高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结
高中数学圆锥曲线重要结论
圆锥曲线重要结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=. 8.椭圆22221x y a b+=〔a ＞b ＞0〕的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.〔内切：P 在右支；外切：P 在左支〕5. 假设000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞0〕上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 假设000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=〔a ＞0,b ＞0〕外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 7.双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞o 〕的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞o 〕的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=〔a ＞0,b ＞0〕的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高中数学有关圆锥曲线的经典结论
⾼中数学有关圆锥曲线的经典结论有关解析⼏何的经典结论⼀、椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外⾓.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外⾓，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线⽅程是00221x x y ya b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线⽅程是00221x x y ya b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意⼀点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点⾓形的⾯积为122tan 2F PF S b γ=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上⼀个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆⼀个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平⾏于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a=-，即0202y a x b K AB-=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的⽅程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹⽅程是22002222x x y yx y a b a b+=+. ⼆、双曲线1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内⾓.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内⾓，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右⽀；外切：P 在左⽀）00022a b 0线的切线⽅程是00221x x y ya b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线⽅程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意⼀点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点⾓形的⾯积为122t 2F PF S b co γ=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - ,2(,0)F c当00(,)M x y 在右⽀上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左⽀上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上⼀个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线⼀个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平⾏于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =?，即0202y a x b K AB =。
高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. A B 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF⊥NF.11. A B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高中数学圆锥曲线常用98条结论
高中数学圆锥曲线常用98条结论1.椭圆的离心率小于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。
2. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则椭圆的标准方程为(x/a)+(y/b)=1。
3. 椭圆的焦距为c=√(a-b)。
4. 椭圆的面积为πab。
5. 椭圆的周长近似为2π√((a+b)/2)。
6. 椭圆的离心率为e=c/a。
7. 双曲线的离心率大于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。
8. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则双曲线的标准方程为(x/a)-(y/b)=1。
9. 双曲线的焦距为c=√(a+b)。
10. 双曲线的面积为πab。
11. 双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。
12. 双曲线的离心率为e=c/a。
13. 抛物线的离心率等于1，且焦点在抛物线的顶点上。
