电路一阶电路的零输入响应
电路一阶电路的零输入响应
S(t＝0)
S(t＝0)
＋
R＋ຫໍສະໝຸດ R′RUSVD
US
－
L
－
C′
L
(a)
(b)
I0
衰减快慢取决于RC乘积。
2.时间常数: =RC
0
t
R C 欧 法 欧 伏 库 欧 安 伏 秒 秒
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
大 过渡过程时间的长 小 过渡过程时间的短
uc
U0
大
0 小 t
电压初值一定： C 大（R不变） W=0.5Cu2 储能大 放电时间长 R 大（ C不变） i=u/R 放电电流小
RCp10
1
uC Ae RC
＋ C － uC
S(t＝ 0) i ＋
R uR －
1t
uC Ae RC
uC (0+)=uC(0-)=U0
1t
uC(0)AeR
C t0
U0
A=U0
1.波形 uCU ： 0eR t Ct0
U0 uC
iu R CU R 0eR t C I0eR t Ct0 0 i
t
电压、电流以同一指数规律衰减，
t
y(t) y(0 )e
2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为 零输入线性。
例:图（a）所示为一测量电路,已知 L=0.4H, R=1Ω, US=12V,电压表的内 阻RV=10kΩ,量程为50V。S原来闭合, 电路已处于稳态。在t=0时,将开关打 开,试（1）电流 i(t)和电压表两端的电 压uV(t) （2）t=0时（S刚打开）电压 表两端的电压。
一阶电路的零输入响应
dt
50 1 e1500t 0.05 1500 e1500t
50 25e1500tV
第17页/共26页
§10.4 一阶电路的全响应 一、全响应的分解
全响应：电路中输入激励和储能元件的储能共同产生的响应。
R
+
+ uR – i
–US
C
uC 0 U0
电路方程
ui US
+u US-U0 C
一、RC电路的零输入响应
12 i
uC i
特征根
p
1
+ U0
—
R0
+ C uC
—
+ R uR
—
U0
U0
R
uC
i
0
RC
t
uC Ae RC t 0
确定积分常数
t
uC 0 U0
uC 0 U0
电路方程
uR uC 0
电压与电流的关系
u R iR
电路方程
RC
duC dt
uC
0
t＞0
通解
uC Aept
二、全响应的分解
1.全响应可分解为稳态分量和瞬态分量。
t
uC = uC′+ uC″ = US + （U0 - US）e
τ
稳态分量 瞬态分量
强制分量 自由分量
2.全响应可分解为零输入响应和零状态响应。
t
t
uc = uc1 + uc2 = U0e τ + US（1-e τ ）
零输入响应 零状态响应
uC US
+ uR –
uR uC i
+
R+i
rc一阶电路的零输入响应,电容电压按指数规律上升,电容电流按指数规律衰减
rc一阶电路的零输入响应,电容电压按指数规律上升,电容电流按指数规律衰减1.引言1.1 概述概述部分应该对整篇文章进行简要介绍，包括rc一阶电路、零输入响应以及电容电压和电流按指数规律上升和衰减的特点。
在rc电路中，包含一个电阻和一个电容器。
这种电路用于模拟和控制电信号的传输和处理，在实际应用中非常常见。
rc电路的零输入响应是指当外部输入信号为零时，电容器电压和电流变化的情况。
在这种情况下，电容电压会按照指数规律上升，而电流则会按照指数规律衰减。
电容电压按指数规律上升的原因是因为当电路中没有外部输入信号时，只有电容器内部存储的电荷起作用。
由于电容器的特性，电荷在电容器的两端积累，并导致电压的上升。
而电容电流按指数规律衰减的原因是因为在电路中没有外部输入信号时，电容器通过电阻流过的电流随时间逐渐减小，最终趋于零。
这种指数规律的电压和电流变化具有一些特点。
首先，变化率越大，变化越快，即上升或衰减的速度越快。
其次，变化过程并非线性，而是呈现出指数增长或衰减的趋势。
最后，变化过程的时间常数与电路的电阻和电容参数有关，不同的参数组合会导致不同的响应速度和幅度。
通过深入理解rc一阶电路零输入响应的概念和特点，我们可以更好地掌握电路的工作原理和性能。
这对于电子工程师设计和优化电路系统非常重要，也为我们更好地理解电信号在信号处理和传输过程中的行为提供了有益的启示。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文总共分为三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的。
首先，我们将简要介绍RC 一阶电路的概念和特点，并指出零输入响应在该电路中的重要性。
