航天器的姿态与轨道最优控制

航天器的姿态与轨道最优控制董丽娜唐晓华吴朝俊司渭滨(第八小组)（西安交通大学电气工程学院，陕西省，西安市 710049）【摘要】从航天器的轨道运动学方程出发, 运用线性离散系统最优控制理论, 提出了一种用于航天器轨道维持与轨道机动的最优控制方法, 建立了相关的最优控制模型并给出了求解该模型的算法。

仿真计算结果表明, 本文提出的最优控制方法是正确和可行的。

【关键词】航天器轨道保持轨道机动最佳控制Optimal Control of Spacecraft State and OrbitDong LiNa，Tang XiaoHua，Wu ChaoJun，Si WeiBin（EE School of Xi’an Jiaotong university，Xi’an, Shannxi province, 710049）【Abstract】This paper provides a new optimal control method for orbital maintenance and maneuver ,which begins with the kinetics equation of spacecraft and is based on the linear discrete optimal control theory , establishes the relative optimal control model and gives its solution. The simulation results show that the given optimal control method in this paper is correct and feasible. 【Key word】Spacecraft ，Orbital keeping ，Orbital maneuver ，Optimal control1 引言一般地,常见的航天器有:运载火箭、人造卫星、载人飞船、宇宙飞船、空间站等。

宇宙飞船也称太空飞船，它和航天飞机都是往返于地球和在轨道上运行的航天器（如空间站) 。

对于无人航天器由一下几部分组成：(1)有效载荷 (2)结构 (3)动力系统(4)温度控制系统 (5)姿态和轨道控制 (6)电源系统和遥测、遥控、跟踪系统星载部分其中姿态和轨道控制是航天器运行过程中比较重要的技术。

包括被动式和主动式。

(1)被动式：利用航天器本身的动力特性和自然环境力矩来控制姿态。

a. 不需消耗航天器上的能源b. 结构简单，适用于较长寿命的航天器c. 控制精度不高,常用的有自旋稳定，重力梯度稳定，磁稳定等。

(2)主动式：当控制器送来信号后则启动执行机构，控制卫星姿态的执行机构。

a.以喷气三轴控制（卫星上装有轴向，横向和切向喷嘴）b.以飞轮为主的三轴控制（即角动量控制）姿态和轨道控制必要性:(1)卫星进入轨道后，长时间的运行过程中会遇到各种干扰，即使极稀薄的空气也会形成空气阻力，阻力虽然很小但长久的作用也会使卫星速度变慢，偏离预定的轨道。

(2)卫星的天线和观察设备要卫星有一定的指向，当偏离后就需要调整它的姿态。

(3)返回式卫星在轨工作完成后，也要调整卫星姿态。

使其发动机喷口对准预定方向，点火产生推力，使卫星进入轨道，然后返回地面。

由此可见，航天器轨道维持和轨道机动是轨道力学研究的重要问题。

工程实践中,轨道维持通常是按轨道平面维持和轨道形状维持等多个方面分别进行的,这不但繁琐而且不易实现燃料消耗的最小化。

怎样才能以最小的能耗实现航天器的轨道维持呢?对于已偏离其标称轨道(由于入轨误差和空间各种扰动因素的影响)、同时又肩负着变轨使命的在轨航天器而言,又该如何调整预先设定好的各变轨点速度脉冲,最终以最小的能耗代价飞抵原定目标轨道或临时变更的新目标轨道呢?针对这些问题,本文运用线性离散系统最优控制理论对轨道维持与机动问题进行了研究,提出了轨道维持与机动的最优控制模型及其求解算法。

该模型的提出,从最优控制的角度出发对轨道维持与机动问题展开研究。

2 最优控制模型的建立与求解设计目的：当航天器在运行工作中，其中某一动量飞轮发生故障或失效，航天器能保持有效的姿态控制和任意的定位。

设计要求：利用最优控制方法提出求解带有2个动量飞轮航天器的姿态控制算法,通过数值仿真,表明该方法对航天器姿态控制是有效的分析思路：本课题考虑航天器在2个动量飞轮作用下，当系统角动量为0时，将航天器系统的姿态控制问题转化为无漂移系统的运动规划问题,利用最优控制方法确定动量飞轮控制输入规律，以达到航天器主体的期望姿态。

2.1 系统建模如图1所示以系统质点O 为原点建立相对惯性空间平动的坐标系。

i ρ分别是i O 到系统总质心O 的矢径图1 2动量飞轮航天器系统两个飞轮相对系统总质心的位置:其中：又由牛顿定律,航天器系统相对Ｏ点的动量矩可表示为:当航天器系统起始动量矩Ｈ为零。

上式可化作为:以上各式中：ω 为航天器的绝对角速度矢量。

i I (i =0,1,2) 分别为主刚体和2个飞轮的惯性张量。

10112022,d b d b ρρρρ=+=+121122,00x x y y b b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2122000R(,,)J J ()J I I (I J )J b b i i ii i i i i i i i i i H b j φθψωωθ===T =++⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦=∑∑∑ 22111(J J )b i i ii i ωθ-===-+∑∑i θ(i =1,2) 分别为飞轮Ｂ绕ｂ的转动角。

