讲平面与立体表面相交
平面与平面立体面相交
§4-2 平面与平面立体表面相交平面与立体表面的交线，称为截交线；当平面切割立体时，由截交线围成的平面图形，称为截面。
一、平面立体的截交线和断面如图4-16a所示，平面立体的截交线是截平面上的一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点，它的边是截平面与平面立体表面的交线，图中截平面P与三棱锥的截交线是一个三角形ⅠⅡⅢ。
如图4-16b中的黑色图形所示，已知三棱锥SABC和正垂的截平面P，求作截交线的三面投影。
作图过程如图4-16b中的红色图形所示：（1）在棱线SA、SB、SC的正面投影s＇a＇、s＇b＇、s＇c＇与截平面P的有积聚性的迹线P v的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1＇、2＇、3＇，与P v相重合的直线1＇2＇3＇，即为截交线△ⅠⅡⅢ的正面投影。
（2）由1＇、2＇、3＇引投影连线，分别与sa、sb、sc和s″a″、s″b″、s″c″交出1、2、3和1″、2″、3″。
连接这些点的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面投影△1″2″3″。
由于三个棱面的水平投影和棱面SAB、SCA的侧面投影都可见，在其上的截交线的同面投影12、23、31和1″2″、3″1″也都可见，画粗实线；棱面SBC的侧面投影不可见，在其上的截交线的侧面投影2″3″也不可见，画细虚线。
如图4-17a中的黑色图形所示，已知五棱柱的正面投影和水平投影，并用正垂面P切割掉左上方的一块，被切割掉的部分用细双点划线表示，求作截交线以及五棱柱被切割后的三面投影。
因为截交线的各边是正垂面P与五棱柱的棱面和顶面的交线，它们的正面投影都重合在P v上，因为截交线的正面投影已知，五棱柱被切割后的正面投影也已知，只要作出截交线的水平投影，就可以作出五棱柱被切割后的水平投影。
根据五棱柱的正面投影和水平投影，可以作出它的侧面投影；同理，由已作出的截交线的正面投影和水平投影，也可以作出截交线的侧面投影，从而作出五棱柱被切割后的侧面投影。
平面与平面立体表面相交
§4-2 平面与平面立体表面相交平面与立体表面的交线，称为截交线；当平面切割立体时，由截交线围成的平面图形，称为截面。
一、平面立体的截交线和断面如图4-16a所示，平面立体的截交线是截平面上的一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点，它的边是截平面与平面立体表面的交线，图中截平面P与三棱锥的截交线是一个三角形ⅠⅡⅢ。
如图4-16b中的黑色图形所示，已知三棱锥SABC和正垂的截平面P，求作截交线的三面投影。
作图过程如图4-16b中的红色图形所示：（1）在棱线SA、SB、SC的正面投影s＇a＇、s＇b＇、s＇c＇与截平面P的有积聚性的迹线的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1＇、2＇、3＇，与P v相重合的直线1＇2＇Pv3＇，即为截交线△ⅠⅡⅢ的正面投影。
（2）由1＇、2＇、3＇引投影连线，分别与sa、sb、sc和s″a″、s″b″、s″c″交出1、2、3和1″、2″、3″。
连接这些点的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面投影△1″2″3″。
由于三个棱面的水平投影和棱面SAB、SCA的侧面投影都可见，在其上的截交线的同面投影12、23、31和1″2″、3″1″也都可见，画粗实线；棱面SBC的侧面投影不可见，在其上的截交线的侧面投影2″3″也不可见，画细虚线。
如图4-17a中的黑色图形所示，已知五棱柱的正面投影和水平投影，并用正垂面P切割掉左上方的一块，被切割掉的部分用细双点划线表示，求作截交线以及五棱柱被切割后的三面投影。
因为截交线的各边是正垂面P与五棱柱的棱面和顶面的交线，它们的正面投影都重合在上，因为截交线的正面投影已知，五棱柱被切割后的正面投影也已知，只要作出截交线的Pv水平投影，就可以作出五棱柱被切割后的水平投影。
根据五棱柱的正面投影和水平投影，可以作出它的侧面投影；同理，由已作出的截交线的正面投影和水平投影，也可以作出截交线的侧面投影，从而作出五棱柱被切割后的侧面投影。
机械制图课件-6平面与平面立体表面相交
平面与平面立体表面的交线称为截交线;当平面切割立体 时,由截交线围成的平面图形称为断面。
断面
一、平面立体的截交线和断面
