2016年考研数学一真题与解析答案

2016考研数学（一）真题及答案解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分

()

11b

a

dx x x +∞

+⎰

收敛，则（ ）

()()()()11111111

A a b

B a b

C a a b

D a a b <>>><+>>+>且且且且

（2）已知函数()()21,1

ln ,1

x x f x x x -<⎧⎪=⎨

≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）

()()()()()()()()()()()()()()()()2

2

221,1

1,1

ln 1,1

ln 11,1

1,11,1

ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨

⎨

-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨

++≥-+≥⎪⎪⎩⎩

（3）若(

)

(

)2

2

2

211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的

两个解，则()q x =（ ）

()()()()

()

()222

2

313111x

x A x x B x x C D x x +-+-

++

（4）已知函数(),0111

,,1,2,1

x x f x x n n n n ≤⎧⎪

=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）

（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）T

A 与T

B 相似 （B ）1

A -与1

B -相似 （

C ）T

A A +与T

B B +相似 （D ）1A A -+与1

B B -+相似

（6）设二次型()2

2

2

123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2

f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）

（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面

（7）设随机变量(

)()0,~2

>σσ

μN X ，记{}2

σμ+≤=X P p ，则（ ）

（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少

（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为

3

1

，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果

2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim

2

00

=-+⎰→x dt t t t x

x

（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA

（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,12

2

-=-+确定，则

()_________

1,0=dz

（12）设函数()2

1arctan ax

x

x x f +-

=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式

10001

00014

3

2

1

λλλ

λ--=-+____________.

（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2

,N

μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ

的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,2

2D r r π

πθθθ⎧⎫

=≤≤+-

≤≤

⎨⎬⎩

⎭

，

计算二重积分

D

xdxdy ⎰⎰.

（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程''

'

20,y y ky ++=其中01k <<.

()I 证明：反常积分0

()y x dx +∞

⎰收敛；

()II 若'

(0)1,(0)1,y y ==求0

()y x dx +∞

⎰的值.

（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足

2(,)

(21),x y f x y x e x

-∂=+∂且(0,)1,t f y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分

(,)(,)

()t

L f x y f x y I t dx dy x y

∂∂=+∂∂⎰

，并求()I t 的最小值 （18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()

zdxdy

ydzdx dydz x

I 3212

+-+=

⎰⎰∑

（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，1

0'()2

f x <<

，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +=

=，证明： （I ）级数

1

1

()n n n x

x ∞

+=-∑绝对收敛；

（II ）lim n n x →∞

存在，且0lim 2n n x →∞

<<.

（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝

⎭

当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？

（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫

⎪

=- ⎪ ⎪⎝⎭

（I ）求99

A

（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2

B BA =，记100

123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表

示为123,,ααα的线性组合。 （22）（本题满分

11

分）设二维随机变量(,)X Y 在区域