14. 抛物线的标准方程为y=4ax。
15. 抛物线的焦距等于a。
16. 抛物线的面积为2/3×a×(4a/3)。
17. 抛物线的顶点坐标为(0,0)。
18. 抛物线的准线方程为y=-a。
19. 圆的标准方程为(x-a)+(y-b)=r。
20. 圆的直径为圆心的两倍半径。
21. 圆的周长为2πr。
22. 圆的面积为πr。
23. 直线与圆相交，切点到圆心的距离垂直于直线。
24. 切线方程为y-y=k(x-x)，其中k为切线斜率。
25. 直线与圆相切，切点坐标为(x,y)，则切线方程为(y-y)=k(x-x)，其中k为直线斜率。
26. 椭圆的切线方程为(ay/b)+(x/a)=1。
27. 双曲线的切线方程为(ay/b)-(x/a)=1。
28. 抛物线的切线方程为y=2ax。
29. 椭圆的法线方程为(by/a)+(x/a)=1。
30. 双曲线的法线方程为(by/a)-(x/a)=1。
31. 抛物线的法线方程为y=-x/(2a)。
32. 椭圆的两条直径的交点在椭圆的中心点上。
33. 椭圆的两条直径的长度之和为2a。
34. 椭圆的两条直径的中垂线交于椭圆的中心点。
高考数学复习 圆锥曲线常用结论整理
圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理椭圆问题小结论：1.与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++ 2.与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=>或()2222,0x y b aλλ+=> 3.（中点弦结论）直线l 与椭圆22221x y a b+=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点(),P x y 为线段ＡＢ的中点，则有：22AB OPb K K a⋅=-；若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时，22AB OP a K K b⋅=-；4.（切线结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-； 5.（切点弦结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.6. 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PB b K K a=-7.（焦点弦结论）设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122||=tan 2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处12F PF θ∠=最大。
高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB=。
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线是高中数学中的一个重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在考试中，这些结论可能会出现，因此了解这些结论是非常重要的。
1. 椭圆的定义：椭圆是由到两个点的距离之和等于定值的点构成的集合。
这两个点称为椭圆的焦点。
2. 抛物线的定义：抛物线是由所有距离一个定点（焦点）和一个定直线（准线）相等的点所组成的集合。
3. 双曲线的定义：双曲线是由所有到两个焦点距离之差等于定值的点所组成的集合。
4. 椭圆的中心：如果椭圆的两条直径相互垂直，且长度相等，则该椭圆的中心就是两条直径的交点。
5. 椭圆的长轴和短轴：椭圆的两条直径中，长的那条被称为长轴，短的那条被称为短轴。
6. 双曲线的渐近线：双曲线的两条曲线臂在无限远处趋近于两条互相垂直的直线，这两条直线被称为双曲线的渐近线。
7. 双曲线的顶点：双曲线的两条曲线臂在无限远处相交的点被称为双曲线的顶点。
8. 抛物线的顶点：抛物线曲线的最高点或最低点被称为抛物线的顶点。
9. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是指椭圆焦点之间的距离与椭圆长轴的一半之比。
离心率的取值范围在0和1之间。
10. 双曲线的离心率：双曲线的离心率是指双曲线焦点之间的距离与双曲线的距离其中一条渐近线的距离之差的一半之比。
离心率的取值范围大于1。
11. 抛物线的离心率：抛物线的离心率是指抛物线焦点到直线距离的比值和相对于该直线到抛物线顶点距离的比值之和。
离心率的值
为1。
这些结论是来自圆锥曲线的基本定义。
要在考试中成功完成相关问题，深入理解这些结论是非常重要的。
高考数学圆锥曲线常用8大结论
高考数学圆锥曲线常用8大结论1. 椭圆的性质椭圆的标准方程为：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$其中，a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴。
椭圆具有以下性质：(1) 光滑性：椭圆是一个连续的、光滑的曲线。
(2) 对称轴：椭圆具有两条对称轴，分别与长半轴和短半轴垂直并交于中心点。
(3) 焦点：椭圆有两个焦点F1和F2，且满足F1F2=2a。
(4) 直线：椭圆上的直线方程一般为$Ax+By+C=0$，其中，$A=\dfrac{a^2y^2}{b^2}+\dfrac{b^2x^2}{a^2}$，$B=-2\dfrac{a^2y}{b^2}$，$C=\dfrac{a^2y^2}{b^2}-a^2$。
(5) 参数方程：椭圆的参数方程为$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$，其中，$0\leq\theta<2\pi$。
2. 双曲线的性质(4) 渐进线：双曲线的渐进线是直线方程为$y=\pm\dfrac{b}{a}x$的两条直线。
$y=ax^2+bx+c$其中，a不等于0。
(2) 对称轴：抛物线的对称轴是$y=-\dfrac{b}{2a}$。
(3) 焦点：抛物线具有一个焦点F，满足到该点的距离等于焦距。
(5) 参数方程：抛物线的参数方程为$x=t$，$y=at^2+bt+c$。
5. 双曲线方程的标准形式其中，(h,k)为双曲线的中心点坐标，a为双曲线的半轴长，b为双曲线的半轴短。
7. 拋物線切线式拋物線的方程式為因此，在拋物線上一點$(x_0, y_0)$的斜率為則該點的切線方程為$y-y_0 = k(x-x_0)$8. 判别式公式判別式公式可以判別二次曲線的形状，公式如下：$D = \begin{vmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{vmatrix}$若$D>0$，則方程表示的圖形是双曲线；。
圆锥曲线知识要点及结论个人总结