平面立体的截交线是一个多边形,它的顶点是平面立体的
棱线或底边与截平面的交点,它的边是截平面与平面立体表
面的交线。
s′
Pv
s″
3′ 2′
3″ 2″
1′
1″
作图过程
a′ b′
c′ c″ a″
b″
c
3 a
1s
2
b
（1）、在棱线SA、SB、SC的正面投影s′a′、 s′b′、 s′c′与截平 面P的有积聚性的迹线PV的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 正面投影1′、 2′、 3′，与PV相重合的直线1′ 2′3′，即为截交线 △ⅠⅡⅢ的正面投影。
（2） 由1′、 2′、 3′引投影连线，分别与sa、 sb、 sc和 s″a″、 s″b″、 s″c″交出1、2、3和1″、2″、 3″。连接这些点 的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面 投影△ 1″2″ 3″。
例3 已知一个缺口三棱锥的正面投影，补全它的水平投影和 侧面投影。
S
A
B
分析：由正面投影可见三棱锥上的缺口系水平面△ⅠⅡⅢ和正垂 面△ⅡⅢ Ⅳ组成，其中点Ⅰ、Ⅳ为棱线SA上的点，这两点的投 影必在棱线的同面投影上。点Ⅱ、Ⅲ分别为处于一般位置的棱面 △SAB和△SAC内的点，因此作辅助线求出它们的投影。
第二步
第三步 第四步
第五步
例２ 试完成五棱柱被两平面Ｐ、Ｑ截切后的正面投 影
完成后的投影图
在形状较为负责的机件上，有时会见到由平面和 平面立体相交而形成的具有缺口的平面立体或穿孔的 平面立体，只要逐个作出各个截平面与平面立体的截 交线，并画出截平面之间的交线，就可作出这些平面 立体的投影图。
画法几何与机械制图第章立体的投影平面与立体表面相交(截交线)
倾斜于轴线
椭圆
例4：求左视图
● ● ●
截交线的 截交线的已知投影？ 空间形状？ 截交线的侧面投 影是什么形状？
●
● ● ● ●
●
●
●
●
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例4：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、短 轴随截平面与圆 柱轴线夹角的变 化而改变。
图3-30
㈢ 圆球表面的截交线
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面与圆球面的 水平面与圆球面的交 交线的投影，在侧视上为 线的投影，在俯视图上 部分圆弧，在俯视图上积 为部分圆弧，在侧视图 聚为直线。 上积聚为直线。
y
二、平面立体的切割与穿孔
例：已知缺口三棱锥的正面投 影，补全它的水平投影和侧面 投影。P55
y
y
★ 空间分析 ★ 投影分析 两个截平面一个是水平面，一个是正垂 ★ 求截交线 注意： 面，都在正面投影中积聚。 ★ 分析棱线的投影 要逐个截平面分析和绘制截交线和 水平截面在水平投影中反映实形，在侧 ★ 检查 尤其注意检查截 截平面之间的交线。 面投影中积聚。 交线投影的类似性
当平面立体只有局部被截切时，先 假想为整体被截切，求出截交线后再
y
y
二. 平面立体的切割与穿孔
已知一个具有正垂的三棱柱穿孔的正六棱 柱的正面投影，补全穿孔六棱柱的水平投 影，作出它的侧面投影。P56
y
y 分析：正垂的三棱柱孔在正投影面上积 聚，三个截面的交线积聚成三角形的三 个顶点。 找到各截面与棱边的交点的正面投影。
2.2 平面与立体表面相交（截交线）
几个基本概念
平面与立体相交-机械制图课件
求立体截切后的投影 6" 4" 1" 2" 6
3
1
5 6
5
3 1 2
10
4
2
4
返回
6
5
3 1 2
11
4
上一级
试求正四棱锥被两平面截切后的投影
P Q
(a) 题图 12
分析：形体分析与投影分析；
(b) 形体分析与投影分析 13
作图:①求水平面、正垂面与立体的交线
7'
7"
6'
1'
(8') 5"
8" 4" 1" 3"
(e) 检查、完成 图3-22 正四棱锥被两平面截切 16
补出四棱柱截割后的左视图。
1‘2’ 3‘4’ 5‘6’ 9‘ 7‘8’ 5“ 7“ 9“ 8“ 1“ 3“ 2“ 4“ 6“
5
7
13 9
24
8
17
6
返回
例 : 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
4 5 7 5 6 3 4 Ⅴ
33
34
●
●
●
●
35
36
例 5：求左视图 例求侧面投影
虚实分界点
37
返回
例
已知三棱锥SABC和正垂的截平 面P，求作截交线的三面投影。
5
