考研高数总复习隐函数导数(讲解)
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高数二章课件04隐函数参数导数
所求的切线方程为 3 3 y 3 ( x 2) 即 3 x 4 y 8 3 0 2 4
1 sin y 0 x y 例4 例 4．求由方程 所确定的隐函数 y 2 的二阶导数
解 方程两边对x求导 得 dy 1 dy 1 cos y 0 dx 2 dx dy 2 于是 dx 2 cos y 上式两边再对x求导 得 dy d 2 y 2 sin y dx 4 sin y 2 2 3 dx (2 cos y) (2 cos y)
sin t cot t (t2n n 为整数) 1 cos t 2
d 2 y d dy d t ) dt ( ) (cot dx 2 dx dx dt 2 dx 1 1 1 2 t a ( 1 cos t ) a ( 1 cos t ) 2 2 sin 2 (t2n n为整数)
2.4 由方程所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率
一、隐函数的导数 显函数与隐函数
形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数 例如 方程xy310确定的隐函数为
sin x sin x ln x sin x y e (sin x ln x) x (cos x ln x ) x
( x 1)( x 2) 例6 例 6 求函数 y 的导数 ( x 3)( x 4)
解 先在两边取对数 得 1 ln y [ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)] 2 上式两边对x求导 得 1 y 1 ( 1 1 1 1 ) y 2 x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 1 1 1 ) y ( 于是 2 x 1 x 2 x 3 x 4 说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的
高数隐函数偏导数的求法及其应用
隐函数性质
隐函数具有连续性、可微性等性质， 这些性质使得我们可以对其进行微积 分运算。
偏导数定义及几何意义
偏导数定义
偏导数是指多元函数中，一个自变量变化而其余自变量保持不变时，因变量相对于该自变量的变化率 。
偏导数几何意义
偏导数在几何上表示多元函数在某一点处沿某一坐标轴方向的变化率，即切线斜率。
隐函数存在定理
04
隐函数偏导数在物理中的应用
速度、加速度与位移关系
隐函数偏导数在描述质点运动学中的速度、加速度与位移关系时具有重要作用。
通过求解隐函数的偏导数，可以得到质点在各个方向上的速度分量，进而求得质点 的合速度。
同样地，通过对速度进行偏微分，可以得到质点在各个方向上的加速度分量，从而 了解质点的运动状态。
收益函数
收益函数表示产量与收益之间的关系。通过求隐函数的收 益函数偏导数，可以得到边际收益，即增加一单位产量所 引起的总收益的变动。这些边际量在经济学中对于分析生 产者的行为和市场均衡具有重要意义。
06
总结与展望
隐函数偏导数求解方法总结
直接法
通过对方程两边同时求偏导数，得到包含未知偏导数的等式， 然后解出未知偏导数。这种方法适用于较简单的隐函数方程。
03
隐函数偏导数在几何中的应用
切线斜率与法线斜率
切线斜率
隐函数在某点的切线斜率可以由该点的偏导数求得。对于二元隐函数 $F(x,y)=0$，在点$(x_0,y_0)$处的切线斜率为$frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}$。
法线斜率
法线是与切线垂直的直线，因此法线的斜率与切线的斜率互为负倒数。在点 $(x_0,y_0)$处的法线斜率为$frac{F_y(x_0,y_0)}{F_x(x_0,y_0)}$。
隐函数具有连续性、可微性等性质， 这些性质使得我们可以对其进行微积 分运算。
偏导数定义及几何意义
偏导数定义
偏导数是指多元函数中，一个自变量变化而其余自变量保持不变时，因变量相对于该自变量的变化率 。
偏导数几何意义
偏导数在几何上表示多元函数在某一点处沿某一坐标轴方向的变化率，即切线斜率。
隐函数存在定理
04
隐函数偏导数在物理中的应用
速度、加速度与位移关系
隐函数偏导数在描述质点运动学中的速度、加速度与位移关系时具有重要作用。
通过求解隐函数的偏导数，可以得到质点在各个方向上的速度分量，进而求得质点 的合速度。
同样地，通过对速度进行偏微分，可以得到质点在各个方向上的加速度分量，从而 了解质点的运动状态。
收益函数
收益函数表示产量与收益之间的关系。通过求隐函数的收 益函数偏导数，可以得到边际收益，即增加一单位产量所 引起的总收益的变动。这些边际量在经济学中对于分析生 产者的行为和市场均衡具有重要意义。
06
总结与展望
隐函数偏导数求解方法总结
直接法
通过对方程两边同时求偏导数，得到包含未知偏导数的等式， 然后解出未知偏导数。这种方法适用于较简单的隐函数方程。
03
隐函数偏导数在几何中的应用
切线斜率与法线斜率
切线斜率
隐函数在某点的切线斜率可以由该点的偏导数求得。对于二元隐函数 $F(x,y)=0$，在点$(x_0,y_0)$处的切线斜率为$frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}$。
法线斜率
法线是与切线垂直的直线，因此法线的斜率与切线的斜率互为负倒数。在点 $(x_0,y_0)$处的法线斜率为$frac{F_y(x_0,y_0)}{F_x(x_0,y_0)}$。
任红民-25隐函数的导数
变量，利用复合函数的求导法则，得到含 的方程， 解出 即可.
