等比数列的性质总结

等比数列性质

1. 等比数列的定义：

()()*1

2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q

-===⋅⋅≠⋅≠， 首项：1a ；公比：q 推广：n m n m a a q -=， 从而得n m n m a q a -=

或n q =3. 等比中项 （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =

或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅

4. 等比数列的前n 项和n S 公式：

(1) 当1q =时， 1n S na =

(2) 当1q ≠时，()

11111n n n a q a a q S q

q --==-- 11''11n n n a a q A A B A B A q q

=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5. 等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n n

a a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列

（3） 通项公式：()0n n a A B A B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列

（4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列

6. 等比数列的证明方法 依据定义：若()()*1

2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 注意

（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11n n a a q -= 如奇数个数成等差，可设为…，22,,,,a a a aq aq q q

…（公比为q ，中间项用a 表示）；

8. 等比数列的性质

(1) 当1q ≠时 ①等比数列通项公式()1110n n n n a a a q q A B A B q

-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q q q q

--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q

(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈*N ),则n m s t a a a a ⋅=⋅.特别的,当n+m=2k 时,得2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅

(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n

k a ,{}n k a ⋅,{}k n a ,{}n n k a b ⋅⋅{}n n a b (k 为非零常数) 均为等比数列.

(5) 数列{}n a 为等比数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等比数列

(6) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列

(7) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列

(8) 若{}n a 为等比数列,则数列12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 122n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 21223n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列

(9) ①当1q >时， ②当1q <0<时，

110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列，则为递减数列, 110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列.

(10)在等比数列{}n a 中, 当项数为2n (n ∈*N )时,1S S q

=奇偶,. (11)若{}n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+⋅