2003年全国统一高考文科数学试卷(全国旧课程卷)

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国旧课程卷）
文科数学
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. （2003▪全国旧课程▪文）直线2y x =关于x 轴对称的直线方程为
A.12
y x =-
B.12
y x =
C.2y x =-
D.2y x =
2. （2003▪全国旧课程▪文）已知(2x π
∈-
，0)，4
cos 5
x =
，则tan 2x =
A.724
B.724-
C.24
7
D.247-
3. （2003▪全国旧课程▪文）抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为
A.18
B.18
- C.8 D.﹣8 4. （2003▪全国旧课程▪文）等差数列{}n a 中，已知11
3
a =，254a a +=，33n a =，
则n 为
A.48
B.49
C.50
D.51 5. （2003▪全国旧课程▪文）双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、
2F ，12F MF ∠ 120=︒，则双曲线的离心率为
B.
2
C.
3
D.3 6. （2003▪全国旧课程▪文）设函数1
2210()0x x f x x
x -⎧-≤⎪
=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是
A.(1-，1)
B.(1-，)+∞
C.(-∞，2)
(0-，)+∞
D.(-∞，1)(1-，)+∞
7. （2003▪全国旧课程▪文）已知5
()lg f x x =，则(2)f =
A.lg 2
B.lg 32
C.1lg
32 D.1lg 25
8. （2003▪全国旧课程▪文）函数sin()(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ=
A.0
B.
4
π
C.
2
π D.π 9. （2003▪全国旧课程▪文）已知点(a ，2)(0)a >到直线l ：30x y -+=的距离为1，
则a =
B.2
1
1
10. （2003▪全国旧课程▪文）已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面
半径为
3
4
R ，该圆柱的全面积为 A.2
2R π
B.294
R π C.2
83
R π
D.252
R π
11. （2003▪全国旧课程▪文）已知长方形的四个顶点(0A ，0)，(2B ，0)，(2C ，1)和
(0D ，1).一质点从AB 的中点0P 沿与
AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD ，DA 和AB 上的点2P ，3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 与0P 重合，则tan θ=
A.13
B.25
C.12
D.1 12. （2003▪全国旧课程▪文）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，
则此球的表面积为
A.3π
B.4π
C.33π
D.6π
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. （2003▪全国旧课程▪文）不等式24x x x -<的解集是___________. 14. （2003▪全国旧课程▪文）在2
9
1()2x x
-
的展开式中，9x 的系数是________（用数字作答）.
15. （2003▪全国旧课程▪文）在平面几何里，有勾股定理“设ABC ∆的两边AB ，AC 互相垂直，则2
2
2
AB AC BC +=”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则_______________.”
16. （2003▪全国旧课程▪文）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求
相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种．（以数字作答）
三、解答题（共6小题，满分12×5＋14＝74分）
17. （2003▪全国旧课程▪文）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -，
1AB =，12AA =，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点.
⑴证明EF 为1BD 与1CC 的公垂线； ⑵求点1D 到面BDE 的距离.
18. （2003▪全国旧课程▪文）已知复数z 的辐角为60︒，且|1|z -是||z 和|2|z -的等比
中项.求||z .
19. （2003▪全国旧课程▪文）已知数列{}n a 满足11a =，113(2)n n n a a n --=+≥.
⑴求2a ，3a ；
⑵证明31
2
n n a -=.
20. （2003▪全国旧课程▪文）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=.
⑴求函数)(x f 的最小正周期和最大值；
⑵在给出的直角坐标系中，画出函数)(x f y =在区间[2
π
-
，
]2
π
上的图象.
