常微分方程 第五章 线性微分方程组
常微分方程 第五章 线性微分方程组(3)
推论5.4 线性齐次方程组(5.2)的线性无关解的个数不能多于n 个.
3．刘维尔公式 齐次方程组(5.2)的解和其系数之间有下
列联系. 定理5.7 如果
是齐次方程组(5.2)的n个解，则这n个解的朗斯基行列式 与方程组(5.2)的系数有如下关系式
实际上，这个推论是定理5.3的逆否命题. 推论5.2 如果方程组(5.8)的n个解的朗斯基行列式 W(x)在其定义区间I上某一点x0等于零，即
则该解组在I上必线性相关.
实际上，这个推论是定理5.4的逆否命题.
推论5.3 方程组(5.2)的n个解在其定义区间I 上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式 W(x)在I上任一点不为零.
条件的充分性由推论5.1立即可以得到． 必要性用反证法及推论5.2证明是显然 的．证毕．
2．一阶线性齐次微分方程组解空间的结构．
我们把一阶线性齐次方程组(5.2)的n个线 性无关解称为它的基本解组.
例4 易于验证向量函数
是方程组
的基本解组. 定理5.5 方程组(5.2)必存在基本解组.
定理5.6 如果 是齐次方程组(5.2)的基本解组，则其线性组合
的一阶微分方程组。
含有n个未知函数 的一阶微分方程组的一般形式为：
此方程组在
上的一个解，是这样的一组函数
使得在
上有恒等式
含有n个任意常数 的解
称为方程组的通解. 如果通解满足方程组
则称后者为(1)的通积分. 如果已求得(1)的通解或通积分，要求满足初始条件
的解，可以把此初始条件代入通解或通积分之中，得到关于 的n个方程式，如果从其中解得
这个关系式称为刘维尔(Liouville)公式.
第五章线性微分方程组
第五章：线性微分方程组本章教学目的和要求：使学生掌握线性微分方程组解的结构。
要求学生熟练掌握求解常系数线性问粉方程组。
熟练掌握常数变易法。
本章重点：解的性质与结构，常系数方程组的解法，常数变易法。
本章难点：向量函数组的线性相关性，一般理论中的定理证明。
本章课时安排：讲16学时，习题及总结测验2学时第五章：线性微分方程组说明：本章所讨论的线性微分方程组仅限与一阶微分方程，从讲义的开头所说的，方程组不仅能在实际中应用广泛，而且她对高阶方程的求解具有不可忽视的作用。
不仅如此，方程组的有关定理在近代微分方程理论中也占有重要地位。
本章内容：一．一阶微分线性方程组及其解的概念；初值问题解的存在和唯一性定理。
二.线性方程组及其解的一般理论/包括解的线线性相关性，基本解组和解的结构定理。
三.方程组的具体解法。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1 记号和定义①引言：在第二章我们研究了含有一个未知函数的微分方程的解法以及它们的性质。
但是，在很多实际问题与理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知数函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质。
如空间运动质点P 的速度与t 以及坐标(,,)x y z 的关系式为：112232(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z x f v f t x y z y f z f v f t x y z ⎧==⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩ 又如： 22sin d dt l θθθ=-令 sin d dtd dtl θωωθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化成一阶微分方程组。
用类似的方法，如果在 n 阶微分方程 ()(1)(,,...,)n n y x y y y -'=中，令(1)121.,,...,n n y y y y y y --'''=== 它就可以化成方程组 1212(1)121()(1),........(,,...,)n n n n n n y y y y y y y y y yy x y y y -----⎧'=⎪'''==⎪⎪⎨⎪'==⎪⎪'=⎩共同点：出现的未知函数的导数都是一阶的 它 们都是一阶微分方程组。
常系数线性微分方程组
基解矩阵
d x Ax (33) dt
定理8 矩阵 (t) exp At
是常系数线性方程组(33)的基解矩阵（即基本解组),
且Φ(0)=E。方程组(33)的任一解可表为(expAt)c。
证 显然， Φ(0)=exp0=E ，且
'(t) exp At ' A A2t A3t2 Ak1tk
• 而由绝对收敛的乘法定理又有
exp
A exp B
i0
Ai i!
j0
Aj j!
k
k0 l0
Al l!