返回
6
例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4) 3 1 2
4
●
●
1
●
2
●
3
4
3
●
●
空间分析 投影分析
●
1
机械制图9-1 平面与立体的表面交线
3）根据长轴34和短轴12画出椭圆，并检查5、6是否在椭圆上，如图c所示。
水平面截切圆球，截交线 在俯视图上为部分圆弧，在 左视图上积聚为直线。
两个侧平面截切圆球，截交 线在左视图上为部分圆弧，在 俯视图上积聚为直线。
4(3) 1(2)
8” 5” 6”
7”
4” 1” 3” 2”
Ⅷ
Ⅶ
内外圆柱面上最 前、最后的素线 没有被截切，仍 完整
Ⅴ
Ⅵ
Ⅳ Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
作图： 标记截交线的顶点；
求侧平面的水平投影；
求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影；
求圆弧及水平面的侧面投影；
完成作图。
例：求正垂面截切圆柱的 截交线
（2）画基本体的三视图。
(3)画两面角的E、F平 面投影。
（4）画“V”形槽的两侧 垂面G、H投影（交线AB、 AC的投影），并加深三视 图。
二、平面与曲面立体相交—曲面切割体视图
截平面截切立体所产生的表面交线称为截交线
平面截回转体所得到的截交线形状取决于： 回转体表面形状 截平面与回转体的相对位置。
（2）画基本体的三视图。
(3)画侧垂面E的投影。
（4）画中间槽的F、G、H 平面投影，并加深三视图。
例2：画出如图所示平面切割体的三视图
主要作图步骤：
（1）分析形体：长方体切去了左 前角和左上角，产生铅垂面E和正 垂面F（交线AB为倾斜线）。
（2）画基本体的三视 图。
(3)画画铅垂面E的投影。
例4：补画出视图中所缺的图线
6 平面与立体相交
连线原则：
1、一个平面完全截断立体时，属于立体同一棱 面上的点才能相连； 2、当几个平面截切立体时，属于立体同一棱面， 又属于同一截平面的两点，方能相连，但截平 面与截平面间的交线除外。
重点、难 点： 掌握平面立体切割体的投
影作图方法。
作业： P26 6-1 P27 6-2
第二节 平面与曲面立体 相交
例6-7 求圆锥切割体的投 影。 投影规律：长对正、高平齐、宽相等
3'(4') 5'(6') ° 7'(8') ° 1' ° Pv
° ° 2'
极限点、转向点 特征点
取一般点 依次光滑连接
2″ 3″ 4″ ° ° 6″ 5″ ° ° 8″ 7″ ° °
° °
1″
°
64 8°
°
1
水平、侧面投影是椭圆 将切割体投影补齐
2 ° ° ° °°
3d动画
75 3
例6-8 求圆锥切割体的水平投影和侧面 投影。 投影规律：长对正、高平齐、宽相等
作图: 形体分析 Qv—正垂面 Pv—水平面 正面投影积聚成两条直线
Qv
° 1' °
1″
°
取特殊点：
极限点、转向点、 特征点、 结合点 取一般点 切口的底面是圆 切口的侧面是抛物线 将切割体投影补齐
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
二、平面与平面立体相交
1、平面与棱柱相交
Pv—正垂面 正面投影是一 条直线 有积聚性 （定位） 水平投影与 棱面积聚 侧面投影取点连线 将切割体投影补齐
b(e)2
°
作图：
a′
b′
c′
a″(c″)
b″
3′ °
工程制图平面与立体相交
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整理棱线投影
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二、平面与回转体相交
平面截切回转体，在回转体表面留有的交线， 称为回转体的截交线。
㈠ 回转体截交线性质
1、截交线是截平面与回转 体表面的公有线。截交线上 的点为截平面与回转体表面 的公有点。
2、截交线的形状通常为平 面曲线，特殊情况下可含有 直线段组成。截交线的形状 取决于回转体表面性质和截 平面与回转体的相对位置。
一、截交线概述
平面截切立体，在立体表面留有的交线成为截交线。 依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为：
平面体截交线和曲面体截交线
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二、平面与平面立体相交