21. （2003▪全国旧课程▪文）在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位
于城市O （如图）的东偏南(cos 10
θθ=
方向300km 的海面P 处，
并以20/km h 的速度向西偏北45︒方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10/km h 的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
22. （2003▪全国旧课程▪文）已知常数0a >，在矩形ABCD 中，4AB =，4BC a =，
O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且
BE CF DG
BC CD DA
==，P 为GE 与OF 的交点（如图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和
为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．
2003年全国统一高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2003•全国）直线y=2x关于x轴对称的直线方程为（）
A．B．C．y=﹣2x D．y=2x
【分析】欲求直线y=2x关于x轴对称的直线方程，只须将原直线方程中的y用﹣y 替换得到的新方程即为所求．
【解答】解：∵直线y=f（x）关于x对称的直线方程为y=﹣f（x），
∴直线y=2x关于x对称的直线方程为：
y=﹣2x．
故选C．
【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．
2．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x等于（）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．
【解答】解：∵cosx=，x∈（﹣，0），
∴sinx=﹣．∴tanx=﹣．
∴tan2x===﹣×=﹣．
故选D．
【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．
3．（5分）（2003•天津）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）
A．B．C．8 D．﹣8
【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=
﹣即可求之．
【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，
则其准线方程为y=﹣=2，
所以a=﹣．
故选B．
【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式．
4．（5分）（2003•天津）等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n为（）A．48 B．49 C．50 D．51
【分析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出an的表达式，然后令an=33，解方程即可．
【解答】解：设{an}的公差为d，
∵，a2+a5=4，
∴+d++4d=4，即+5d=4，
解得d=．
∴an=+（n﹣1）=，
令an=33，
即=33，
解得n=50．
故选C．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式an=a1+（n﹣1）d，注意方程思想的应用．
5．（5分）（2003•天津）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠
F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【分析】根据双曲线对称性可知∠OMF2=60°，在直角三角形MOF2中可得tan∠
OMF2==，进而可得b和c的关系式，进而根据a=求得a和b的关系式．最后代入离心率公式即可求得答案．
【解答】解：根据双曲线对称性可知∠OMF2=60°，
∴tan∠OMF2===，即c=b，
∴a==b，
∴e==．
故选B．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．本题利用了双曲线的对称性．
6．（5分）（2003•全国）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．
【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，
当x0＞0时，则x0＞1，
故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故选D．
【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．
7．（5分）（2003•全国）已知f（x5）=lgx，则f（2）=（）
A．lg2 B．lg32 C．D．
【分析】令x5=2，得x=，从而即可求得f（2）的值．
【解答】解：令x5=2，
∴得x=，
∵f（x5）=lgx，
∴f（2）=lg=lg2．
故选D．
【点评】本题主要考查函数值的求法，以及对数的运算，关键是从令x5=2，求得x 的值，从而即可求得f（2）的值．
8．（5分）（2003•全国）函数y=sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ=（）
A．0 B．C．D．π
【分析】根据y=sinx是奇函数，y=cosx是偶函数，对选项逐一排除即可．
【解答】解：当φ=0时，y=sin（x+φ）=sinx为奇函数不满足题意，排除A；
当φ=时，y=sin（x+φ）=sin（x+）为非奇非偶函数，排除B；
当φ=时，y=sin（x+φ）=cosx，为偶函数，满足条件．
当φ=π时，y=sin（x+φ）=﹣sinx，为奇函数，
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性．属基础题．
9．（5分）（2003•全国）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=（）
A．B．C．D．
【分析】利用点到直线距离公式，可以直接求解．
【解答】解：由点到直线的距离公式得：=，
∵a＞0，
∴a=．
故选C．
【点评】点到直线的距离公式，是高中数学的重要知识，是高考常考点．
10．（5分）（2003•全国）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面
半径为，该圆柱的全面积为（）
A．2πR2 B．C．D．
【分析】由题意先求出内接圆柱的高，然后求该圆柱的全面积．
【解答】解：设圆锥内接圆柱的高为h，则，解得，
所以圆柱的全面积为：s=2×+=．
故选B．
【点评】本题考查旋转体的面积，是基础题．
11．（5分）（2003•天津）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ=（）
A．B．C．D．1
【分析】可以画草图帮助理解，由于若P4与P0重合，故P2、P3也都是所在边的中
点，根据对称性可知P0P1的斜率是，得到结果．
【解答】解：由于若P4与P0重合，
故P2、P3也都是所在边的中点，
因为ABCD是长方形，
根据对称性可知P0P1的斜率是，
则tgθ=．
故选C．
【点评】本题考查直线的斜率和对称性知识，由于ABCD是长方形，降低了题目难度，可以采用观察法求得结论．是基本方法的训练题目．
12．（5分）（2003•全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）
A．3πB．4πC．3D．6π
【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对
角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．
【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：
（1）一个正方体可以内接一个正四面体；
（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．
则球的半径R=，
∴球的表面积为3π，
故答案选A．
【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2003•全国）不等式的解集是（2，4] ．
【分析】此题要注意4x﹣x2≥0，先对不等式两边平方，然后再移项、系数化为1，求出不等式的解集；
【解答】解：∵x＞≥0，
∴x＞0，
∵不等式，两边平方得，
4x﹣x2＜x2，
∴2x2﹣4x＞0，
解得，x＞2，x＜0（舍去），
∵4x﹣x2≥0，
∴0≤x≤4，
∴综上得：不等式的解集为：（2，4]，
故答案为（2，4]．
【点评】此题要注意根号有意义的条件，很多学生忽略了这一点，从而导致出错．
14．（4分）（2003•全国）在的展开式中，x3的系数是﹣（用数字作答）
【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，对于，
有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•（﹣）r=（﹣）r•C99﹣r•x9﹣2r，
令9﹣2r=3，可得r=3，
当r=3时，有T4=﹣x3，
故答案﹣．
【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．
15．（4分）（2003•天津）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2 ．”
【分析】从平面图形到空间图形的类比
