二次函数测试题及答案
二次函数测试题及答案
二次函数测试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 以下哪个选项是二次函数的一般形式?A. y = 2x + 1B. y = x^2 + 3x + 2C. y = 3x^3 - 5D. y = 4/x答案:B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(h, k),那么h的值为:A. -b/2aB. -b/aC. b/2aD. b/a答案:C3. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的对称轴方程是:A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案:A4. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上,那么a的值:A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 可以是任意实数答案:A5. 二次函数y = -x^2 + 4x - 3的顶点坐标是:A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 0)D. (3, 4)答案:C6. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 5的图象与x轴的交点个数是:A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案:C7. 二次函数y = x^2 - 4x + 4的最小值是:A. 0B. 4C. -4D. 1答案:A8. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的图象开口方向是:A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案:A9. 二次函数y = -x^2 + 2x + 3的图象与y轴的交点坐标是:A. (0, 3)B. (0, -3)C. (0, 5)D. (0, -5)答案:A10. 二次函数y = 5x^2 - 10x + 8的图象与x轴的交点坐标是:A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (1, 0)D. (-1, 0)答案:A二、填空题(每题4分,共20分)1. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上,且经过点(2, 0),则a的值至少为______。
答案:02. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是(______, ______)。
二次函数练习题及答案
二次函数练习题(1)1.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示,下列五个代数式ab 、ac 、a-b+c 、b 2- 4ac 、2a+b 中,值大于0的个数为( )A.5B.4C.3D.22.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,下列结论:①0<c ;②0>b ;③024>++c b a ;④042>-ac b .其中正确的有 ( )(A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D ) 4个3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点(-2,0),(x 1,0)且1<x 1<2,与y·轴正半轴的交点在点(0,2)的下方,下列结论:①a <b <0;②2a+c >0;③4a+c< 0,④2a -b+l >0.其中的有正确的结论是(填写序号)__________.4.把抛物线y=12x 2 向左平移三个单位, 再向下平移两个单位所得的关系式为________.5.将抛物线y=ax 2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为__________.6.抛物线c bx ax y ++=2如右图所示,则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是__________.7.已知二次函数y=2x 2-mx-4的图象与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和为2,则m=_________.8.如图,四边形ABCD 是矩形,A 、B 两点在x 轴的正半轴上,C 、D 两点在抛物线y =-x 2+6x 上.设OA =m (0<m <3),矩形ABCD 的周长为l ,则l 与m 的函数解析式为 .9.已知抛物线22b x x y ++=经过点1()4a -,和1()a y -,,则1y 的值是 .10、若二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限,且经过点(0,1),(-1,0),则S=a+b+c 的变化范围是 ( )图1(A) 0<S<2 (B) S>1 (C) 1<S<2 (D)-1<S<111、已知二次函数y =ax 2(a ≥1)的图像上两点A 、B 的横坐标分别是-1、2,点O 是坐标原点,如果△AOB 是直角三角形,则△OAB 的周长为 。
二次函数经典测试题附答案
二次函数经典测试题附答案一、选择题1.小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息:①c >0,②abc <0,③a -b +c >0,④2b >4a c ,⑤2a =-2b ,其中正确结论是( ).A .①②④B .②③④C .③④⑤D .①③⑤【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号,由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 【详解】①由抛物线交y 轴于负半轴,则c<0,故①错误; ②由抛物线的开口方向向上可推出a>0; ∵对称轴在y 轴右侧,对称轴为x=2ba->0, 又∵a>0, ∴b<0;由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上, ∴c<0,故abc>0,故②错误;③结合图象得出x=−1时,对应y 的值在x 轴上方,故y>0,即a−b+c>0,故③正确; ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0,故④正确; ⑤由图象可知:对称轴为x=2b a -=12则2a=−2b ,故⑤正确; 故正确的有:③④⑤. 故选:C 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系,观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件.2.二次函数y =2ax bx c ++(a ≠0)图象如图所示,下列结论:①abc >0;②2a b+=0;③当m ≠1时,+a b >2am bm +;④a b c -+>0;⑤若211ax bx +=222ax bx +,且1x ≠2x ,则12x x +=2.其中正确的有( )A .①②③B .②④C .②⑤D .②③⑤【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断 【详解】解:抛物线的开口向下,则a <0; 抛物线的对称轴为x=1,则-2ba=1,b=-2a ∴b>0,2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴,则c >0;由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标,是最大值,当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标,不是最大值 ∴+a b >2am bm +(故③正确):b >0,b+2a=0;(故②正确) 又由①②③得:abc <0 (故①错误) 由图知:当x=-1时,y <0;即a-b+c <0,b >a+c ;(故④错误)⑤若211ax bx +=222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)(x 1-x 2)+b(x 1-x 2)= (x 1-x 2)[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b aa a-=-=2 (故⑤正确) 故选D .考点:二次函数图像与系数的关系.3.抛物线y =-x 2+bx +3的对称轴为直线x =-1.若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t =0(t 为实数)在﹣2<x <3的范围内有实数根,则t 的取值范围是( ) A .-12<t ≤3B .-12<t <4C .-12<t ≤4D .-12<t <3【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y=-x2−2x+3,将一元二次方程-x2+bx+3−t=0的实数根看做是y=-x2−2x+3与函数y=t的交点,再由﹣2<x<3确定y的取值范围即可求解.【详解】解:∵y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-1,∴b=−2,∴y=-x2−2x+3,∴一元二次方程-x2+bx+3−t=0的实数根可以看做是y=-x2−2x+3与函数y=t的交点,∵当x=−1时,y=4;当x=3时,y=-12,∴函数y=-x2−2x+3在﹣2<x<3的范围内-12<y≤4,∴-12<t≤4,故选:C.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质,能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键.4.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,m),且与x铀的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:①abc>0;②a﹣b+c>0;③b2=4a(c﹣m);④一元二次方程ax2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根,其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a,b,c的正负;根据抛物线的对称轴位置可判别在x轴上另一个交点;根据抛物线与直线y=m的交点可判定方程的解.【详解】∵函数的图象开口向上,与y轴交于负半轴∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1 ∴b<0∴abc >0;①正确;∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间. ∴当x=-1时,y<0,即a-b+c<0,所以②不正确; ∵抛物线的顶点坐标为(1,m ), ∴244ac b a=m , ∴b 2=4ac-4am=4a (c-m ),所以③正确; ∵抛物线与直线y=m 有一个公共点, ∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点,∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根,所以④正确. 故选:C . 【点睛】考核知识点:抛物线与一元二次方程.理解二次函数性质,弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键.5.如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0),对称轴为直线x =﹣1,当y >0时,x 的取值范围是( )A .﹣1<x <1B .﹣3<x <﹣1C .x <1D .﹣3<x <1【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标,即可得到答案. 