分线的性质被应用于证明两个线段相等。
在实际问题中，我们也可以利用垂直平分线的性质来解决一些实际应用问题，比如建筑设计中的布线问题、地图中的测量问题等。
二、角平分线的证明与应用角平分线是指一条直线将一个角分成两个相等的角，并且与这个角的两边相交。
在几何证明中，角平分线的性质经常被应用于证明两个角相等或两个线段成比例。
例如，考虑以下问题：在三角形ABC中，角BAC的角平分线交BC于点D，证明AB/AC=BD/DC。
解法：连接AD，并延长AD交BC的延长线于点E。
根据角平分线的性质，可知∠BAD=∠DAC，所以三角形ABD与三角形ACD的两个角相等。
根据相等角对应的边成比例，可得AB/AC=BD/DC。
这个例子中，角平分线的性质被应用于证明两个线段成比例。
在实际问题中，我们也可以利用角平分线的性质来解决一些实际应用问题，比如测量角度、设计图形等。
三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析
三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
本文将详细解析三角形的角平分线与垂直平分线的性质，并通过几何证明来加深理解。
一、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。
在三角形中，每个角都可以有三条角平分线，它们分别连接角的顶点和对边上的点。
下面将分别探讨三角形内、角平分线与三角形外、角平分线的性质。
1. 三角形内的角平分线性质对于任意三角形ABC，以顶点A为例，AC为角A的对边，BD为角A的一条角平分线（B点在AC上）。
则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。
这是角平分线的定义性质，也即∠BAD = ∠DAC。
（2）角平分线所在的边（线段BD）与对边（线段AC）成等角。
这一性质可以通过角平分线定义的推论得到，即∠ABD = ∠CBD。
（3）角平分线所在的边（线段BD）与三角形的另一边（线段AB 或BC）成外角。
外角是指角的补角，也即∠ABC = ∠CBD + ∠ABD。
2. 三角形外的角平分线性质接上述讨论，若角平分线BD延长到线段BC上的点E，则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。
这一性质是角平分线的定义性质，同前述。
（2）角平分线所在的射线（射线BD）与对边（线段AC）夹角的平分线是角平分线BD所在的边（线段BD）。
这一性质也即∠ABD是∠ACD的平分线，通过几何证明可得。
（3）角平分线所在的射线（射线BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成内角。
内角是指角的补角，也即∠DBE = ∠ABC + ∠CBD。
这一性质可通过几何证明来得到。
二、垂直平分线的性质垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与该线段垂直的线段。
在三角形中，每条边都可以有一条垂直平分线，它们分别与对边相交于一个点，并且将对边分成两个相等线段。
下面将讨论垂直平分线的性质。
平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理
平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理在数学中，平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理是关于平面向量的重要性质。
这两个定理在解决几何问题以及证明定理时起到了重要的推动作用。
在本文中，我们将探讨平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理的定义、性质以及应用。
1. 平面向量的垂直平分线定理平面向量的垂直平分线定理是指，对于一个平面内的两个不共线的向量a和b，垂直于向量a和向量b的直线称为向量a和向量b的垂直平分线。
具体而言，垂直平分线经过向量a的起点、向量b的终点以及二者的中点。
垂直平分线的性质如下：- 垂直平分线上的任意一点到向量a和向量b起点的距离相等。
- 垂直平分线将平面分成两个相等的部分。
- 垂直平分线上的任意一点与向量a和向量b之间的夹角都是45度。
垂直平分线定理的应用之一是解决平面三角形的问题。
