讲平面与立体表面相交

第10讲 3-3 平面与立体相交

（说明：本节内容相对下一节较少，如有可能，可适当加一些下一节的内容）

教学目标：1、掌握截交线的基本特性；

2、掌握求画平面立体的截交线的一般方法、步骤；

教学重点：截交线的作图方法

教学难点：复杂平面立体的截交线的求法

教学方法：结合实例课堂讲解

教学用具：多媒体

教学过程：

工程上常遇到表面有交线的零件。为了完整、清晰的表达出零件的形状以便正确的制造零件，应正确的画出交线。交线通常可分为两种，一种是平面与立体表面相交形成的截．交．

线，

．．如图3-1a、b中箭头所示。另一种是两立体表面相交形成的相贯线

．．．，如图3-1c、d中箭头所示。

从图中可以看出，交线

．．是零件上平面与立体表面或两立体表面的共有线，也是它们表面间的分界线。由于立体由不同表面所包围，并占有一定空间范围，因此，立体表面交线通常是封闭的，如果组成该立体的所有表面，所确定立体的形状、大小和相对位置已定，则交线也就被确定。

立体的表面交线在一般的情况下是不能直接画出来的（交线为圆或直线时除外），因此，必须先设法求出属于交线上的若干点，然后把这些点连接起来。

本节着重介绍平面与立体相交表面交线（截交线）的画法。

一、概述

平面与立体相交，即立体被平面截切所产生的表面交线称为截交线，该平面称为截平面。

．．．．（一）截交线的性质

由于立体表面的形状不同和截平面所截切的位置不同，截交线也表面为不同的形状，但任何截交线都具有下列基本性质：

1.共有性

截交线既属于截平面，又属于立体表面，故截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的每一点均为截平面与立体表面的共有线。

2.封闭性

由于任何立体都占有一定的封闭空间，而截交线又为平面截切立体所得，故截交线所围成的图形一般是封闭的平面图形。

3.截交线的形状

截交线的形状取决于立体的几何性质极其与截平面的相对位置，通常为平面折线、平面曲线或平面直线组成。

当平面与片面立体相交时，其截交线为封闭的平面折线（图3-2）。

当平面与回转提相交时，其截交线一般为封闭的片面曲线（图3-3a）或平面曲线和直线围成的封闭的平面图形（图3-3b）或平面多边形（图3-3c）。

（二）求画截交线的一般方法、步骤

求画截交线就是求画截平面与立体表面的一系列共有点。求共有点的方法通常有：具体作图步骤为：

（1）找（求）出属于截交线上一系列的特殊点；

（2）求出若干一般点；

（3）判别可见性；

（4）顺次连接各点（成折线或曲线）。

1.面上取点法

平面与立体相交，截片面处于特殊位置，截交线有一个投影或两个投影有积聚性，利

用积聚性采用面上取点法，求出截交线上共有点的另外一个或两个投影，此方法称为面上

．．

取点法。

．．．．图3-2b所示唯一正放的正六棱柱被正垂面P截切，由于截平面P是正垂面，截交线的正面投影可直接确定（即积聚在截平面的有积聚性的同面投影上），截交线的水平投影积聚在正六棱柱各侧棱面水平投影上，故由截交线的正面投影和水平投影可求出其侧面投影。

2.线面交点法

平面与立体相交，截平面处于特殊位置，截交线有一个投影或两个投影有积聚性，求立体表面上的棱线或素线与截平面的交点，该交点即为截交线上的点（共有点），此方法称为线．

面交点法

．．．．，如图3-4所示。

二、平面与平面立体相交

平面与平面立体相交，其截交线是一封闭的平面折线。

求平面与平面立体的截交线，只要求出平面立体有关的棱线与截平面的交点，经判别可见性，然后依次连接各交点，即得所求的截交线。也可直接求出截平面与立体有关表面的交线，由各交线构成的封闭折线即为所求的截交线。

当截平面为特殊位置时，它所垂直的投影面上的投影有积聚性。对于正放的棱柱，因各表面都处于特殊位置，故可利用面上取点法求画其截交线（图3-2）。对于棱锥，因含有一般位置平面，故可采用线面交点法求画截交线。

[例3-1] 求正垂面P与正四棱锥的截交线（图3-4）

分析截平面P为正垂面，它与正四棱锥的四个侧棱面都相交，故截交线围成一个四边形。

由于截平面P的正面投影有积聚性，所以四棱锥各侧棱线的正面投影s′a′、s′b′、s′c′、s′(d′)与Ｐv的交点１′、２′、３′、（４′）即为四边形四个顶点的正面投影，它们都在Ｐv上，故本题主要是求截交线的水平投影和侧面投影。作图方法如下：根据点的投影规律，在相应的棱线上求出属于截交线的交点，经判别可见性，然后依次连接各点的同面投影，使得正四棱锥被正垂面Ｐ截切后的投影。

作业：P43-P44