【详解】解:∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (1,0),对称轴为直线x =﹣1, ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是(﹣3,0),∴当y >0时,x 的取值范围是﹣3<x <1. 所以答案为:D . 【点睛】此题考查抛物线的性质,利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.6.方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3yx的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标,则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是( ) A .010<x <4B .011<x <43C .011<x <32D .01<x <12【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1y x=的图象交点的横坐标,再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式,找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围. 【详解】解:依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2y x 2=+与1y x=的图象交点的横坐标,这两个函数的图象如图所示,它们的交点在第一象限.当x=14时,21y x 2216=+=,1y 4x ==,此时抛物线的图象在反比例函数下方; 当x=13时,21229y x =+=,1y 3x==,此时抛物线的图象在反比例函数下方; 当x=12时,21224y x =+=,1y 2x==,此时抛物线的图象在反比例函数上方; 当x=1时,2y x 23=+=,1y 1x==,此时抛物线的图象在反比例函数上方. ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为:011<x <32. 故选C .【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力.解决此类识图题,同学们要注意分析其中的“关键点”,还要善于分析各图象的变化趋势.7.已知抛物线2:4W y x x c =-+,其顶点为A ,与y 轴交于点B ,将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ,点,A B 的对应点分别为','A B ,若四边形''ABA B 为矩形,则c 的值为( )A .32-B .3C .32D .52【答案】D 【解析】 【分析】先求出A(2,c-4),B(0,c),'(24),'(0)A c B c ---,,,,结合矩形的性质,列出关于c 的方程,即可求解. 【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+,其顶点为A ,与y 轴交于点B ,∴A(2,c-4),B(0,c),∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ,点,A B 的对应点分别为','A B ,∴'(24),'(0)A c B c ---,,,, ∵四边形''ABA B 为矩形, ∴''AA BB =,∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=,解得:52c =. 故选D . 【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质,掌握二次函数图象上点的坐标特征,关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等,是解题的关键.8.如图,正方形ABCD 中,AB =4cm ,点E 、F 同时从C 点出发,以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动,到点A 时停止运动.设运动时间为t (s ),△AEF 的面积为S (cm 2),则S (cm 2)与t (s )的函数关系可用图象表示为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析:分类讨论:当0≤t≤4时,利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣t2+4t,配成顶点式得S=﹣(t﹣4)2+8,此时抛物线的开口向下,顶点坐标为(4,8);当4<t≤8时,直接根据三角形面积公式得到S=(8﹣t)2=(t﹣8)2,此时抛物线开口向上,顶点坐标为(8,0),于是根据这些特征可对四个选项进行判断.解:当0≤t≤4时,S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF=4•4﹣•4•(4﹣t)﹣•4•(4﹣t)﹣•t•t=﹣t2+4t=﹣(t﹣4)2+8;当4<t≤8时,S=•(8﹣t)2=(t﹣8)2.故选D.考点:动点问题的函数图象.9.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是()A.原数与对应新数的差不可能等于零B.原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大C.当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30D.当原数取50时,原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解.【详解】解:设原数为m ,则新数为21100m , 设新数与原数的差为y则2211100100y m m m m =-=-+, 易得,当m =0时,y =0,则A 错误∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时,y 有最大值.则B 错误,D 正确. 当y =21时,21100m m -+=21 解得1m =30,2m =70,则C 错误. 故答案选:D . 【点睛】本题以规律探究为背景,综合考查二次函数性质和解一元二次方程,解题时要注意将数字规律转化为数学符号.10.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,则下列结论:(1)4a +2b +c <0;(2)方程ax 2+bx +c =0两根都大于零;(3)y 随x 的增大而增大;(4)一次函数y =x +bc 的图象一定不过第二象限.其中正确的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C 【解析】 【分析】由图可知,x=2时函数值小于0,故(1)正确,函数与x 轴的交点为x=1.x=3,都大于0,故(2)正确 ,由图像知(3)错误,由图象开口向上,a >0,与y 轴交于正半轴,c >0,对称轴x=﹣=1,故b <0,bc <0,即可判断一次函数y =x +bc 的图象.【详解】①由x =2时,y =4a +2b +c ,由图象知:y =4a +2b +c <0,故正确; ②方程ax 2+bx +c =0两根分别为1,3,都大于0,故正确; ③当x <2时,由图象知:y 随x 的增大而减小,故错误;④由图象开口向上,a >0,与y 轴交于正半轴,c >0,x=﹣=1>0,∴b <0,∴bc <0,∴一次函数y =x +bc 的图象一定过第一、三、四象限,故正确; 故正确的共有3个, 故选:C . 【点睛】此题主要考查二次函数的图像,解题的关键是熟知各系数所代表的含义.11.二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图,对称轴为直线x=2,若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0(t 为实数)在1<x <5的范围内有解,则t 的取值范围是( )A .t >﹣5B .﹣5<t <3C .3<t≤4D .﹣5<t≤4【答案】D 【解析】 【分析】先根据对称轴x=2求得m 的值,然后求得x=1和x=5时y 的值,最后根据图形的特点,得出直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4. 【详解】∵抛物线的对称轴为x =2, ∴22m-=-,m=4 如图,关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标当x=1时,y=3, 当x=5时,y=﹣5,由图象可知关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0(t 为实数)在1<x <5的范围内有解, 则直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4, ∴﹣5<t≤4.故选:D . 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系,方程有解,反映在图象上即图象与x 轴(或某直线)有交点.12.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h (单位:m )与足球被踢出后经过的时间t (单位:s )之间的关系如下表: t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h8141820201814…下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m ;②足球飞行路线的对称轴是直线92t =;③足球被踢出9s 时落地;④足球被踢出1.5s 时,距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是( ) A .1 B .2C .3D .4【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解:由题意,抛物线的解析式为y =ax (x ﹣9),把(1,8)代入可得a =﹣1, ∴y =﹣t 2+9t =﹣(t ﹣4.5)2+20.25,∴足球距离地面的最大高度为20.25m ,故①错误, ∴抛物线的对称轴t =4.5,故②正确,∵t =9时,y =0,∴足球被踢出9s 时落地,故③正确, ∵t =1.5时,y =11.25,故④错误,∴正确的有②③, 故选B .13.如图是二次函数2y ax bx c =++的图象,有下面四个结论:0abc >①;0a b c ②-+>; 230a b +>③;40c b ->④,其中正确的结论是( )A .①②B .①②③C . ①③④D . ①②④【答案】D【解析】【分析】根据抛物线开口方向得到a 0>,根据对称轴02b x a =->得到b 0<,根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<,所以0abc >;1x =-时,由图像可知此时0y >,所以0a b c -+>;由对称轴123b x a =-=,可得230a b +=;当2x =时,由图像可知此时0y >,即420a bc ++>,将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >,根据对称轴02b x a=->得到b 0<,根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<,所以0abc >,故①正确.②1x =-时,由图像可知此时0y >,即0a b c -+>,故②正确.③由对称轴123b x a =-=,可得230a b +=,所以230a b +>错误,故③错误; ④当2x =时,由图像可知此时0y >,即420a bc ++>,将③中230a b +=变形为23a b =-,代入可得40c b ->,故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系,注意用数形结合的思想解决问题。
二次函数经典测试题附答案
