曲面立体与平面相交
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相贯线1-两平面立体,平面与曲面立体相交.
2、求相贯线上的贯穿点。
3、先判断可见性，依次
连接贯穿点。
4、补全棱线。
例5：补全带孔三棱柱的水平投影，求作侧面投影。
空间分析
d' a' b'
c'
1、三个截平面相交，在三棱 d" 柱体内形成三条交线。
2、三个截平面与三棱柱形成
a"
b" 前、后 两部分截交线，且截交
(c")
线均在棱柱表面，其水平投影
7
(3) 立体相对位置不同，相贯线形状不一样：
两圆柱轴 线斜交
两圆柱轴线 偏交
8
图例：
全贯
互贯
平×曲
柱柱正交
柱柱正交(等径) 孔孔正交
柱柱偏交
柱穿锥
锥穿柱
球柱偏交
球柱正交 9
二、 平面体与平面体 相交
10
相贯及相贯线的概念
相贯：两立体相交。
相贯线：两立体相交，
其表面的交线。
相贯线
11
平面立体相贯种类及 相贯线的特点
(11’) 1’ 2’ 3’
(31’)
(41’) 4’
11
41 31
1
3
11” 1” (31”) (3”)
41”
2” 4”
解题步骤： 1、分析两立体的 空间关系，确定相 贯线的已知投影。
2、从已知投影出发，确定相贯 线上的贯穿点。
3、先判断可见性，再连接贯穿点。
2 4
例2：已知三棱锥上穿有三棱柱孔洞，求作相贯线。
(41’) 4’
11
(41) 31
1
3
2 (4)
11” 1” (31”) (3”)
第四章 相贯线
相贯线
相交
辅助平面
交点
XIDIAN UNIVERSITY
辅助平面与立体B的截交线
2 辅助平面法
工程图学与计算机绘图
K N M 1、辅助平面法的实质
求辅助平面分别截两立体所得截交线的交点
2、辅助平面的选取原则
使辅助平面分别截两立体所得截交线的形状 最简单（非直线即圆）
XIDIAN UNIVERSITY
XIDIAN UNIVERSITY
5 多体相贯-求相贯线
工程图学与计算机绘图
●
● ● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
XIDIAN UNIVERSITY
例：补全水平投影。
5 多体相贯-求相贯线
工程图学与计算机绘图
XIDIAN UNIVERSITY
例：补全正面投影。
工程图学与计算机绘图
作 业
4-6 4-11 4-12 4-13 4-14 4-15
空间分析： 四棱柱的四个棱面分别与 投影分析：
XIDIAN UNIVERSITY
工程图学与计算机绘图
4.2 平面立体与曲面立体相交
XIDIAN UNIVERSITY
工程图学与计算机绘图
4.2 曲面立体相交
1. 利用积聚性法
2. 辅助平面法
3. 影响相贯线形状的因素 4. 相贯线的特殊情况
5. 多体相贯
2. 辅助平面法
3. 影响相贯线形状的因素 4. 相贯线的特殊情况
5. 多体相贯
XIDIAN UNIVERSITY
3 影响相贯线形状的因素-两立体形状
工程图学与计算机绘图
第三章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交
5’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
图3-13
附：题 4:
求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影。 求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影
分析: 分析 截平面过锥顶,截交线 截平面过锥顶 截交线 为三角形. 为三角形面截切后的正面投影。 求圆锥被正平面截切后的正面投影。
附：题1:
补画左视图。 补画左视图。
例5：求左视图
虚实分界点
图3-11
附：题2:
补画左视图。 补画左视图。
●
●
●
●
图3-12
附：题 3:
补画左视图。 补画左视图。
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’
7’
(8)’ 6’ (9)’ 5’
8’’
9’’
7’’
能 是 直 线 或 椭 圆 。 但 是 截 交 线 的 投 影 可 能 是 圆 ， 也 可 平 面 截 圆 球 体 ， 其 截 交 线 都 是 圆 ， 当截平面为 平面时， 平面时，其 面投影 圆 当截平面为投影面平行面时，截交线（ 当截平面为投影面平行面时，截交线（圆） 在该投影面上的投影反映实形， 在该投影面上的投影反映实形，其余两 面投影积聚为直线段； 面投影积聚为直线段； 当截平面为投影面的垂直面时，截交线在该 当截平面为投影面的垂直面时， 投影面上的投影积聚为直线段， 投影面上的投影积聚为直线段，其余两面 圆； 投影为 圆；