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
三、示例
例1 设y=y(x)由
确定，求 .
解 两边对x求导，得
解方程得
例2 求隐函数
解
的导数
例3 解 解得
例4 求由方程 解
所确定的隐函数
解得
隐函数的导数
谢谢观看
隐函数的导数
主讲人：任红民
隐函数的导数
一、隐函数的定义 二、隐函数的求导法则
三、例
一、隐函数的定义
一个变量明显用另一个变量表示的形式, y = f(x)
称为显函数，如
由方程 称为隐函数,如
所确定的函数
隐函数的显化
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 例如
二、隐函数的求导法则
首先在等式两边对x求导，遇到 y 时将其认作中间
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
三、示例
例1 设y=y(x)由
确定，求 .
解 两边对x求导，得
解方程得
例2 求隐函数
解
的导数
例3 解 解得
例4 求由方程 解
所确定的隐函数
解得
隐函数的导数
谢谢观看
隐函数的导数
主讲人：任红民
隐函数的导数
一、隐函数的定义 二、隐函数的求导法则
三、例
一、隐函数的定义
一个变量明显用另一个变量表示的形式, y = f(x)
称为显函数，如
由方程 称为隐函数,如
所确定的函数
隐函数的显化
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 例如
二、隐函数的求导法则
首先在等式两边对x求导，遇到 y 时将其认作中间
考研高等数学：隐函数求导法则总结
考研高等数学：隐函数求导法则总结隐函数求导问题基本是考研数学必考知识点，小题和大题中都会涉及到。
下面凯程教育数学老师对隐函数求导这部分的法则进行了总结，希望广大考研备考学员充分利用。
考研数学高分规划近几年的考研数学大纲基本没有变化。
对于选择题仍然考查考生的基本计算能力、基本逻辑推导能力等;填空题考查基本计算能力;而计算题考查基本计算能力、简单的应用能力和证明能力等。
我们考生在复习时，一定要以国家考试中心的考试大纲为标准，严格按照规定的考点及层次去复习，至今命题的核心是考察两个层次的问题，一个是基本概念、基本理论、基本方法，也就是“三基”，这些题目占到80%以上;再一个就是知识的运用能力，所以凯程教育数学辅导专家提醒考生考研数学复习的准备也应该从这样两个方面去针对性的复习。
第一个层次——扎实的基础知识。
对于考试大纲中规定的所有考点，一定要系统、完备的理解和掌握，特别要注意课本外的理解和延展，结合一些基础题目去真正理解这些知识点以及了解这些知识点的使用条件等。
第二个层次——知识的灵活运用。
如果仅是依靠教材，很难把这种考试命题的特点归纳总结出来，因此要了解考试必须熟悉历年考试真题，通过真题的分析帮助自己真正的归纳总结一些题型，再针对每一类问题去分析。
根据真题，总结常考的题型及每种题型相应的解决方法有哪些，去总结和归纳，借助于题型再进一步完善知识点的理解和掌握。
不管进行哪个层次的复习，都必须保证一定的题量。
不通过一定的题量练习稳固知识基础，也很难把握知识的灵活运用，所以建议大家找一些典型的题做一些训练，通过这种练习来反馈我们知识的把握情况，同时还能更好的掌握这些相关的知识。
根据命题考核层次及学习的科学规律，我们总的来说把复习规划可以分为三个阶段：第一个阶段是基础阶段。
这个阶段的长短应该根据自己的情况来实施，基础好一点的同学，这个时间可以短一点，基础差一点的同学，这个阶段可以长一点。
但是要提醒大家，这个基础阶段的时间不能太长，不能到了十月、十一月份还在打基础，那这样的话，复习的效率就太低了，我们建议基础再差的同学也要尽量在五、六月份把这个教材的打基础复习的阶段做完。
第3节隐函数的导数高阶导数培训课件
x0时, y1， 代入得
14y0
y
x0 y1
1; 4
将方 (1)程 两边再 x求对 导得
1 x 2 2 2 y x y 1 y 2 ( 2 y ) 2 4 y 3 y 0
代x 入 0 ,y 1 , y x0 1 , y1 4
得134y0 y x0 1 .