二次函数经典测试题附答案二次函数经典测试题附答案一、选择题1.小明从如图所示的二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像中,观察得出了下面五条信息:①$c0$,③$a-b+c>0$,④$b^2>4ac$,⑤$2a=-2b$,其中正确结论是().A。
①②④B。
②③④C。
③④⑤D。
①③⑤解析】本题考查了二次函数图像与系数关系,观察图像判断图像开口方向、对称轴所在位置、与 $x$ 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件。
由抛物线的开口方向判断 $a$ 的符号,由抛物线与 $y$ 轴的交点判断 $c$ 的符号,然后根据对称轴及抛物线与 $x$ 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断。
详解】①由抛物线交 $y$ 轴于负半轴,则 $c0$;由对称轴在 $y$ 轴右侧,对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$,又 $a>0$,故$b0$,故②错误;③结合图像得出 $x=-1$ 时,对应 $y$ 的值在 $x$ 轴上方,故 $y>0$,即 $a-b+c>0$,故③正确;④由抛物线与 $x$ 轴有两个交点可以推出 $b^2-4ac>0$,故④正确;⑤由图像可知:对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$,则 $2a=-2b$,故⑤正确;故正确的有:③④⑤。
故选:C。
点睛】本题考查了二次函数图像与系数关系,观察图像判断图像开口方向、对称轴所在位置、与 $x$ 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件。
2.二次函数 $y=ax^2+bx+c$($a\neq0$)图像如图所示,下列结论:①$abc>0$;②$2a+b^2=2$;③当 $m\neq1$ 时,$a+b>am^2+bm$;④$a-b+c>0$;⑤若$ax_1+bx_1=ax_2+bx_2$,且 $x_1\neq x_2$,则 $x_1+x_2=2$。
其中正确的有()A。
①②③B。
②④C。
②⑤D。
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)第一套:1. 将函数 $y = 2x^2 - 3x - 2$ 化简为标准形式,并求出它的顶点坐标。
答案:将函数化简为标准形式得到 $y = 2(x-\frac{3}{4})^2 -\frac{33}{8}$,顶点坐标为 $(\frac{3}{4}, -\frac{33}{8})$。
2. 求函数 $y = -x^2 + 4x + 1$ 的零点。
答案:将函数化简为标准形式得到 $y = -(x-2)^2 + 5$,令 $y = 0$,解得 $x = 2 \pm \sqrt{5}$,即零点为 $x_1 = 2 + \sqrt{5}$ 和 $x_2 = 2 -\sqrt{5}$。
3. 给定函数 $y = x^2 - 6x + 5$,求其对称轴的方程式。
答案:对称轴的方程式为 $x = \frac{-b}{2a}$,代入 $a = 1$ 和 $b = -6$ 得到 $x = \frac{6}{2} = 3$。
4. 若函数 $y = ax^2 + bx - 9$ 与 $y = -x^2 + 7x$ 有相同的图像,求$a$ 和 $b$ 的值。
答案:由于两个函数有相同的图像,所以它们的系数相等。
比较两个函数的对应系数得到 $a = -1$ 和 $b = 7$。
5. 已知函数 $y = x^2 - 4x + 5$ 的图像上存在一点 $(h, k)$,使得 $x= h - 3$ 时,$y = 2k + 12$,求点 $(h, k)$ 的坐标。
答案:将 $x = h - 3$ 代入函数得到 $y = (h-3)^2 - 4(h-3) + 5$。
代入$y = 2k + 12$ 得到 $(h-3)^2 - 4(h-3) + 5 = 2k + 12$。
整理得到 $(h-3)^2 -4(h-3) - 2k - 7 = 0$。
由于该方程为二次方程,必然存在实数解。
二次函数练习题及答案
二次函数练习题及答案1. 已知二次函数的顶点为(2, 3),且经过点(1, 5),求该二次函数的解析式。
2. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于点A(-1, 0)和B(3, 0),求抛物线的对称轴方程。
3. 函数f(x)=2x^2-4x+m在区间[0, 2]上的最大值为8,求m的值。
4. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(-1, 2)和(2, 2),且在x=1处取得最小值,求a、b、c的值。
5. 抛物线y=ax^2+bx+c的图象开口向上,且经过点(0, 1)和(2, 5),求a的取值范围。
6. 函数y=x^2-2x+3的图象与x轴的交点坐标为多少?7. 抛物线y=-2x^2+4x+1的顶点坐标是什么?8. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴交于点(0, 2),且在x=-1处取得最大值,求a、b、c的值。
9. 函数f(x)=x^2-6x+8在区间[1, 4]上的最大值和最小值分别是多少?10. 抛物线y=3x^2-6x+2与x轴的交点坐标是什么?11. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1, 0)和(-2, 0),且在x=0处取得最小值,求a、b、c的值。
12. 函数y=2x^2-4x+1在区间[0, 3]上的最大值和最小值分别是多少?13. 抛物线y=-x^2+2x+3的图象开口向下,求抛物线的顶点坐标。
14. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(-3, -2)和(1, -2),求a、b、c的值。
15. 函数y=x^2-4x+5的图象与x轴的交点坐标为多少?16. 抛物线y=4x^2-12x+9的顶点坐标是什么?17. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴交于点(0, -1),且在x=2处取得最大值,求a、b、c的值。
18. 函数f(x)=-2x^2+8x-8在区间[0, 4]上的最大值和最小值分别是多少?19. 抛物线y=x^2-4x+5的图象开口向上,求抛物线的对称轴方程。
二次函数经典测试题含答案解析
二次函数经典测试题含答案解析一、选择题1.抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示,下列判断中:①abc <0;②a +b +c >0;③5a -c =0;④当x <或x >6时,y 1>y 2,其中正确的个数有( )A .1B .2C .3D .4【答案】C【解析】【分析】【详解】 解:根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知:a >0,b <0,c >0,则abc <0,则①正确;根据图形可得:当x=1时函数值为零,则a+b+c=0,则②错误; 根据函数对称轴可得:-2b a=3,则b=-6a ,根据a+b+c=0可知:a-6a+c=0,-5a+c=0,则5a-c=0,则③正确;根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛:本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系,属于中等题目,如果函数开口向上,则a 大于零,如果函数开口向下,则a 小于零;如果函数的对称轴在y 轴左边,则b 的符号与a 相同,如果函数的对称轴在y 轴右边,则b 的符号与a 相反;如果函数与x 轴交于正半轴,则c 大于零,如果函数与x 轴交于负半轴,则c 小于零;对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时,我们需要找具体的值进行代入从而得出答案;对于两个函数值的大小比较,我们一般以函数的交点为分界线,然后进行分情况讨论.2.如图是抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)的部分图象,其顶点是(1,n ),且与x 的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:①a -b+c >0;②3a+b=0;③b 2=4a (c-n );④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根.其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间,则当x=-1时,y>0,于是可对①进行判断;利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a =1,即b=-2a ,则可对②进行判断;利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ,则可对③进行判断;由于抛物线与直线y=n 有一个公共点,则抛物线与直线y=n-1有2个公共点,于是可对④进行判断.【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间.∴当x=-1时,y >0,即a-b+c >0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1,即b=-2a , ∴3a+b=3a-2a=a ,所以②错误;∵抛物线的顶点坐标为(1,n ), ∴244ac b a-=n , ∴b 2=4ac-4an=4a (c-n ),所以③正确;∵抛物线与直线y=n 有一个公共点,∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点,∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根,所以④正确.故选C .【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系,熟练掌握二次函数性质是解题的关键.3.将抛物线243y x x =-+平移,使它平移后图象的顶点为()2,4-,则需将该抛物线( )A .先向右平移4个单位,再向上平移5个单位B .先向右平移4个单位,再向下平移5个单位C .先向左平移4个单位,再向上平移5个单位D .先向左平移4个单位,再向下平移5个单位【答案】C【解析】【分析】先把抛物线243y x x =-+化为顶点式,再根据函数图象平移的法则进行解答即可. 【详解】∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--∴其顶点坐标为:(2,−1),∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位,再向上平移5个单位. 故选C.【点睛】本题考查二次函数图像,熟练掌握平移是性质是解题关键.4.二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数,且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表:下列结论错误的是( )A .0ac <B .3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根;C .当1x >时,y 的值随x 值的增大而减小;D .当13x -<<时,()210.ax b x c +-+>【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表,可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断.