【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S △ADB2=S△BCD2．
故答案为：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．
【点评】本题主要考查学生的知识量和知识的迁移类比等基本能力．
16．（4分）（2003•全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有72 种．（以数字作答）
【分析】分类型，选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同，求解即可．
【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33=24种
4色全用时涂色方法：C21•A44=48种
所以不同的着色方法共有72种．
故答案为：72
【点评】本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，避免重复和遗漏情况，是中档题．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2003•天津）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离．
【分析】（1）欲证明EF为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四边形EFMC是矩形→EF⊥CC1．由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1．
（2）欲求点D1到面BDE的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．求解即得．
【解答】解：（1）取BD中点M．
连接MC，FM．
∵F为BD1中点，
∴FM∥D1D且FM=D1D．
又EC CC1且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形
∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．
∴EF⊥面DBD1．
∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．
故EF为BD1与CC1的公垂线．
（Ⅱ）解：连接ED1，有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．
由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，
设点D1到面BDE的距离为d．
则．
∵AA1=2，AB=1．
∴，，
∴．
∴
故点D1到平面DBE的距离为．
【点评】本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．
18．（12分）（2003•全国）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．
【分析】本题考查的复数的基本概念及等比数列的性质，由复数z的辐角为60°，我们可以使用待定系数法设出复数Z，然后根据|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项，结合等比数列的性质构造方程，解方程求出待定的系数，即可得到Z值，进而求出复数的模．
【解答】解：设z=（rcos60°+rsin60°i），
则复数z的实部为．
由题设|z﹣1|2=|z|•|z﹣2|，
即：（z﹣1）（﹣1）=|z|
∴r2﹣r+1=r，
整理得r2+2r﹣1=0．
解得r=﹣1，
r=﹣﹣1（舍去）．
即|z|=﹣1．
【点评】解决复数问题时，我们多使用待定系数法，即设出复数的值，然后根据题目中的其它条件，列出方程，解方程求出系数，即可得到未知复数的值．
19．（12分）（2003•天津）已知数列{an}满足a1=1，an=3n﹣1+an﹣1（n≥2）．（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）证明．
【分析】（Ⅰ）由a1=1，an=3n﹣1+an﹣1（n≥2），当n=2时可求a2，n=3时求得a3 （Ⅱ）利用递推式构造an﹣an﹣1=3n﹣1，然后通过累加可求出an
【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，
∴a2=3+1=4，
∴a3=32+4=13；
（Ⅱ）证明：由已知an﹣an﹣1=3n﹣1，n≥2
故an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
=．n≥2
当n=1时，也满足上式．
所以．
【点评】本题是个基础题，主要考查由递推式求数列的项和累加法求数列的通项，注意验证n=1．
20．（12分）（2003•天津）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间上的图象．
【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简后，利用两角差的正弦函数公式的逆运算及特殊角的三角函数值化简为一个角的正弦函数，利用周期的计算公式
T=求出函数的周期，根据正弦函数的最大值为1求出函数的最大值即可；（2）由（1）的解析式列出表格，在平面坐标系中描出五个点，然后用平滑的曲线作出函数的图象即可．
【解答】解：（1）f（x）=2sin2x+2sinxcosx=1﹣cos2x+sin2x
=
=
所以函数的最小正周期为π，最大值为；
x
故函数y=f（x）在区间上的图象是：
【点评】本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能，考查画图的技能．
21．（12分）（2003•全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中
心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
【分析】建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．设在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，进而可得关于t的一元二次不等式，求得t的范围，答案可得．
【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．
在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为
令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，
其中r（t）=10t+60，
若在t时，该城市受到台风的侵袭，
则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，
即，
即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．
答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．
【点评】本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．
22．（14分）（2003•全国）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB
的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．
【分析】建立坐标系，按题意写出A，B，C，D四点的坐标，进而根据
解出E，F，G三点的坐标参数表示，求出OF与GE两条直线的方程，两者联立即可求出点P的坐标满足的参数方程，消去参数，得到点P的轨迹方程．由于参数a的取值范围影响曲线的形状故按参数a的范围来对曲线进行分类．
【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，
据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．
按题意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a）
设=k（0≤k≤1），
由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）．
直线OF的方程为：2ax+（2k﹣1）y=0，①
直线GE的方程为：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a=0．②
从①，②消去参数k，
得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay=0，
整理得．
当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；
当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；
当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值；
当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．
【点评】考查解析法求点的轨迹方程，本题在做题时引入了参数k，故得到的轨迹方程为参数方程，需要消去参数得到轨迹方程，又当字母的取值范围对曲线的形状有影响时，要对其范围进行讨论以确定轨迹的具体性状．考查分类讨论的数学思想．
参与本试卷答题和审题的老师有：yhx01248；zhwsd；wzj123；jj2008；wsj1012；minqi5；qiss；geyanli；zhiyuan；danbo7801；wodeqing；豫汝王世崇；snowwhite；sllwyn；xintrl（排名不分先后）
菁优网
2017年5月28日。