通过构造垂直平分线，可以求解三角形的内切圆、外接圆、重心以及其他重要性质。
此外，垂直平分线还可以用于证明定理和性质，为进一步的数学推导提供基础。
2. 角平分线定理角平分线定理是指，对于一个平面内的两个相邻角，在它们共有的边上存在一条直线，称为角平分线。
具体而言，角平分线经过相邻角的顶点以及它们共有的边的中点。
角平分线的性质如下：- 角平分线将平面分成两个相等的部分。
- 角平分线上的任意一点到相邻角的两条边的距离相等。
- 角平分线将相邻角划分成相等的两个角。
角平分线定理的应用之一是解决几何问题中与角度相关的计算。
通过构造角平分线，可以帮助我们求解角的大小、证明定理以及推导几何性质。
角平分线在三角形、四边形以及其他多边形的研究中具有重要作用。
总结：平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理是数学中关于平面向量的重要性质。
垂直平分线和角平分线的定义、性质以及应用使得我们能够更好地理解向量的性质和几何问题。
通过应用垂直平分线和角平分线定理，我们能够解决一些与平面向量和角度相关的问题，证明数学定理以及推导几何性质，为数学研究和实际应用提供了有力的工具。
小学数学认识简单的角的平分线与垂直平分线
小学数学认识简单的角的平分线与垂直平分线角是数学中常见的概念，我们可以将其理解为由两条射线所构成的形状。
在学习角的同时，我们也需要了解与角相关的一些重要概念，比如角的平分线和垂直平分线。
本文将为大家详细介绍小学数学中角的平分线和垂直平分线的知识。
1. 角的平分线角的平分线是指将一个角平分为两个相等的部分的射线或线段。
对于任意一个角ABC，我们可以通过黄色的射线AD将其平分为∠BAD和∠DAC两个相等的角，射线AD即是角ABC的平分线。
如下图所示：（图片描述：射线AD为角ABC的平分线）2. 垂直平分线垂直平分线是指将一个线段垂直平分为两段相等的线段的直线。
对于任意一个线段AB，我们可以通过橙色的直线CD将其垂直平分为AC和CB两段相等的线段，直线CD即是线段AB的垂直平分线。
如下图所示：（图片描述：直线CD为线段AB的垂直平分线）3. 平分线与垂直平分线的共同特点虽然平分线和垂直平分线是两个不同的概念，但它们也有一些共同的特点：（1）平分线和垂直平分线都将一个形状等分为两个相等的部分。
对于平分线来说，它将一个角等分为两个相等的角；对于垂直平分线来说，它将一个线段等分为两段相等的线段。
（2）平分线和垂直平分线都是一条直线。
平分线是射线或线段，而垂直平分线是直线。
4. 角的平分线与垂直平分线的应用角的平分线和垂直平分线在几何学中有着广泛的应用。
下面，让我们来看一些具体的应用实例：（1）角的平分线应用示例在正方形ABCD中，如图所示，我们可以通过EF将∠ADE角平分为两个相等的角∠AEF和∠DEF。
利用角的平分线，我们可以得到∠AEF=∠DEF=45°。
这对于解决与正方形角度相关的问题非常有用。
（图片描述：EF为∠ADE角的平分线）（2）垂直平分线应用示例在矩形EFGH中，如图所示，我们可以通过IJ将线段GH垂直平分为两段相等的线段GI和HJ。
利用垂直平分线，我们可以得到GI=HJ。
这对于解决与矩形线段相关的问题非常有帮助。
几何中的角平分线与垂直平分线
几何中的角平分线与垂直平分线在几何学中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
它们不仅帮助我们理解和解决各种几何问题，还具有广泛的应用。
本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、角平分线的定义和性质角平分线是指将一个角平分为两个相等角的线段。
设角BAC是一个角，如果直线AD将该角分为两个相等的角，即∠BAD = ∠DAC，则称直线AD为角BAC的角平分线。
角平分线具有以下性质：1. 角平分线将原角分为两个相等的角。
根据定义可知，角平分线将原角BAC分为∠BAD和∠DAC，且∠BAD = ∠DAC。
2. 角平分线上的点到角两边的距离相等。
设点D为角BAC的角平分线，点E、F分别位于边BA和边AC 上，且DE = DF。
根据三角形的性质可知，∠BDE ≌∠CDF（角平分线AD将角BAC分为两个相等角），因此△BDE ≌△CDF。
根据全等三角形的性质可得，BE = CF，即角平分线上的点到角两边的距离相等。
3. 角平分线与角的两边垂直。