【详解】解:根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知:当1x =-时,1y =-,即1a b c -+=-,当0x =时,3y =,即3c =,当1x =时,5y =,即5a b c ++=,联立以上方程:135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩,解得:133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴233y x x =-++;A 、1330=-⨯=-<ac ,故本选项正确;B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=, 将3x =代入得:232339630-+⨯+=-++=,∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确; C 、233y x x =-++化为顶点式得:2321()24=--+y x , ∵10a =-<,则抛物线的开口向下, ∴当32x >时,y 的值随x 值的增大而减小;当32x <时,y 的值随x 值的增大而增大;故本选项错误; D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>,令2y x 2x 3=-++, 由二次函数的图象可得:当0y >时,13x -<<,故本选项正确;故选:C .【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系,根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键.5.函数25y ax bx =++(0)a ≠,当1x =与7x =时函数值相等,则8x =时,函数值等于( )A .5B .52-C .52D .-5【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称性,求得函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴,进而判断与8x =的函数值相等时x 的值,由此可得结果.【详解】∵函数25y ax bx =++(0)a ≠,当1x =与7x =时函数值相等,∴函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴为:1742x +==, ∴8x =与0x =的函数值相等,∴当8x =时,250055y ax bx a b =++=⨯+⨯+=,即8x =时,函数值等于5,故选:A .【点睛】本题主要考查二次函数的图象和对称性.掌握二次函数的对称性和对称轴的求法,是解题的关键.6.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,有以下结论:①a +b +c <0;②a ﹣b +c >1;③abc >0;④9a ﹣3b +c <0;⑤c ﹣a >1.其中所有正确结论的序号是( )A .①②B .①③④C .①②③④D .①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向可得出a 的符号,再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值,然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可.【详解】由图象可知,a <0,c=1,对称轴:x=b12a-=-, ∴b=2a , ①由图可知:当x=1时,y <0,∴a+b+c <0,正确;②由图可知:当x=−1时,y >1,∴a −b+c >1,正确;③ab c=2a 2>0,正确;④由图可知:当x=−3时,y <0,∴9a −3b+c <0,正确;⑤c−a=1−a >1,正确;∴①②③④⑤正确.故选:D .【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.7.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,下列结论①24b ac >,②0abc <,③20a b c +->,④0a b c ++<.其中正确的是( )A .①④B .②④C .②③D .①②③④【答案】A【解析】【分析】 ①抛物线与x 轴由两个交点,则240b ac ->,即24b ac >,所以①正确;②由二次函数图象可知,0a <,0b <,0c >,所以0abc >,故②错误;③对称轴:直线12b x a=-=-,2b a =,所以24a b c a c +-=-,240a b c a c +-=-<,故③错误;④对称轴为直线1x =-,抛物线与x 轴一个交点132x -<<-,则抛物线与x 轴另一个交点201x <<,当1x =时,0y a b c =++<,故④正确.【详解】解:①∵抛物线与x 轴由两个交点,∴240b ac ->,即24b ac >,所以①正确;②由二次函数图象可知,0a <,0b <,0c >,∴0abc >,故②错误;③∵对称轴:直线12b x a=-=-, ∴2b a =,∴24a b c a c +-=-,∵0a <,40a <, 0c >,0a <,∴240a b c a c +-=-<,故③错误;④∵对称轴为直线1x =-,抛物线与x 轴一个交点132x -<<-,∴抛物线与x 轴另一个交点201x <<,当1x =时,0y a b c =++<,故④正确.故选:A .【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系,熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.8.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,则下列结论:(1)4a +2b +c <0;(2)方程ax 2+bx +c =0两根都大于零;(3)y 随x 的增大而增大;(4)一次函数y =x +bc 的图象一定不过第二象限.其中正确的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C【解析】【分析】 由图可知,x=2时函数值小于0,故(1)正确,函数与x 轴的交点为x=1.x=3,都大于0,故(2)正确 ,由图像知(3)错误,由图象开口向上,a >0,与y 轴交于正半轴,c >0,对称轴x=﹣=1,故b <0,bc <0,即可判断一次函数y =x +bc 的图象. 【详解】①由x =2时,y =4a +2b +c ,由图象知:y =4a +2b +c <0,故正确;②方程ax 2+bx +c =0两根分别为1,3,都大于0,故正确;③当x <2时,由图象知:y 随x 的增大而减小,故错误;④由图象开口向上,a >0,与y 轴交于正半轴,c >0,x=﹣=1>0,∴b <0, ∴bc <0,∴一次函数y =x +bc 的图象一定过第一、三、四象限,故正确;故正确的共有3个,故选:C .【点睛】此题主要考查二次函数的图像,解题的关键是熟知各系数所代表的含义.9.已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点.下列结论:①4c <;②当1x =时,y 有最小值2c -;③方程22420x x c -+-=有两个不等实根;④若连接这两个交点与抛物线的顶点,恰好是一个等腰直角三角形,则52c =;其中正确的结论的个数是( )A .4B .3C .2D .1【答案】B【解析】【分析】根据“抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③;根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②;根据等腰直角三角形的性质,用c 表达出两个交点,代入抛物线解析式计算即可判断④.【详解】解:∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点,∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根,即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根,故③正确,∴1642(2)0c ∆=-⨯⨯->,解得:4c <,故①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,且抛物线开口向上,∴当x=1时,2y c =-为最小值,故②正确;若连接这两个交点与抛物线的顶点,恰好是一个等腰直角三角形,则顶点(1,c-2)到直线y=2的距离等于两交点距离的一半,∵顶点(1,c-2)到直线y=2的距离为2-(c-2)=4-c ,∴两交点的横坐标分别为1-(4-c )=c-3与1+(4-c )=5-c∴两交点坐标为(c-3,2)与(5-c,2),将(c-3,2)代入224y x x c =-+中得:22(3)4(3)2c c c ---+= 解得:72c =或4c = ∵4c <, ∴72c =,故④错误, ∴正确的有①②③,故选:B .【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质,解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系.10.如图,ABC ∆为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故可排除选项C 与D ;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,故选项B 符合题意,选项A 不合题意.【详解】根据题意得,点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故选项C 与选项D 不合题意;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,∴选项B 符合题意,选项A 不合题意.故选B .【点睛】本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题.11.已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠,关于此函数的图象及性质,下列结论中不一定成立的是( )A .该图象的顶点坐标为()1,4a -B .该图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-C .若该图象经过点()2,5-,则一定经过点()4,5D .当1x >时,y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】解:y=a (x 2-2x-3)=a (x-3)(x+1)令y=0,∴x=3或x=-1,∴抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)与(-1,0),故B 成立;∴抛物线的对称轴为:x=1,令x=1代入y=ax 2-2ax-3a ,∴y=a-2a-3a=-4a ,∴顶点坐标为(1,-4a ),故A 成立;由于点(-2,5)与(4,5)关于直线x=1对称,∴若该图象经过点(-2,5),则一定经过点(4,5),故C 成立;当x >1,a >0时,y 随着x 的增大而增大,当x >1,a <0时,y 随着x 的增大而减少,故D 不一定成立;故选:D .【点睛】本题考查二次函数,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,本题属于基础题型.12.如图,四边形ABCD 是正方形,8AB =,AC 、BD 交于点O ,点P 、Q 分别是AB 、BD 上的动点,点P 的运动路径是AB BC →,点Q 的运动路径是BD ,两点的运动速度相同并且同时结束.若点P 的行程为x ,PBQ △的面积为y ,则y 关于x 的函数图象大致为( )A .B .C .D .【答案】A【解析】【分析】 分点P 在AB 边和BC 边上两种情况画出图形,分别求出y 关于x 的函数关系式,再结合其取值范围和图象的性质判断即可.【详解】解:当点P 在AB 边上,即08x ≤≤时,如图1,由题意得:AP=BQ=x ,∠ABD =45°,∴ BP =8-x ,过点Q 作QF ⊥AB 于点F ,则QF =2222BQ x =, 则2122(8)22224y x x x x =-⋅=-+,此段抛物线的开口向下;当点P 在BC 边上,即882x <≤时,如图2,由题意得:BQ=x ,BP=x -8,∠CBD =45°, 过点Q 作QE ⊥BC 于点E ,则QE =2222BQ x =, 则2122(8)22224y x x x x =-⋅=-,此段抛物线的开口向上. 故选A. 【点睛】本题以正方形为依托,考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和二次函数的图象等知识,分情况讨论、正确列出二次函数的关系式是解题的关键.13.