Bkl (k l)!
• 比较上两式，即得 exp(A+B)=expA·expB
3 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数性质(3)(4)
矩阵指数性质(2)
(2) 矩阵A、B可交换，即AB=BA时有
exp(A+B)=expA·expB； 证 利用绝对收敛级数的重排定理证明。
• 由二项定理及AB=BA有
exp(A B) (A B)k k0 k !
k 0
l
k 0
l
Al Bk !(k
l l)!
5
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u
u1 u2
5
3
2
6
34
0
必得须解满足u 线性1i代数此方即程为组对应(1特E 征A)值u λ155=i 3+55i5i的uu12 特 征55ui向u115量5iuu。22 0
《常微分方程》第五章练习题
x
y
C1
e3t 2e3t
C2
et 2et
3、满足初值条件的解为
~
(t )
et e t
4、方程组的通解为
x y
C1e2t
4 5
C2e7t
1 1
。
4
5、所求基解矩阵为 (2 e
3t
3)e
3t
e 3t (2 3)r
3t ．
6、 (t )
e3t [E
t(A
3E)]
A1 (t)
A2 (t)
，t
(a,b) .
部分参考答案 一、填空题
1、 (t) (t)C
2、(t) exp[(t t0 )A]
t t0
exp[(t s)A] f (s)ds
3、必要
t t0
1 (s) f
(s)ds
三、计算题
1、
A
4 3
3
4
2、原方程组的通解为
x ' Ax ce mt 有一解形如(t) pemt ，其中 c ， p 是常数向量．
3
4、证明：如果 φ(t) 是方程组 x Ax 满足初始条件 φ(t0 ) η 的解，那么
φ(t) [exp A(t t0 )]η 。
5、证明：如果 Φ(t),Ψ (t) 在区间 a t b 上是 n 阶线性方程组
1、向量
X1
(t)
2et 0
，
X
2
(t)
t 2et et
的伏朗斯基行列式
W (t) =（
）．
A 、0 ； B 、 tet ； C 、2 e t ； D 、2 e2t ．
2、有关矩阵指数 exp A 的性质，以下说法正确的是（ ）
常微分方程的线性方程组解法
常微分方程的线性方程组解法常微分方程是数学中的一个重要分支，研究的是描述自然和社会现象的变化规律的方程。
线性方程组是常微分方程中的一类特殊情况，它具有重要的理论和实际应用价值。
本文将介绍常微分方程的线性方程组解法，并以具体的示例进行说明。
1. 线性方程组的定义与形式线性方程组由多个线性方程组成，其中每个线性方程都是未知函数及其导数的线性组合。
一般形式如下：y^(n) + a_(n-1)(x)y^(n-1) + … + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)其中，y^(n) 表示未知函数 y 的 n 阶导数，a_i(x)（i = 0, 1, …, n-1）是已知函数，f(x) 是已知函数。
2. 线性齐次方程组的解法线性齐次方程组是指 f(x) = 0 的线性方程组。
对于线性齐次常微分方程组，可以使用特征方程法来求解。
具体步骤如下：（1）设 y = e^(rx) 为方程的解，代入方程得到特征方程，如 y'' + ay' + by = 0，则特征方程为 r^2 + ar + b = 0。
（2）解特征方程得到 r1 和 r2，若r1 ≠ r2，则 y1 = e^(r1x) 和 y2 = e^(r2x) 是方程的两个线性无关解；若 r1 = r2 = r，则 y1 = e^(rx) 和 y2 = xe^(rx) 是方程的两个线性无关解。
（3）根据线性组合的原理，方程的通解为 y = C1y1 + C2y2（或 y = C1y1 + C2y2lnx），其中 C1 和 C2 为任意常数。
3. 非齐次线性方程组的解法非齐次线性方程组是指f(x) ≠ 0 的线性方程组。
求解非齐次线性方程组可以使用常数变易法。
具体步骤如下：（1）令 y = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) 为方程的解，其中 C1(x) 和C2(x) 为待定函数。
（2）代入原方程，得到待定函数的微分方程组。
常微分方程第5章答案
习题1.给定方程组x = x x= （*）a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解.b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数.解：a) u(0)= =u (t)= = u(t)又 v(0)= =v (t)= = = v(t)因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.&b) w(0)= u(0)+ u(0)= + =w (t)= u (t)+ v (t)= +=== w(t)因此 w(t)是给定方程初值问题的解.2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0;c)x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1解：a）令 x ＝x, x = x , 得即又 x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：x ＝ x(1)＝其中 x＝ .b) 令＝x ＝＝＝则得：/且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2,(0)= (0)=0于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：= x(0)= , 其中 x= .c) 令w ＝x， w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为：且即 ww(0)= 其中 w＝3. 试用逐步逼近法求方程组】＝ x x＝满足初始条件x(0)=的第三次近似解.解：\0241201 杨素玲习题02412—02 02412—031.试验证 =是方程组x = x,x= ，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。