24
y1 16
2020/8/6
再如,
1 y 1 x2
1(
1
1 )
2 1x 1x
y(n)
n! 1
(1)n
2[(1x)n1(1x)n1]
2020/8/6
14
例13 设 yln 1(x),求 y(n ). 解 y 1 ，
1 x
(1)(n) x
(1)nn! xn1
y(n) (1)n1((1nx1))n!.
2020/8/6
15
常用n阶导数公式：
yes ixn co 2x ses ixn six n es ixn(c2ox ssix n ).
(4)
y sec2 x tan x
1 2, sinxcosx sin 2 x
y
4co2sx sin2 2x
.
2020/8/6
7
例6 设 yarc1ta xln nx， 求 y. x
解 y111//xx2212lnx12
(5)(1)(n) x
(1)n
n! xn1
(6)(lx n)(n)(1)n1(nx n1)!
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16
练习：
P106 习题三
2020/8/6
17
方 程 x2y2a2可 以 确 定 函 数 ya2x2 与
ya2x2,有 两 个 .
2.4 隐函数的导数
由方程求得： 当 x 0 时，y 0 ，
dy dx 1 21x 6 5 y4 2
x 0 y 0
x 0
1 . 2
x2 y2 3 例5 求 椭 圆 1 在 点 ( 2， 3 ) 处 的 切 线 16 9 2 方 程.
解
方程两边对 x 求导: 9x x 2y ， y 0 ， 求 得 ： y 16 y 8 9
解 方程两边对 x 求导：
( xy)x (e x )x (e y )x (0)x ，
dy x y dy y x e e 0， dx dx
解得
dy e x y . y dx x e
y 例3 求 由 方 程 arctan ln x 2 y 2 所 确 定 的 x 隐 函 数 y 的 导 数.
2
解
2 t f ( t ) d y dy 1 . t， 2 f ( t ) d x dx f (t )
练习： P111 题8(1).
1 2 x t ， 解 2 y 1 t .
1 2 1 dy 1 d2 y t ； 3. 2 t t dx t dx
3 (2， 3 ) 2
k y
3 ， 4
3 3 3 ( x 2)， 所求切线方程为 y 2 4
即
3 x 4y 8 3 0 .
1 例6 求 由 方 程 x y sin y 0 所 确 定 的 隐 函 数 2 d2 y 的二阶导数 2 . dx x 求导: 解 方程两边对 dy 1 dy 1 cos y 0， dx 2 dx dy 2 求得： ， dx 2 cos y
解 两边对 x 求导： 1 y 1 1 2 2 ( ) 2 ( x y ) ， 2 y 2 x 2 x y 1( ) x 1 yx y 1 2 x 2 yy ， . 2 2 2 y 2 2 x y x 1 ( ) x x y y . 化简得 yx y x yy ， 即 x y
2021考研-高数0基础课-第2章导数与微分-第4节隐函数及参数方程求导
求摆线在
处的切线方程与法线方程。
三、相关变化率
例7 设有一个倒置的圆锥形容器,其底面圆直径为10cm,高为5cm,
现以每秒
给容器中加水.试求
秒时水面上升的速率.
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 :
适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
4. 相关变化率问题
1）列出依赖于 t 的相关变量关系式 2）等式两端对 t 求导
作业 P108：2；3(3)(4)；4(1)(3)；8(3)(4)；11.