如图,将一个小球从斜坡的点O 处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y =4x -12x 2刻画,斜坡可以用一次函数y =12x 刻画,下列结论错误的是( )A .斜坡的坡度为1: 2B .小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C .小球落地点距O 点水平距离为7米D .当小球抛出高度达到7.5m 时,小球距O 点水平距离为3m 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线与直线的交点,判断A 、C ;根据二次函数的性质求出对称轴,根据二次函数性质判断B ;求出当7.5y =时,x 的值,判定D . 【详解】解:214212y xxy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得,11xy=⎧⎨=⎩,22772xy=⎧⎪⎨=⎪⎩,72∶7=1∶2,∴A正确;小球落地点距O点水平距离为7米,C正确;2142y x x=-21(4)82x=--+,则抛物线的对称轴为4x=,∴当4x>时,y随x的增大而减小,即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势,B正确,当7.5y=时,217.542x x=-,整理得28150x x-+=,解得,13x=,25x=,∴当小球抛出高度达到7.5m时,小球水平距O点水平距离为3m或5m,D错误,符合题意;故选:D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质,掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键.14.如图,已知将抛物线21y x=-沿x轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域(包括边界),在这个区域内有5个整点(点M满足横、纵坐标都为整数,则把点M叫做“整点”).现将抛物线()()2120y a x a=++<沿x轴向下翻折,所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内(包括边界)恰有11个整点,则a的取值范围是()A .1a ≤-B .12a ≤-C .112a -<≤D .112a -≤<-【答案】D 【解析】 【分析】画出图象,利用图象可得m 的取值范围 【详解】 解:∵ ()()2120y a x a =++<∴该抛物线开口向下,顶点(-1,2),对称轴是直线x=-1.∴点(-1,2)、点(-1,1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1,-2)符合题意,此时x 轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意,将(0,1)代入()()2120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1. 将(1, 0)代入()()2120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2∵有11个整点,∴点(0,-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0,1)也必须符合题意.综上可知:当1-1a<-2≤ 时,点(-1,2)、点(-1,1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1,-2)、点(-2, 0)、(0,0)、点(0,-1)、点(-2,-1)、点(-2,1)、点(0, 1),共有11个整点符合题意, 故选: D. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系,抛物线与x 轴的交点的求法,利用图象解决问题是本题的关键.15.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)中的x 与y 的部分对应值如下表:给出以下结论:(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值,最小值为﹣3;(2)当﹣12<x<2时,y<0;(3)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在函数的图象上,则当﹣1<x1<0,3<x2<4时,y1>y2.上述结论中正确的结论个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根据表格的数据,以及二次函数的性质,即可对每个选项进行判断.【详解】解:(1)函数的对称轴为:x=1,最小值为﹣4,故错误,不符合题意;(2)从表格可以看出,当﹣12<x<2时,y<0,符合题意;(3)﹣1<x1<0,3<x2<4时,x2离对称轴远,故错误,不符合题意;故选择:B.【点睛】本题考查了二次函数的最值,抛物线与x轴的交点,仔细分析表格数据,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.16.已知抛物线y=x2+2x上三点A(﹣5,y1),B(2.5,y2),C(12,y3),则y1,y2,y3满足的关系式为()A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2【答案】C【解析】【分析】首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴,对称轴为直线x=-1;然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置,接着利用抛物线的增减性质即可求解;由B离对称轴最近,A次之,C最远,则对应y的值大小可确定.【详解】∵抛物线y=x2+2x,∴x=-1,而A(-5,y1),B(2.5,y2),C(12,y3),∴B离对称轴最近,A次之,C最远,∴y2<y1<y3.故选:C.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,二次函数图象上点的坐标特征等知识点,能熟记二次函数的性质是解此题的关键.17.下列函数(1)y=x(2)y=2x﹣1 (3)y=1x(4)y=2﹣3x(5)y=x2﹣1中,是一次函数的有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可.【详解】解:(1)y=x是一次函数,符合题意;(2)y=2x﹣1是一次函数,符合题意;(3)y=1x是反比例函数,不符合题意;(4)y=2﹣3x是一次函数,符合题意;(5)y=x2﹣1是二次函数,不符合题意;故是一次函数的有3个.故选:B.【点睛】此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义,正确把握相关定义是解题关键.18.在函数2yx=,3y x=+,2y x=的图象中,是中心对称图形,且对称中心是原点的图象共有()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解.【详解】y=x+3的图象是中心对称图形,但对称中心不是原点;y=x2图象不是中心对称图形;只有函数2yx=符合条件.故选:B.【点睛】本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质,熟练掌握相关知识是解题的关键.19.已知二次函数y =ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图,分析下列四个结论:①abc <0;②b 2﹣4ac >0;③3a+c >0;④(a+c )2<b 2,其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B 【解析】试题解析:①由开口向下,可得0,a < 又由抛物线与y 轴交于正半轴,可得0c >,再根据对称轴在y 轴左侧,得到b 与a 同号,则可得0,0b abc , 故①错误;②由抛物线与x 轴有两个交点,可得240b ac ->, 故②正确; ③当2x =-时,0,y < 即420a b c -+< ……(1) 当1x =时,0y <,即0a b c ++< ……(2) (1)+(2)×2得,630a c +<, 即20a c +<, 又因为0,a <所以()230a a c a c ,++=+< 故③错误;④因为1x =时,0y a b c =++<,1x =-时,0y a b c =-+> 所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦所以22().a c b +< 故④正确,综上可知,正确的结论有2个. 故选B .20.在同一坐标系中,二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直线与抛物线联立解方程组,若有解,则图象有交点,若无解,则图象无交点;根据二次函数的对称轴在y左侧,a,b同号,对称轴在y轴右侧a,b异号,以及当a大于0时开口向上,当a小于0时开口向下,来分析二次函数;同时在假定二次函数图象正确的前提下,根据一次函数的一次项系数为正,图象从左向右逐渐上升,一次项系数为负,图象从左向右逐渐下降;一次函数的常数项为正,交y轴于正半轴,常数项为负,交y轴于负半轴.如此分析下来,二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案.【详解】解:由方程组2y ax bxy bx a⎧=+⎨=-⎩得ax2=−a,∵a≠0∴x2=−1,该方程无实数根,故二次函数与一次函数图象无交点,排除B.A:二次函数开口向上,说明a>0,对称轴在y轴右侧,则b<0;但是一次函数b为一次项系数,图象显示从左向右上升,b>0,两者矛盾,故A错;C:二次函数开口向上,说明a>0,对称轴在y轴右侧,则b<0;b为一次函数的一次项系数,图象显示从左向右下降,b<0,两者相符,故C正确;D:二次函数的图象应过原点,此选项不符,故D错.故选C.【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题,必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系,a,b的符号与对称轴的位置关系,并结合一次函数的相关性质进行分析,本题中等难度偏上.。
《二次函数》精编测试题及参考答案(提高)
二次函数精编测试题及参考答案(提高)一、选择题1.下列是二次函数的是()A.y=2x-1B. y=x2-(x-1)2C.y=x(x+1)-7D.y=1 x22.若二次函数y=(k-2)x2-3x+4与x轴有两个交点,则k的取值范围是()A.k≠2B.k≠4116C.k<4116且k≠2 D.k>4116且k≠23.将抛物线y=2x2-4x+1向左平移2022个单位,再向下平移2023个单位,则平移后抛物线的解析式为()A.y=2(x-1)2-1B.y=2(x+2021)2-2024C.y=2(x-2022)2-2024D.y=2(x-2024)2+20224.关于二次函数y=3x2+1的说法中,错误的是()A.抛物线顶点(0,1)B.当x>1时,y随x的增大而增大C.图象经过点(1,4)D.图象的对称轴是直线x=15.如果三点P1(1,y1),P2(3,y2)和P3(4,y3)在抛物线y=-x2+6x+c的图象上,那么y1,y2与y3之间的大小关系是()A y1<y3<y2 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y1<y2<y36.根据下表中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0a,b,c为常数)的一个解x的范围可能是()A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.207.向空中抛一枚物体,第x秒时的高度为y米,且高度与时间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0),若此物体在第6秒与第15秒时的高度相等,则下列时间中物体所在的高度最高是()A.第6秒B.第10秒C.第14秒D.第15秒8.如图,函数y=kx 2-2x+1和y=k(x-1)(k 是常数,且k ≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) 9.