接着，我们将详细说明本文的结构和内容安排，以便读者能够更好地理解文章的主旨和逻辑框架。
最后，我们将明确本文的目的，即探讨RC一阶电路的零输入响应，以及电容电压和电流按指数规律变化的原因和特点。
正文部分将是本文的核心部分，我们将分为三个小节来进行讨论。
首先，在第2.1小节中，我们将介绍零输入响应的基本概念和原理，包括什么是零输入响应以及它在RC一阶电路中的意义和应用。
(电路分析)一阶电路的零输入响应
一阶电路的零输入响应第 3 节一阶电路的零输入响应零输入响应：电路无外加激励，仅由动态元件的初始储能作用所产生的响应，称为零输入响应（ zero-input response ）。
一、 RC 电路的零输入响应图 5.3-1 （ a ）电路， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 ，讨论换路后时的电容电压、电容电流等响应的变化规律。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电压源 Us 对电容 C 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图5.3-1 （ b ）所示。
时刻，电容电压等于直流电压源的电压 Us ，即时刻，电容与电压源断开，与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图 5.3-1 （ c ）所示。
由换路定则得换路后电容电压的初始值电容电流的初始值为图 5.3-1 （ c ）电路，由 KVL ，可得用积分变量分离法进行求解，得式中，为 RC 电路的时间常数（ time constant ），当 R 的单位为Ω， C 的单位为 F 时，τ的单位是秒（ s ）。
时间常数：时间常数是反映一阶电路过渡过程进展快慢的一个重要的参数，其大小仅取决于电路的结构和参数。
τ越大，响应衰减的速度就越慢；τ越小，响应衰减的速度就越快。
用表示电路换路后的响应，用表示该响应的初始值，则 RC 一阶电路的零输入响应可表示为RC 电路零输入响应的规律RC 电路换路后，各处的零输入响应都是从初始值开始，按指数规律衰减。
衰减得快慢由时间常数τ决定。
二、 RL 电路的零输入响应图 5.3-3 （ a ）是 RL 动态电路。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 。
下面讨论换路后时的电感电流、电感电压等响应的变化规律。
时刻，电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电流源 Is 对电感 L 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图 5.3-3 （ b ）所示。
t=0 时，开关 S 拨到位置 2 ，时，电感与电流源断开，而与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图5.3-3 （ c ）所示。
8.3.1一阶RC电路的零输入响应
一阶电路：可用一阶常微分方程描述的电路。
零输入响应：换路后无独立源的电路中，仅 由储能引起的响应。
1. RC 电路的零输入响应 +C u -R C i C -+Ru 0R C u u -+=0(0)C u U -=C u 0U S(0)t =R C +-a bC C Ri u -+R C u u -+=d 0d C C u RC u t=+=0(0)(0)C C u u U +-==d 0d C C u RC u t +=10RCp +=特征方程1p RC =-e e tptRC C u A A -==通解 特征根 +C u -RC i C -+R u00(0)e C u A A U +===确定AC u =0d e (0)d tC RCC u U i C t t R -=-=>0(0)e e (0)t tRC RC C u U t --+=≥解得 Cu R=t = 0处不连续2. 分析u c (t)和 i c (t)的变换规律 Ot0U Cu (a)O t C i R U 0(b)0e (0)tRC C u U t -=≥0e (0)t RC C U i t R-=>u C 和i C 的衰减速率取决于RC 之积 。