表3-1
截平 面的 位置 形 状 立 体 图 与轴线倾斜 与轴线垂直 过锥顶 与所有素线 相 交 椭圆 平行于一条 素 线 抛物线加 直线段 与轴线平行 双曲线加 直线段
11 第五章第三讲 相贯线
3'
4' 6' • • •• 7' 5' R3
•
R4 R5 R4 R1
•Ⅰ •Ⅱ
•Ⅲ •Ⅳ
完
R5
•1 • 7） （ •2 （6） R2 •3 • • （4）5） • （ R3
求相贯线作图步骤：
1、求特殊点； 2、求一般点； 3、找出分界点； 4、顺次连接各点（连接原则是：如果两曲面的 两个共有点分别位于一曲面的相邻两素线 上， 同时也分别在另一曲面的相邻两素线 上，则 这两点才能相连)。 5、判别可见性(其判别原则是：两曲面的可见 部分的交线才是可见的；否则是不可见的）。
三、相贯线的类型
三、相贯线的类型
四、作图方法
（1）重影性法。 （2）辅助平面法。 （3）辅助球面法。
二、相贯线的作图
1、方法： （1）求特殊点。(一定要标注） （2）求一般点。
（3）光滑连接。
（4）判别可见性。
（5）体的完整。（画完剩余转向线）
2、连线的原则：
两立体表面上都处于相邻两素线之间的点才能相连。
已知直三棱柱与圆柱贯穿后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’ (8)’ 6’ (9)’ 5’ 9’’ 5’’
7’
8’’
7’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) 2 (6)
例:93题：求三棱柱与圆球的相贯线
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
● ● ● ●
பைடு நூலகம்★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
8-2：平面与曲面立体相交(截交线)
通孔 返回
[例题5]
1'
求圆柱截交线
4' 5' 3'
解题步骤
4" 1" 5" 3" 2"
1．分析 截交线为矩形、椭圆 及圆和直线的组合；截交线的 水平投影为已知，侧面投影为 矩形、椭圆和直线的组合； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ 、 Ⅲ 、Ⅳ； 3．求一般点Ⅴ； 4． 顺次地连接各点，作出截 交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。
4" 6" 8"
3 求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、 Ⅵ、Ⅶ； 4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。 Ⅲ Ⅰ
8'
7 8
7"
5
3 1
Ⅴ
Ⅶ
Ⅱ Ⅳ
6
2 4
Ⅷ
Ⅵ
[例题2]
求圆柱截交线
3'
4'5' 3"
解题步骤
5"
2"
4"
1．分析侧面投影为圆的一部分，截 交线的水平投影为椭圆的一部分； 2．求出截交线上的特殊点 Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ； 3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ； 4．光滑且顺次地连接各点，作出截 交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
1'2'
1"
2 5 3 Ⅱ
Ⅳ Ⅴ
Ⅲ
4 1
Ⅰ
[例题3]
1'2' 3'4'
求圆柱截交线
2" 4" 1"
解题步骤
3"
1．分析 截交线的水平投 影为直线和部分圆，侧面 投影为矩形； 2．求出截交线上的特殊点 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3．顺次地连接各点，作出 截交线并判别可见性； 4．整理轮廓线。
第9章 两立体相交
3、补出视图中所缺的线。
由已知的三视图投影，可 分析出空间物体的形状。
基本 体为轴心 线正交的
圆柱体
被 公 切
两直径相
的
等的圆柱
球
体公切于
一个球。
空间分析：：
椭圆曲线
被公切的球
椭圆曲线在Ｖ面投影积聚为一直线
例８－９：求圆柱穿孔后（方孔和圆孔
在轴4心、求线圆上柱穿相孔交后）的水的平水投平影及投侧影面及投影侧。面投 影。
二、利用辅助面法求作相贯线
圆柱和圆锥两轴心线 正交，两表面相交的共 有线（相贯线）。
空间曲线
