与三角函数有关的零点问题
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与三角函数有关的零点问题
1、【2015湖北】函数2π
()4cos cos()2sin |ln(1)|22
x f x x x x =---+的零点个数为______.
【答案】2 【
解
析
】
因
为
2()4cos cos()2sin |ln(1)|
22
x f x x x x π
=---+|)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x =
sin 2|ln(1)|x x -+,所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数,
函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图,由图知,两函数图象有2个交点,所以函数)(x f 有2个零点.
【方法技巧归纳】利用函数图象处理函数的零点(方程根)主要有两种策略:(1)确定函数零点的个数:利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断;(2)已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围:通常也转化为两个新函数的交点,即在同一坐标系中作出两个函数的图象,通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求解.
2、函数()2πcos 23f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭+2
311π19π4cos 2,3π1212x x x ⎛⎫⎡⎤--∈- ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭
所有零点之和为( )
A .
2π3 B .4π3 C .2π D .8π
3
【答案】B
3.若函数sin
log 2
a y x x π
=-的图象至少有12个零点点,则a 的取值范围是( )
A .(]1,14
B .[)14,+∞
C .(]1,7
D .[
)7,+∞ 【答案】D 【解析】2
y sin
x π
=Q 与log x
a y = 都是偶函数,所以sin
log 2
a y x x π
=-是偶函
数,只需0x > 时,有至少6个零点,即可画出0x >时,函数sin
2
y x π
=的图象与
log a y x =的图象,如图,由图可知,7log 1,7a a ≤≥ ,即a 的取值范围是[)7,+∞,故
选D .
4.【黑龙江省大庆实验中学2017届高三考前得分训练(一)】设函数
()9sin 20,48f x x x ππ⎛⎫
⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭
,
若方程()f x a =恰好有三个根,分别为1x , 2x , 3x (123x x x <<),则3212x x x ++的值为( )
A .π
B .34π
C .32π
D .54
π
【答案】C
【解析】画出该函数的图象如图,当
2
12
a ≤<时方程()f x a =恰好有三个根,且点()1,0x 和()2,0x 关于直线8
x π
=
对称,点()2,0x 和()3,0x 关于直线58
x π
=
对称,所以124
x x π
+=
, 2354x x π+=
,从而123322
x x x π++=.故选C .
5.【湖南省衡阳市2017
届高三下学期第三次联考】函数
()()[]1
2sin ,2,41f x x x x
π=-
∈--的所有零点之和为( ) A .2 B .4 C .6 D .8 【答案】D
6.【2017届吉林省实验中学高三上学期二模】已知()y f x =的定义域为R 的偶函数,当
0x ≥时,5
sin ,02,44
()1()1,2,2x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨
⎪+>⎪⎩若关于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=(a ,b R ∈)有且仅有6个不同的实数根,在实数a 的取值范围是______.
【答案】5991244
--⋃--(,)(,)
【解析】如图所示,因为()f x 是定义域为R 的偶函数,则
1()1,2,25sin ,20,44()5sin ,02,441
()1,2,2
x
x x x x f x x x x ππ-⎧+<-⎪⎪
⎪--≤<⎪=⎨
⎪≤≤⎪⎪⎪+>⎩,依题意()f x 在2-∞-(,)和02(,)上递增,在20-(,)和2+∞(,)
上递减,当2x =±时,函数取得极大值5
4
;当0x =时,取得极小值0.要使关于x 的方程[]2
()()0f x af x b ++=(a ,b R ∈)有且仅有6个不同的实
数根.设t f x =(),则2
0t at b ++=必有两个根12t t 、,则有两种情况符合题意:(1)154t =
,且2514t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,),此时12a t t -=+,则5924a ∈--(,);(2)1250114]t t ∈∈(,,(,),此时同理可得9
14
a ∈--(,),综上可得a 的范围是
599
1244
--⋃--(,)(,)
.