令 时间常数 (单位：s)RC τ=0 … 0.007U 00.018U 0 0.05U 0 0.135U 0 0.368U 0 U 0 u C (t ) ∞ …5τ 4τ 3τ 2τ τ 0 t τ 对放电时间的影响U 0u CO t U 0.3680τ3τ2τ1不同τ 值的 u C<<τττ123有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）22C C W Cu =电容储能越多 C 越大τ 越大 2/R p u R =R 越大 电阻消耗功率越小放电时间越长222000001()d ()d (e )d 2t RC R C U p t t i t R t R t CU R +++-∞∞∞===⎰⎰⎰电阻所消耗的能量 2220111(0)(0)(0)222C C C W Cu Cu CU ++-===电容的原始储能。
5-5-2 一阶RC电路的零输入响应
t 0
时间常数(time constant)： RC
时间常数的单位：秒(s)欧姆()法拉(F)
伏特 安培
库仑 伏特
伏特 安培
安培 秒 伏特
秒
s
1 RC
1
——RC电路的固有频率 (natural frequency)
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
1t
uC (t ) U0e RC ,
一阶RC电路的 零输入响应
已知uC(0 ) U0，t 0时发生换路,开关S闭合。
求 t 0时的uC(t)、i(t )、uR (t )。
S(t 0) i(t)
uR (t)
uC (t)
KVL方程:
uR uC 0
S(t 0) i(t)
uR (t)
uC (t)
uR uC 0
uR Ri,
uC (t ) U0e
1t RC
uC
(0
)e
1 RC
t
,
t 0
uC (t )
uC
(0
)e
1 RC
t
U0e
1t
RC ,
t 0
i(t)
C
duC dt
C U0(
1 RC
)e
1t RC
特征根U:0
e
1 RC
t
,
t 0
R
1t
uR (t ) uC (t ) U0e RC ,
t 0
S(t 0) i(t)
uR (t)
uC (t)
电压、电流曲线:
S(t 0) i(t)
uR (t)
uC (t)
1t
uC (t )特 征U0根e :RC ,
实验五RC一阶电路的零输入响应和零状态响应ppt
实验操作流程
3. 打开电源，使电路正常工作，观察并记录电压表和电流表的读数，直到电容充电完毕。
4. 关闭电源，记录关闭时刻的电流和电压值，作为零输入响应的起始状态。
实验操作流程
零状态响应 1. 将电容放电至零电荷状态，确保电容两端的电压为零。
2. 将电源、电阻按照正确的极性连接在实验线路板上，确保连接牢固。
实验设备介绍
电阻
阻值为已知的定值 电阻，用于构成RC 电路。
电流表和电压表
用于测量电路中的 电流和电压。
电源
提供稳定的直流电 源，用于给RC电路 供电。
电容
已知容值的电解电 容，用于RC电路。
实验线路板
提供电路连接的接 口和固定装置。
实验操作流程
零输入响应
1. 将电源、电阻、电容按照正确的极性连接在实验线路板上，确保连接 牢固。
在RC一阶电路中，当电路的初始状态为零 时，输入信号引起的响应被称为零状态响应。 通过给电路施加不同频率和幅值的正弦波信 号，我们观察到随着频率的增加，响应的幅 值减小，相位滞后增大。这一结果表明， RC电路对于不同频率的输入信号具有不同 的响应特性。
结论总结
RC一阶电路的零输入响应表现 为电容的放电过程，电压随时间
03
在数字电路中，RC一阶 电路可以用于时钟信号 的生成和整形。
04
在控制系统中，RC一阶 电路可以用于控制系统 的稳定性分析和设计。
入信 号时，电路中由于储能元件（如电感 或电容）的能量交换所产生的响应。
在RC一阶电路中，零输入响应表现为 电容上的电压或电流的衰减过程。
RC电路在电子工程、电路分析 和控制系统等领域有广泛应用。
一阶RL电路的零状态与零输入响应
一 二、一过阶渡R过C程电路的零状态响应的分析
一阶RC电路的零状态响应的定量分析（1）
换路后根据图中所设各变量的参考方向，列电路的KVL方程：
uC uR US
由欧姆定律和电容上的电压电流关系
iC
C
d uC dt
及
iC
iR
得
RC duC dt
uC
US
求得电容上的零状态响应电压为
t
t
uC US (1 e RC ) US US e RC
一 二、一过阶渡R过C程电路的零状态响应的分析
一阶RC电路的零状态响应的定量分析（2）
电容上的零状态响应电流为
iC
C duC dt
US R
t
e RC
式中右边第一项是 U S 电容充电完毕以后的电压值，是电容电压的稳态
值，称其为“稳态分量”；第二项
t
U S e RC
将随时间按指数规律衰减，最后
为零，称其为“暂态分量”。因此，整个过渡过程中， U S 认为是由稳态分
iL
US R(1ຫໍສະໝຸດ eR Lt
)
U
S
R
US R
t / L
eR
US R
US R
et /
一 二、一过阶渡R过C程电路的零状态响应的分析
一阶RC电路的零状态响应的定性分析