平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交 线，称为平面立体的截交线。
㈠ 平面体截交线的性质：
⒈平面体截交线是截平面与平面 立体表面的公有线。
2、投影作图
运用锥面取点方法作 出抛物线顶点和底端点、 转向轮廓线上点和一般 点，用曲线光滑连接各 点。
3、整理轮廓线
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【例题3】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析
截交线为圆弧和两根 直线段，两截平面间有 一条交线。截交线的正 面投影落在截平面的正 面积聚性投影上，求作 截交线的水平投影和侧 面投影。
3、整理轮廓线
浏览三维动画•工程制图平面与立体相交
3、圆球的截交线 平面截切圆球，其截交线的形状为圆。
当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反映实形； 当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为直线段； 当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为椭圆。
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第五讲 平面与立体的表面交线——截交线
第五讲平面与立体的表面交线——截交线教学目标：掌握立体截交线的画法教学重点：特殊位置平面与回转体的交线掌握了在立体表面上取点取线的方法，本讲介绍截交线的画法。
一、截交线的概念平面截切立体，在立体表面上产生的交线，称为截交线。
用以截切立体的平面称为截平面，截交线围成的图形称为截断面。
求截交线的目的就是求截断面。
二、截交线的基本性质从图中可以看到，立体不同以及截平面与立体相对位置不同，截交线的形状也各不相同，看它们都有一些共同的性质1．截交线是截平面与立体表面的共有线，同时位于截平面和立体的表面上。
2. 是一封闭的平面折线或平面曲线。
3. 截交线的形状取决于被截立体的形状及截平面与立体的相对位置。
三、平面与平面立体相交平面立体的表面都是平面，因此平面与平面立体的交线是一闭合的平面折线——多边形。
多边形的各边是截平面与立体相应棱面的交线，多边形的顶点是截平面与立体相应棱线的交点。
求截交线时，可根据具体情况求出棱线与截平面的交点，或求出棱面与截平面的交线。
实例分析：分析截平面切到哪些棱线和棱面，要分别求出与他们的交点和交线。
四、平面与回转体相交截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。
求截交线的方法：即求截平面与回转体表面的共有点。
求截交线的步骤：·空间及投影分析☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以确定截交线的形状。
☆分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。
找出截交线的已知投影，予见未知投影。
·画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆先找特殊点，再补充中间点。
☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
1．平面与圆柱相交截平面与圆柱面的交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。
当截平面与圆柱轴线垂直时，截交线为圆，投影如图示；当截平面与圆柱轴线平行时，截交线为平行两直线（素线），投影如图示；当截平面与圆柱轴线倾斜时，截交线为椭圆，投影如图示。
平面与立体相交
6.2.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平 面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交 线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线 问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’ s
3
2 1
a’ b’
3 1
e’(f’)
g’(h’) b’ b”
RV
RW
h b g
df a
c e
例5
求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