J i (i =1,2) 分别为动量飞轮Ｂ绕ｂ的惯量矩。

又因为ω可以用卡尔丹角及其导数表示为:代入上式,则有:其中：(,,)q θψφ=2.2 控制方法将动量飞轮相对转动角速度 i θ取作输入变量,记作u ,定义航天器主刚体的位形(,,)q θψφT =状态变量,则系统的状态方程为：B(x)u q= 其中：22-111211B(x)=L (),u=(,)i ii i J J b θθ-T==-+∑∑根据最小能量控制原理,选择航天器动量飞轮转动耗散能作为最优控制指标,性能指标函数为：(),d TJ u u u t =⎰在式中()u t 为Hilbert 空间2L 的可测向量函数。

实际计算时,只需考虑有限维的情况,则u 可表示为Fourier 基向量{}1Ni i e =的线性组合1Ni i i U e αφα===∑其中()1,2,,i i N α== 为函数ｕ在{}1Ni i e =基上的投影。

将α视作新的控制变量,考虑终端约束条件,指标函数()J u 写为：221(,)()Ni f i J x T x αλαλ==+-∑λ为罚因子,可以证明,当Ｎ,λ→∞时,式()J u 与(,)J αλ有相同的最优解。

()X T 是由控制输入u 给定在t T =时的解,为R αN ∈的函数,记作()()X T f α=。

cos cos sin 0cos cos cos 0sin 01ψφφθωψφφψψφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦221111L (J J )i i ii i q b θ--===-+∑∑给定N 和λ,则上式可变为：(),()f J f x αααλα=+-因此寻找控制输入ｕ使式()J u 为最小值的问题转化为寻找α式指标函数()J α为最小值的问题。

可以用无约束算法对变换后的系统求最优控制α,将α带入即得到原问题的最优控制u 。

利用牛顿法,在极小点附近用指标函数()J u 的Taylor 多项式展开,取二阶近似并令9()/90n J αδδ+=,得到牛顿法的迭代公式1212n n n n J Jαααα-+⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭其中：2(())n n f nJf x αλααT ∂⎡⎤=+A -⎣⎦∂ ()24212()i n fi i i n J f x λλααT=∂⎡⎤=E +A A +-H ⎢⎥∂⎣⎦∑ 此式中A 为f 的Jacobi 矩阵,i H 为f 的分量i f 的Hesse 矩阵,E 为单位阵。

因()E A A λT +恒为正定,指标函数()J α又具有平方和形式,上式可用修正牛顿法,即Gauss-Newton 迭代公式表示11(())n n n n f f x αασγγαα+-T T⎡⎤⎡⎤=-E +A A +A -⎣⎦⎣⎦式中1/γλ=,σ为步长因子,01σ<<。

上式中只需求出函数()n f α及其Jacobi 矩阵nJA α∂=∂即可迭代求解n α。

应用微分方程的数值积分求出上式中的nnJ A αα∂=∂,为此定义矩阵函数y 为：()()x t y t α∂=∂,且0(0)lim ()0t y y t →==可得到关于()y t 的微分方程：31()()i i i x y u y u x α=∂B ∂∂⎡⎤==+BΦ⎢⎥∂∂∂⎣⎦∑对微分方程B(x)u q= 和上式从0到T 数值积分,并设()()n f X T α=,()A y T =代入迭代求解n α。

对于给定系统初始位形0X 和终端位形f X 以及()B x ,可得到连接0X 到f X 的最优控制规律()U t 。

3 模型仿真求解考虑航天器利用2个动量飞轮转动控制姿态运动,航天器系统质量几何参数为：121212012202122b 100b (0,1,0)0.2,0.5Kg m 500,5Kg,I diag(86.215,85.07,113.565)Kg m I diag(0.5,0.25,0.25)Kg m I diag(0.25,0.5,0.25)Kg m d d m j j m Kg m m TT======⋅====⋅=⋅=⋅2（，，），设航天器初始和终端位形分别为： 000q 0,q 00/6f π⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦仿真试验中选取10个Fourier 正交基矢量,其中{}61()i i e t =为：1234560.5sin cos sin cos sin e ,e ,e ,e ,e ,e 000000t t t t t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦{}107()i i e t =分别由上式各基矢量行轮换得到。

上例通过19次迭代达到最优指标值,19α=61.67,误差精度为210-。

图2为航天器动量飞轮相对转动的最优控制输入规律,图3为航天器主刚体姿态运动优化时间历程。

图2 动量飞轮相对转动的最优控制输入规律图3 （a,b,c ）航天器主刚体姿态运动优化时间历程4 结论本文理论分析以及从图3的数值仿真可以看出，可以对航天器的位形进行从00q 00⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦到0q 0/6f π⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的有效控制，从而说明航天器在系统角动量为零的情况下，可以利用2个动量飞轮对刚体航天器的姿态进行控制。