在换路的瞬间，由于 uC (0 ) 0，电容相当于短路，因此U S 全部加在
电阻R上，故 uR 立即由换路前的0突变至 U S ，电路电流也相应地由换
《电路分析与实践项目化教程》
简单低通滤波电路的设计
直流激励下的一阶动态电路分析
一阶RL电路的零状态与零输入响应
目录
rl一阶电路的零状态响应规律
rl一阶电路的零状态响应规律
rl一阶电路的零状态响应规律是指在电路中没有外部输入信号作用时，电路中电流和电压的变化规律。
对于rl一阶电路，其零状态响应规律可以用以下公式表示：
i(t) = i(0) * e^(-t/τ)
v(t) = R * i(0) * (1 - e^(-t/τ))
其中，i(t)为时间t时刻的电流值，i(0)为初始电流值，τ为电路的时间常数，R为电路中的电阻值，v(t)为时间t时刻的电压值。
从上述公式可以看出，rl一阶电路的零状态响应规律与时间常数τ有关，时间常数τ越大，则电路中电流和电压的变化越慢，反之则变化越快。
同时，初始电流值i(0)也会对电路的响应产生影响，且电压和电流的变化是相互关联的。
了解rl一阶电路的零状态响应规律对于分析和设计电路具有重要意义，可以帮助工程师更好地掌握电路的特性和行为，从而提高电路的性能和可靠性。
- 1 -。
一阶电路的零输入响应
3、原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍，这种原始能量与零输 入响应的线性关系称为零线性。
零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产生的响应，
其形式表示为：
f (t) f (0) et
t 0
式中 f (0) 为变量的初始值 uC (0 ) 或 iL (0 )
为时间常数 RC （电容）
L R
（电感）
一、RC电路的零输入响应
如右图，已知uc(0-)=U0，K于t=0 时刻闭合，分析t≧0时uc(t) 、 i(t)的变化规律。
0
一阶常系数齐次微分方程
其特征根方程：
S 1 0
特征根
RC
1
S
RC
uc (t )
Ae st
1t
Ae RC (t
0)
又有初始条件： uc(0+) = uc(0-) =U0 （换路定理）
1t
uc (t ) U0e RC (t 0)
i(t ) C duc
U0
1t
e RC (t
0)
dt
R
i(t)
E
uL(t)的变化规律。
R0 K R
iL
+ L uL
-
(a) 分析：t<0时已达稳态，L中电流为I0=E/R0
t≧0时，电感以初始储能来维持电流iL (t)（放电）
①
换路后（ t≧0），由KVL有：
L diL dt
RiL (t ) 0
即：
diL dt
R L
iL (t )
0
特征根：
实验五RC一阶电路的零输入响应和零状态响应
电子电工实验 中心实验
实验五 RC一阶电路的零输入响应和零 状态响应(指p91、辅p27)
实验内容： 该实验通过改变电路中RC的参数，观察：
一、RC电路过渡过程及时间常数的变化； 二、微分电路和应具备的条件 三、积分电路和应具备的条件
一、时间常数 ح的测定方法
㈠、过渡(放电)过程：(模拟电路)
RC一阶电路的零输入响应和零状态响应分别按指数规律
衰减和增长，其变化的快慢决定于电路的时间常数 。一阶网
络在没有输入信号作用时，由电路中动态元件的初始贮能所产 生的响应，就是零输入响应。
稳压电源
t=0
+
K RC并联
Us + Uc R -
-
零输入的一阶电路
Uc
Uco
0.368Uco
t
て 一阶电路的响应曲线
量功能 四、在不同电阻参数的电路中其时间常数“て〞
要用示波器测量和理、 论计算 五、积分电路因为是积分信号输出，其时间常
数“て〞不用测量 六、各种特性图要分别用坐标纸绘制并作出比较 七、科学、合理、实用地制定一个综合数据表格
实验五 RC一阶电路的零输入响应 和零状态响应电路板电路
+ 10K
开
+ 0.01uf
0.368
R UR 0
t
T/2 T
输入方波信号
三、积分电路的测试：输出信号电压与输入电压的积分 成正比。
由R=10KΩ，C=0.47uF组成积分电路，在示波器 上观察变化曲线，继续增大“C〞之值，观察曲线的变 化。
积分电路必须满足的两个条件：一是RC?T∕2、 二是必须在电容“C〞两端输出。
U
て》T/2 R
一阶电路的零输入响应
一阶电路的零输入响应所谓零输入响应就是没有外部激励输入，仅仅依靠动态元件中的储能产生的响应。
换句话说，就是求解微分方程在初始条件不为零时的齐次解。
1 RC 电路的零输入响应如图1-4-5（a）所示的电路中：t<0 时，开关在位置1，电容被电流源充电，电路已处于稳态，电容电压uC（0－）＝RIS；在t＝0 时，开关按箭头方向动作；在t≥0 时，电容将对R 放电，电路如图1-4-5（b）所示，电路中形成电流i。
