第七章材料力学应力状态

薄壁圆筒实例
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16
横截面与纵截面上均存在的正应力，对 于薄壁圆筒，可认为沿壁厚均匀分布。
D 2 FR p 4
轴向应力
FR pD 2 1 pD x D 4 D 4
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17
周向应力
2 t (1 ) p(1 D) 0
24
根据切应力互等定理
2
xy yx ， 及三角函数关系
1 cos 2 1 cos 2 2 cos ， sin 2 2 sin 2 2sin cos
整理后得到

x y
2

x y
2
cos 2 xy sin 2
yx
D
y
A

O
D( , )
2 C 2 0 D1


( y , yx ) B
A( x , xy )
B

x xy
OD1 OC CD1 OC CD cos(2 2 0 )
OC CA cos 2 cos 2 0 CA sin 2 sin 2 0 x y x y cos 2 xy sin 2
二倍角对应——半径转过的角度是斜截 面旋转角度的两倍。
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35
点面对应
y
yx
B
转向对应

二倍角对应
D( , )

A
n
x
2 O
A( x , xy )
D


xy
x

C
( y , yx )B
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36
2、单元体斜截面上的应力
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1
概
述
几个问题
1、简单变形（拉压、扭转、平面弯曲）某点横截 面有应力，通过该点的斜截面上是否也有应力？ 轴向拉伸横截面上的应力
F
p
FN A


p
F

轴向拉伸斜截
面上的应力
p cos

F F cos cos 2 cos 2 A A F p sin sin cos sin 2 A 2
CD sin(2 2 0 )

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2
2
CA sin 2 cos 2 0 CA cos 2 sin 2 0
x y
2 sin 2 xy cos 2
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37
3、主应力值及主平面方位
A
O
主应力值
OC
x y
2
2
E
C
应力的正负号规定是为 作应力圆准备，不表示 应力的指向与图示相反。
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22
3、任意斜截面上的应力 平衡对象——用 斜截面 截取的局部单元 参加平衡的量——应力乘以 其作用的面积 平衡方程——
dA
xy
x



n x

F
n
0
yx
y
t
F 0
t
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2
材料力学
2、如果斜截面上有应力，是否需要研究？
断口 断口 45°
低碳钢扭转断口
铸铁扭转断口
从两种不同材料的扭转试验可知，低碳 钢在横截面破坏，铸铁在斜截面破坏，所以 斜截面上的应力当然要研究！
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3
应力的三个概念 应力点的概念: 不同点处应力不同。 应力面的概念：同一点处不同截面上的应 力不同。 应力状态的概念：过一点不同截面上应力的 的集合，称为这一点的应力状态。
Ft 0
dAx(dAcos)sin xy (dAcos)cos yx (dAsin)sin y(dAsin)cos 0
( x y )sin cos xy cos 2 yx sin 2
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5 4 3 2 1
2
1
x
1
2
x
2
2
3
3
3
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9
三、主平面
主应力
1、主平面——切应力等于零的平面。
一点处一般有三个主平面，互相垂直。
2、主应力——主平面上的正应力。
一点处一般有三个主应力，按代数值大小排 列分别记为 1 ， 2 ， 3，且
1 2 3
F

min OE OC CE
23
dAx(dAcos)cos xy (dAcos)sin yx (dAsin)cos Fn 0 y(dAsin)sin 0
2 2
xy x
dAcos
dA



n x

yx y
t dAsin
x cos y sin ( xy yx )sin cos
（7-1）

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x y
2
sin 2 xy cos 2
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（7-2）
25
Fra Baidu bibliotek
由式（7-1）、（7-2）可得，
90 x y
0
某点处互相垂直的两个截面上的正应力之和为常数。
90
0
某点处互相垂直的两个截面上的切应力大小 相等，方向相反。（切应力互等定理）
y
yx
x
yx
y
xy
x
x
xy
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19
二、任意斜截面上的应力
只要知道微元体六个面上的应力，任意斜截 面上的应力便可通过局部平衡求出。 1、任意斜截面的表示方法
y
y

n
yx

x


z
x

xy
y
x
xy
x
任意斜截面是指法线 位于xy面内的斜截面
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21 2 0 ，1 0 2 4
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32
§7.2
平面应力状态分析 ——图解法
一、应力圆方程 x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
， 为变量 为参数
2
x y 2 2
2
材料力学
x y 2 xy 2