PV2
PV3 PV4
2' 5'
3'
4'
1'
1"
4" 3" 5"
2"
y y
5
3
4
y
2
1
PH1
y
3.
辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立 体表面交线的投影为直线或圆。
例6
3 求出若干个一般点 Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 7" 2"
4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
8"
Ⅵ
4
6 1
Ⅰ
Ⅳ Ⅷ
Ⅴ
Ⅲ Ⅶ
7 3
5
Ⅱ
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判 别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向 轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区 分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。
3.2 平面与立体相交ppt课件
1' (2') 3 ' (4')
Ⅱ Ⅰ
Ⅳ
Ⅲ
2 (4) (3) 1
14
〔例4〕 求左视图。
虚实分界点
15
〔例5〕完成圆柱体左边被切凹槽，右边被切凸台后的水平投影
a'
b'
a"( b" )
a
b
AB
16
2、平面与圆锥相交 截交线的形状有几种？
圆
三角形
椭圆
双曲线
抛物线
17
PV
θ PV
PV
θ
α PV
θ= 90° 圆
截交位线置是。曲面体和截平面的共有点 的集合。 截交线是曲面体和截平面的共
有点的集合。
7
一）求平面一与）回求转平体面的与截回交转线体的的一截般交步线骤的一般步骤
⒈ 空间及投影分析 ☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，预见未知投 影。
12
〔例2〕求圆柱体的截交线。
1'（2'
2"
3’（4'
4"
2(4
1"
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影为
直线和部分圆，侧面投影为矩
形；
3"
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；
3 顺次连接各点，作出截交线
并判别可见性；
4 整理轮廓线。
1(3
13
〔例3〕由空心缺口圆柱的正面投影和水平投影，作出被切后的侧面投影。
平面与立体相交PPT课件
垂直相交
总结词
当平面与立体垂直且相交时，称为垂直相交。
详细描述
垂直相交是指平面与立体在空间中垂直且有一个公共点。这个公共点是平面与立 体的交点，也是平面与立体边界线的起点和终点。垂直相交通常发生在平面与立 体的棱线或顶点相交时。
斜交
总结词
当平面与立体不平行也不垂直，且有一个公共点时，称为斜 交。
平面与立体相交ppt 课件
目 录
• 平面与立体的基本概念 • 平面与立体的相交类型 • 平面与立体相交的特性 • 平面与立体相交的应用 • 平面与立体相交的实例分析
01
CATALOGUE
平面与立体的基本概念
平面的定义与性质
定义
平面是指在空间中无限延展、没 有厚度的二维图形。
性质
平面具有无限延展性、无厚度、 可无限分割等特性。
当一个平面与一个立体垂 直时，它们在某个方向上 相互垂直，形成垂直线。
02
CATALOGUE
平面与立体的相交类型
平行相交
总结词
当平面与立体平行且不重合时，称为平行相交。
详细描述
平行相交是指平面与立体在空间中平行且不与立体接触，即平面与立体的边界 线平行且不相交。在这种情况下，平面与立体之间没有公共点。
详细描述
斜交是指平面与立体在空间中不平行也不垂直，有一个公共 点。这个公共点是平面与立体的交点，也是平面与立体边界 线的起点和终点。斜交通常发生在平面与立体在空间中形成 一定的角度时。
03
CATALOGUE
平面与立体相交的特性
相交线的性质
相交线是平面与立体接触的部 分，具有确定的长度和方向。
相交线的位置和数量取决于平 面和立体的形状、大小和相对 位置。
平面与立体表面的交线截交线讲解学习
圆柱的右边切去上下部分 形成一凸榫，其侧面投影为 两条虚线，需要补出凸榫的 水平投影。
例2：补全接头的正面投影和水平投影。
作 图 步Байду номын сангаас骤：
2、圆锥的截交线
圆锥截交线形状分析：