故t>0 后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。
换路后得图1-4-5（b），根据KVL有uR +uC=0，而代入上式可得图1-4-5 RC电路的零输入这是一个一阶齐次方程，根据换路定理，可知初始条件uC （0+）＝uC（0－）＝u。
方程的通解为将初始条件uC （0+）＝RIS代入式（1-4-12），求出积分常数A为将uC （0+）代入式（1-4-12），得到满足初始值的微分方程的通解为放电电流为令τ＝RC，它具有时间的量纲，即故称τ为时间常数，这样式（1-4-13）、（1-4-15）可分别写为。
由于，为负，故uC和i均按指数规律衰减，它们的最大值分别为初始值uC （0+）＝RIS，以及，当t→∞时，uC和i衰减到零。
其变化曲线如图1-4-6所示。
图1-4-6 RC 电路零输入响应电压电流波形图关于零输入响应曲线的几点说明：（1）时间常数是体现一阶电路电惯性特性的参数，它只与电路的结构与参数有关，而与激励无关。
（2）对于含电容的一阶电路，τ＝RC；对于含电感的一阶电路，。
（3）τ越大，电惯性越大，相同初始值情况下，放电时间越长。
（4）一阶电路方程的特征根为时间常数的相反数；它具有频率的量纲，称为“固有频率”（natural frequency）。
理论上认为t→∞、uC →0 时，电路达稳态；工程上认为t＝（3－5）τ、uC→0，电容放电基本结束。
一阶电路的零输入响应
202J
5000μJ
电阻耗能
WR
∞Ri2dt
0
t 250103 (80et )2dt 800μJ
0
(5800 5000) μJ
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2. RL电路的零输入响应
iL (0 )
iL (0 )
US R1
R
I0
L diL dt
RiL
0
t 0
+ R1 US
-
特征方程 Lp+R=0
0
∞
0 (I0e
t L/R
)2
Rdt
I
2 0
R
∞
e
2t
L/ Rdt
0
I
2 0
R(
L/R 2
e
2t RC
∞
)
0
1 2
LI02
返回 上页 下页
例2-3 t=0时,打开开关S，求uV 。电压表量程：50V。
S(t=0)
R=10 解
+ uV 10VVFra bibliotekRViL
L=4H
iL (0+) = iL(0－) = 1 A
等效电路 5F + i1
t >0
－uC 4
解 这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有
t
uC U0e RC t 0
U0 24 V RC 5 4s 20 s
返回 上页 下页
S
i1
5F + 2
i2
－uC
3 6 i3
5F + i1 －uC 4
t
uC 24e V 20
t
i1 uC 4 6e A 20
一阶电路的零输入响应和零状态响应
一阶电路的零输入响应和零状态响应下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一阶电路的零输入响应零状态响应全响应
e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
第四章 动态电路的时域分析
二、一阶RL电路的零输入响应
电感电流根据三要素公式：
iL (0 ) I 0
iL (0 ) iL (0 ) I 0
s
i R C + _ uC
+
t 0
s
i R C + _ uc
U _
uC (0 -) = U0
零输入响应
uC (0 -) = 0
uC U 0
零状态响应
t e RC
U
t ( 1 e RC
) (t 0
uC
U
Ue
t RC
第四章 动态电路的时域分析
3.3.3 一阶电路的全响应:
回顾
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
y x (t ) y x (0 )e
t
t 0
t
若零状态响应用yf(t)表示之，其初始值为yf(0+)=0，那么
y f (t ) y f ()(1 e ) t 0
第四章 动态电路的时域分析
+ U _
t 0
U (1 e
1 t RC
)V
t 0
第四章 动态电路的时域分析
uC的变化规律
稳态分量
+U
uC
U
Ue
t RC
uC
uC
t 暂态分量
电路达到 稳定状态 时的电压
一阶电路的零输入响应和零状态响应
(t )
uc(t)的微分方程及其求解 R duc RC uc U s + 由KVL dt US uc ( 0) 0
非齐次一阶微分方程的解为：
2.