解：令的第一列为 (t)= ,这时 (t)= = (t)故 (t)是一个解。
常微分方程复习资料
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换 §2.2 线性微分方程与常数变易法 §2.3 恰当微分方程与积分因子 §2.4 一阶隐式微分方程与参数表示
变量分离方程的求解
1、形式: dy f ( x )( y ) dx
2、求解方法： 分离变量、 两边积分、 考虑特殊情况
3、方程 dy p( x )y 的解为： dx
D(D 1) pD q y f (et )
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c(x)
Q(
x)e
p(
x
)dx
dx
~
c
y e ( p(x)dx
Q(
x)e
p(
x
)
dxdx
~
c)
(3)
二 伯努利(Bernoulli )方程
伯努利方程：形如 dy p(x) y Q(x) yn 的方程， dx
这里P( x), Q( x)为x的连续函数。
解法:
10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dy a1x b1 y c1 dx a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2x b2 y)
3. a1 b1
a2 b2
0,
且C1、C2不同时为零的情形
aa21
x x
b1 b2
y y
c1 c2
0 0
X x Y y ,
初值条件/Initial Value Conditions/ 对于 n 阶方程 y(n) f (x, y, y,, y(n1) )
初值条件可表示为
y(x0) y0, y(x0) y0 , y(x0) y0,, y(n1) (x0) y0(n1)
常微分方程第五章 微分方程建模案例
第五章微分方程建模案例微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。
微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。
微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。
本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。
下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法：1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。
例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。
2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。
例如从几何观点看，曲线y=上某点的切线斜率即函数)yy=在该点的导数；力学中的牛顿第二运(x)(xy动定律：maF=，其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数等等。
从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。
例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。
对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m，空气阻209210力系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：0)0(=v . 由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型：2kv mg dtdv m -= 求解模型可得：)1]2(exp[)1]2(exp[+-=mkg t k m kg tmg v 由上式可知，当+∞→t 时，物体具有极限速度：kmg v v t ==∞→lim 1， 其中，阻力系数s k αρ=，α为与物体形状有关的常数，ρ为介质密度，s 为物体在地面上的投影面积。
常微分方程第五章微分方程组总结
一．线性微分方程组的一般理论1. 线性微分方程组一般形式为：1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 ,()()()(),n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⋅⋅⎪⎪'=++++⎩（） 记：111212122212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦非齐次线性方程组表示为：()() x A t x f t '=+齐次线性方程组表示为：()x A t x '=2.齐次线性方程组的一般理论(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯是齐次方程组()x A t x '=的k 个解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+也是齐次方程组的解，这里12,,,n c c c ⋯是任意常数(2)向量函数线性相关性定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21⋯使得1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。
常微分方程§5.1存在唯一性定理省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
称为在a t b收敛 (一致收敛),
如果对每一个i(i 1, 2, , n),函数序列{xik (t)}在a t b
上是收敛 (一致收敛).