辅助平面 直素线
空间分析：
三面共点 水平圆
辅 助 平 面 法
例8-7：求圆柱与圆锥的相贯线
扩展分析： 空间曲线
三、两曲面立体相贯线特殊情况 两曲面立体的相贯线，在一般情况
下是封闭的空间曲线；但在某些特殊情 况下，相贯线可能是平面曲（圆或者椭 圆）或直线。如果此时两曲面立体对投 影面恰又处于特殊位置，则它们的相贯 线在该投影面上的投影就具有一定的特 点和规律。了解和掌握这些特点和规律 有助于判断和绘制相贯线的投影，并可 以简化作图过程。
题目：补画第三视图
空间分析：四个简单形体的分割
题目：补画第三视图。 绘制底板
题目：补画第三视图。 绘制托架
题目：补画第三视图。 绘制圆筒
题目：补画第三视图 绘制支撑板
题目：补画第三视图 完成补画第三视图
小结
该题是用形体分析法读图和画图的典型题 目, 即将组合体假想分成若干基本形体,然后 一个一个形体分析,想象出简单形体的形状和 彼此之间的位置及组合关系.看图和画图的步 骤是:
１.平面立体与平面立体相交
２.平面立体与曲面立体相交
由已知的三视图投影，可 分析出空间物体的形状。
基本 体为轴心 线正交的
圆柱体
被 公 切
两直径相
的
等的圆柱
球
体公切于
一个球。
空间分析：：
椭圆曲线
被公切的球
椭圆曲线在Ｖ面投影积聚为一直线
例８－９：求圆柱穿孔后（方孔和圆孔
在轴4心、求线圆上柱穿相孔交后）的水的平水投平影及投侧影面及投影侧。面投 影。
二、利用辅助面法求作相贯线
圆柱和圆锥两轴心线 正交，两表面相交的共 有线（相贯线）。
空间曲线
辅助平面 直素线
空间分析：
三面共点 水平圆
辅 助 平 面 法
例8-7：求圆柱与圆锥的相贯线
扩展分析： 空间曲线
三、两曲面立体相贯线特殊情况 两曲面立体的相贯线，在一般情况
下是封闭的空间曲线；但在某些特殊情 况下，相贯线可能是平面曲（圆或者椭 圆）或直线。如果此时两曲面立体对投 影面恰又处于特殊位置，则它们的相贯 线在该投影面上的投影就具有一定的特 点和规律。了解和掌握这些特点和规律 有助于判断和绘制相贯线的投影，并可 以简化作图过程。
题目：补画第三视图
空间分析：四个简单形体的分割
题目：补画第三视图。 绘制底板
题目：补画第三视图。 绘制托架
题目：补画第三视图。 绘制圆筒
题目：补画第三视图 绘制支撑板
题目：补画第三视图 完成补画第三视图
小结
该题是用形体分析法读图和画图的典型题 目, 即将组合体假想分成若干基本形体,然后 一个一个形体分析,想象出简单形体的形状和 彼此之间的位置及组合关系.看图和画图的步 骤是:
１.平面立体与平面立体相交
２.平面立体与曲面立体相交
第4章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交
图4-7 辅助平面法作图原理
例：求作如图所示部分球体与圆锥台的相贯线。
(1) 空间分析及投影分析：
部分球体为 1／4 球前后对称地切去两块而成，圆锥台的轴 线垂直于水平面但不通过球心，其相贯线为前后对称的封闭空 间曲线。因为球与锥台的各投影都没有积聚性 , 故需用辅助平 面法求作相贯线。
(2) 作图：
② 作一般位置点。 在点I、III的高度范围 内 , 选取水平面 R 为辅助平 面,平面R与球及圆锥台的截 交线分别是以r2、r3为半径 的圆弧, 它们的交点Ⅴ、Ⅵ 就是相贯线上的点。先求出 水 平 投 影 5 、 6, 然 后 找 到 5′、 6′和 5" 、 6", 如图 (d)所示。
③ 依次光滑连接各点的 投影, 并判别可见性, 完 成相贯线的投影。最后 注意，圆锥台左视轮廓 素线画到2"、4"两点， 球体左视轮廓素线上有 一段虚线, 如图 (e)所示。
① 辅助平面法的实质， 是求辅助平面分别截两立 体所得截交线的交点。
② 辅助平面位置选取的原则，是使辅助平面分别 截两立体所得截交线的形状最简单(直线和圆)，以便用 工具作图。
例：求轴线正交的水平圆柱与直立圆锥的相贯线。
解题步骤：
1'
4' 3'
1"
PV1 PV2
PV3
2" y y
4" PW1
PW2
g"(h")
c"
y
d e a g c h f b
y
2、利用辅助平面法求相贯线
作图原理 ：
如图，为了求作部分球 体与圆锥台相交的表面共有 点，假想用一平面P （称为 辅助平面）截切两立体。平 面P 与部分球体的截交线为 一个圆LA，平面P 与圆锥台 的截交线也为一个圆LB。 LA 与LB的交点K1和K2 即为辅助 平面P、球体和圆锥台三个表 面的共有点，因此也是相贯 线上的点。 这种利用三面共点的原 理求相贯线上的点的方法叫 做辅助平面法。
07平面与曲面立体相交
《机械制图II》
第七讲 平面与曲面立体相交
一、圆柱体被截切
PV PV