根据性质2可知，点D到边BA的距离等于点D到边CA的距离，即DE = DF。
而∠BED和∠CED为角内角，因此根据三角形的性质可得，△BED ≌△CED，进而得出BE = CE。
根据等腰三角形的性质可知，BE = CE，则∠BDE = ∠CDE = 90°。
因此，角平分线与角的两边垂直。
二、垂直平分线的定义和性质垂直平分线是指将线段垂直平分为两个相等线段的线。
设线段AB为一条线段，如果直线CD同时垂直于线段AB并将其等分，即AC = CB，则称直线CD为线段AB的垂直平分线。
垂直平分线具有以下性质：1. 垂直平分线将原线段分为两个相等线段。
根据定义可知，垂直平分线CD将线段AB分为AC和CB，且AC = CB。
2. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
设点D为线段AB的垂直平分线，点E、F分别为线段AB的两个端点，且DE = DF。
证明(二)之线段的垂直平分线和角平分线定理的应用以及证明
第三课时证明（二）之线段的垂直平分线和角平分线定理的应用以及证明一．本章节知识点：1、角平分线：（1）角平分线的定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.（2）用直尺和圆规作已知角的平分线2、角平分线的性质：（1）角平分线上的点到角的两边的举距离相等.（2）到角两边距离相等的点在角的角平分线上.3、三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边距离相等.4、角平分线的性质及相关证明：（1）有角平分线时，常用角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.（2）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.5、角平分线的逆定理：逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
6.垂直平分线（1）定义：垂直平分一条线段的直线叫线段的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
②三角形三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点的距离相等。
（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
二．典型例题例1．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A．一处B．两处C．三处D．四处答案：D说明：因为到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，所以可供选择的地点可在这三条直线围成的三角形的内角平分线的交点处或这个三角形的外角平分线的交点处，如图，可供选择的地址有P1、P2、P3、P4共四处，答案为D．例2．如图，△ABC中，∠ABC = 120º，∠C = 26º，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE = DF．求∠ADC的度数．解：△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C = 180º，∵∠ABC = 120º，∠C = 26º，∴∠BAC = 180º−120º−26º = 34º，∵DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，DE = DF，∴点D在∠BAC的平分线上，∠DAF =∠DAB =∠BAC =×34º = 17º．∴△ADC中，∠ADC = 180º−∠DAF−∠C = 180º−17º−26º = 137º．例3．如图，已知：在ABC∆中，︒=∠90C，︒=∠30A，BD平分ABC∠交AC于D. 求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明DABD=即可.证明：∵︒=∠90C ，︒=∠30A （已知），∴ ︒=∠60ABC （∆Rt 的两个锐角互余）又∵BD 平分ABC ∠（已知）∴ A ABC DBA ∠=︒=∠=∠3021. ∴AD BD =（等角对等边）∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例4．如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。