20 设 xk (t)是函数向量级数,如果部分和所组成的函 k 1
数向量序列在a t b收敛 (一致收敛),
则称 xk (t)在a t b收敛 (一致收敛). k 1
a
a
b
b
A(s)ds A(s) ds,
a
a
(a b).
存在性与唯一性
8/33
(4 ) 向量或矩阵序列敛散性
10 向量序列{xk }, xk (x1k , x2k , , xnk )T 称为收敛的,如果
对每一个i(i 1, 2, , n), 数列{xik}收敛.
函数向量序列{xk (t)}, xk (t) (x1k (t), x2k (t), , xnk (t))T
.
an' n (t)
存在性与唯一性
6/33
t t0
x1
(s)ds
t
t
t0
x(s)ds
t0
x2
(s)ds
t
t0
xn
(s)ds
注: 关于函数向量与矩阵微分,
积分运算法则,和普通数值 函数类似.
t
t0 a11(s)ds
t
t
t0
A(s)ds
t0 a21(s)ds
t
t0 an1(s)ds
称为(5.1)通解.
存在性与唯一性
4/33
2 函数向量和函数矩阵相关定义
(1) n维函数列向量定义为
x1(t)
x(t
)
x2
(t
第5章_常微分方程
将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程: dx 1 1 − x= y P( y ) = − , Q( y ) = y dy y y
∴x = e
1 − − dy y
∫
[ ∫ ye
−
∫
1 dy y
dy + C ]
= y( y + C )
由 y | x =3 = 1 得: C = 2 故所求特解为: x = y ( y + 2)
解方程(2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)dy=0. 例 解方程
a b 2 解： = a1 b1 2 -5
2 x - 5 y + 3 = 0, ≠ 0 令 4 2 x + 4 y - 6 = 0,
解得x 解得 0=1, y0=1
dy 2 X − 5Y 2 − 5 Y x = X + 1, X 则 = = 令 dx 2 X + 4Y 2 + 4 Y y = Y + 1, X Y dY du 令u = , 有 =u+ X X dX dX du 2 − 5u 4u + 2 1 方程变为u + X = ,即 2 du = − dX dX 2 + 4u 4u + 7u − 2 X 4u + 2 2 1 4 1 1 du = ∫ ( ⋅ + ⋅ )du = ln | (u + 2) 2 (4u − 1) | +c ' ∫ 4u 2 + 7u − 2 3 u + 2 3 4u − 1 3
二.齐次方程 齐次方程 如果方程(1)可化成: 令u=
y 解法: 化成可分离变量方程. x dy du y = xu =u+x dx dx du 1 du = dx ∴u + x = ϕ (u ) ϕ (u ) − u x u) dx
常微分方程大纲(数学与应用数学专业)
常微分方程教学大纲（The teaching outline of ordinary differential equations）（供四年制数学与应用数学专业2009级试用）课程编号：21210590总学时数：51学分数：3 开课单位：数学科学学院课程的性质与任务常微分方程是一门从数量关系上研究客观现实世界规律性的学科，它在自然科学和工程技术中均有着广泛的应用，是数学与应用数学（师范类）专业教学计划中一门重要的专本课程为考试课程，建议考核方式：闭卷考试。
大纲内容与基本要求第一章绪论第一节常微分方程模型第二节基本概念和常微分方程的发展历史1、常微分方程的基本概念，2、雅可比矩阵与函数相关性，3、常微分方程的发展历史。
教学要求：1、通过简单实际问题的常微分方程模型的建立了解常微分方程的实际背景。
2、掌握常微分方程的基本概念（类型，阶，线性，非线性，解，通解，初值条件，初值问题，特解，积分曲线以及方向场等），通过方向场与欧拉折线了解一阶微分方程与解的几何意义。
3、理解函数相关性概念及结论，了解常微分方程的发展历史。
第二章一阶微分方程的初等解法第一节变量分离方程和变量变换1、变量分离方程，2、可化为变量分离方程的类型，3、应用举例。
第二节线性微分方程与常数变易法第三节恰当微分方程与积分因子1、恰当微分方程，2、积分因子。
第四节一阶隐式微分方程与参数表示1、可以解出y（或x）的方程，2、不显含y（或x）的方程。
教学要求：1、熟练掌握各类一阶显式方程(变量分离方程、齐次方程、准齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程等)的基本解法。