PV
P
P
P
截平面与 圆柱轴线
垂直
倾斜
平行 两平行直线 （圆柱两素线）
截交线
圆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
椭圆
例1：作出截断体的侧面投影
●
● ●
●
● ● ●
●
●
●
●
●
例1：作出截断体的侧面投影
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例2：作出截断体的侧面投影
例5：完成半球体被截切后的三面投影
两个侧平面截圆球的截 水平面截圆球的截交线 交线的投影，在侧视图 的投影，在俯视图上为 上为部分圆弧，在俯视 部分圆弧，在侧视图上 图上积聚为直线。 积聚为直线。
第七讲 结束
过锥顶 两相交直线
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
例4: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三面投影。
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的投影
三、球被截切
平面与圆球相交，截交线的形 状都是圆，但根据截平面与投影面 的相对位置不同，其截交线的投影 可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
虚实分界点
例3：完成截断体的侧面投影
解题步骤： 一、分析 截平面与立体的相对位置
截平面与投影面相对位置 二、求截交线并 判别可见性 三、轮廓线加深到位
● ●
二、圆锥被截切
根据截平面与圆锥轴线的相 对位置不同，截交线有五种形状。
PV θ PV α α θ PV PV
θ PV
α
θ = 90° 圆
第七讲 平面与曲面立体相交
一、圆柱体被截切
PV PV
PV
P
P
P
截平面与 圆柱轴线
垂直
倾斜
平行 两平行直线 （圆柱两素线）
截交线
圆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
椭圆
例1：作出截断体的侧面投影
●
● ●
●
● ● ●
●
●
●
●
●
例1：作出截断体的侧面投影
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例2：作出截断体的侧面投影
例5：完成半球体被截切后的三面投影
两个侧平面截圆球的截 水平面截圆球的截交线 交线的投影，在侧视图 的投影，在俯视图上为 上为部分圆弧，在俯视 部分圆弧，在侧视图上 图上积聚为直线。 积聚为直线。
第七讲 结束
过锥顶 两相交直线
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
例4: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三面投影。
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的投影
三、球被截切
平面与圆球相交，截交线的形 状都是圆，但根据截平面与投影面 的相对位置不同，其截交线的投影 可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
虚实分界点
例3：完成截断体的侧面投影
解题步骤： 一、分析 截平面与立体的相对位置
截平面与投影面相对位置 二、求截交线并 判别可见性 三、轮廓线加深到位
● ●
二、圆锥被截切
根据截平面与圆锥轴线的相 对位置不同，截交线有五种形状。
PV θ PV α α θ PV PV
θ PV
α
θ = 90° 圆
平面与立体相交
6.2.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平 面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交 线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线 问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’ s
3
2 1
a’ b’
3 1
e’(f’)
g’(h’) b’ b”
RV
RW
h b g
df a
c e
例5
求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
PV2
PV3 PV4
2' 5'
3'
4'
1'
1"
4" 3" 5"
2"
y y
5
3
4
y
2
1
PH1
y
3.
辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立 体表面交线的投影为直线或圆。
例6
3 求出若干个一般点 Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 7" 2"
4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
8"
Ⅵ
4
6 1
Ⅰ
Ⅳ Ⅷ
Ⅴ
Ⅲ Ⅶ
7 3
5
Ⅱ
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判 别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向 轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区 分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。
曲面立体的截交线、贯穿点、相贯线
(5’)
4’Βιβλιοθήκη 1”Pw6”
2” Qw
5”
3”
4”
Ⅰ 56
1 4
32
Ⅳ
求圆柱与半球的相贯线
45
46
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
b”
27
例3 完成所示形体的投影图
d’
e’
f’
b’
5’ 2’
1’
a’
s’
4’
3’
6’
c’
f
c
d
6
s
3
2
5
b
14 e
a
28
例题4：已知三棱锥SABC与三棱柱DEF的三面投
影,求作s它’们的f’相贯Pv线。 s”
3’
3”
2’
Qv
14’’d()’ 5’
4” 6’e’ 6”
1”
a’ b’
c’ a”(c ”)
（闭实各H的直、质表交交空线W是面线线间）投求 与投的折构影平 回影投线成已面 转分影的知体 体析作封图
求截交 的交求线V投影 线问题
32
归纳
相交形式
外表面与外表面相交 外表面与内表面相交 内表面与内表面相交
交线相同 求交线的实质相同 求交线的方法相同
33
求：四棱柱与半球体的相贯线。
34
曲面体与曲面体相交
相贯线1-两平面立体,平面与曲面立体相交
7"
8
3=11"2=9"
5"
1'=4' 6'=8' 10'=12'
"
4=12"
1=10"
6"
8 4 3 2 1 6 5 10 7 11 9
12
完成后的三视图：
例7：完成三棱锥与四棱柱的交线。
1.交线分左右两部分，右侧为梯形， 左侧为空间闭合折线(6段); 2.棱柱的上下表面、 3’ 2’≡4’ 8’≡9’ PV 棱锥的SAB面的正面 e’≡f’ 投影有积聚性,可利 用棱线法求得Ⅲ,Ⅵ, QV d’≡g’ 6’ Ⅶ,Ⅷ,Ⅸ,Ⅹ的投影； 1’≡5’ 7’≡10’
32
33
例3：三棱柱与圆柱相交。
作图步骤： • 找到相贯线的已知投影 • 辅助面法找点(先特殊点， 后中间点) • 顺序、光滑连接各点 • 完成轮廓线 • 判断可见性
2’ 1’,3’
a’
5’ 4’
a” 3”,4” 2”,5” 1” PW
3 2 1 a 5
4
PH
34
例4 求三棱柱与半球 的相贯线
3” 2”≡8” f” e”
g” d” 5”≡10”1”≡7” a” b” 6” c” S
Ⅳ Ⅱ
F B
Ⅴ
Ⅲ
E
Ⅰ
A
G
Ⅵ
D C
三、 平面体与回转体 相交
28
1.相贯线的性质
相贯线是由若干段平面 曲线 （或直线）所组成 的空间折线，每一段是平 面体的棱面与回转体表面 的交线。
2.作图方法
求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。 分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确 定交线的形状。 求出各棱面与回转体表面的截交线。 连接各段交线，并判断可见性。
大学工程制图--第4章立体的投影
一、 圆柱体 二、 圆锥体 三、 圆球 四、 圆环 五、 回转体的尺寸 标注
4.2 曲面立体的投影
一、圆柱
1、圆柱的投影分析 一直线（母 从前往后看在VW 从左向右看在 从上往下看在 线）绕与其平行的 面的投影是一个矩形： 轴线⊥H 面，所 面的投影是一个矩形： H 面上的投影为一 轴线 轴线旋转一周，形 上下两条水平线分别 以在H 面上的投影积 上下两条水平线分别 个圆周：它既是圆 成圆柱面。 是顶圆和底圆的投影， 聚为一点，用两条互 是顶圆和底圆的投影， 柱面的顶圆和底圆 长度为圆周的直径。 相垂直的点画线的交 长度为圆周的直径。 的重合投影，反映 左右两条直线为圆柱 点来表示；轴线//V 左右两条直线为圆柱 顶圆和底圆的实形， 面VW面投影的外形线V 面和W 面，所以在 面 面投影的外形线 又是圆柱面的积聚 （最左和最右素线）， 面与W 面的投影反映 （最前和最后素线）， 素线 投影。 也是前半圆柱面和后 实长。 也是左半圆柱面和右 半圆柱面的分界线。 半圆柱面的分界线。
4.1 平面立体的投影
二、棱锥
Z
s'
(1) 棱锥的投影分析
V
a'
b ' A a
X
H
棱锥的投影特性： 其底面为水平 图示为一正三棱 棱面△SAC为 s” 面，它的水平投影反 锥，它由底面△ABC 侧垂面，因此侧面投 在底面所平行的 S 映实形，正面和侧面 和三个棱面△SAB、 影积聚成一直线，水 W 投影面上的投影轮廓 投影分别积聚成一直 △SBC、 △SAC所组 平投影和正面投影都 为反映棱锥底面实形 线。 成。 是类似形。棱面 C a” 的多边形，其余两投 (c”) △SAB和△SBC为一般 b” 影由三角形线框组成。 B c 位置平面，它的三面 s 投影均为类似形。 Y b
中国民航大学工程制图5平面与曲面立体相交