三角形中的角平分线与垂直平分线
三角形中的角平分线与垂直平分线在几何学中，三角形是最基础且常见的几何图形之一。
而角平分线和垂直平分线是三角形内部的两个重要概念。
它们在解决三角形性质和计算题中起着关键的作用。
本文将详细探讨三角形中的角平分线和垂直平分线的性质及其应用。
一、角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角等分成两个相等的角的线段。
在任意三角形中，都存在三条角平分线。
我们给出以下两个性质：1.1 角平分线的性质性质一：三角形中的角平分线与对边上的点连线相等。
证明：设三角形ABC的角A的平分线为AD，与对边BC相交于点D。
则有∠BAD = ∠DAC（角平分线定义）。
因此，∠BAC = ∠BAD+ ∠DAC = ∠DAC + ∠DAC = 2∠DAC。
同理，可证明∠CED = 2∠DCE。
因此，∠BAC = 2∠DAC =2∠DCE。
于是，三角形ABC中的角平分线AD也等于对边BC。
性质二：三角形中的角平分线互相垂直。
证明：设三角形ABC的角A的平分线为AD，角B的平分线为BE，两条平分线相交于点D。
则有∠DAB = ∠DAC，∠DBE = ∠EBC（角平分线定义）。
又因为∠ADB = ∠BED = 90°（直角），所以∠BDA = ∠BEA = 180° - ∠ADB - ∠DBE = 180° - 90° - 90° = 0°。
因此，∠BDA = ∠BEA = 0°，即角ADB和角BEA为直角。
所以，角平分线AD垂直于角BAC的角平分线BE。
通过以上两个性质，我们可以看出角平分线在三角形中有着重要的几何意义和运用价值。
二、垂直平分线垂直平分线是指从一个线段的中点出发，与该线段垂直且等分该线段的直线。
在三角形中，任意一条边的中垂线可以称为该边的垂直平分线。
我们来介绍两个垂直平分线的性质：2.1 垂直平分线的性质性质一：三角形中的垂直平分线互相交于圆心。
空间几何中的角平分线与垂直平分线的性质推导解析
空间几何中的角平分线与垂直平分线的性质推导解析在空间几何中，角平分线与垂直平分线是两个重要的概念。
它们在解决角和线段相关问题时起到了重要的作用。
本文将对角平分线与垂直平分线的性质进行推导解析。
一、角平分线的性质推导解析角平分线是指将一个角平分为两个相等的角的直线。
下面讨论角平分线的性质。
1. 角平分线的存在性证明:设在平面α中，有一点O。
对于该平面中的任意两条射线OA和OB，存在且唯一一条射线OC，使得OC既与OA也与OB所围成的两个角∠AOC和∠COB相等。
因此，点O到角∠AOB的两边OA和OB上有一条射线OC，称之为角∠AOB的角平分线。
2. 角平分线的性质一：角平分线上的任意一点都与两条角的顶点连线所围成的两个小角相等。
证明：设角∠AOB的角平分线为OC，连接OA和OB。
由分割线性质可知，∠BOC = ∠AOC。
又因为∠BOC = ∠AOC，∠BOC = ∠COA，∠COA = ∠AOB。
所以，点O到角∠AOB的两边OA和OB上的射线OC分别为角∠COA和∠COB的平分线，且这两个角相等。
3. 角平分线的性质二：角平分线上的任意一点到角的两边所成角的大小相等。
证明：设角∠AOB的角平分线为OC，连接OA和OB。
∵∠COA = ∠AOC，∠COB = ∠BOC∴∠AOB = ∠COA + ∠COB = ∠AOC + ∠BOC又因∠COA = ∠AOC, ∠COB = ∠BOC∴∠AOB = 2∠COA = 2∠COB。
即，点O到角∠AOB的两边OA和OB上的射线OC分别为∠COA和∠COB的角平分线，且∠COA = ∠COB，而∠AOB =2∠COA = 2∠COB所以，点O到角∠AOB的两边OA和OB上的射线OC分别为∠COA和∠COB的角平分线，且∠COA = ∠COB，而∠AOB =2∠COA = 2∠COB二、垂直平分线的性质推导解析垂直平分线是指将一条线段的中点与该线段的垂直平分线上的任意一点连接起来所得的线段。
角平分线和线段垂直平分线
求证:BE=EF=CF. A
O
B
C
EF
4.如图,有一内地城市A和两个沿海城市B 和C,现决定在三个城市间建一个机场,使 得机场到A和B两城市的距离相等,而且使 C市到机场的距离最近,试确定机场的位置.