《圆锥曲线》知识要点及重要结论、椭圆1定义 平面内到两定点 F 「F 2的距离的和等于常数2a(2^|F^2)的点P 的轨迹叫做椭圆•若2a = F ,F 2，点P 的轨迹是线段F I F 2・若0 ：：： 2a ：：： F ,F 2，点P 不存在•2 2务 与=1(a b 0)，两焦点为 R (_c,0), F 2(c,0). a b2 2X2 =1(ab ■ 0)，两焦点为 F i (0,_c), F 2(0,C ).其中 a 2"2 cla b3几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴 .椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心椭圆的顶点有四个，长轴长为2a ，短轴长为2b ，椭圆的焦点在长轴上•2 2若椭圆的标准方程为 务•与=1(a b ■ 0)，则- a 空x 空a, -b 曲乞b ； a b2 2若椭圆的标准方程为 =1(a b 0)，则-b 辽x 乞b,-a y 乞a .a 2b 2二、双曲线1定义 平面内到两定点 F 1, F 2的距离之差的绝对值等于常数 2a(0 ：：： 2a ：：：R F ?)的点的轨迹叫做双曲线.若2^|F 1F 2，点P 的轨迹是两条射线.若2^|F 1F 2，点P 不存在.2 22 标准方程务 一―1(a ■ 0,b0)，两焦点为 F 1(-c,0), F 2(C ,0).a b2 2令…占二“ 0,b 0)，两焦点为 F 1 (0^c ), F 2(0, c ).其中 c 2 二 a 2 b 2. a b 3几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心 双曲线的顶点有两个 A 1, A 2，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，双曲线的焦点在实轴上2 2J 壬-1(a 0,b 0)，则 x 乞-a 或x — a, y R ；a b2-牛=1(a 0,b 0)，则 y — -a 或 y — a, x R .b 22标准方程 若双曲线的标准方程为 若双曲线的标准方程为2a4渐近线双曲线的渐进线是它的重要几何特征， 每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线， 但对于同组渐进线却对应无数条双曲线 •2 2 2 2与双曲线 笃-与 "(a 0,b ■ 0)共渐进线的双曲线可表示为 笃一笃=，(・=0).a ba b直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数 同时成立•5等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线•2 2 2 2等轴双曲线的标准方程为 务一爲=1(a . 0)或爲-笃 "(a ■ 0).a aa a等轴双曲线的渐近线方程为 y =「x .6共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线2 2 2 2如：笃-与=1(a0,b - 0)的共轭双曲线为 每-务=1(a0,b - 0)，它们的焦点到a bb a原点的距离相等，因而在以原点为圆心，.a 2 b 2为半径的圆上.且它们的渐近线都是b b y x 和 y x .aa三、抛物线1定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线l(F 不在I 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线.定点F 叫做抛物线的焦点，定直线 I 叫做抛物线的准线. 2标准方程(1) y 2 =2px(p 0)，焦点为(号,0)，准线方程为x = -号，抛物线张口向右.⑵y 2 =-2px(p 0)，焦点为(-p,0)，准线方程为x =号，抛物线张口向左.⑶x 2 =2py (p 0)，焦点为 (0导 ，准线方程为y = 一号，抛物线张口向上.⑷X 2 - -2 py (p 0)，焦点为 (0』) ，准线方程为y = _p ，抛物线张口向下. 其中p 表示焦点到准线的距离. 3几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为y 2 = 2 px( p - 0)或y 2 = -2 px( p - 0)，2 2双曲线x y2 -.2ab2 2yx 2.2 a b=1(a 0, b 0)有两条渐近线y=1( a 0, b 0)有两条渐近线y a a x 和yx .即b b 2 2x y=02■ 2ab22yx2.2ab=0” 和“二.0双曲线则对称轴是x 轴，若方程为x 2 =2py(p . 0)或x 2 =_2py(p 0)，则对称轴是y 轴.若抛物线方程为y 2 =2 px( p 0)，则x 亠0, y 尸R . 若抛物线方程为y 2 - -2 px( p .0)，则x _ 0, y• R .2若抛物线方程为x =2py(p . 0)，则y_0,x ・R . 若抛物线方程为x 2 - -2 py( p .0)，贝V y 込0, x 三R .圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】2 21已知椭圆 笃•与 "(a b 0)的两焦点为F !^c,0),F 2(c,0)，P(x °,y °)为椭圆上一a b点，则I PF.H c)*2冷冷心讪1一予)ms 丿 丿cx 0 cx 0因为 一a _ x 0 _ a ， -c 仝乞 c,0 ：：： a -c 0 a c ，aa所以 |PF^-cx ° +a .同理，PF 2 =2a — PF,| =a —也.a a. b sin a 2a L F!PF 2的面积为b tan .1 +cos^2解：根据椭圆的定义可得|PF_, +|PF 2| =2a ①由余弦定理可得 4c 2 = F J F 2 2 =|PFj 2 +|PF 2 2 — 2PF 」PF 2 COS 。
圆锥曲线的一些重要结论
圆锥曲线的一些重要结论：1. 以椭圆的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相离。
2. 以双曲线的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相交。
3. 以抛物线的的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相切。
4. 以椭圆上的任一点为顶点的焦点三角形中，过任一焦点作其外角平分线的垂线，垂足的轨迹必为一圆（除开两点）。
5. 双曲线上不同于顶点的任一点与两焦点所构成的三角形的内切圆必切于与该点同侧的双曲线顶点。
6. 抛物线的焦点弦，被焦点所分两线段长的倒数和为定值。
7. 椭圆上到一焦点的距离最值点必为长轴两顶点。
8. 椭圆上短轴顶点对两焦点所张的角是椭圆上任一点对两焦点所张角的最大者。
椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角。
2.若PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴两个端点。
3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。
4.以焦半径PF 1为直径的圆必与长轴为直径的圆内切。
5.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 上，则过0P 的切线方程是12020=+b y y a x x 。
6. 若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ,则切点弦21P P 所在的直线方程是12020=+b yy a x x 。
7. 椭圆12222=+b y a x 上任一点P ，若θ=∠21PF F ，则θcos 12||||221+=b PF PF ;2tan 221θb S PF F =∆。
8. 椭圆12222=+by a x 的焦半径公式：01||ex a MF +=，02||ex a MF -=。
其中)0,(),0,(21c F c F -。
9.设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 是椭圆长轴的一个端点，连接AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆的准线于M,N ，则MF ⊥NF.10. 设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 1,A 2是椭圆长轴的端点，A 1P 与A 2Q 相交于点M ，A 2P 和A 1Q 相交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆12222=+b y a x 的不平行于对称轴的弦),(00y x M 是弦AB 的中点，则22ab k k OM AB -=；AB 是椭圆12222=+b y a x 的长轴的端点,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22a b k k PB PA -=; AB 是椭圆12222=+by a x 的关于原点对称的两点,,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22ab k k PBPA -=.12.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 内，则被),(000y x P 平分的弦的方程是：=+2020by y a x x 220220b y a x +。
高考数学圆锥曲线常用8大结论
x2 y2 1 （ a 0, b 0 ） 外 ， 则过 P0 作双曲线的两条切线切点为 P1 、P2 ， a 2 b2
则切点弦 PP 1 2 的直线方程是
x0 x y0 y 2 1. a2 b
3.抛物线 y 2 2 px 中，过点 P 的切线方程为 y0 y p( x x0 ) . 4.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则 相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 5.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相 交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 6.椭圆
x2 y2 1（ a b 0 ）的两个顶点为 A1 ( a, 0) , A2 (a, 0) ，与 y 轴平 a 2 b2
x2 y2 行的直线交椭圆于 P1 、 P2 时 A1P1 与 A2 P2 交点的轨迹方程是 2 2 1 .双 a b
曲线
x2 y2 1（ a b 0 ）的两个顶点为 A1 ( a, 0) , A2 ( a, 0) ，与 y 轴平行 a 2 b2 x2 y2 1. a 2 b2
圆锥曲线常用 8 大结论
1.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆
x2 y2 1上，则过 P 0 的椭圆的切线方程是 a 2 b2 x2 y2 在双曲线 2 2 1（ a 0, b 0 ）上，则过 P0 的 a b
x0 x y0 y 2 1 ；若 P0 (x0 , y 人人网：新东方优能中学
双曲线的切线方程是 2.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆
x0 x y0 y 2 1. a2 b
x2 y2 1外， 则过 P0 作椭圆的两条切线切点为 P1 、 a 2 b2
高考数学圆锥曲线部分重要公式及结论
高中数学圆锥曲线部分重要公式及结论（椭圆部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.● 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.● 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).● 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。
● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.● 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.● 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.● 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. ● 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.● 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.● P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.● 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.● 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. ● 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.● 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.