2、理解积分因子的概念，并能寻求特殊形式的积分因子。
第三章一阶微分方程的基本理论第一节一解微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法1、初值问题的解的存在唯一性定理，2、近似计算与误差估计。
第二节解的延拓第三节解对初值的连续性和可微性定理第四节奇解1、包络和奇解，2、克莱罗微分方程。
常系数线性微分方程组
微分方程组的分类
按阶数分类
根据微分方程中导数的最高阶数，可以将微分方程组分为一阶、二阶和高阶微分方程组。
按线性与非线性分类
根据微分方程中是否含有未知函数的非线性项，可以将微分方程组分为线性微分方程组和非线性微分方程组。
02 一阶常系数线性微分方程 组
定义与解法
定义
一阶常系数线性微分方程组是形如 `y' + p(t)y = q(t)` 的方程，其中 `p(t)` 和 `q(t)` 是已知函数， `y(t)` 是未知函数。
在经济中的应用
金融分析
常系数线性微分方程组可以用来 描述股票价格、汇率等金融变量 的变化规律。
供需模型
在经济学中，常系数线性微分方 程组可以用来描述商品价格随时 间的变化规律，以及供需关系的 变化。
经济增长模型
在经济研究中，常系数线性微分 方程组可以用来描述一个国家或 地区的经济增长趋势。
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解法
常用的解法有分离变量法、变量代换法、积分因子法等，这些方法可以将微分方程转化为代数方程， 从而求解未知函数。
特解的求解方法
1 2
特解的概念
特解是指满足微分方程的某个特定条件的解。
求解方法
对于给定的特解条件，可以通过代入法、常数变 易法等求解特解。
3
举例
对于方程 `y' + 2y = 3`，如果要求特解满足条件 `y(0) = 1`，可以通过代入法和常数变易法求解 得到特解为 `y = 3 - 2t`。
特解的求解方法
特解
满足特定初始条件的解称为特解。
求解方法
根据初始条件，将特解设为满足该条件的形式，然后代入原方程进行求解，得到特解的 具体形式。
常系数线性微分方程(组)
常系数线性微分方程(组)1.什么是常系数线性微分方程(组)常系数线性微分方程(组)是一类用来描述变量之间关系的数学方程(组)。
这类方程(组)可以用来求解变量随时间变化的规律。
常系数线性微分方程(组)的形式如下：对于一元方程：a1y' + a2y = b对于二元方程组：a1x' + a2y' = b1a3x' + a4y' = b2其中，a1、a2、a3、a4是常数，y'和x'分别表示y和x关于时间的导数。
2.常系数线性微分方程(组)应用常系数线性微分方程(组)在实际生活中有许多应用。
下面是几个具体的例子：在物理学中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述物体运动的轨迹。
例如，对于一个物体在地面上匀加速直线运动的情况，我们可以用如下方程来描述：s = v0t + 0.5a*t^2其中，s是物体位移，v0是初始速度，a是加速度，t是时间。
在经济学中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述经济变量之间的关系。
例如，对于一个国家的人口数量随时间变化的情况，我们可以用如下方程来描述：P' = rP - aP^2其中，P是人口数量，P'是人口数量关于时间的导数，r是人口增长率，a是人口密度。
在生物学中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述生物群体数量随时间变化的情况。
例如，对于一种动物的数量随时间变化的情况，我们可以用如下方程来描述：N' = rN - dN其中，N是动物数量，N'是动物数量关于时间的导数，r是动物生长率，d是动物死亡率。
在自动控制工程中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述系统的动态行为。
例如，对于一个机器人的运动控制系统，我们可以用如下方程来描述：x'' + kx' + cx = u其中，x是机器人的位置，x''是机器人位置关于时间的二次导数，k是阻尼系数，c是弹性系数，u是控制输入。
常微分方程教案(王高雄)第五章
⎡ a1 1 ( t ) ⎢ a (t ) A( t ) = ⎢ 2 1 ⎢ L ⎢ ⎢ ⎣ a n1 ( t )
a1 2 ( t ) a 22 (t ) L a n 2 (t )
L L L L
a1 n ( t ) ⎤ a 2 n (t ) ⎥ ⎥ L ⎥ ⎥ a nn (t ) ⎥ ⎦
（5.2）
不难证明，如果 n × n 矩阵 A(t ), B(t ) 及向量 u(t ), v (t ) 是可微的，那么下列等式成立：