2
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33
二、应力圆的作法

x y 2 R xy 2
5
dz
dy
dx
平行两面对应应力数值相等

x x
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6
一点应力状态
y
y
yz
xy
zx
x
x
z
z
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单元体的取法
原则：各面应力已知或可求。 F
S平面
l 2
l 2
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8
S平面
5 4 3 2 1
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26
图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力 F=500kN，外力偶矩M=7kN· m。求C点 = 30°截面 上的应力。
y M M
yx
F x
F
C
xy
x
C
x
x
xy
yx
(a)
(b)
解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：
F 500 10 x 63.7MPa A 1002 4
d | 0 0 时，必有 | 0 0 当 d
正应力取极值的截面上其切应力为零，即为主平面。
主平面上的正应力为主应力，为最大值或最小值。
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29
由 得
x y
2
sin 2 0 xy cos 2 0 0
2 xy
tan 2 0
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31
式（7-5）可求出相差900的两个角 1，对应两个互 相垂直的截面上，作用着大小相等，同时指向或背 离交线的切应力所在截面。
max x y 2 xy min 2
2
（7-6）
式（7-3）和式（7-5）有： tan 2 0 tan 21 1 所以有
（7-4）
30
四、面内最大切应力及位置 式（7-2）对 求导，得 d ( x y )cos 2 2 xy sin 2 d d | 1 0 可确定面内切应力取极值的截面。 由 d x y （7-5） tan 21 2 xy
上式所指的面内是指截面法线是位于xy平面内的。
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20
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面——斜截面
自x轴正向逆时针 转到 面外法线时 角定义为正。 2、应力的正负号规定
任意斜截面的 表示方法
xy x



x
正应力以拉应力为正，
压应力为负。

yx y
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xy
yx
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切
应
力
绕单元体或 其局部顺时针方 向转动为正；反 之为负。
1
t
pD 2
径向应力
r max p
r max p 2 pD D t 2
D / 20
r 一般忽略不计
2 x
pD 4
1 t
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pD 2
3 0
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§7.2
平面应力状态分析 ——解析法
y
一、平面应力状态的一般情形
应力必须指明是哪点、哪个截面上的应力。
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4
二、一点应力状态的描述
单元体：围绕构件内一点所截取的微小正六面体。 （1）各边长为无穷小直六面体； dx，dy，dz→0 （2）各面应力均匀分布； （3）平行两面对应应力数值相等。 （4）单元体各个面上的应力已知 或可求；
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cos(600 ) xy sin(600 )
30

x 0
2
sin 2 xy cos 2 45.4 MPa
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三、主平面及位置
式（7－1）对 求导，得
x y d 2( sin 2 xy cos 2 ) 2 d 2
3
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27
T 7 10 xy 35.7 MPa WP y 1003 16
6
yx
x
图示斜截面上应力分量为：
C ° xy -30° xy yx
x -30
x
30°
n
30

x 0 x 0

2 2 16.9MPa
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10
z
z
z'
zx
xz x
x
zy yz
3
y
y
x'
xy yx
1 2
旋转
y'
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四、一点应力状态的分类 1、单向应力状态——只有一个主应力不为零。 单元体 简化表示


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2、二向（平面）应力状态——有两个主应力 不为零。
第七章 应力状态和强度理论
§7.1
一、应力状态的概念
一点的应力状态是指某点处各截面上的应力情况。 前面各章研究的正应力和切应力都是横截面 上的应力，通过应力状态分析，可以了解各点任 意斜截面上的应力情况。研究应力状态的目的是 找出某点处的最大正应力和最大切应力数值及所 在截面的方位，以便进行失效分析并研究构件破 坏的原因。
2
A( x , xy )
R
B1 C

A1
yx
O
y
B
( y , yx ) B x y 2
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A
xy
x
34
三、应力圆的应用
1、单元体与应力圆的对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值
对应着单元体某一截面上的正应力和切 应力值；
转向对应——半径旋转方向与单元体斜 截面法线旋转方向一致；
2
2 1
简化
1

特例
单向应力状态
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纯剪应力状态
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3、三向（空间）应力状态——三个主应力 都不为零。
2
1
3
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14
三 二 单向应力状态 向 向 应 应 力 力 状 特例 状 特例 纯剪应力状态 态 态
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x y
（7-3）
式（7-3）可求出相差900的两个角 0，对应两个互 相垂直的截面上，一个是最大正应力所在截面，另
一个是最小正应力所在截面。
max x y x y 2 xy min 2 2
2
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