● 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=-. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. ● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.● 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ● （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） ● 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. ● 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（双曲线部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. ● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=.● 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.● 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c● 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a=-. ● 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a=--● 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。
(整理总结)圆锥曲线经典结论总
圆锥曲线必背的经典结论1. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.3. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.4. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.5. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.1. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 2. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.3. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.4. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线知识要点及重要结论
《圆锥曲线》知识要点及重要结论一、椭圆1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离的和等于常数)2(221F F a a >的点P 的轨迹叫做椭圆.若212F F a =，点P 的轨迹是线段21F F .若2120F F a <<，点P 不存在.2 标准方程 )0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0(12222>>=+b a bx a y ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222c b a +=. 3 几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心. 椭圆的顶点有四个，长轴长为a 2，短轴长为b 2，椭圆的焦点在长轴上.若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，则b y b a x a ≤≤-≤≤-,；若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y ，则a y a b x b ≤≤-≤≤-,.二、双曲线1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离之差的绝对值等于常数)20(221F F a a <<的点的轨迹叫做双曲线. 若212F F a =，点P 的轨迹是两条射线.若212F F a >，点P 不存在.2 标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0,0(12222>>=-b a by a x ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222b a c +=. 3 几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心. 双曲线的顶点有两个21,A A ，实轴长为a 2，虚轴长为b 2，双曲线的焦点在实轴上.若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，则R y a x a x ∈≥-≤,或；若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a bx a y ，则R x a y a y ∈≥-≤,或.4 渐近线双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 有两条渐近线x a b y =和x a by -=.即02222=-b y a x双曲线)0,0(12222>>=-b a b x a y 有两条渐近线x b a y =和x bay -=.即02222=-b x a y双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线.与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 共渐进线的双曲线可表示为)0(2222≠=-λλby a x .直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数0≠”和“0>∆”同时成立.5 等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的标准方程为)0(12222>=-a a y a x 或)0(12222>=-a ax a y .等轴双曲线的渐近线方程为x y ±=.6 共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.如：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的共轭双曲线为)0,0(12222>>=-b a ax b y ，它们的焦点到原点的距离相等，因而在以原点为圆心，22b a +为半径的圆上.