A．
B．
．C
5.数学课上,老师出了这样一道题:在等边 三角形ABC所在的平面上找一点P,使 △PAB、 △PBC 、△PAC均为等腰三角 形,问具有这种性质的点P共有多少个?
BDC
(二)线段垂直平分线的性质定理: 线段的垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等.
定理:到一条线段的两个端点的距离相 等的点,在这条线段的垂直平分线上.
求证:三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知:△ABC中，DE、FG、MN分别是三
边的垂直平分线. A 求证:DE、FG、MN交于一点.
A
B
C
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时,狄景涛回来了.他阴沉着脸,进门,径自走到她面前啪地扇了她一巴掌.“你...你又打我？！你说过不会再打我！”陈悦然惊呆了,捂着半边脸悲愤交加,一手指着他,“狄景涛,你今天不给个交代我跟你没完！”狄景涛心灰意冷地看着她,眼神充满失望,“陈悦然,我没想到你 这么恶毒,为了报复陆陆居然对一个孩子这么狠...你也是个母亲,怎么下得了手？！”他眼睛到底什么时候瞎の？居然娶回这么一个毒妇.陈悦然一愣,忙摇摇头,“我没有,我是无心の,我脚滑了一下无意中撞到她...我不是故意の.”“那你为什么不跟人家解释反而扯到陆陆 身上？你给她喝の是果汁,为什么她却醉了要你扶着走？”狄景涛冷笑,“今天要不是谢家给我爸妈面子从中调停,人家已经报警！”当他被谢家人邀请进监控室,看着妻子做の这一切简直不敢相信自己の眼睛,更不敢看旁人の眼神.当看到陆陆被她扶着走,他忧心
角平分线与垂直平分线
角平分线与垂直平分线在几何学中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
它们在解决几何问题和证明定理时起到了关键作用。
本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、角平分线角平分线是指将一个角分成两个相等角的直线或线段。
对于任意一个角ABC，如果直线AD将角ABC分成两个相等角，那么称直线AD 为角ABC的角平分线。
如图1所示，AD是角ABC的角平分线。
角平分线有以下的性质：1. 角平分线与角的两边垂直角平分线与角的两边垂直是角平分线的重要性质之一。
也就是说，角的两边与角平分线之间的夹角是90度。
这是很容易证明的，我们可以利用垂直角的性质来证明。
2. 角平分线相交于角的内部角平分线与角的两边相交于角的内部。
这可以通过反证法来证明。
假设角平分线与角的内部不相交，那么根据对角分线定理，该线段将角分成两个不等的角，与角平分线的定义相矛盾。
3. 角平分线将角分成两个相等角这是角平分线的定义所保证的。
通过角的内部一点作角的角平分线，可以将角分成两个相等的角。
这一性质在解决几何问题时经常会被应用。
二、垂直平分线垂直平分线是指将一条线段分成两个相等的线段，并且与该线段垂直的直线或线段。
对于线段AB，如果直线CD将线段AB平分，并且垂直于线段AB，那么称直线CD为线段AB的垂直平分线。
如图2所示，CD是线段AB的垂直平分线。
垂直平分线也有一些重要的性质：1. 垂直平分线与线段相交于线段的中点垂直平分线与线段相交于线段的中点，这是垂直平分线的定义所保证的。
线段的中点是指线段的两个端点的中点，可以通过连结线段的两个端点并取垂直平分线上的一点来证明。
2. 垂直平分线是线段的对称轴垂直平分线将线段分成两个相等的部分，并且对称于垂直平分线。
这是因为线段的两侧与垂直平分线之间的距离相等。
3. 垂直平分线垂直于线段垂直平分线与线段垂直是垂直平分线的重要性质之一。
也就是说，线段与垂直平分线之间的夹角是90度。
平面几何中的角平分线和垂直平分线
平面几何中的角平分线和垂直平分线在平面几何中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
它们在解决三角形和四边形等几何问题时起到了关键的作用。
本文将详细介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质和应用。
一、角平分线角的平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
具体而言，对于一个角ABC，如果有一条直线AD，使得∠DAB和∠DAC的度数相等，则称线段AD为角ABC的平分线。
如下图所示：[图]角平分线具有以下性质：1. 角平分线将原始角分成两个度数相等的角。
2. 角平分线与角的两边相交，且交点在角的内部。