中国民航大学工程制图5平面与曲面 立体相交
• 平面与圆球相交，其截交线总是一个圆。
•截平面∥投影面 •截交线的投影是圆、直线
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•截平面∠投影面 •截交线的投影是椭圆、直线
中国民航大学工程制图5平面与曲面 立体相交
•例9：求半球体截切后的俯视图和左视图
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•Ⅳ •Ⅲ
•Ⅱ •Ⅰ
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•3'
•2' •(4 ') •1'
•3
"
•4"
•2"
•1 "
•4
•3 •1
•2
•Ⅳ •Ⅲ
•Ⅱ •Ⅰ
•(c) 整理、加深
中国民航大学工程制图5平面与曲面 立体相交
•§平面与曲面立体相交
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•平面与圆柱相交 •平面与圆锥相交 •平面与圆球相交 •复合回转体的截切
•● •●
•● •●
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中国民航大学工程制图5平面与曲面 立体相交
•例3：求左视图
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•例3：求左视图
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•例4：求圆柱被截切后的投影。
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例8： 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。
•1 •6
•2 (3 ) •4 (5 )
•1
•3 •5 •6
•2 •4
•6 •1
• 平面与圆球相交，其截交线总是一个圆。
•截平面∥投影面 •截交线的投影是圆、直线
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•截平面∠投影面 •截交线的投影是椭圆、直线
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•例9：求半球体截切后的俯视图和左视图
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•Ⅳ •Ⅲ
•Ⅱ •Ⅰ
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•(c) 整理、加深
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•平面与圆柱相交 •平面与圆锥相交 •平面与圆球相交 •复合回转体的截切
•● •●
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•例3：求左视图
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•例3：求左视图
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•例4：求圆柱被截切后的投影。
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例8： 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。
•1 •6
•2 (3 ) •4 (5 )
•1
•3 •5 •6
•2 •4
•6 •1
工程制图第八讲
例
圆锥被正垂面截切， 例:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。 截交线，并完成三视图。
1’ 2’ 3’ 4’
2” 3” 4”
截交线的空间形状? 截交线的空间形状? 截交线的投影特性？ 截交线的投影特性？
1”
2” 3”
如何找椭圆另 一根轴的端点？ 一根轴的端点？
3 2
4
1
3 2
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线投影
复习一般位置直线与垂直平面相交
正三棱锥表面上的点 s′ d′ a′ (c′) b′ c s a a′ c s s′ g′ d′ (c′) b′
f′
a f
d
g
d
b
b
例题
求八棱柱被平面P截切后的俯视图。 求八棱柱被平面 截切后的俯视图。 截切后的俯视图 P′
4 ′≡ 5 ′ 7″ 8″ 5 6 5″ 6″ 3″ 4″ 2″ 1″ Ⅷ Ⅰ Ⅶ Ⅵ Ⅲ Ⅱ Ⅴ Ⅳ
Ⅷ Ⅶ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
例 圆柱被切割
6”
7” (7)’
8”
由于平面与圆柱的轴线 具体步骤如下： 斜交，因此截交线为一椭圆。 4” （2）再作出适当数量 （4）补全侧面投影中 （1）先作出截交线上的 截交线的正面投影重影为一 （3）将这些点的投影 3” 直线，水平投影与圆柱面的 的一般点。 的转向轮廓线。 特殊点。 依次光滑的连接起来。 投影重影为圆。侧面投影可 2” 1” 根据圆柱表面取点的方法求 出。
R1
P″ R″ Q″
侧截 平面
P
侧截 平面
Q R
P
Q R
例2
水平截 平面
画全阀芯的三视图
水平 截平 面
侧截 平面
34平面与曲面立体相交
15
求截切半圆球体的H、W面投影。
Steps 作图步骤：
1.Draw uncut of V, H.