且它们的渐近线都是x a b y =和x ab y -=. 三、抛物线1 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线F l (不在l 上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.2 标准方程(1) )0(22>=p px y ，焦点为)0,2(p，准线方程为2p x -=，抛物线张口向右.(2) )0(22>-=p px y ，焦点为)0,2(p -，准线方程为2p x =，抛物线张口向左.(3) )0(22>=p py x ，焦点为)2,0(p ，准线方程为2p y -=，抛物线张口向上.(4) )0(22>-=p py x ，焦点为)2,0(p -，准线方程为2p y =，抛物线张口向下.其中p 表示焦点到准线的距离.3 几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为)0(22>=p px y 或)0(22>-=p px y ，则对称轴是x 轴，若方程为)0(22>=p py x 或)0(22>-=p py x ，则对称轴是y 轴. 若抛物线方程为)0(22>=p px y ，则R y x ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p px y ，则R y x ∈≤,0. 若抛物线方程为)0(22>=p py x ，则R x y ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p py x ，则R x y ∈≤,0.圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】1 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为)0,(),0,(21c F c F -，),(00y x P 为椭圆上一点，则)1()()(2222020201ax b c x y c x PF -++=++=a a cx a a cx a cx a x c +=+=++=020202202)(2 因为a x a ≤≤-0，c a a acxc a c a cx c +≤+≤-<≤≤-000,， 所以a a cx PF +=01. 同理，acxa PF a PF 0122-=-=. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，),(00y x P 为双曲线上一点，则a a cx PF +=01，a acxPF -=02. 2 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点为21,F F ，P 为椭圆上一点，若θ=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为2tan cos 1sin 22αααb b =+. 解：根据椭圆的定义可得a PF PF 221=+ ①由余弦定理可得αcos 242122212212PF PF PF PF F F c -+== ②由①②得)cos 1(2442122α+=-PF PF c a .从而αcos 12221+=b PF PF 所以，21F PF ∆的面积为2tan cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =+=双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点为21,F F ，P 为其上一点，若α=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为2cot cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =-=. 3 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PN PM ,的斜率都存在，并记为PN PM k k ,时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值.解：设),(),,(1100y x M y x P ，则),(11y x N --.01010101,x x y y k x x y y k PN PM----=--=，从而2120212001010101x x y y x x y y x x y y k k PN PM --=----⋅--=⋅. 又因为),(),,(1100y x M y x P 都在椭圆上，故1,1221221220220=+=+by a x b y a x .两式相减得，022********=-+-b y y a x x ，因而2221202120ab x x y y -=--即22a b k k PN PM -=⋅.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x .N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PN PM ,的斜率都存在，并记为PN PM k k ,时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值.【常用方法】1 在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法.2本章经常会碰到直线l 与圆锥曲线C 相交于两点的问题，若已知l 过定点),(00y x P ，则可设l 的方程为0x x =或)(00x x k y y -=-.然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直线方程代入曲线C 的方程中，整理得到关于x 或y 的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零).韦达定理和判别式经常要用到！若l 的条件不明显时，则可设l 的方程为m x =或m kx y +=.3 本章还经常用到“点差法”：设直线l 与圆锥曲线C 交于点),(),,(2211y x B y x A ,则B A ,两点坐标都满足曲线C 的方程，然后把这两个结构相同的式子相减，整理可以得到直线AB 的斜率1212x x y y --的表达式，也经常会出现2121,y y x x ++，这样又可以与线段AB 的中点),(00y x P 联系起来！4 若三点),(),,(),,(002211y x P y x B y x A 满足以线段AB 为直径的圆经过点P 或BP AP ⊥时，常用处理方法有：①根据勾股定理可得222PB PA AB +=； ②根据AP 的斜率与BP 的斜率之积为1-，可得120201010-=--⋅--x x y y x x y y ；③根据),(),,(,002020101y y x x PB y y x x PA PB PA --=--==⋅可得0))(())((02010201=--+--y y y y x x x x .5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）.。