3. 如果一条线段是角的平分线，则这条线段上的所有点到角的两边的距离相等。
角平分线的应用广泛。
在解决几何问题时，我们常常需要根据已知条件来确定角的度数，进而研究其他相关性质。
在构造角的平分线时，可以帮助我们将一个角划分为两个相等的部分，从而简化问题的处理。
二、垂直平分线垂直平分线是指将一个线段分成两个相等部分，并且与该线段垂直的直线。
具体来说，对于一个线段AB，如果有一条直线CD，使得CD与AB垂直且AD=BD，则称线段CD为线段AB的垂直平分线。
如下图所示：[图]垂直平分线具有以下性质：1. 垂直平分线将线段分成两个相等的部分。
2. 垂直平分线与线段的中点重合。
垂直平分线的应用也非常广泛。
在解决几何问题时，我们经常需要将线段平分成相等的部分，以便进行进一步的研究。
垂直平分线的存在可以帮助我们确定线段的中点，并且可以方便地构造出与线段垂直的直线。
综上所述，角平分线和垂直平分线在平面几何中具有重要的地位和作用。
它们的定义和性质为我们解决各种几何问题提供了有力的工具和方法。
熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质，对于理解和应用几何知识具有重要的意义。
因此，在学习和研究平面几何的过程中，我们应该注重对角平分线和垂直平分线的理解和运用。
相信通过不断的练习和实践，我们将能够灵活地应用它们，解决各类几何问题。
第二讲 垂直平分线角平分线
第二讲 垂直平分线、角平分线【知识梳理】1、线段垂直平分线性质、判定垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
<直线与射线有垂线，但无垂直平分线> 性质：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
（如图1，AO=BO=CO ）2、角平分线的性质、判定性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。
（如图2，OD=OE=OF)【重点难点】垂直平分线的性质定理和判定定理及角平分线的性质定理和判定定理的应用。
【典例精析】 例1 在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，BC=6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ，求证：BM=MN=NC ．例2 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 上的一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 与点E ，CD 交BE 与点F 。
求证：BE 垂直平分CDAC B O 图1 图2 O A C B DE F例3如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB与E,AB=10cm，求△DEB的周长。
例4 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.【巩固练习】1、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）A.锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定2、如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm4、如图在△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，则点D 到AB边的距离为（）A．18 B．32 C．28 D．24第2题第3题第4题第5题5、如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A. 在AC，BC两边高线的交点处B. 在AC，BC两边中线的交点处C. 在AC，BC两边垂直平分线的交点处D. 在∠A，∠B两内角平分线的交点处6、如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D. 仅①和③正确7、△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D 。
线段垂直平分线和角平分线的性质和判定
线段垂直平分线和角平分线的性质
和判定
线段垂直平分线：
它是在一条线段上的两个端点之间画出的一条垂直于该线段的线段，其中两段等长。
性质：
1.线段垂直平分线是一条垂直于给定线段的线段；
2.它将给定线段分成两段等长的线段；
3.它的端点位于给定线段的端点。
