2证明垂直平分线和角平分线

第二节 证明（二）

——垂直平分线与角平分线

【知识要点】

1．你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗?从做法上你得到什么启示? 2．你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗?从做法上你得到什么启示? 3．你能说明为什么三角形的外心和心相交于一点吗?

4．你能举出一些运用三角形外心和心来解决实际生活问题的例子吗?

【典型例题】

# 例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC

于E ．若 ABC ∆的周长为28，BC=8，求BCE ∆的周长．

# 例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的

垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ，

AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF

A

D

E B

# 例3 如图，在ABC ∆中，ο108=∠A ，

AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD

# 例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF

交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线．

A

E F

B

D C

例5 如图，P 为ABC ∆的BC 边的垂直平分线PG 上

一点，且A PBC ∠=∠2

1

．BP ，CP 的延长线分别交

AC ，AB 于点D ，E ．求证：BE=CD

例6 如图，在ABC ∆中，C ABC ∠=∠3，

21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD

C

G

A

E

B

D

P

例7 如图，已知AD 是ABC ∆中A ∠的平分线，DE//AC 交AB 于E ，DF//AB 交AC 于F ． 求证：点E ，F 关于直线AD 对称

* 例8 如图，在ABC ∆中，AB ＞BC ，ο60=∠B ，BAC ∠，

ACB ∠的平分线交于点G ．

（1）图中是否有相等的线段？若 有，请写出相等的线段，并证明．（2）图中线段AC 是否等于 其他两条线段的和？若有，请写出等式，并证明；若无，请 说明理由．

* 例9 如图，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆

是顶角ο

120=∠BDC 的等腰三角形，以D 为顶点作一 个ο

60角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连接 MN ，形成AMN ∆．求证：AMN ∆的周长等于2

* 例10 设ABC ∆的外心为O ，在其边AB 和BC 上分别

取点M 和点N ，使得AOC MON ∠=∠2． 求证：MBN ∆的周长不小于边AC 的长．

大展身手

： 成绩：

# 1．如图，已知AC 平分PAQ ∠，点B ，B ′分别在边

AP ，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB ′，那么 该条件可以是（ ） A ．B B ′⊥AC

B ．BC= B ′

C C ．ACB ∠=AC ∠ B ′

D ．ABC ∠=∠A B ′C

# 2．M ，N ，A ，B 是同一平面上的四个点，如果MA=MB ，NA=NB ，

则点 、 在线段 的垂直平分线上．

# 3．设线段AB 的垂直平分线MN 交AB 于点C ，P 是MN 上不同

于点C 的一点，那么PAB ∆是 三角形，PC 是PAB ∆的 线、 线和 ．．

# 4．在ABC ∆中，E 为BC 中点，BC DE ⊥交AB 于点D ，

若ο

25=∠B ，AD=CD ，则ο

25=∠B ，AD=CD ，则ADC ∠ ，

ACB ∠= ．

# 5．在ABC ∆中，AB=AC ，DE 是AB 边的中垂线，垂足为E ，

交AC 于D ．若BDC ∆的周长为24，AB=14，则BC= ； 若ο

40=∠A ，则DBC ∠= ．

# 6．在ABC ∆中，ο120=∠BAC ．PM 为AB 边的中垂线，

垂足为M ，交BC 于P ；QN 为AC 边的中垂线，垂足为N ，交BC 于Q ，则PAQ ∠= ，或BC=9cm ，则APQ ∆的周长为 cm.

# 7．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知

ο100=∠BDC ．则A ∠的度数为 ．

# 8．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作

EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ∆ 的周长为 ．

# 9．如图，在ABC Rt ∆中，ο90=∠C ，BE 平分

ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，

且DE=1cm ，则AC= cm.

10．如图，P 为正方形外一点，ο15=∠=∠PBC PAD ， 求证：PDC ∆为等边三角形．

11．在ABC ∆中，AC BC B C 2,2=∠=∠．求A ∠的度数．

12．如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与ACB ∠ 的外角平分线相交于点D ，过D 作DE ∥BC ，分别交 AB ，AC 于E ，F ．求证：EF=BE-CF

13．如图，在ABC ∆中，AB=AC ，ο

36=∠A ，

21∠=∠，E 为AB 中点，ED 、BC 延长线交于点F ．

求证：AB=CF

* 14．如图，ABC ∆中，21∠=∠，AB=2AC ，DA=DB ．

求证：AC ⊥CD

* 15．如图，在ABC ∆中，ο90=∠ABC ，ο60=∠ACB ，

BAC ∠和ABC ∠的平分线AD ，BE 相交于点F ．求证：EF=DF

A

B

F E G

C

D

H