【高中数学】圆锥曲线的相关结论192条
的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 54：焦点在 轴上的双曲线（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数
列的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 55：焦点在 轴上的抛物线（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数
列的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
x0
mx
a2
m
y0
n y
b2
n
1．
结论 18：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y n2 2 px m外，过点 M 作抛物线的两条切
线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为
y0 ny n px x0 2m．
结论 16：（补充）点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x
a
【高中数学】圆锥曲线的相关结论192条
结论 1：过圆 x 2 y 2 2a 2 上任意点 P 作圆 x 2 y 2 a 2 的两条切线，则两条切线垂直．
结论 2：过圆 x 2
y2
a2
b
2
上任意点
P
作椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a
b 0 ）的两条切线，
则两条切线垂直．
结论 3：过圆 x 2
结论 47：椭圆的准线上任一点 处的切点弦 过其相应的焦点 ，且 ⊥ ．
结论 48：双曲线的准线上任一点 处的切点弦 过其相应的焦点 ，且 ⊥ ．
结论 49：抛物线的准线上任一点 处的切点弦 过其焦点 ，且 ⊥ ．
结论 50：椭圆上任一点 处的切线交准线于 ， 与相应的焦点 的连线交椭圆于 ，
则 必与该椭圆相切，且 ⊥ ．
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高考数学圆锥曲线重要结论一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。
第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0<e<1）的点的轨迹，定点叫椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线；引申定义:⒈若一个圆C1内含于另一个圆C2，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；⒉在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。
⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。
两定点为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。
（-1<m<0时，焦点在x轴上；当m<-1时，焦点在y轴上）例：过点（-8，0），（8，0）的两直线11，12的斜率之积为-3/8，求其交点的轨迹。
⒋将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的m倍，该圆变成椭圆；⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。
方椭圆的长半轴与圆的半径长相等；⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线，则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。
对应练习：⑴在椭圆上任一点M与焦点F1F2构成△MF1F2，I为该三角形的内心，连MI交长轴于N点，则MI/IN的值为多少？⑤若过点P作∠F1PF2的平分线交过点F1作其平分线的垂线于M,交PF2于N点,则有PF1=PN,所以有⑶在椭圆上任一点P求:·的最大值(a2-c2),PF1×PF2的最大值a2,点P到对应顶点的最短距离为a-c.⑷若在椭圆内部有一点M，要求作一点P使该点到右焦点F的距离与到该定点的距离和最小。
则应连接M与左焦点F'，由|MF'|+|MP|+|PF|≥|PF'|+|PF|=2a,当P,M,F'在同一条直线上时距离最小.最小距离为2a-|MF'|.二、⑴椭圆的标准方程：(略)⑸P（x1，y1）为椭圆上任点则焦半径（椭圆上任一点与焦点之间的线段长）为：|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex2；⑺从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆反射后会经过另一个焦点。
(8)离心率的求解可根据具体情况对相关线段整体设置,也可以进行坐标设置.对应小题题例:⑴当m+n<0时,求椭圆离心率的取值范围;⑵求证:直线AB与⊙P不相切.(09新乡一模21题) 解析:设点F,B,C的坐标分别为F(-c,0),B(0,b),C(1,0)⑵证明:假设相切,则点B必为切点,而k AB=b,⒊设F1,F2为椭圆上的两个焦点,椭圆上有一点P与这两个焦点的连线所成的角为90°,A.1:5B.1:3C.1:2D.1:1⒋已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则离心率的取值范围A. B.2 C. D.3 A此类题的解题思路不外乎是依据第一或第二定义进行整体设置或根据参数方程进行坐标设置,本题就可以进行依据第一定义整体设置:过B作BB'⊥l,则BF:BB'=1:,又BF=AB/2, 故BB':AB=1:.∠ABB'=45°,又F到l的距离为1,所以AF=.此为法一;法二:设l交x轴为D,则FD=1,FA=3FB,故点F的横坐标为4/3,则右求出其纵坐标为1/3,并可求出A的纵坐标为1,所以FA=.A.[0,3]B.[2,3)C.[0,2)D.[0,4]⒏已知A(2cosα,sinα),B(2cosβ,sinβ),C(-1,0)是平面上三个不同的点,且满足⒐满足条件+=6的动点轨迹为C,若曲线C上三点到点(0,4)解析:由题中条件知曲线C为一条在(-3,0)到(3,0)的线段,此等比数列的三项的最短与最长分别为4和5,而其比为公比q的平方.A.cB.b C .a D.不确定C(10年湖北八校联考)如图,由已知,Rt△OAM∽Rt△OFB,OA:OB=OM:OF→OB·OM=OA·OF=a2,故ON=a.11.已知F是橢圓C 的一個焦點, B是短軸的一個端點,線段BF 的延長線交C於點D.析:法一,依題意知點D 坐標為,由點D在曲線上,故滿足法二：过点B及点D分别向其准线作垂线，垂足为B'，D'依题意得：例⒈已知椭圆的两个焦点分别为F1（0。