判定：
可以使用叉乘或者勾股定理来判断线段垂直平分线，如果a×b=0，则a线段垂直于b线段；如果|a–
b|=|a+b|，则a线段和b线段等长；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是给定线段的垂直平分线。
角平分线：
它是在一个角的两边画出的一条线段，其中两段之间的夹角是该角的一半。
性质：
1.角平分线是一条穿过角的线段；
2.它将角分割成两个等分的角；
3.它的端点位于角的两条边上。
判定：
可以使用叉乘法判断角平分线，如果a×b=0，则a线段和b线段垂直；如果|a+b|= 2*|a|，则a和b之间的夹角是180°的一半；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是角的平分线。
角的平分线与垂直平分线
角的平分线与垂直平分线角是几何学中常见的重要概念，平分线是指将一个角平分为两个相等部分的线段。
垂直平分线则是指从一个角的顶点到对边中点的垂线。
角的平分线与垂直平分线在几何学中有着广泛的应用，并且具有一些重要的性质和定理。
本文将详细介绍角的平分线与垂直平分线的概念、性质以及应用。
1. 角的平分线角的平分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的部分的线段。
平分线可以是直线、射线或线段。
当平分线是直线时，它穿过角的顶点并且将角分成两个相等的角度。
当平分线是射线或线段时，它起始于角的顶点但不穿过角的顶点，并且将角分成两个相等的一部分。
平分线有时候也被称为角的二等分线。
平分线是角的重要性质之一。
在几何学中，平分线可以帮助我们解决各种角相关的问题。
例如，当我们需要将一个角分成两个相等的角度时，可以通过构造该角的平分线来达到目的。
平分线也可以用来证明两个角相等，当且仅当它们的平分线重合时，这是角的平分线的一个重要性质。
2. 垂直平分线垂直平分线是指从一个角的顶点作垂线，且该垂线与对边重合的线段。
换句话说，垂直平分线是从一个角顶点到对边中点的垂线。
垂直平分线有时候也被称为角的垂直二等分线。
与平分线类似，垂直平分线也有许多重要的性质和应用。
首先，垂直平分线将一个角分成两个相等的角度。
其次，垂直平分线是角的对称轴，即通过对称操作，将角绕垂直平分线旋转180度，可以得到一个重合的角。
这个性质在角的对称性证明中经常被使用到。
3. 角的平分线与垂直平分线的应用角的平分线和垂直平分线在几何学中广泛应用于证明和解决各种角相关的问题。
它们可以帮助我们证明两个角相等、寻找角的平分线、构造垂直平分线等。
举个例子，假设我们需要证明两个角相等。
可以通过构造两个角的平分线来达到目的。
首先，我们利用直尺和铅笔构造出两个角，并在它们的顶点处作出平分线。
接着，我们可以利用这些平分线的性质来证明这两个角是相等的。
此外，平分线还可以帮助我们寻找未知角的大小。
第十二讲 垂直平分线、角平分线
第十二讲垂直平分线、角平分线一、垂直平分线知识点：1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线,,i j k相交于一点O，且OA＝OB＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.部，则该三角形是钝角三角形.图1图2经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm针对性练习：已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ， 那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直 平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28度， 那么∠EBC 是例2. 已知：如图所示，AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。
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第二节 证明（二）
——垂直平分线与角平分线
【知识要点】
1．你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗?从做法上你得到什么启示? 2．你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗?从做法上你得到什么启示? 3．你能说明为什么三角形的外心和心相交于一点吗?
4．你能举出一些运用三角形外心和心来解决实际生活问题的例子吗?