( I ) ( A(t ) + B(t ))′ = A′(t ) + B′(t ) (u(t ) + v (t ))′ = u′(t ) + v′(t ) ( II ) ( A(t ) ⋅ B(t ))′ = A′(t )B(t ) + A(t )B′(t ) ( III ) ( A(t )u(t ))′ = A′(t )u(t ) + A (t )u′(t )
类似的，矩阵 B (t ) 或者 u (t ) 在区间 a ≤ t ≤ b 上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间
a ≤ t ≤ b 上可积．并且它们的积分分别由下式给出：
⎡ b b ( t ) dt ⎢ ∫a 11 ⎢ b b ( t ) dt b = B ( t ) dt ⎢ ∫a 21 ∫a L ⎢ ⎢ b b ( t ) dt ⎢ ⎣ ∫a n1
b 22 ( t ) dt L b ∫ b n 2 (t ) dt
a a
∫ ∫
b
a b
b12 ( t ) dt
L L L L
∫ ∫
b1 n ( t ) dt ⎤ ⎥ b 2 n ( t ) dt ⎥ a ⎥ L ⎥ b ⎥ ∫a b nn (t ) dt ⎥ ⎦
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上满足：
1) 连续；
2) 关于Y满足李普希兹条件，即存在N>0,使对于R上任意两点
有 则初值问题(1)的解在
上存在且唯一，其中
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5.2 一阶线性微分方程组的一般概念 方程组（1）
关于
是线性的。
如果在一阶微分方程组(1)中，函数
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为线性的。
则称(1)为一阶线性微分方程组。我们总假设(1)的系数 及
在某个区间
上连续。
向量形式： 记：精品课件向量形式如果在I上，,方程组变成
（5.1) （5.2)
我们把(5.2)称为一阶线性齐次方程组。
如果(5.2与(5.1)中A(x)相同，则称(5.2)为(5.1)的对应的
齐次方程组.与第二章中关于一阶线性微分方程的结果类似， 我们可以证明如下的关于(5.1)的满足初始条件(5.3)的解的存 在与唯一性定理.
第五章 线性微分方程组
云南师范大学数学学院 黄炯
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例如，已知在空间运动的质点
的速度
与时间及点的坐标的关系为
且质点在时刻t经过点 求该质点的运动轨迹。
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因为 ,所以这个问题其实就是求一阶微分方程组
满足初始条件
的解
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（1.12）
。
另外，在n阶微分方程
中,令
就可以把它化成等价的一阶微分方程组
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对于一般的向量函数组,定理3.3的逆定理未必成立. 例如向量函数
的朗斯基行列式恒等于零，但它们却是线性无关的. 然而，当所讨论的向量函数组是方程组(5.8)的解时， 我们有下面的结论.
定理5.4 如果
是方程组(5.8)的n个线性无关解，则它的朗斯基行列式W(x) 在I上恒不为零.
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由定理5.3和定理5.4立即得到如下的推论.
注意，这是一个含n个未知函数
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的一阶微分方程组。
含有n个未知函数
的一阶微分方程组的一般形式为：
此方程组在
上的一个解，是这样的一组函数
使得在
上有恒等式
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含有n个任意常数
的解 称为方程组的通解. 如果通解满足方程组
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则称后者为(1)的通积分. 如果已求得(1)的通解或通积分，要求满足初始条件
的解，可以把此初始条件代入通解或通积分之中，得到关于 的n个方程式，如果从其中解得
再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解.
