考研高数总复习隐函数导数(讲解)

f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x ) u ( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
设 (cos y) x (sin x) y , 其中sin x 0,cos y 0 求y '
解：两边分别求对数： ln(cos y) x ln(sin x) y x ln(cos y) y ln(sin x)
1 y ' 解：关于自变量x求导 : y '- 2 (1 y ') ln( x y) ( x y) x y
1 解得 : y ' 1 2 ln( x y )
1 (2 ln( x y )) ' y '' (1 )' 2 ln( x y ) [2 ln( x y )]2 1 y ' 代入y ' 2 ( x y )[2 ln( x y )]
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
1 y '' 3 ( x y )[2 ln( x y )]
求隐函数的二阶导数时，在得到的一阶导数的 表达式后，再进一步求二阶导数的表达式，此 时，要注意将一阶导数的表达式代入其中．
二、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x
sin y cos x 分别求导：x y ' ln(cos y ) y 'ln(sin x) y cos y sin x
ln cos y y cot x 得：y ' x tan y ln sin x
三、由参数方程所确定的函数的 导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与 x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
sin x
.
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x)
的情形.
( x 1)3 x 1 例3 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解 等式两边取对数得
1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3 上式两边对x求导得
设 y f ( u), u (v ), v ( x ),
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
一般地，不必要求写出具体的复合关系，只 要记住哪些是中间变量，将中间变量的表达 式看成一个整体，由外向内，逐层求导即可。
练习：求由下列方程所确定的函数的导数 y sin x cos( x y) 0
例2 设曲线C的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过C上
3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点 .
解 方程两边对x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy
练习：设y arcsin( x ), 求y '
2
练习：设y arcsin( x e ), 求y '
2 x
练习：设y e
tan
31
x
, 求y '
2.5 隐函数的导数
一、隐函数的导数
定义:如果变量x,y之间的函数关系由一个方程
F ( x , y ) 0 确定，那么这种函数叫做隐函数． y f ( x ) 形式称为显函数 .
y x2 y 3 3 2 1. ( , ) y x 22 3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2 3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2
3 3 ( , ) 2 2
例3：求由下列方程所确定的函数的二阶导数 y 2 x ( x y) ln( x y)
dy e x y 解得 , y dx x e
dy dx
x0
由原方程知 x 0, y 0,
1.
ex y xey
x0 y0
求隐函数的导数时，只需将确定的隐函数的方 程两边对自变量x求导，凡遇到含有因变量y的 项时，把y看作x的函数，按复合函数的求导法 则求导，然后从所得的等式中解出dy/dx
f ( x ) u( x ) v ( x ) ( u( x ) 0 )
ln f ( x ) v ( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例4 设 y x sin x ( x 0), 求y.
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解
等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
一般地