第二章 导数与微分
第四节 隐函数及由参 数方程确定的函数的导数
主讲 武忠祥 教授
一、隐函数的导数 显函数： 隐函数：
一般的 例1 求由方程
确定的隐函数
的导数.
例2 设
由
所确定，求
例3 设
求.
例4 设
求.
二、由参数方程所确定的函数的导数
定理 设
在
上可导，
，则
若
二阶可导，则
例5 设
求
例6 已知摆线（旋轮线）的参数方程为
《隐函数导数》课件
计算方法
高阶隐函数导数的计算方法与一阶导数类似，需要使用复合函数的求导法则和链式法则。具体来说，对于形如 (y = f(x)) 的隐函数，其高阶导数 (y^{(n)}) 可通过逐阶求导得到。例如，二阶导数 (y'') 可通过对 (y') 求导得到。
应用
高阶隐函数导数在解决一些实际问题中非常有用，如物理学中的振动分析、经济学中的最优控制问题等 。通过对高阶导数的分析，可以深入了解函数的局部性质，从而更好地解决实际问题。
要点三
应用
隐函数组的导数在解决一些实际问题 中非常有用，如几何学中的曲线和曲 面分析、物理学中的场论等。通过对 隐函数组的导数进行分析，可以深入 了解多个函数之间的关系，从而更好 地解决实际问题。
隐函数与参数方程的导数
01
定义
参数方程是一种描述曲线或曲面形状的方式，其中参数的 变化决定了曲线或曲面的变化。而隐函数与参数方程的导 数则是研究参数变化对曲线或曲面形状的影响。
极值问题
隐函数导数在求解极值问题中具有重要应用。通过求导数并令其为零，可以找到函数极值点，进而确定函数的最 大值和最小值。
条件极值
在某些约束条件下求解极值问题，可以利用隐函数导数将约束条件转化为等式或不等式，简化问题求解过程。
曲线的切线与法线
切线斜率
隐函数导数表示函数在某点的切线斜 率，通过求导数可以得到切线的斜率 。
举例
$z = f(x, y)$，在一定条件下，$z$是 $x$和$y$的函数，即$z$的值由$x$ 和$y$唯一确定，则称$z = f(x, y)$是 $x$和$y$的隐函数。
隐函数导数的定义
定义
对于一个隐函数$z = f(x, y)$，如果它在某点处的偏导数$frac{partial f}{partial x}$和$frac{partial f}{partial y}$都存在且不等于0，则称该点为该隐函数的可导 点，并称这两个偏导数为该隐函数的偏导数。
高阶隐函数导数的计算方法与一阶导数类似，需要使用复合函数的求导法则和链式法则。具体来说，对于形如 (y = f(x)) 的隐函数，其高阶导数 (y^{(n)}) 可通过逐阶求导得到。例如，二阶导数 (y'') 可通过对 (y') 求导得到。
应用
高阶隐函数导数在解决一些实际问题中非常有用，如物理学中的振动分析、经济学中的最优控制问题等 。通过对高阶导数的分析，可以深入了解函数的局部性质，从而更好地解决实际问题。
要点三
应用
隐函数组的导数在解决一些实际问题 中非常有用，如几何学中的曲线和曲 面分析、物理学中的场论等。通过对 隐函数组的导数进行分析，可以深入 了解多个函数之间的关系，从而更好 地解决实际问题。
隐函数与参数方程的导数
01
定义
参数方程是一种描述曲线或曲面形状的方式，其中参数的 变化决定了曲线或曲面的变化。而隐函数与参数方程的导 数则是研究参数变化对曲线或曲面形状的影响。
极值问题
隐函数导数在求解极值问题中具有重要应用。通过求导数并令其为零，可以找到函数极值点，进而确定函数的最 大值和最小值。
条件极值
在某些约束条件下求解极值问题，可以利用隐函数导数将约束条件转化为等式或不等式，简化问题求解过程。
曲线的切线与法线
切线斜率
隐函数导数表示函数在某点的切线斜 率，通过求导数可以得到切线的斜率 。
举例
$z = f(x, y)$，在一定条件下，$z$是 $x$和$y$的函数，即$z$的值由$x$ 和$y$唯一确定，则称$z = f(x, y)$是 $x$和$y$的隐函数。
隐函数导数的定义
定义
对于一个隐函数$z = f(x, y)$，如果它在某点处的偏导数$frac{partial f}{partial x}$和$frac{partial f}{partial y}$都存在且不等于0，则称该点为该隐函数的可导 点，并称这两个偏导数为该隐函数的偏导数。
高数3-3隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数
3 3
在t =
π
2
处的法线方程
____. ____.
x = e cos t dy 4 .设 ,则 = ____, t dx y = e sin t
t
dy dx
t=
π
3
= ___ .
