一元高次方程求根公式

⎨ 1 2 一元高次方程求根公式
A 、一元二次方程求解
1. ax 2
+ bx + c = 0, a ≠ 0,⇒ x
B 、一元三次方程求解
2. x 3
+ ax 2
+ bx + c = 0
a
其中 a ,b ,c 是任意复数
③ 若令 x = y − ，则三次方程简化为 3 y 3
+ py + q = 0
④
a 3
ab
2a 3
其中 p = b − ， q = c − + ，
3 3 27
设 y 1 , y 2 , y 3 表示简化方程④的根，则据根与方程系数的关系，得 y 1 + y 2 + y 3 = 0 。

⎧u = −4 p 3 − 27q 2 ⎪⎧ = + 2 +
若令 ⎪ ， ⎨z 1 y 1 v y 2 vy 3 。

⎪v = − ⎪z = y + vy + v 2 y ⎩ 2 ⎩ 2 1 2 3
对于适当确定的立方根，卡当公式是 z 1 z 2
⎧ y = 1 (z + z ) ⎪ 1 1 2 ⎧ y 1 + y 2 + y 3 = 0 ⎪
3 求解线性方程组 ⎪ y + v 2 y + vy = z ，得到 ⎪ y
1 −
2 −1
= (v z + v z ) ，
⎨ 1 2 3 1
⎨ 2 1 2
⎪ y + vy + v 2 y = z ⎪ 3 ⎩ 1 2 3 2
⎪ ⎪ y 3 ⎩
= 1
(v −1z + v −2 z ) 3
于是，原三次方程的三个根为 y 1
y = ω y = ω 2 3
q 2 p 3 1 其中 ∆ =
+ ，ω = − +（ i 。

4 27 2 C 、一元四次方程求解
3. x4＋b x3+cx2+d x+e＝0．
设方程为x4＋b x3+cx2+d x+e＝0．(4) 移项，得 x4＋b x3=-cx2-d x-e，
右边为 x 的二次三项式，若判别式为0，则可配成x 的完全平方．解
这个三次方程，设它的一个根为 y0，代入(5)，由于两边都是 x 的完全平方形式，取平方根，即得
解这两个关于 x 的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．
附：一元三次方程ax 3 +bx 2 +cx +d = 0的解法先把方程ax 3 +bx 2 +cx +d = 0化为x3 + px +q = 0的形式：
2 3 2 2 3 2
3 2 2 2 令 x = y − b
，则原式变成
3a
a ( y −
b ) 3 + b ( y − b ) 2 +
c ( y − b
) + d = 0
3a 3a 3a
a ( y 3
− by b 2 y + − b ) + b ( y 2
− 2by + b ) + c ( y − b ) + d = 0 a 3a 2 27a 3 3a 9a 2 3a
ay 3
− by 2
+ b y − b + by 2 − 2b y + b + cy − bc + d = 0 3a 27a 2 3a 9a 2 3a
ay 3
+ (c − b ) y + (d + 2b 3 − bc ) = 0 3a 27a 2 3a
y 3
+ ( c − b ) y + ( d + 2b 3 − bc
) = 0 a 3a 2 a 27a 3
3a 2
如此一来二次项就不見了，化成 y 3 + py + q = 0 ，其中 p = c b 2
− ，
a 3a 2
q = d + a 2b 3 27a 3 −
bc 。

3a 2
对方程 y 3 + py + q = 0 直接利用卡尔丹诺公式：
y 1
y 2 =
ω ω
2 ⋅ y
3 = ω ⋅
ω ⋅
其中ω = −1 + 3i 。

∆ = ( q ) 2 + ( p
)3 是根的判别式：Δ＞0 时，有一个实根两个虚根；Δ＝0 时，有
2 3
三个实根，且其中至少有两个根相等；Δ＜0 时，有三不等实根。

附：方程y 3 + py + q = 0（2）求根公式的推导过程：
，，
，两个共轭虚根，
“卡丹公式”的形式，这里的根式都是在实数意义下的。

）若，即时，可求得，
方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。

，，
，
，
，且
取，，
则
显然，当且仅当取，；，；，
这三组时才满足，
于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：
其中
∴当时，方程（2）有三个实根。

综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，，，
，
1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，
2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，
，，
3）当时，方程有三个实根，
，
结论：
ω=(−1+3) / 2;ω= (−1−3) / 2。

1 2
一元四次方程求解
1
3. x 4
＋b x 3
+cx 2
+d x +e ＝0
第一步：按“一元三次方程求解方法”求出以下方程关于 y 的解，记为 y 0：
①
第二步：将求得的 y 0 代入下式
②
解这两个关于 x 的二次方程，便可得到 x 4
＋b x 3
+cx 2
+d x +e ＝0 的四个根．
说明：公式②右边根号内是关于 x 的完全平方式。

五， n 次方程的一般表达式是： a x n + a x n −1 + ⋅⋅⋅ + a x + a = 0,a ≠ 0, 0 1 n −1 n 0
而 f (x ) = a 0 x n + a x n −1
+ ⋅⋅⋅ + a n −1x + a n 称为 n 次多项式，其中 a 0 ≠ 0 。

当系数 a 0 , a 1,
⋅⋅⋅, a n −1, a n 都是实数时，称 f (x ) 是 n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时， 称 f (x ) 为 n 次复系数多项式。

如果存在复数α ，使得 f (α ) = 0，就称 α 是 n 次方 程 f (x ) = 0 的一个根，或称为 n 次多项式 f (x ) 的一个根。

高斯首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至 少有一个复数根。

据此推出：复数域上 n 次多项式恰有 n 个复数根，其中 k 重根 以 k 个根计算。

这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任 何 n 次多项式都可以分解成 n 个一次式的乘积。

” 在一般情况下，求出精确根是很困难的，只能求得高次方程的根的近似值。

设 x * 是 f (x ) 的一个精确根，即 f (x * ) = 0 ，假设问题所要求的精确度为 ε ，
也
k
就是满足 x − x *
< ε 的 x ，或满足 求近似根的几个常用方法： 方法一：牛顿切线法
x − x *
x
*
< ε 的 x ，称为 x * 的一个近似根。

取一个初始值 x = x 0 ，然后使用下述迭代公式
x k +1 = x k −
f (x k ) ，
k = 0,1, 2,⋅⋅⋅, f '
( x )
其中 f ' (x ) 是 f (x ) 的一阶导数。

因为 f (x ) 的根 x * 满足 f (x * ) = 0 ，在直角 面中，点 ( x * , 0) 恰是 y = f ( x )
的曲线与 Ox 轴的交点，于是每次迭代所得
的点 x 正好是曲线上点 ( x , f ( x )) 的横坐
k
k
k
标。

牛顿切线法其实就是过曲线上的一列 点所作曲线的切线与 Ox 轴的交点。

方法二：牛顿割线法 在方法一中，只要给定一个初始点 x 0 。

而方法二中，我们给定两个初始点 x 0 , x 1 。

然后
在每次迭代时，把 x k −1 , x k 作为下一次迭代的始值。

x k +1 = x k −
x k − x k −1
f ( x k ) − f ( x k −1 )
f ( x k ), k = 1, 2, 3,⋅⋅⋅
这类方法都是从已知的点通过相同的计算公式，求得下一个新点。

数学上称 为迭代法。

迭代法很适合于计算。

只要初始值选取得好，以上两种方法产生的无 穷数列。

{x 0 , x 1,⋅⋅⋅, x n ,⋅⋅⋅} 均能收敛于 f (x ) 的根 x * 。