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，圆锥 面 上 的 截
3、球体的截交线
球体截交线形状分析： 不论截平面怎样截切球体，其截交线形状均为圆。 由于截交线圆与投影面的相对位置不同，其投影可能为 圆、椭圆或直线。 球体截交线的作图分析： 当截交线的投影为直线或圆时，其作图比较方便。若为 椭圆则需要通过在球体表面上找点的方法作图。
例：补全开槽半球的水平投影和侧面投影。 作图步骤如下：
3.两截平面交线在立体表面上的两个端点，如三棱锥上的 A、B点。
例1：补出切割六棱柱左视图中 的漏线并画出 其俯视图。
作图步骤：
二、回转体的截交线
1、圆柱的截交线 截交线形状分析:根据截平面与圆柱轴线的相
对位置不同，圆柱截交线有下列三种形状。
❖ 圆—截平面垂直于轴线 ❖ 椭圆—截平面倾斜于轴线 ❖ 矩形—截平面平行于轴线
例1：完成切割圆锥的俯视图和左视图。 作图步骤如右图：
两截平面中一个过 锥顶截切圆锥，截交 线为两条相交直线。 另一截平面与圆锥轴 线垂直，在圆锥表面 上切出部分圆。
例2：已知圆锥被一水平面截切，画出截交线的水平投影。 作图步骤如下：
因截平面与圆锥轴 线平行，故截交线的 形状为一双曲线。
作双曲线的投影要 利用在锥面上找点的 方法。
交线有下列五种形状。
✓ 圆—截平面垂直于轴线 ✓ 两相交直线—截平面过锥顶截切 ✓ 椭圆—截平面倾斜于轴线 ✓ 双曲线—截平面平行于轴线截切 ✓ 抛物线—截平面平行于圆锥表面
7第七章 立体及平面与立体表面的交线
§7.3 立体的尺寸标注 一、单个平面立体的尺寸标注 1、以圆的内接正多边形为底的正正棱柱和正棱锥，可注外接圆的直径和它们的高
图
正棱柱、正棱锥的尺寸注法
2、以圆的内接正多边形为底的斜棱锥，除注出外接圆的直径和它们的高外，还要 注出确定顶点位置的长度方向和宽度方向的尺寸。
3、以任意多边形为底的斜棱锥，除注出注出确定顶点位置的长度方向和宽度方向 的尺寸外，还要注出确定底面多边形的尺寸。
[例] 完成带切口圆柱的水平投影，求作它的侧 面投影。
E:\proe-course\p4-18.prt.1
3、求圆柱截断面的实形
E:\proe-course\p4-19.prt.1
4、补作开槽圆柱体的投影
[例] 完成带切口圆柱的水平投影。
E:\proe-course\p4-20.prt.1
（二）圆锥的截交线 1、圆锥截交线的五种基本形式：圆、椭圆、抛物线、双曲线、两相交直线。
一个投影为多边 形，另外两个投影轮 廓线为矩形。
六棱柱的投影图
棱锥的投影特性
一个投影为多边 形，另外两个投影轮 廓线为三角形。
三棱锥的投影图
S
C
B
A
2、平面立体表面上的点和线
[例]求作棱锥的侧面投影，并求出各立体表面上点和线的其余两面投影。
[例]求作棱柱的第三投影，并求出各立体表面 上点和线的其余两面投影。
2、求截交线投影的方法： 根据截交线的性质，求截交线的方法可归结为求截平面与立体表面一系列共有点的 问题。这些共有点就是立体表面上棱（素）线（直线或曲线）与截平面上的交点， 可以利用有积聚性的投影、辅助线（辅助直线）或辅助平面（辅助圆）的方法求出 这些交点，然后顺次连成平面曲线或折线，即得到截交线的投影。
第八章 平面与立体相交 直线与立体相交
第八章 平面与立体相交•直线与立体相交¤ 8-1 平面与立体相交平面与立体相交，可看作是立体被平面所截，这个平面称为截平面．．．，截平面与立体表面的交线称为截交线．．．（图8-1）。
为了正确地画出截交线的投影，应掌握截交线的基本性质：（1）截交线是截平面和立体表面交点的集合，截交线既属于截平面，又属于立体表面，是截平面和立体表面的共有线。
（2）立体是由其表面围成的，所以截交线必然是一个或多个由直线或平面曲线围成的封闭平面图形。
图8-1 平面与立体相交求截交线的实质就是求出截平面和立体表面的共有点。
为此，可以根据立体表面的性质，在其上选取一系列适当的线（棱线、直素线或圆），求这些线与截平面的交点，然后按其可见或不可见用实线或虚线依次连成多边形或平面曲线。
一、平面与平面立体相交平面与平面立体相交，其截交线的形状是由直线围成的多边形。
多边形的顶点为平面立体上有关棱线（包括底面边线）与截平面的交点。
[例8-1] 三棱锥与一正垂面P相交，求截交线的投影（图8-2）。
分析：正垂面P的正面投影有积聚性，即P v，可直接求出平面P与棱线SA、SB、SC的交点Ⅰ（1，1′）、Ⅱ（2，2′）及Ⅲ（3，3′）。
顺次连接各顶点，得截交线为△ⅠⅡⅢ（△123，1′2′3′）。