x+ y
5 . 设 xy = e
dy ,则 = _____ . dx
二、 求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶
所以 当
dy (cos t − sin 2t )(e t − t sin x ) = dx − xe t − cos x dy x = 0 时, t = π = eπ 从而 x=0 dx
四、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导 对数求导法: 对方程两边取对数, 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函 数的求导法则求导; 数的求导法则求导; 参数方程求导: 参数方程求导: 实质上是利用复合函数 求导法则; 求导法则 相关变化率: 相关变化率: 通过函数关系确定两个相 互依赖的变化率; 解法: 互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者 之间的关系, 用链式求导法求解. 之间的关系, 用链式求导法求解.
具有单调连续的反函数
∴ y = ψ [ϕ −1 ( x )]
t = ϕ −1 ( x ),
都可导, 再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t ) 都可导 且ϕ ′( t ) ≠ 0 , 由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = = ⋅ = ⋅ dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt dy
第三节 隐函数和参数式函数求导法
一、隐函数求导 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数 四、小结
在t =
π
2
处的法线方程
____. ____.
x = e cos t dy 4 .设 ,则 = ____, t dx y = e sin t
t
dy dx
t=
π
3
= ___ .
x+ y
5 . 设 xy = e
dy ,则 = _____ . dx
二、 求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶
所以 当
dy (cos t − sin 2t )(e t − t sin x ) = dx − xe t − cos x dy x = 0 时, t = π = eπ 从而 x=0 dx
四、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导 对数求导法: 对方程两边取对数, 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函 数的求导法则求导; 数的求导法则求导; 参数方程求导: 参数方程求导: 实质上是利用复合函数 求导法则; 求导法则 相关变化率: 相关变化率: 通过函数关系确定两个相 互依赖的变化率; 解法: 互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者 之间的关系, 用链式求导法求解. 之间的关系, 用链式求导法求解.
具有单调连续的反函数
∴ y = ψ [ϕ −1 ( x )]
t = ϕ −1 ( x ),
都可导, 再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t ) 都可导 且ϕ ′( t ) ≠ 0 , 由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = = ⋅ = ⋅ dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt dy
第三节 隐函数和参数式函数求导法
一、隐函数求导 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数 四、小结
高数B 2.5 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
x y
(t) (t)
可确定一个
x
与
y
之间的函
数关系, 则称此函数为由参数方程所确定的函数.
该函数可看作由 y (t), t 1(x) 复合而成的复
合函数. 设 (t), (t) 可导, 且 (t) 0 , 则有
dy
dy dx
dy dt
dt dx
解: 方法1
d y 1 ex
dx
dx dy
1 y
1
1 e
x
方法2 等式两边同时对 y 求导
1 d xex d x
dy dy
dx 1 d y 1 ex
2-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
2.
设
x ey s
3t2 in t
2t y
1
一般地, 如果变量 x 和 y 满足一个方程 F(x, y)=0, 在一定条件下, 当 x 取某区间 Ix 内的任一值时, 相应 地总有满足这个方程的唯一的 y 值存在，那么就说 方程 F(x, y)=0 在 Ix内确定了一个隐函数.
x y3 1 0 隐函数显化 y 3 x 1 y5 2 y x 3x7 0 很难甚至不能显化
2-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
求导举例 无需显化, 方程两边同时对 x 求导( y =
例1.
y(x) ) 求下列方程所确定的隐函数
y
=
y
(x)
的导数
dy
.
dx
(1) e y xy e 0 ; (2) y5 2 y x 3x7 0.