-1），F2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线，⑴求椭圆的方程；⑵若点P在椭圆上，设| |-||=m（m≥1），试用m表示·；解：（本题第一问主要是考查椭圆的几个参量之间的关系，第二问主要考查椭圆的基本定义及向量介入的有关运算；第三问主要考查平面几何的有关知识如三角形任意两边之差小于第三边，但在椭圆中若是椭圆上任意一点与两个焦点之间的连线所构成的三角形则是这点与两焦点连线所在的边之差小于等于第三边，同时也考查了相关函数的单调性。
）即m≤2，所以m∈[1，2]过椭圆的右焦点F（c，0）（c>b）作垂直于x轴的直线炮大圆于第一象限办点A，OA交小圆于点B,设直线BF是小圆的切线。
⑴证明：c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；解：⑴由题设条件知：Rt△OFA∽Rt△OBF∴直线BF与y轴的交点. ∴直线BF与y轴交点为（0，a）点为M（0,a）→（b2+a2k2）x2 +2a3kx+a4-a2b2=0 ④由③消去x整理得：（b2+a2k2）y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0 ⑤注意到：a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2例⒊已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1,且过右焦点F交椭圆于A,B两点，+ 与=（3，-1)共线。
⑴求椭圆的离心率：⑵设M为椭圆上任意一点，且=λ +μ（λ，μ∈R）由+=（x1+x2，y1+y2）,=（3，1）且+与共线得：3（y1+y2-2c）+（x1+x2）=0，又y1=x1-c，y2=x2-c。
⑵由⑴知a2=3b2∴椭圆方程为：x2+3y2=3b2，设=（x，y）由已知（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2）又x21+3y21=3b2x22+3y22=3b2代入①得λ2+μ2=1故所求为定值。
双曲线:一、概念：第一定义：到两定点F1（-c，0）、F2（c，0）的距离差为定值2a（小于两定点的距离）的点的轨迹叫做双曲线。
两定点叫做双曲线的焦点，两点间的距离叫做焦距。
引申定义：⒈与两个相离的非等定圆均外切的圆的圆心的轨迹为以这两定型圆圆心连线为实轴的双曲线的一支;⒉过两定点且相交的两条直线的斜率之积为正常数的点的轨迹（两定点除外）为双曲线。
⒊圆外一定点与圆上任意一点连线的垂直平分线和圆心与圆上动点连线的交点的轨迹为双曲线。
圆半径为双曲线的实轴长，圆心与定点(为焦点)间的距离为焦距长。
二、⒈标准方程：(略)三、相关运算：注意直线是交在双曲线的同一支上还是交在两支上，特别是焦点弦交在同一支上，最短弦是垂直于过焦点⒉焦半径公式：P（x0，y0）为双曲线右支上一点，与左右焦点之间的线段为焦半径。
|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a若点P在左支上时,|PF1|=-ex0-a,|PF2|=-ex0+a.A.内切B.外切C.内切或外切D.外切或相交⒋在证明或解答相关双曲线的问题时，要注意运用设而不求的点差法。
如直线y=kx+m，若焦点在x轴上的⒌如果在进行直线与双曲线的相关求解时，若直线斜率需要考虑不存在时，可设直线为x=my+c的形式，只不过这样求出的直线的斜率与所求的直线的斜率呈负倒数关系，若是求的范围，a<m<b，则所求的直线的斜率为1/b<k<1/a，这一点务必注意。
⒎在焦点三角形中,过F1作∠F1PF2的平分线的垂线,则垂足H的轨迹为圆,其方程为x2+y2=a2,(本题证明可延长F1H 交PF2于M点）,依题意知PF1=PM故PM-PF2=F2M=2a,即点M是以F2为圆心2a为半径的的圆即：(x-c)2+y2=4a。
⒏相关点与双曲线只有一个交点的直线条数:在双曲线外部与双曲线只有一个交点的直线条数有2条;在双曲线上时,与双曲线只有一个交点的直线条数为3条;在双曲线外部:在直线与双曲线之间(如渐近线与双曲线一支之间且位于x 由上方)由于过该点平行于渐近线的与双曲线只有一个交点,但要与双曲线相切只有让该直线的斜率大于正斜率的渐近线故只有与右支相切,同理与双曲线相切的直线也只有与右支相切,所以共有四条.⒐已知双曲线x2-y2=a2(a>0)的左右顶点分别是A,B,双曲线在第一象限的图象上有一点P,∠PAB=α,∠PBA=β,∠APB=γ,试确定三个角之间的关系.⒑双曲线上任一点到焦点的距离大于等于焦点到对应顶点的距离.即d≥c-a.⒒若在双曲线外部有一点P,要在双曲线上求作一点M,使该点到P点与到对应焦点的距离之和最小.其主要方法:过点P作准线的垂线与双曲线的交点就是所求作的点.小题题例:⒈A,F分别是双曲线9x2-3y2=1的左顶点和右焦点,P是双曲线右支上任一点,若∠PFA=λ∠PAF,则λ= 2 .(特值检验通径)A. B.2 C. D. C⒍设e1,e2分别为有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率,p为两曲线的一个公共点且右准线l:x=1/2,|AF|=3,过F作直线交双曲线右支于P,Q两点,延长PB交右准线l于M点。
⑴求双曲线的方程；⑵若·=-17，求△PBQ的面积S；⑶若=λ，（λ≠0,λ≠-1),问是否存在实数μ=f（λ）的左右焦点，使得=μ,若存在，求出μ=f（λ）表达式，否则说明理由⑶（题中=λ及所求μ=f（λ）其实都是两点P，Q之间的关系，故首当其冲就是求出两点的坐标之间的关系）注：在求解与证明与圆锥曲线相关的问题时，如果是直线与圆锥曲线相交的问题时一定要注意该直线斜率是否存在的问题，应分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当然有时也将该直线设成x=my+n的形式，但要注意求解后对相关斜率的对应处理，即式中的m与所求的斜率为负倒数关系；同时也要注意对图中相关面积的处理，尽量用较简化的方式处理，如利用题中相关线段的互相垂直关系，这时常常要利用某个三角形是由两个三角形组成的公共底来处理以简化运算。
对相关点的处理：主要有两种，利用向量的关系；利用点差法处理。
例⒉（成都市07第二次毕业诊断性测试22）如图,与抛物线x2=-4y相切于A（-4,-4）的（理）求⑴中切点T到直线PQ的距离的最小值；抛物线一、概念：平面内与定点F的距离和一定直线的距离相等的点的轨迹。