103关于截交线可见性的判别，在假定截平面透明的前提下，可根据各段交线所在表面的可见与否而定。
可见表面上的交线为可见，用实线画出；不可见表面上的交线为不可见，用虚线画出。
在本例中，三棱锥的三个棱面的水平投影都为可见，故截交线的水平投影△123为可见，用实线画出；正面投影1′2′3′积聚在P V 线上，不再判别。
(a) (b)图8-2 三棱锥的截交线二、平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交，其截交线形状一般为封闭的平面曲线。
曲线上的任何一点，都可当作是曲面上某一条线（直素线或圆）与截平面的交点。
求截交线时必须根据曲面的性质，在其 上选取一系列的直素线或圆，求出它们与截平面的交点。
如何讲好平面与平面立体相交
职教 与成教
如 何 ｉ 好 平面 与 平 面 立 体 相 交 再
武 汉科 技 学 院 吴 小清
［ 摘 要］ 平面与平面立体相交是 立体 的投影一章 中的难点 ， 学生掌握得 好 ， 对组合 体的画图及读 图有很 大帮助 。本文探讨 了如何上
截 交线
好 该 内容 的 教 学 思路 与 方 法 。
一
、
的投影 ， 再根据两面投影求第三面投影（ 如图 １ 。棱 锥的底 面或棱锥 面 ） 有积 聚性投影时 ， 其上的点 和棱 柱相 同； 锥面没有积 聚性投影时 ， 求 棱 就必须作辅助线求 。作辅助线方法 有两种 ，一种作连接锥顶 的辅助线 （ 图２， 如 ）另一种作平行于底边的辅助线（ 如图 ３ 。 ） 要求学生做到 ， 在棱 柱或棱锥的表面任何位置取点 ， 都能马上作 出正确 的投影 。 四、 要求学生遵循一定的作图步骤 求截交线 必须遵循一定 的作 图步骤 ， 不能杂乱无 章 ， 否则 ， 容易漏 掉一些截交点 ， 最后导致作图错误。 棱柱 或棱锥求截交线 的作 图过程相 似， 只是在求点时方法不同而已。作 图步骤 大致 如下 ： （） １根据所给投影图， 想象出平 面与立体相交的位置（ 如图 ４ 图 ５ ； 、 ） （） ２ 根据相交的位置 ， 分析得到截交点 的数 目， 按顺 序进行编号（ 如
图４
图 ５
图 ６
图 １
图 ２
图７
◇
图 ８
ａ
ａ
，
截交
图３
平面与立体表面相交所得 的交线称为截交线 。截交线是立体表 面 上的线 ， 是平面和立体共有 的线 。 截交线也可以看成是由立体表 面上 的 点连成的 ， 所以应要求学生熟练 掌握立体表面上点和线的作 图方法 。 平面立体只有棱柱和棱锥 （ 台可以看成是棱锥的特例 ） 棱 。棱柱投影 的 特点是 ：底面是 投影 面平行 面 ，侧棱 面是投影面平行面或投影面垂直 面， 每个表面总有积聚ｌ 生的投影 。求其 表面上的点时 ， 可先求其积聚性
立体表面的交线
学习情境一 平面与立体相交
作图： 1.作正垂面P产生的交线Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ、Ⅲ。其中Ⅰ、Ⅲ和Ⅱ、Ⅳ是素线的一
部分；Ⅰ、Ⅱ是正垂面P与底圆的交线；Ⅲ、Ⅳ是正垂面P与水平面Q的交线。 2.作水平面Q产生的交线，其中Ⅲ、Ⅴ、和Ⅳ、Ⅵ是圆弧段；Ⅴ、Ⅵ是水平面Q 与正垂面R的交线。(图b )。
3.作正垂面R产生的交线Ⅴ、A、Ⅶ、Ⅸ、Ⅷ、B、Ⅵ；其中Ⅸ为正面轮廓线 上的点，也是抛物线的顶点；Ⅶ、Ⅷ为侧面轮廓线上的点；Ⅴ、Ⅵ为抛物线的端 点；A、B为一般位置点，在抛物线正面投影的任意位置作辅助面S，用纬圆法求 出一般位置点A和B的另两面投影。(图c )
目录
学习情境一 平面与立体相交
分析：
因圆锥体轴线垂直于水平投 影面，截平面P是一个正垂面， 与圆锥体轴线斜交并且与圆锥面 上所有的素线相交，所以截交线 为一椭圆。椭圆的正面投影与截 平面P的正面投影Pv重合，是一 段直线；椭圆的水平投影和侧面 投影仍是椭圆。
作图：
1.求截交线上特殊点的投影。Ⅰ和Ⅳ 为正面轮廓线上的点，也是椭圆轴端点； Ⅲ和Ⅴ为侧面轮廓线上的点；Ⅱ和Ⅵ为椭 圆另一轴的端点，用纬圆法求出。
相交来判断截交线是一个五边形）。五边形的五个顶点分别 是截平面与四棱柱的三条棱线及上底面的两条边的交点。
目录
学习情境一 平面与立体相交 二、平面与棱锥相交 例5-2：求作被两个面截切三棱锥的三面投影。
目录
学习情境一 平面与立体相交 二、平面与棱锥相交 例5-2：求作被两个面截切三棱锥的三面投影。
目录
学习情境一 平面与立体相交 三、平面与圆柱体相交
平面与圆柱面相交所得的截交线形状有三种：当截 平面通过圆柱面的轴线或平行于轴线时，截交线为两条 素线；当截平面垂直于圆柱面的轴线时，截交线为圆； 当截平面倾斜于圆柱面的轴线时，截交线为椭圆。