ic C + uc -
uc ( t ) uch ( t ) ucp ( t )
st t Ke RC
t0
R0
t=0 i + + R uR C uc -
+ -
U0
R0
t=0 i + + R uR C uc C + uc -
i + R uR -
+ -
U0
1、换路前后，电路的物理过程
t 0, uc (0) U 0
t 0 时，uc ( 0 ) U0，i ( 0 ) 0，uR ( 0 ) 0
可写成
并不是所有变量的零状态响应都是从零值趋于稳 态值，例如 ic(t) 是从其初始值按指数规律衰减到 零。这是上图电路中 ic 本身性质所确定的。
uc ( t ) uc ( )(1 e
t
)
。
例 图示电路，2A电流源在t=0时加于电路， u(0)=0，求i1(t)，t>0，并画出其波形。 4 i2
2. 电路的微分方程及其求解
i
设响应为 uc(t) + + uc uR 0 C uc R uR duc uR Ri RC t 0, uc (0) U 0 dt duc RC uc 0，t （齐次微分方程） 0 dt 及uc ( 0) U 0 一阶齐次微分方程的解为 uc ( t ) Ke 式中K是由初始条件确定的待定常数，S 是特征方程的特征根。
电路一阶电路的零输入响应-精品文档
d i L Ri 0 t 0 d t
pt i(t) Ae
特征方程 Lp+R=0
R 特征根 p = L
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数A
A= i(0+)= I0
pt 得 i ( t ) I e I e 0 0
1 CU 2
2 0
-
C
电容放出能量
电阻吸收（消耗）能量
W R
0
t 2t 2 U U 2 RC ( 0e RC)2 Rdt 0 i Rdt e dt 0 0 R R
U RC ( e R 2
2 0
2 t RC 0
)|
1 2 CU 0 2
二. RL电路的零输入响应
解 （ 1） t≥0 电路如图（ b）所示 ,为一 RL 电路。
L 0 . 4 5 4 10 s 3 R R 10 V 10
例:L=0.4H, R=1Ω, US=12V, RV=10kΩ, 量程为50V。 L 0 . 4 5 4 10 s 3 R R 10 V 10
S(t ＝ 0) i C ＋ － uC
du C u Ri , i C R dt
一.RC电路的零输入响应
＋ R uR －
设
du C RC u 0 C dt
pt u A e C
( t 0 )
一阶微分方程
特征方程 1 p RC
RCp 1 0
uC Ae
1 RC
S(t ＝ 0) i C ＋ － uC
uC (t1 ) t 2 t1 tan t uC (t1 ) U 0e t1 duC (t ) 1 t t1 U e 0 dt
4-1一阶电路的零输入响应
3）t≥0+ 时
RL电路的时间常数
0.5 1 1 s 60 120 RC电路的时间常数
2 103 10 6 3 6 （ ）
9 10 3 s
i (t ) i (0＋ )e
t
1
6.25e 120t A t 0
t
uC (t ) uC (0＋ )e
S(t=0) +
R=10 R
uV 10V V RV 9.99k –
iL
+ L=4H
2500t
iL
10V
L
uV RV iL 10000e
t 0
一阶RC电路的零输入响应 1.定性分析：
t=0－ uc(0-)=U0 t=0＋ uc(0+)=uc(0-)=U0 i(0+)=U0/R 0 i(0-)=0
0
带电电容的放电过程 从能量的观点说明
2.定量分析： t >0时电路的微分方程
duc ( t ) 1 uc ( t ) 0 dt RC
iL(t)
τ uL(t) t
i L (t ) I 0e
R t L
t 0
0.368I0
0
uL ( t ) L
τ 0 -RI0 uL(t) t
di L ( t ) dt
R t L
RI 0 e
Ri L ( t )
t 0
电感电压曲线
小结：
一阶电路零输入响应的一般形式
36 e
5105 t
解二
1) uc (0＋ )＝uc (0 )＝120 V
2 ReqC 2 106 s ）
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y(t) y(0 )e
2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为 零输入线性。