隐函数求导归纳总结
隐函数求导归纳总结摘要：一般的函数都是将因变量写成自变量的明显表达式，形如y=f（x），这类函数成为显函数。
而有些函数不是用显函数或不能用显函数表示，例如x2+y2=xy，把种有F （x，y）=0表示的因变量y与自变量x的函数关系称为隐函数。
在求隐函数的导数时，有些直接由函数关系得到形如y=f（x）的显函数，再对其求导。
但是有些隐函数不能或很难解为y=f（x）的显函数形式，这时可直接用隐函数求导算导数。
本文简述了隐函数求导的几种常见方法，以供读者在求隐函数的导数时参考。
关键词：隐函数求导法则目录1 引言 (1)2 正文 (1)2.1 显化法： (1)2.2 公式法： (1)2.3 微商法： (2)2.4 参数法： (3)2.5 复合法： (4)2.6 直接法： (4)3、问题的回顾与总结 (5)1 引言对隐函数求导时许多初学微分同学们的一个难点问题，鉴于此问题，本文针对隐函数问题做出一些归纳，以供参考，隐函数是一类应用非常广泛的函数，隐函数求导法则在导数教学和求导过程中的合理使用，可以优化课程内容和结构。
2 正文通过对隐函数求导的学习，在此总结出六种常见的方法，并对每种方法的使用范围，优缺点都作出总结，现一一介绍如下： 2.1 显化法：把隐函数化为显函数，再利用显函数的求导方法，此方法常用于较容易化为显函数的隐函数的求导。
此方法由于受有些隐函数不能或较难化为显函数限制，而不是很常用。
例题：方程+3x ㏑0)(=-x yxy 确定了y 是x 的函数，求y 对x 的导数。
解：原方程化解为㏑=-)(x y xy 3x -⇒3x e x y xy -=-⇒3)1(x e xx y -=-⇒xx ey x113-=-（将隐函数化为显函数，利用显函数的求导法则求y ´）222)1()11(113'33x x x e xx e x y xx-+-⋅+--=--232211331)11()3(x x x x x x y x y +-+--+-⋅+-= y x x x x x x 1)11()1(322-+---=)11(3x e xx y --= 但是，不是所有的隐函数都可采用隐函数化为显函数的方法，例如： 方程：-++y x xe xy 2㏑(arctan xy)+23x -y 4确定了y 是x 的函数，就不易将隐函数化为显函数。
隐函数的导数
第4讲
第三章
隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
1
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数, 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数, 称为显函数 .
பைடு நூலகம்例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化.
两边对 x 求导，注意 y是x的函数 (得到含导数y的方程，可求出 y) 2
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得
5y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy 1 21x6 dx 5y4 2
因x=0时y=0, 故
3
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 2 y y 0 89
y
x2
y
3 2
3
9 x 16 y
x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
4
例3. 求
的导数.
解: 两边取对数, 化为隐式
两边对 x 求导
1 y y
cos x ln x
sin x x
故 y xsin x ( cos x ln x sin x ) x
5
第三章
隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
1
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数, 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数, 称为显函数 .
பைடு நூலகம்例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化.
两边对 x 求导，注意 y是x的函数 (得到含导数y的方程，可求出 y) 2
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得
5y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy 1 21x6 dx 5y4 2
因x=0时y=0, 故
3
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 2 y y 0 89
y
x2
y
3 2
3
9 x 16 y
x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
4
例3. 求
的导数.
解: 两边取对数, 化为隐式
两边对 x 求导
1 y y
cos x ln x
sin x x
故 y xsin x ( cos x ln x sin x ) x
5
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F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x ) u ( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
设 (cos y) x (sin x) y , 其中sin x 0,cos y 0 求y '
解：两边分别求对数： ln(cos y) x ln(sin x) y x ln(cos y) y ln(sin x)
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
sin y cos x 分别求导：x y ' ln(cos y ) y 'ln(sin x) y cos y sin x
ln cos y y cot x 得：y ' x tan y ln sin x
三、由参数方程所确定的函数的 导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与 x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
设 y f ( u), u (v ), v ( x ),
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
一般地，不必要求写出具体的复合关系，只 要记住哪些是中间变量，将中间变量的表达 式看成一个整体，由外向内，逐层求导即可。
y x2 y 3 3 2 1. ( , ) y x 22 3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2 3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2
3 3 ( , ) 2 2
例3：求由下列方程所确定的函数的二阶导数 y 2 x ( x y) ln( x y)
练习：求由下列方程所确定的函数的导数 y sin x cos( x y) 0
例2 设曲线C的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过C上
3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点 .