三孔桥的三个桥孔呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米.当大孔水面宽度为20米时,单个小孔的水面宽度为( )A.2√3B. 4√3C. 5√2D. 6√310.如图,在四边形DEFG 中,∠E=∠F= 90°,∠DGF=45°,DE=1,FG=3,Rt △ABC 的直角顶点C 与点G 重合,另一个顶点B(在点C 左侧)在射线FG 上,且BC=1,AC=2,将△ABC 沿GF 方向平移,点C 与点F 重合时停止.设CG 的长为x,△ABC 在平移过程中与四边形DEFG 重叠部分的面积为y,则下列图象能正确反映y 与x 函数关系的是( )11.对于二次函数y=12x 2-6x+21,有以下结论:①当x>5时,y 随x 的增大而增大;②当x=6时,y 有最小值3;③图象与x 轴有两个交点;④图象是由抛物线y=12x 2先向左平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的.其中结论正确的个数为( )A.1B.2C.3D.412.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-1,则下列结论: ①abc<0;②(4a+c)2<(2b)2;③若(x1,y1)和(x2,y2)是抛物线上的两点,则当|x1+1|>|x2+1|时,y1<y2;④抛物线的顶点坐标为(-1,m),则关于x的方程ax2+bx+c=m-1无实数根.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题13.二次函数y=3(x-3)2+2顶点坐标为_________.14.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c的值是_______.15.如图,在一幅长50cm,宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画,设整个挂画总面积为ycm2,金色纸边的宽为xcm,则y与x的关系式是_____________.第15题第16题第17题16.如图,有一座拱桥洞呈抛物线形状,这个桥洞的最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中,则抛物线对应的函数关系式为________________.17.如图,把抛物线y=12x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为_________.18.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的图象如图所示,已知A点坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4,…,依次进行下去,则点A2023的坐标是_____________.三、解答题19.已知函数y=(m2+2m)x2+mx+m+1,(1)当m为何值时,此函数是一次函数.(2)当m为何值时,此函数是二次函数.20.如图,一农户要建一矩形猪舍,猪舍的一边利用长12m的住房墙,另外三边用27m长的建筑材料围成,为了方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍的面积y最大,最大面积是多少?21.如图,已知直线y1=kx+n与抛物线y2=-x2+bx+c相交于A(4,0)和B(0,2).(1)求直线和抛物线解析式;(2)当y1>y2时,求x的取值范围;(3)若直线上方的抛物线有一点C,S△ABC=6,求点C的坐标.22.某公司计划购进一批原料加工销售,已知该原料的进价为6.2万元/吨,加工过程中原料的质量有20%的损耗,加工费m(万元)与原料的质量x(吨)之间的关系为m=50+0.2x,销售价y(万元/吨)与原料的质量x(吨)之间的关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)设销售收入为P(万元),求P与x之间的函数关系式;(3)当原料的质量x为多少吨时,所获销售利润最大,最大销售利润是多少万元?23.抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-3,0)和点C(0,3).(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;(2)若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1:2两部分,并与x轴交于点Q,求点Q的坐标.参考答案一、选择题1-5 CCBDA 6-10 CBBCB 11-12 AC二、填空题13.(3,2)14. 115.y=4x2+160x+150016.y=−125(x−20)2+1617. 13.518.(-1012,10122)三、解答题19(1)m=-2 (2)m≠0且m≠-220.设宽为x,y=-2x2+28x,当宽为8米,长为12米时,面积最大,最大是96平方米。
二次函数试题及答案
二次函数试题及答案一、选择题1. 下列哪个函数是二次函数?A. y = x^2 + 3x + 2B. y = 3x + 2C. y = x^3 - 1D. y = 1/x答案:A2. 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标是什么?A. (-b, c)B. (-b/2a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2) / 4aD. (-b/2a, 4ac - b^2) / (4a)答案:D3. 如果二次函数 y = ax^2 + bx + c 的 a < 0,那么它的图像开口方向是?A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案:B二、填空题4. 二次函数 y = 2x^2 - 4x + 3 的顶点坐标是()。
答案:(1, 1)5. 如果二次函数 y = ax^2 + bx + c 与 x 轴有两个交点,那么 a 的取值范围是()。
答案:a ≠ 0 且Δ > 0三、解答题6. 已知二次函数 y = -3x^2 + 6x - 5,求该函数与 x 轴的交点。
答案:解:令 y = 0,得 -3x^2 + 6x - 5 = 0,解得x1 = (3 + √33) / 6,x2 = (3 - √33) / 6,因此,该函数与 x 轴的交点坐标为( (3 + √33) / 6, 0) 和( (3 - √33) / 6, 0)。
7. 某二次函数的图像经过点 (1, 2) 和 (2, 3),且顶点在 x 轴上,求该二次函数的解析式。
答案:解:设二次函数为 y = a(x - h)^2 + k,由于顶点在 x 轴上,所以 k = 0,又因为图像经过点 (1, 2) 和 (2, 3),代入得:a(1 - h)^2 = 2a(2 - h)^2 = 3解得 h = 1.5,a = 2,因此,该二次函数的解析式为 y = 2(x - 1.5)^2。
四、应用题8. 一个矩形的长是宽的两倍,如果面积为 24 平方米,求这个矩形的长和宽。
二次函数的练习题及答案
二次函数的练习题及答案一、选择题:1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上,且与x轴有交点,则a 和b应满足的条件是()。
A. a>0, b>0B. a<0, b<0C. a>0, b^2>4acD. a<0, b^2>4ac2. 二次函数y=-x^2+4x-1的顶点坐标是()。
A. (1,4)B. (2,3)C. (-2,3)D. (2,-3)3. 对于二次函数y=ax^2+bx+c,当x=-1时,函数值最大,那么a的取值范围是()。
A. a>0B. a<0C. a=0D. 无法确定二、填空题:1. 已知二次函数y=2x^2-8x+3,当x=______时,函数值最小。
2. 若二次函数y=-3x^2-6x+5的图像与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0),则x1+x2=______。
三、解答题:1. 已知二次函数y=-2x^2+4x+1,求出当x取何值时,函数值y最大,并求出最大值。
2. 已知二次函数y=3x^2-6x+2,求出函数与x轴的交点坐标。
四、应用题:1. 某工厂生产一种产品,其生产成本与产品数量的关系可以近似为二次函数:C(x)=0.5x^2-100x+3000,其中x代表产品数量,C(x)代表成本。
求出当生产多少件产品时,成本最低,并求出最低成本。
2. 某公司计划在一块长为60米的空地上建一个矩形花园,花园的长和宽之和为30米。
设花园的长为x米,求出花园的面积最大时的长和宽,并求出最大面积。
答案:一、选择题:1. C2. B3. B二、填空题:1. 22. -2三、解答题:1. 当x=1时,函数值y最大,最大值为3。
2. 函数与x轴的交点坐标为(1,0)和(2,0)。
四、应用题:1. 当生产200件产品时,成本最低,最低成本为2000元。
2. 花园的长为15米,宽为15米时,面积最大,最大面积为225平方米。
二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测试题及答案一、选择题1. 二次函数y = ax^2 + bx + c中,当a的值变为原来的2倍时,函数图像如何变化?A. 向上平移B. 向下平移C. 向左平移D. 向右平移答案:B2. 下列哪个选项是二次函数的标准形式?A. y = x^2 + 2x + 1B. y = 2x^2 - 3x + 4C. y = 3x + 4D. y = x - 2答案:B3. 若二次函数y = -2x^2 + 3x + 1的顶点坐标为(1, 2),则下列哪个选项是正确的?A. a = -2, b = 3, c = 1B. a = 2, b = -3, c = -1C. a = -2, b = -3, c = -1D. a = 2, b = 3, c = 1答案:A4. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 9的最小值是多少?A. 0B. 3C. 9D. 无法确定答案:C5. 如果二次函数y = x^2 + 4x + 4的图像与x轴相交于两点A和B,那么线段AB的长度是多少?A. 2B. 4C. 6D. 8答案:C二、填空题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 5x + 3,其顶点坐标为__________。
答案:(1, -1)7. 函数y = -x^2 + 4x - 3的最大值是__________。
答案:18. 若二次函数y = 3x^2 - 2x - 5的图像关于y轴对称,则新的函数表达式为y = __________。
答案:y = 3x^2 + 2x - 5三、解答题9. 已知二次函数y = -2x^2 + 6x + 3,求该函数在x = -1时的函数值。
答案:当x = -1时,y = -2*(-1)^2 + 6*(-1) + 3 = -2 - 6 + 3 =-5。
10. 给定二次函数y = x^2 - 6x + 9,求该函数的对称轴方程。
答案:对称轴为x = -b/(2a) = -(-6)/(2*1) = 3。
二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 下列哪个选项不是二次函数的一般形式?A. y = ax^2 + bx + cB. y = (x - h)^2 + kC. y = ax^2 + bx + c + dD. y = ax^2 + bx答案:C2. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上,则a的值是:A. 正数B. 负数C. 零D. 任意实数答案:A3. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是:A. (-b, c)B. (-b/2a, c)C. (-b/a, c)D. (-b/2a, 4ac - b^2 / 4a)答案:D4. 二次函数y = ax^2 + bx + c的对称轴是:A. x = -bB. x = -b/2aC. x = b/2aD. x = b/a答案:B5. 若二次函数y = ax^2 + bx + c与x轴有两个交点,则判别式Δ的值是:A. Δ > 0B. Δ < 0C. Δ = 0D. Δ ≤ 0答案:A二、填空题(每题2分,共10分)6. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是________。