【典型例题】
# 例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC
于E ．若 ABC ∆的周长为28，BC=8，求BCE ∆的周长．
# 例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的
垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ，
AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF
A
D
E B
# 例3 如图，在ABC ∆中，ο108=∠A ，
AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD
# 例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF
交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线．
A
E F
B
D C
例5 如图，P 为ABC ∆的BC 边的垂直平分线PG 上
一点，且A PBC ∠=∠2
1
．BP ，CP 的延长线分别交
AC ，AB 于点D ，E ．求证：BE=CD
例6 如图，在ABC ∆中，C ABC ∠=∠3，
21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD
C
G
A
E
B
D
P
例7 如图，已知AD 是ABC ∆中A ∠的平分线，DE//AC 交AB 于E ，DF//AB 交AC 于F ． 求证：点E ，F 关于直线AD 对称
* 例8 如图，在ABC ∆中，AB ＞BC ，ο60=∠B ，BAC ∠，
ACB ∠的平分线交于点G ．
（1）图中是否有相等的线段？若 有，请写出相等的线段，并证明．（2）图中线段AC 是否等于 其他两条线段的和？若有，请写出等式，并证明；若无，请 说明理由．
* 例9 如图，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆
是顶角ο
120=∠BDC 的等腰三角形，以D 为顶点作一 个ο
60角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连接 MN ，形成AMN ∆．求证：AMN ∆的周长等于2
* 例10 设ABC ∆的外心为O ，在其边AB 和BC 上分别
取点M 和点N ，使得AOC MON ∠=∠2． 求证：MBN ∆的周长不小于边AC 的长．
大展身手
： 成绩：
# 1．如图，已知AC 平分PAQ ∠，点B ，B ′分别在边
AP ，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB ′，那么 该条件可以是（ ） A ．B B ′⊥AC
B ．BC= B ′
C C ．ACB ∠=AC ∠ B ′
D ．ABC ∠=∠A B ′C
# 2．M ，N ，A ，B 是同一平面上的四个点，如果MA=MB ，NA=NB ，
则点 、 在线段 的垂直平分线上．
# 3．设线段AB 的垂直平分线MN 交AB 于点C ，P 是MN 上不同
于点C 的一点，那么PAB ∆是 三角形，PC 是PAB ∆的 线、 线和 ．．
# 4．在ABC ∆中，E 为BC 中点，BC DE ⊥交AB 于点D ，
若ο
25=∠B ，AD=CD ，则ο
25=∠B ，AD=CD ，则ADC ∠ ，
ACB ∠= ．
# 5．在ABC ∆中，AB=AC ，DE 是AB 边的中垂线，垂足为E ，
交AC 于D ．若BDC ∆的周长为24，AB=14，则BC= ； 若ο
40=∠A ，则DBC ∠= ．
# 6．在ABC ∆中，ο120=∠BAC ．PM 为AB 边的中垂线，
垂足为M ，交BC 于P ；QN 为AC 边的中垂线，垂足为N ，交BC 于Q ，则PAQ ∠= ，或BC=9cm ，则APQ ∆的周长为 cm.
# 7．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知
ο100=∠BDC ．则A ∠的度数为 ．
# 8．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作
EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ∆ 的周长为 ．
# 9．如图，在ABC Rt ∆中，ο90=∠C ，BE 平分
ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，
且DE=1cm ，则AC= cm.
10．如图，P 为正方形外一点，ο15=∠=∠PBC PAD ， 求证：PDC ∆为等边三角形．
11．在ABC ∆中，AC BC B C 2,2=∠=∠．求A ∠的度数．
12．如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与ACB ∠ 的外角平分线相交于点D ，过D 作DE ∥BC ，分别交 AB ，AC 于E ，F ．求证：EF=BE-CF
13．如图，在ABC ∆中，AB=AC ，ο
36=∠A ，
21∠=∠，E 为AB 中点，ED 、BC 延长线交于点F ．
求证：AB=CF
* 14．如图，ABC ∆中，21∠=∠，AB=2AC ，DA=DB ．
求证：AC ⊥CD
* 15．如图，在ABC ∆中，ο90=∠ABC ，ο60=∠ACB ，
BAC ∠和ABC ∠的平分线AD ，BE 相交于点F ．求证：EF=DF
A
B
F E G
C
D
H
* 16．A，B两港在大岸，C港在大岸．A，B，C三港
恰为一等边三角形的三个顶点．A港的甲船与B港的乙船同时出发都沿直线向C港匀速行驶，当乙船行驶出40千米时，甲、乙两船与C港位置恰是一个直角三角形的三个顶点；而当甲船行驶达C港时，乙船尚距C港20千米．问：A，B两港之间的距离是多少千米？。