解 方程两边对x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例4 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
1 y ' 解：关于自变量x求导 : y '- 2 (1 y ') ln( x y) ( x y) x y
1 解得 : y ' 1 2 ln( x y )
1 (2 ln( x y )) ' y '' (1 )' 2 ln( x y ) [2 ln( x y )]2 1 y ' 代入y ' 2 ( x y )[2 ln( x y )]
dy e x y 解得 , y dx x e
dy dx
x0
由原方程知 x 0, y 0,
1.
ex y xey
x0 y0
求隐函数的导数时，只需将确定的隐函数的方 程两边对自变量x求导，凡遇到含有因变量y的 项时，把y看作x的函数，按复合函数的求导法 则求导，然后从所得的等式中解出dy/dx
练习：设y arcsin( x ), 求y '
2
练习：设y arcsin( x e ), 求y '
2 x
练习：设y e
tan
31
x
, 求y '
2.5 隐函数的导数
一、隐函数的导数
定义:如果变量x,y之间的函数关系由一个方程
F ( x , y ) 0 确定，那么这种函数叫做隐函数． y f ( x ) 形式称为显函数 .
sin x
.
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x)
的情形.
( x 1)3 x 1 例3 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解 等式两边取对数得
1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3 上式两边对x求导得
f ( x ) u( x ) v ( x ) ( u( x ) 0 )
ln f ( x ) v ( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
1 y '' 3 ( x y )[2 ln( x y )]
求隐函数的二阶导数时，在得到的一阶来自数的 表达式后，再进一步求二阶导数的表达式，此 时，要注意将一阶导数的表达式代入其中．
二、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x
等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
一般地
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x ) u ( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
设 (cos y) x (sin x) y , 其中sin x 0,cos y 0 求y '
解：两边分别求对数： ln(cos y) x ln(sin x) y x ln(cos y) y ln(sin x)
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
sin y cos x 分别求导：x y ' ln(cos y ) y 'ln(sin x) y cos y sin x
ln cos y y cot x 得：y ' x tan y ln sin x
三、由参数方程所确定的函数的 导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与 x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
设 y f ( u), u (v ), v ( x ),
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
一般地，不必要求写出具体的复合关系，只 要记住哪些是中间变量，将中间变量的表达 式看成一个整体，由外向内，逐层求导即可。
y x2 y 3 3 2 1. ( , ) y x 22 3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2 3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2
3 3 ( , ) 2 2
例3：求由下列方程所确定的函数的二阶导数 y 2 x ( x y) ln( x y)
练习：求由下列方程所确定的函数的导数 y sin x cos( x y) 0
例2 设曲线C的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过C上
3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点 .
解 方程两边对x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例4 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
1 y ' 解：关于自变量x求导 : y '- 2 (1 y ') ln( x y) ( x y) x y
1 解得 : y ' 1 2 ln( x y )
1 (2 ln( x y )) ' y '' (1 )' 2 ln( x y ) [2 ln( x y )]2 1 y ' 代入y ' 2 ( x y )[2 ln( x y )]
dy e x y 解得 , y dx x e
dy dx
x0
由原方程知 x 0, y 0,
1.
ex y xey
x0 y0
求隐函数的导数时，只需将确定的隐函数的方 程两边对自变量x求导，凡遇到含有因变量y的 项时，把y看作x的函数，按复合函数的求导法 则求导，然后从所得的等式中解出dy/dx
练习：设y arcsin( x ), 求y '
2
练习：设y arcsin( x e ), 求y '
2 x
练习：设y e
tan
31
x
, 求y '
2.5 隐函数的导数
一、隐函数的导数
定义:如果变量x,y之间的函数关系由一个方程
F ( x , y ) 0 确定，那么这种函数叫做隐函数． y f ( x ) 形式称为显函数 .
sin x
.
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x)
的情形.
( x 1)3 x 1 例3 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解 等式两边取对数得
1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3 上式两边对x求导得
f ( x ) u( x ) v ( x ) ( u( x ) 0 )
ln f ( x ) v ( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
1 y '' 3 ( x y )[2 ln( x y )]
求隐函数的二阶导数时，在得到的一阶来自数的 表达式后，再进一步求二阶导数的表达式，此 时，要注意将一阶导数的表达式代入其中．
二、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x
等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
一般地