答案:(1, 1)7. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与y轴交于(0, k),则k等于________。
答案:c8. 当a > 0时,二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口________。
答案:向上9. 二次函数y = -3x^2 + 6x + 5的对称轴方程是________。
答案:x = 110. 若二次函数y = ax^2 + bx + c与x轴相交于两点,则判别式Δ必须________。
答案:大于0三、解答题(每题5分,共20分)11. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点(1, 2)和(-1, 0),求a和b的值。
解答:将点(1, 2)代入函数得:a + b + c = 2将点(-1, 0)代入函数得:a - b + c = 0两式相减得:2b = 2,即b = 1将b代入任一式得:a + c = 1由于题目条件不足,无法唯一确定a和c的值。
《二次函数》单元测试卷 (含答案)
《二次函数》单元测试卷 (含答案)考生姓名:______________ 考号:______________时间限制:90分钟一、选择题(每小题2分,共30分)(每小题2分,共30分)1. 下列函数中,是二次函数的是()A. y = x + 2B. y = 2x^2 + 3x + 1C. y = 1/xD. y = √x2. 设二次函数 f(x) = 2x^2 + 5x - 3,那么它的判别式为()A. -13B. 17C. 29D. -393. 若二次函数的图象与x轴有两个交点,则该二次函数的判别式必须为()A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 无法确定4. 已知二次函数 f(x) = 3x^2 + 4x + 2,那么它的对称轴为()A. x = -2/3B. x = -4/3C. x = 4/3D. x = 2/35. 设函数 f(x) = ax^2 + bx + c,若a > 0,则函数图象开口向()A. 上B. 下C. 左D. 右...二、填空题(每小题3分,共30分)(每小题3分,共30分)1. 设二次函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3,那么它的顶点坐标为()答案:(5/4, 37/8)2. 若二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (2, -3),则 a + b+ c 的值为()答案:-53. 设二次函数 f(x) = -x^2 + 4x + 5,那么它的对称轴的方程为()答案:x = 24. 若二次函数的图象与y轴相交于点 (0, 6),则该二次函数必定为()答案:f(x) = 2x^2 + 35. 设二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c,若a > 0,则函数的值域为()答案:( -∞, f(c) ]...三、解答题(共40分)(共40分)1. 解方程 3x^2 - 2x - 1 = 0解答:首先,我们可以求出这个二次方程的判别式:Δ = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*3*(-1) = 4 + 12 = 16因为判别式大于0,所以方程有两个不相等的实根。
二次函数试题及答案
二次函数试题及答案一、选择题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象开口向上,且与x轴有两个交点,则a、b、c之间的关系是()。
A. b^2-4ac>0B. b^2-4ac=0C. b^2-4ac<0D. b^2-4ac≤0答案:A2. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴的交点为(0,3),则c的值为()。
A. 3B. -3C. 0D. 1答案:A二、填空题1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图象的顶点坐标为(2,-1),则b=______。
答案:-4a-42. 已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点为(-1,0)和(3,0),则b=______。
答案:-2a三、解答题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,2)和(-1,0),求该二次函数的解析式。
答案:将点(1,2)和(-1,0)代入二次函数的解析式,得到方程组:\begin{cases}a+b+c=2 \\9a-3b+c=0\end{cases}解得a=1,b=-2,c=1,所以二次函数的解析式为y=x^2-2x+1。
2. 已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且抛物线经过点(0,3),求抛物线的解析式。
答案:由对称轴为直线x=1,可知-b/2a=1,即b=-2a。
又抛物线经过点(0,3),代入解析式得c=3。
设a=1,则b=-2,c=3,所以抛物线的解析式为y=x^2-2x+3。
四、综合题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点为(2,0)和(-3,0),且抛物线的顶点坐标为(-1,-4),求该二次函数的解析式。
答案:由抛物线与x轴的交点可知,2和-3是方程ax^2+bx+c=0的两个根,所以有:\begin{cases}4a+2b+c=0 \\9a-3b+c=0\end{cases}又因为顶点坐标为(-1,-4),所以有:\begin{cases}-\frac{b}{2a}=-1 \\\frac{4ac-b^2}{4a}=-4\end{cases}解得a=1,b=4,c=-6,所以二次函数的解析式为y=x^2+4x-6。
(完整版)二次函数练习题及答案
(1)求抛物线的表达式;
(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;
(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
如图①,在平面直角坐标系中,等腰直角△AOB的斜边OB在x轴上,顶点A的坐标为(3,3),AD为斜边上的高.抛物线y=ax2+2x与直线y= x交于点O、C,点C的横坐标为6.点P在x轴的正半轴上,过点P作PE∥y轴,交射线OA于点E.设点P的横坐标为m,以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S.
27.求OA所在直线的解析式
二次函数练习题及答案
一、选择题
1.将抛物线 先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是 ( )
A. B.
C. D.
2.将抛物线 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………( )
A. ;B. ;
C. ;D. .
3.将抛物线y=(x-1)2+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( )
考点:二次函数的性质
17.m≥1.二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标,从而知该二次函数的自变量的取值范围.
二、填空题
8.二次函数y=-2(x-5)2+3的顶点坐标是.
9.已知二次函数 中函数 与自变量 之间的部分对应值如下表所示,点 、 在函数图象上,当 时,则 (填“ ”或“ ”).
0
1
二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象开口向上,则a的取值范围是()。
A. a>0B. a<0C. a=0D. a≠0答案:A2. 抛物线y=x^2-4x+3的顶点坐标是()。
A. (1,0)B. (2,1)C. (2,-1)D. (4,3)答案:C3. 若抛物线y=-2x^2+4x-1与x轴有两个交点,则这两个交点的坐标是()。
A. (1/2,0) 和 (3/2,0)B. (1,0) 和 (3,0)C. (1,0) 和 (-3,0)D. (-1,0) 和 (3,0)答案:B4. 二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,则b的值是()。
A. -2aB. 2aC. -aD. a答案:B5. 抛物线y=x^2-6x+8与x轴的交点个数是()。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案:C6. 二次函数y=-x^2+2x+3的图象与y轴的交点坐标是()。
A. (0,3)B. (0,-3)C. (0,2)D. (0,-2)答案:A7. 二次函数y=x^2-2x-3与x轴的交点个数是()。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案:C8. 抛物线y=-2x^2+4x+1的顶点坐标是()。
A. (1,3)B. (2,5)C. (-1,3)D. (-2,5)答案:A9. 二次函数y=x^2-4x+c的图象经过点(2,0),则c的值是()。
A. 0B. 4C. 8D. 16答案:C10. 抛物线y=x^2-6x+8与直线y=2x-4的交点坐标是()。
A. (2,0) 和 (4,4)B. (2,0) 和 (4,0)C. (2,4) 和 (4,0)D. (0,2) 和 (4,4)答案:A二、填空题(每题3分,共15分)11. 二次函数y=2x^2-4x+1的顶点坐标是()。
答案:(1,-1)12. 二次函数y=-3x^2+6x-3与x轴的交点坐标是()。
二次函数测试题及答案
二次函数测试题及答案一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)1、二次函数 y = x²+ 2x 3 的图象的顶点坐标是()A (-1,-4)B (1,-4)C (-1,4)D (1,4)答案:A解析:对于二次函数 y = ax²+ bx + c 的顶点坐标公式为(b/2a, (4ac b²)/4a),在函数 y = x²+ 2x 3 中,a = 1,b = 2,c =-3,所以顶点横坐标为 b/2a =-2/(2×1) =-1,纵坐标为(4ac b²)/4a = 4×1×(-3) 2²/(4×1) =(-12 4)/4 =-16/4 =-4,所以顶点坐标为(-1,-4)。
2、抛物线 y =-2(x 1)²+ 3 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是()A 开口向下,对称轴为 x =-1,顶点坐标为(1,3)B 开口向下,对称轴为 x = 1,顶点坐标为(1,3)C 开口向上,对称轴为 x =-1,顶点坐标为(-1,3)D 开口向上,对称轴为 x = 1,顶点坐标为(-1,3)答案:B解析:在抛物线 y = a(x h)²+ k 中,当 a < 0 时,开口向下,对称轴为 x = h,顶点坐标为(h,k)。
在抛物线 y =-2(x 1)²+ 3 中,a =-2 < 0,所以开口向下,对称轴为 x = 1,顶点坐标为(1,3)。
3、把抛物线 y = x²向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位,则平移后抛物线的解析式为()A y =(x 1)²+ 3B y =(x + 1)²+ 3C y =(x 1)² 3D y =(x + 1)² 3答案:B解析:抛物线平移遵循“上加下减,左加右减”的原则。
抛物线 y =x²向左平移 1 个单位得到 y =(x + 1)²,然后向上平移 3 个单位得到y =(x + 1)²+ 3。
(完整版)二次函数练习题及答案
(1)求证:以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y=-1的相切;
(2)设直线PM与抛物线y= x2的另一个交点为点Q,连接NP,NQ,求证:∠PNM=∠QNM.