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为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(1) 令n维向量函数
并定义
则(1)可记成向量形式
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初始条件可记为 其中
这样，从形式上看，一阶方程组 与一阶方程式完全一样了。 进一步，对n维向量Y和矩阵
,
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定义
易于证明以下性质：
当且仅当Y = 0(0表示零向量，下同);
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对任意常数
有
对任意常数
有
称‖Y‖和‖A‖分别为向量Y和矩阵A的范数。进而还有如下性质
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有了以上准备，完全类似于第三章定理3.1， 我们有如下的关于初值问题(1)的解的存在与唯一性定理.
定理5.1 如果函数F(x,Y)在n+1维空间的区域
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例3中两个向量函数的各个对应分量都构成线性相关函 数组.这个例题说明，向量函数组的线性相关性和由它 们的分量构成的函数组的线性相关性并不等价.
下面介绍n个n维向量函数组
(5.10)
在其定义区间I上线性相关与线性无关的判别准则.
我们考察由这些列向量所组成的行列式
通常把它称为向量组(5.10)的朗斯基(Wronski)行列式.
实际上，这个推论是定理5.4的逆否命题.
推论5.3 方程组(5.2)的n个解在其定义区间 I上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列 式W(x)在I上任一点不为零.
条件的充分性由推论5.1立即可以得到． 必要性用反证法及推论5.2证明是显然 的．证毕．
2．一阶线性齐次微分方程组解空间的结构．
我们把一阶线性齐次方程组(5.2)的n个线
间的性质，进而得到方程组(5.2)的解的结构，我们
引入如下概念.
定义5.1 若有函数组
，使得
在区间I上恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关； 否则称它们在区间I上线性无关.
显然，两个向量函数
的对应分量成比例是它们在区间I上线性相关的充要条件. 另外，如果在向量组中有一零向量， 则它们在区间I上线性相关.
（5.3)
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定理5.1′ 如果(5.1)中的A(x)及F(x)在区间I =
上连续，则对于
上任一点x 以及任意给定的
方程组(5.1)的满足初始条件(5.3)的解在
上存在且唯一.
它的结论与定理3.1的不同之处是：
定理3.1的解的存在区间是局部的，
而定理5.1则指出解在整个区间
上存在.
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5.2 一阶线性齐次方程组的一般理论 1．一阶线性齐次微分方程组解的性质 本节主要研究一阶线性齐次方程组(5.2)的通解
结构.为此我们首先从(5.2)的解的性质入手.
（5.2)
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若
是方程组(5.2)的m个解，则
(5.4)
也是(5.2)的解，其中
是任意常数. 换句话说，线性齐次方程组(5.2)的任何有限个解的线性组合 仍为(5.2)的解.
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定理5.2告诉我们，一阶线性齐次微分方程组(5.2)的
解集合构成了一个线性空间.为了搞清楚这个线性空
性无关解称为它的基本解组. 例4 易于验证向量函数
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是方程组 的基本解组. 定理5.5 方程组(5.2)必存在基本解组.
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定理5.6 如果 是齐次方程组(5.2)的基本解组，则其线性组合
是齐次方程组(5.2)的通解,其中
为n个任意常数.
推论5.4 线性齐次方程组(5.2)的线性无关解的个数不能多于n 个.
推论5.1 如果向量组(5.10)的朗斯基行列式W(x) 在区间I上的某一点处不等于零，即 ,则向量组(5.10)在I上线性无关.
实际上，这个推论是定理5.3的逆否命题.
推论5.2 如果方程组(5.8)的n个解的朗斯基行列式 W(x)在其定义区间I上某一点x0等于零，即
则该解组在I上必线性相关.
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3．刘维尔公式 齐次方程组(5.2)的解和其系数之间有下
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定理5.3 如果向量组(5.10)在区间I上线性相关，则它们的
朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零.
证明 依假设，存在不全为零的常数
,使得
把上式写成纯量形式，有
这是关于
的线性齐次代数方程组，且它对任一
都有非零解
根据线性代数知识，它的系数行列式
W (x)对任一
都为零.故在I上有W(x)≡0.证毕.