第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件-10页word资料

2.6 麦克斯韦方程组 2.7电磁场的边值关系1、了解麦克斯韦方程组的建立过程，掌握它的基本性质；2、了解边界上场不连续的原因，能导出电磁场的边值关系；3、掌握电磁场方程微分形式和边界形式的联系与区别。

重点：1)麦克斯韦方程组的基本性质; 2) 电磁场的边值关系 难点： 电磁场切向边值关系的推导 讲授法、讨论 2学时2.6 麦克斯韦方程组（Maxwell ’s Equations ）一、麦克斯韦方程1865年发表了关于电磁场的第三篇论文：《电磁场的动力学理论》，在这篇论文中，麦克斯韦提出了电磁场的普遍方程组，共20个方程，包括20个变量。

直到1890 年，赫兹才给出简化的对称形式：00001(1)(2)0(3)(4)B E E tE B B J tρεμμε⎧∂∇⋅=∇⨯=-⎪∂⎪⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=+⎪∂⎩rr r rr r r实验定律3、法拉第电磁感应定律4、电荷守恒定律12314dq dq dF RR πε=r r S D dS q ⋅=⎰rr Ñ0lE dl ⋅=⎰r r Ñ34JdV R dB R μπ⨯=r rr 0S B dS ⋅=⎰r r Ñ()0=⋅∇B ρCH dl I⋅=⎰r r Ñ()JH ρρ=⨯∇tB E ∂∂-=⨯∇ρρ0=∂∂+⋅∇tJ ρρ0J ∇⋅≡r 对矛盾的解决麦克斯韦理论稳恒况缓变情况2、毕奥－沙伐尔定律1、库仑定律()/ερ=⋅∇E ρ()=⨯∇E ρt S d B dt d S ∂⎰⋅∂-=Φ-=ρρε0S QJ dS t ∂⋅+=∂⎰r r Ñ→上式即为真空中的麦克斯韦方程组，其中（2）（4）含有对时间的偏导数，对应 运动方程，（1）（3）为约束方程。

二、麦克斯韦方程组的基本性质 1、线性性麦克斯韦方程组是一组线性方程，表明场服从迭加原理。

2、自洽性方程组各个方程彼此协调，且与电荷守恒定律协调。

如（2）式和（3）式一致：由（2）式有：()0=∂⋅∂∇-=⨯∇⋅∇tBE ρρ⇒C B =⋅∇ρ，考虑到静磁时0=⋅∇B ρ,所以取0=C 。

又如（1）式和（4）式是一致的，且联立（1）(4)可以得到电荷守恒定律。

3、独立性即麦克斯韦方程组中任一方程，都不可能由其余的方程推导出来。

4、对称性（只作简单介绍）无源区（自由场）：0,0==ρJ ρ,麦克斯韦方程可以写为：000(1)(2)0(3)(4)B E E tE B B t με⎧∂∇⋅=∇⨯=-⎪⎪∂⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=⎪∂⎩rr r r r r 如对方程中的场量作如下代换：'',E B c B c E ρρρρ-→→ （001εμ=c ）则上述麦克斯韦方程变为：'''00'''0(1)(2)0(3)(4)E B B t B E E tμε⎧∂∇⋅=∇⨯=⎪⎪∂⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=-⎪∂⎩r r r r r r上式表明自由空间的麦克斯韦方程组的形式不变（只是方程的次序发生了改变），即如果()B E ρρ,存在，则()c E B B c E ρρρρ=-='',也必存在，并称()'',B E ρρ为()B E ρρ,的对偶场。

有源区：0,0≠≠ρJ ρ，无对偶不变性（对称性破缺），其根源在于方程中源的不对称，即不存在磁荷。

但若引入m ρ（磁荷）和m J ρ（磁流），使方程变为：000000(1)(2)(3)(4)m m B E E J tE B B J t ρεμμρμμε⎧∂∇⋅=∇⨯=--⎪⎪∂⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=+⎪∂⎩rr r r r r r r 则可对场和源进行对偶变换，而使方程的形式不变：场：'',E B c B c E ρρρρ-→→ 源：e m m e c c ρρρρ-→→,'；e m m e J c J c J J ρρρρ-→→,' 例如：对（2）式进行变换，有：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂---=⨯∇c E t J c B c e ''0'ρρρμ注意到001εμ=c ，化简得：t EJ B e ∂∂+=⨯∇'00'0'ρρρεμμ与（4）式一致，这表明对应()B E ρρ,场，一定存在对偶场()'',B E ρρ。

5、完备性（不作证明，有兴趣的学生自己证明）完备性是指给定电荷、电流分布和相应的初始条件和边界条件后，方程组能给出 唯一正确的解。

证明：用反证法如果有两个不同的解()11,B E ρρ、()22,B E ρρ同时满足麦克斯韦方程和相应的初始条件、边界条件。

设21E E E ρρρ-=、21B B B ρρρ-=,显然，它们满足无源自由空间的麦克斯韦方程。

即：0=⋅∇E ρ, tB E ∂∂-=⨯∇ρρ， 0=⋅∇B ρ, t EB ∂∂=⨯∇ρρ00εμ及齐次边界条件：0S S E B ==r r 和齐次初始条件：0S SE B ==r r。

因此，,E B r r对应的体系是无源的、无初始扰动、边界上值恒为零的体系。

对于这样一个电磁场，我们来计算如下积分：001V d I E E B B dV d t εμ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭⎰r r r r由于体系的边界不随时间改变，所以上述积分可以化为：()00000011122V V E B I E B dV E B B EdV t t εεμμεμ⎛⎫⎛⎫∂∂=⋅+⋅=⋅∇⨯+⋅-∇⨯ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰r r r r r r r r ()()()222VVSI E B B E dV E B dV E B dS μμμ=⋅∇⨯-⋅∇⨯=-∇⋅⨯=-⨯⋅⎰⎰⎰r r r r r r r r rÑ由于边界上0SSE B ==r r，所以0I =。