画出未切时的V、H投影。
2.Analyze.
分析截交线形状: //或于轴线切圆
3. Using the circle method draw the intersection.
利用辅助纬圆法求于轴 线(V面)切的截交线投影。
圆形
P垂直于轴线；
②Ellipse: Inclined cutting plane with respect to the axis.
椭圆
P倾斜于轴线；
Intersection ③Hyperbola:Parallel with the axis lines.
截交线形状
双曲线
P平行于轴线；
④Parabola: Parallel with one element line.
33
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34
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35
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前一页
1. Which one is correctly drawn of the left view. 10 指出哪个左视图是正确的。
Correct
Correct
Correct
请点击解答显示其内容
Correct
2. Draw V, H views of the cutting cone.
11
求圆锥被截切后的V、H 面投影。
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28
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曲面立体与平面相交
例题：求圆柱截交线
平面和圆锥相交
圆
一对相交直线
椭圆
双曲线
抛物线
依据截平面与圆锥体轴线的相对位置 不同，截交线的形状有以下五种：
2’
5’6’
6”
3’4’
4”
7’8’
1’
8”
8 46
1
2
7 35
平面与圆锥相交
2” 5” 3”
7”
1”
（1）先作出截交线上的特殊点 （2）再作一般点 （3）依次光滑连接各点，即得 截交线的水平投影和侧面投影 （4）补全侧面转向轮廓线
两平面立体的相贯线
• 相贯线的性质： • 1.表面性 • 2.封闭性（空间折线） • 3.公有性 • 4.均为直线
两平面立体的相贯线
• 求法：棱线交点法
• 1.找棱线； • 2.求交点； • 3. 连接交点，即为相贯
线。 • 交点需在两个表面共有
三、两平面立体的相贯线
• 相贯线的可见性： b′
• 1.取决于相贯线所处立
s′
体表面的可见性。
a′
• 2.若相贯线处于同时可 见的两立体表面上，则 c′
相贯线可见，画成实线； c
其它情况下均为不可见，
画成虚线。
b
s
a
【例】识读相贯线
• 相贯线的读识： • 空间分析 • 1.辨别立体形状； • 2.判断相贯程度； • 投影分析 • 1.寻找相贯线； • 2.确定相贯点； • 3.确定不可见的相贯
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
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例题：求圆柱截交线
平面和圆锥相交
圆
一对相交直线
椭圆
双曲线
抛物线
依据截平面与圆锥体轴线的相对位置 不同，截交线的形状有以下五种：
2’
5’6’
6”
3’4’
4”
7’8’
1’
8”
8 46
1
2
7 35
平面与圆锥相交
2” 5” 3”
7”
1”
（1）先作出截交线上的特殊点 （2）再作一般点 （3）依次光滑连接各点，即得 截交线的水平投影和侧面投影 （4）补全侧面转向轮廓线
相贯线的概念：
• 两个或者两个以上立体相交，在它们表面 相交处产生的交线，成为相贯线。
• 组成：贯穿点、相贯线
相贯线的分类：
•
互贯与全贯
• 互贯：产生一组相贯线； • 全贯：产生两组相贯线。
相贯线产生的情况：
• 1.两平面立体的相贯线 • 2.平面立体与曲面立体的相贯线 • 3.两曲面立体的相贯线
8'
5
7" 8"
3
2
8
1
7
6
4
解题步骤
2"
1 分析 截交线的水平投影为
椭圆，侧面投影为圆；
2 求出截交线上的特殊点1、4
、 5、 8；
4" 3 求出若干个一般点2、3、 6
、7；
4 光滑且顺次地连接各点，作
6"
出截交线，并且判别可见性；
5 整理轮廓线。
3
1
5
2
7
4
8
6
例题：求圆柱截交线
例题：求圆柱截交线
两外表面相交 外表面与内表面相交