例:图（a）所示为一测量电路,已知 L=0.4H, R=1Ω, US=12V,电压表的内 阻RV=10kΩ,量程为50V。S原来闭合, 电路已处于稳态。在t=0时,将开关打 开,试（1）电流 i(t)和电压表两端的电 压uV(t) （2）t=0时（S刚打开）电压 表两端的电压。
7-2一阶电路的零输入响应
▪ 零输入响应：指输入为零，初始状态不 为零所引起的电路响应。
▪ 零状态响应：指初始状态为零，而输入 不为零所产生的电路响应。
▪ 完全响应：指输入与初始状态均不为零 时所产生的电路响应。
一.RC电路的零输入响应
零输入响应：激励(独立电源)为零，仅由储能元 件初始储能作用于电路产生的响应。
＋ C － uC
S(t＝ 0) i ＋
R uR －
uC uR 0 (t 0)
uR Ri,
i C duC dt
RC
duC dt
uC
0
(t 0)
一阶微分方程
设 uC Ae pt
特征方程
p 1 RC
RCp 1 0
1
uC Ae RC
＋ C － uC
S(t＝ 0) i ＋
R uR －
1t
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
uc
某点切距的长度 t2-t1 =
0 t1
t2
t
uC (t2 ) 0.368uC (t1 )
t2
t1
uC (t1 )
tan
t1
uC (t1 ) U0e
duC (t) dt
t t1
1
U
0e
t1
3.能量关系：
设uC(0+)=U0
uC+ -
i(0
)
i(0
)
US R
12
t
i(t) i(0)e
12e2.5104t
(t 0)
uV (t) RV i(t) 12 10 4 e2.5104 tV
(t 0)
（2）当 t=0
uV 12 104V
分析:电感线圈的直流电源 断开时,线圈两端会产生很高的电压,
从而损坏开关设备。常用的办法是在 线圈两端并联续流二极管或接入阻容 吸收电路,
t
t
RI0e L / R t 0 -RI0
2.时间常数: = L/R
[
]
[
L R
]
亨 [欧
]
[
韦 安欧
]
[
伏 安
秒 欧]
[秒]
I0一定： L大 R小
起始能量大
放电慢
放电过程消耗能量小 大
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值 引起的响应 , 都是由初始值衰减为零的指数 衰减函数。
欧法
欧
库 伏
欧 安伏秒
秒
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
大 过渡过程时间的长 小 过渡过程时间的短
uc
U0
大
0 小 t
电压初值一定： C 大（R不变） W=0.5Cu2 储能大 放电时间长 R 大（ C不变） i=u/R 放电电流小
工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束。
例:L=0.4H, R=1Ω, US=12V, RV=10kΩ,量程 为50V。
解 （1）t≥0电路如图（b）所示,为一RL电路。
L R RV
0.4 10 10
3
4 105 s
例:L=0.4H, R=1Ω, US=12V, RV=10kΩ, 量程为50V。
L R RV
0.4 10 10
3
4 105 s
S(t＝ 0)
S(t＝ 0)
＋
R
＋
R′
R
US
VD
－
US
L
－
C′
L
(a)
(b)
C
R
C不断释放能量被R吸收, 直到全部消耗完毕.
电容放出能量
1 2
CU
2 0
电阻吸收（消耗）能量
WR
i 2 Rdt
0
(U0
e
t RC
)2
Rdt
0R
U
2 0
R
2t
e RC dt
0
U
2 0
R
(
RC 2
e
2t RC
) |0
1 2
CU
0
2
二. RL电路的零输入响应
i (0+) = i (0-) =
uC Ae RC uC (0+)=uC(0-)=U0
1t
uC (0 ) Ae RC t0 U0
A=U0
1.波形：uC
t
U0e RC
t0
U0 uC
i uC R
U0
e
t RC
R
t
I0e RC
t0 0
i
t
电压、电流以同一指数规律衰减，
I0
衰减快慢取决于RC乘积。
2.时间常数: =RC
0
t
RC
US R1 R
I0
L di Ri 0 dt
i(t ) Ae pt
t0
特征方程 Lp+R=0 特征根 p = R
L
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数A
得
A= i(0+)= I0 i(t) I0e pt
Rt
I0e L
t0
t
uL
L di dt
uL