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第10讲 3-3 平面与立体相交
（说明：本节内容相对下一节较少，如有可能，可适当加一些下一节的内容）
教学目标：1、掌握截交线的基本特性；
2、掌握求画平面立体的截交线的一般方法、步骤；
教学重点：截交线的作图方法
教学难点：复杂平面立体的截交线的求法
教学方法：结合实例课堂讲解
教学用具：多媒体
教学过程：
工程上常遇到表面有交线的零件。
为了完整、清晰的表达出零件的形状以便正确的制造零件，应正确的画出交线。
交线通常可分为两种，一种是平面与立体表面相交形成的截．交．
线，
．．如图3-1a、b中箭头所示。
另一种是两立体表面相交形成的相贯线
．．．，如图3-1c、d中箭头所示。
从图中可以看出，交线
．．是零件上平面与立体表面或两立体表面的共有线，也是它们表面间的分界线。
由于立体由不同表面所包围，并占有一定空间范围，因此，立体表面交线通常是封闭的，如果组成该立体的所有表面，所确定立体的形状、大小和相对位置已定，则交线也就被确定。
立体的表面交线在一般的情况下是不能直接画出来的（交线为圆或直线时除外），因此，必须先设法求出属于交线上的若干点，然后把这些点连接起来。
本节着重介绍平面与立体相交表面交线（截交线）的画法。
一、概述
平面与立体相交，即立体被平面截切所产生的表面交线称为截交线，该平面称为截平面。
．．．．（一）截交线的性质
由于立体表面的形状不同和截平面所截切的位置不同，截交线也表面为不同的形状，但任何截交线都具有下列基本性质：
1.共有性
截交线既属于截平面，又属于立体表面，故截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的每一点均为截平面与立体表面的共有线。
2.封闭性
由于任何立体都占有一定的封闭空间，而截交线又为平面截切立体所得，故截交线所围成的图形一般是封闭的平面图形。
3.截交线的形状
截交线的形状取决于立体的几何性质极其与截平面的相对位置，通常为平面折线、平面曲线或平面直线组成。
当平面与片面立体相交时，其截交线为封闭的平面折线（图3-2）。
当平面与回转提相交时，其截交线一般为封闭的片面曲线（图3-3a）或平面曲线和直线围成的封闭的平面图形（图3-3b）或平面多边形（图3-3c）。
（二）求画截交线的一般方法、步骤
求画截交线就是求画截平面与立体表面的一系列共有点。
求共有点的方法通常有：具体作图步骤为：
（1）找（求）出属于截交线上一系列的特殊点；
（2）求出若干一般点；
（3）判别可见性；
（4）顺次连接各点（成折线或曲线）。
1.面上取点法
平面与立体相交，截片面处于特殊位置，截交线有一个投影或两个投影有积聚性，利
用积聚性采用面上取点法，求出截交线上共有点的另外一个或两个投影，此方法称为面上
．．
取点法。
．．．．图3-2b所示唯一正放的正六棱柱被正垂面P截切，由于截平面P是正垂面，截交线的正面投影可直接确定（即积聚在截平面的有积聚性的同面投影上），截交线的水平投影积聚在正六棱柱各侧棱面水平投影上，故由截交线的正面投影和水平投影可求出其侧面投影。
2.线面交点法
平面与立体相交，截平面处于特殊位置，截交线有一个投影或两个投影有积聚性，求立体表面上的棱线或素线与截平面的交点，该交点即为截交线上的点（共有点），此方法称为线．
面交点法
．．．．，如图3-4所示。
二、平面与平面立体相交
平面与平面立体相交，其截交线是一封闭的平面折线。
求平面与平面立体的截交线，只要求出平面立体有关的棱线与截平面的交点，经判别可见性，然后依次连接各交点，即得所求的截交线。
也可直接求出截平面与立体有关表面的交线，由各交线构成的封闭折线即为所求的截交线。
当截平面为特殊位置时，它所垂直的投影面上的投影有积聚性。
对于正放的棱柱，因各表面都处于特殊位置，故可利用面上取点法求画其截交线（图3-2）。
对于棱锥，因含有一般位置平面，故可采用线面交点法求画截交线。
[例3-1] 求正垂面P与正四棱锥的截交线（图3-4）
分析截平面P为正垂面，它与正四棱锥的四个侧棱面都相交，故截交线围成一个四边形。
由于截平面P的正面投影有积聚性，所以四棱锥各侧棱线的正面投影s′a′、s′b′、s′c′、s′(d′)与Ｐv的交点１′、２′、３′、（４′）即为四边形四个顶点的正面投影，它们都在Ｐv上，故本题主要是求截交线的水平投影和侧面投影。
作图方法如下：根据点的投影规律，在相应的棱线上求出属于截交线的交点，经判别可见性，然后依次连接各点的同面投影，使得正四棱锥被正垂面Ｐ截切后的投影。
作业：P43-P44。