两内表面相交
两曲面立体的相贯线
• 求法：
1.求出相贯线上的特殊点 （最高点、最低点、最左 点、最右点、最前点、最 后点和转向轮廓线上的 点）；
2.然后在适当的位置作出一 般点；
3.连接即为相贯线。
利 用 曲 面 的 积 聚 投 影 法
当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势
两平面立体的相贯线
• 相贯线的性质： • 1.表面性 • 2.封闭性（空间折线） • 3.公有性 • 4.均为直线
两平面立体的相贯线
• 求法：棱线交点法
• 1.找棱线； • 2.求交点； • 3. 连接交点，即为相贯
线。 • 交点需在两个表面共有
三、两平面立体的相贯线
• 相贯线的可见性： b′
总结：截交线的做法
• 1.根据立体的形状与截断面的位置，大致判断 截交线的形状；
• 2.先作出截交线的特殊点的各面投影； • 3.在作出截交线的一般位置点的各面投影，提
高准确性； • 4.连接各点（必须实在同一平面上的点，如是
曲线一定要光滑）； • 5.判断可见性； • 6.图线加深。
相贯线的识读
线 • 4.建立立体模型。
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
甲
乙
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
平面立体与曲面立体的相贯线
• 相贯线的性质： • 1.表面性 • 2.封闭性（空间曲线） • 3.共有性
平面立体与曲面立体的相贯线
• 求法： • （即求截交线） • 1.判断截交线 • 2.求贯穿点 • 3.求相贯线
• 2.先作出截交线的特殊点的各面投影； • 3.在作出截交线的一般位置点的各面投影，提
高准确性； • 4.连接各点（必须实在同一平面上的点，如是
曲线一定要光滑）； • 5.判断可见性； • 6.图线加深。
圆柱被平面所截
矩形
圆
椭圆
例题：求圆柱截交线
1' 2'3'
1" 3"
4 '(5 ')
5"
6'7'
Ⅱ Ⅳ
Ⅰ
正垂线Ⅲ正平线例题：求圆锥截交线例题：求圆锥截交线
球体的截交线
用任何位置的截平面截割圆球，截交线 的形状都是圆。
当截平面平行于某一投影面时，截交线 在该投影面上的投影为圆的实形，其它两 面投影积聚为直线。
例题：求圆球截交线
例题：求圆球截交线
例题：求圆球截交线
例题：求圆球截交线
例题：求圆球截交线
上次课内容
• 曲面立体： • 圆柱体 • 圆锥体 • 球体
平面与曲面立体相交
截平面 —— 立体被平面截切，该平面称为截平面。 截交线 —— 截平面和立体表面的交线 截断面 —— 截交线围成的平面图形
截平面
截断面 截交线
Ⅱ Ⅳ
Ⅲ Ⅰ
截交线的做法
• 1.根据立体的形状与截断面的位置，大致判断 截交线的形状；
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
两曲面立体的相贯线
• 相贯线的性质： • 1.表面性（内、外） • 2.共有性 • 3.封闭性（空间曲线）
相贯线的三种形式：
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
P2V
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
相贯线的读识： 1.空间分析 2.投影分析 3.建立空间立体
平面立体与曲面立体的相贯线
• 相贯线的可见性：
相贯线位于平面 立体可见棱面上，且 同时又位于曲面立体 可见曲面上，则相贯 线可见，用实线绘制； 而其它情况下，相贯 线均为不可见，用虚 线绘制。
例题
【例】识读相贯线
1、空间分析
——相贯线为3条圆 弧组成的空间曲线。
2、投影分析
——相贯线的水平 投影落在三棱柱棱 面的积聚性投影上。
交线向大圆 柱一侧弯
交线为两条平面 曲线（椭圆）
2、当两回转体同轴时，相贯线为平面曲线——圆
3、当两曲面体表面为直纹面，且曲面体相交于直 素线时，相贯线为直线段。
例题
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
• 1.取决于相贯线所处立
s′
体表面的可见性。
a′
• 2.若相贯线处于同时可 见的两立体表面上，则 c′
相贯线可见，画成实线； c
其它情况下均为不可见，
画成虚线。
b
s
a
【例】识读相贯线
• 相贯线的读识： • 空间分析 • 1.辨别立体形状； • 2.判断相贯程度； • 投影分析 • 1.寻找相贯线； • 2.确定相贯点； • 3.确定不可见的相贯