因此22000011V V E E B B dV E B dV Const εεμμ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰r r r r r r 又因初始时0SSE B ==r r，所以这个常数为零。

但等式左边的被积函数恒大于或等于零，因此得到：0,0E B ==r r 即12E E =r r , 12B B =r r6、预见性即预言了电磁波的存在。

事实上，由无源区的麦克斯韦方程，有：BE t∂∇⨯=-∂r r对上式两边取旋度，有：()()2E B E E t∂∇⨯∇⨯=-∇⨯=∇∇⋅-∇∂r r r r将0E ∇⋅=r 及00EB t με∂∇⨯=∂rr 代入上式，有：222210EE c t ∂∇-=∂r r（c =同理可得： 222210BB c t∂∇-=∂r r与经典的波动方程比较：一维： 2222210x t ξξυ∂∂-=∂∂ 三维： 222210tξξυ∂∇-=∂可以看出E r 和B r满足波动方程，c 为电磁波的速度。

三、媒质的本构关系当有媒质存在时，麦克斯韦方程组还不够完备（12个未知数，8个标量方程）， 需要补充描述媒质特性的方程。

对于各项同性的线性介质，有：,,D E B H J E εμσ===r r r r r r 此时，麦克斯韦方程组写为：1(1)(2)0(3)(4)H E E tE H H E tρμεσε⎧∂∇⋅=∇⨯=-⎪⎪∂⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=+⎪∂⎩rr r rr r r称为麦克斯韦方程组的限定形式。

例题2.6.1 讲解要点1）分析电路，针对电路说明位移电流和传导电流产生的原因、存在的区域及引 起的效应；2）根据已知条件，计算位移电流和传导电流；3）求电流激发的磁场（导线附近，导线可以视为无限长） 例题2.6.2 讲解要点1）讲明题目的意思：E r是电场强度矢量，一定要满足麦克斯韦方程组；2）在无源区，变化的电场和磁场相互激发，已知E r矢量，就可以根据麦克斯韦方程组求出磁矢量（,B H r r）。

2.7电磁场的边值关系在介质分界面上，若存在自由面电荷、面电流分布或由于极化、磁化而出现面电 荷和面电流分布，则场量在面上变得不连续，微分形式的麦克斯韦方程不在适用，需 要根据积分形式的麦克斯韦方程来讨论边界上的场关系。

0D B E t B D H J t ρ⎧∇⋅=⎪∂⎪∇⨯=-⎪∂⎨∇⋅=⎪⎪∂⎪∇⨯=+∂⎩r r r r r r r 0S C S SC SD dS qB E dl dS t B dS D H dl I dS t ⎧⋅=⎪⎪∂⋅=-⋅⎪⎪∂⎨⋅=⎪⎪∂⎪⋅=+⋅⎪∂⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r r r r r r r r r r r ÑÑÑÑGauss 定理 Stocks 定理一、边值关系的一般形式1、磁场强度H ρ的边值关系设分界面的法向单位矢为ˆn e （指向媒质1），ˆt e是沿分界面的切向单位矢，平行 边界作一小扁回路，并令此回路与分界面正交且其长边与界面平行，如图由C S D H dl I dS t ∂⋅=+⋅∂⎰⎰rr rr Ñ，有：1122120ˆ()t Ch H dl H l H l H dlH H el ∆→⋅=⋅∆+⋅∆+⋅⇒-⋅∆⎰⎰r r r rr r r r r rÑ侧0ˆˆˆDtS p p S p S h D DI dS J e l elh J e l t t∂∂∆→∂∂+⋅=⋅∆+⋅∆⇒⋅∆∂∂⎰r r rr r r 有限 所以： ()12ˆˆt S p e H H J e⋅-=⋅r r r 上式表明，当分界面上有自由电流分布时，磁场强度的切向分量是不连续的。

上式中ˆˆ,t p ee 都与回路的选取有关，利用ˆˆˆt p n e e e =⨯可得： ()()12ˆˆˆp n S p e e H H J e ⨯⋅-=⋅r r r或 ()12ˆˆˆnp S p e H H e J e ⎡⎤⨯-⋅=⋅⎣⎦r r r 上式对任意回路都成立，因而有：()12ˆn S eH H J ⨯-=r r r2、电场强度E r的边值关系将上图中的磁场强度改为电场强度，由于C S B E dl dS t ∂⋅=-⋅∂⎰⎰rr r r Ñ考虑到B t ∂∂r是有限量，同理可以得到： ()12ˆ0n e E E ⨯-=r r即电场强度的切向分量是连续的。

问题：电位移矢量的切线分量连续吗？1H r2H rˆn eˆn e ˆp eˆt eˆt e1θ2θacdb11t t E E = ⇔ 1122t t D D ε=3、电位移矢量D r的边值关系选右图所示的扁圆柱形封闭合面，由S D dS Q ⋅=⎰Ñ有：2211S D S D S D dS S ρ⋅∆+⋅∆+⋅=∆⎰r r rr r r 侧式中12ˆn S S Se∆=-∆=∆r r ，且D dS h S ⋅∆∆⎰rr :侧是比S ∆更高阶的无穷小，因而有： 12ˆˆn n S D eS D e S S ρ⋅∆-⋅∆=∆r r 即： ()12ˆn S eD D ρ⋅-=r r特例：当0S ρ=时，电位移的法向分量连续。