24.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第一年的年产量为x(吨)时,所需的全部费用y(万元)与x满足关系式y= x2+5x+90,
12.已知(-2,y1),(-1,y2),(2,y3)是二次函数y=x2-4x+m上的点,
则y1,y2,y3从小到大用 “<”排列是__________.
13.(2011•攀枝花)在同一平面内下列4个函数;①y=2(x+1)2﹣1;②y=2x2+3;③y=﹣2x2﹣1;④ 的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换得到
17.若二次函数y=(x-m)2-1,当x<1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是______
三、解答题
18.已知二次函数 .
(1)求二次函数 的图象与两个坐标轴的交点坐标;
(2)在坐标平面上,横坐标与纵坐标都是整数的点 称为整点. 直接写出二次函数 的图象与 轴所围成的封闭图形内部及边界上的整点的个数.
19.(8分)张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米.
(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当x为何值时,S有最大值?并求出最大值.
20.如图,矩形ABCD中,AB=16cm,AD=4cm,点P、Q分别从A、B同时出发,点P在边AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动,点Q在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为x秒,△PBQ的面积为y(cm2).
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二次函数一、选择题:1.抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是()A.直线3-=xB.直线3=x C.直线=x2.二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点),(ac b M 在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知二次函数c bx ax y ++=2,且0<a ,0>+-c b a ,则一定有()A.042>-ac b B.042=-ac b C.042<-ac b D.ac b 42-≤04.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是532+-=x x y ,则有()A.3=b ,7=cB.9-=b ,15-=cC.3=b ,3=cD.9-=b ,21=c 5.已知反比例函数xky =的图象如右图所示,则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为()x6.下面所示各图是在同一直角坐标系内,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是()7.抛物线322+-=xxy的对称轴是直线()A.2-=xB.2=xC.1-=xD.1=x8.二次函数2)1(2+-=xy的最小值是()A.2-B.2C.1-D.19.二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示,若cbaM++=24cbaN+-=,baP-=4,则()A.0>M,0>N,0>PB.0<M,0>N,0>PC.0>M,0<N,0>PD.0<M,0>N,0<P二、填空题:10.将二次函数322+-=xxy配方成khxy+-=2)(的形式,则y=______________________.11.已知抛物线cbxaxy++=2与x轴有两个交点,那么一元二次方程02=++cbxax的根的情况是______________________.12.已知抛物线cxaxy++=2与x轴交点的横坐标为1-,则ca+=_________.13.请你写出函数2)1(+=xy与12+=xy具有的一个共同性质:_______________.14.有一个二次函数的图象,三位同学分别说出它的一些特点:甲:对称轴是直线4=x;乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:15.已知二次函数的图象开口向上,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_____________________.16.如图,抛物线的对称轴是1=x ,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点坐标是)0,3(,则A 点的坐标是________________.三、解答题:1.已知函数12-+=bx x y 的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式;(2)当0>x 时,求使y ≥2的x 的取值范围.2.如右图,抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ,与y 轴交于点B .(1)求抛物线的解析式;(2)P 是y 轴正半轴上一点,且△PAB 是以AB 为腰的等腰三角形,试求点P 的坐标.3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程,下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系).(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s (万元)与销售时间t (月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?提高题1.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB 的宽为20m ,如果水位上升3m 时,水面CD 的宽是10m.(1)求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km (桥长忽略不计).货车正以每小时40km 的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD 处,当水位达到桥拱最高点O 时,禁止车辆通行).试问:如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?2.某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套.经过一段时间的经营发现:当每套机械设备的月租金为270元时,恰好全部租出.在此基础上,当每套设备的月租金提高10元时,这种设备就少租出一套,且未租出的一套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)20元,设每套设备的月租金为x (元),租赁公司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入-支出费用)为y (元).(1)用含x 的代数式表示未租出的设备数(套)以及所有未租出设备(套)的支出费用;(2)求y 与x 之间的二次函数关系式;(3)当月租金分别为4300元和350元时,租赁公司的月收益分别是多少元?此时应该租出多少套机械设备?请你简要说明理由;(4)请把(2)中所求的二次函数配方成ab ac a b x y 44)2(22-++=的形式,并据此说明:当x为何值时,租赁公司出租该型号设备的月收益最大?最大月收益是多少?参考答案一、选择题:题号123456789答案DDAADDDBD二、填空题:1.2)1(2+-=x y 2.有两个不相等的实数根 3.14.(1)图象都是抛物线;(2)开口向上;(3)都有最低点(或最小值)5.358512+-=x x y 或358512-+-=x x y 或178712+-=x x y 或178712-+-=x x y 6.122++-=x x y 等(只须0<a ,0>c )7.)0,32(-8.3=x ,51<<x ,1,4三、解答题:1.解:(1)∵函数12-+=bx x y 的图象经过点(3,2),∴2139=-+b .解得2-=b .∴函数解析式为122--=x x y .(2)当3=x 时,2=y .根据图象知当x ≥3时,y ≥2.∴当0>x 时,使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3.2.解:(1)由题意得051=++-n .∴4-=n .∴抛物线的解析式为452-+-=x x y .(2)∵点A 的坐标为(1,0),点B 的坐标为)4,0(-.∴OA =1,OB =4.在Rt △OAB 中,1722=+=OB OA AB ,且点P 在y 轴正半轴上.①当PB =PA 时,17=PB .∴417-=-=OB PB OP .此时点P 的坐标为)417,0(-.②当PA =AB 时,OP =OB =4此时点P 的坐标为(0,4).3.解:(1)设s 与t 的函数关系式为c bt at s ++=2,由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++;5.2525,224,5.1c b a c b a c b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=++.0,224,5.1c c b a c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==.0,2,21c b a ∴t t s 2212-=.(2)把s =30代入t t s 2212-=,得.221302t t -=解得101=t ,62-=t (舍去)答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元.(3)把7=t 代入,得.5.10727212=⨯-⨯=s 把8=t 代入,得.16828212=⨯-⨯=s 5.55.1016=-.答:第8个月获利润5.5万元.4.解:(1)由于顶点在y 轴上,所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为1092+=ax y .因为点)0,25(-A 或)0,25(B 在抛物线上,所以10925(·02+-=a ,得12518-=a .因此所求函数解析式为109125182+-=x y (25-≤x ≤25).(2)因为点D 、E 的纵坐标为209,所以10912518209+-=,得245±=x .所以点D 的坐标为)209245(-,点E 的坐标为209,245(.所以225245(245=--=DE .因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.01100225≈=⨯⨯(米).5.解:(1)∵AB =3,21x x <,∴312=-x x .由根与系数的关系有121=+x x .∴11-=x ,22=x .∴OA =1,OB =2,2·21-==amx x .∵1tan tan =∠=∠ABC BAC ,∴1==OBOCOA OC .∴OC =2.∴2-=m ,1=a .∴此二次函数的解析式为22--=x x y .(2)在第一象限,抛物线上存在一点P ,使S △P AC =6.解法一:过点P 作直线MN ∥AC ,交x 轴于点M ,交y 轴于N ,连结PA 、PC 、MC 、NA .∵MN ∥AC ,∴S △MAC =S △NAC =S △P AC =6.由(1)有OA =1,OC =2.∴6121221=⨯⨯=⨯⨯CN AM .∴AM =6,CN =12.∴M (5,0),N (0,10).∴直线MN 的解析式为102+-=x y .由⎩⎨⎧--=+-=,2,1022x x y x y 得⎩⎨⎧==;4311y x ⎩⎨⎧=-=18,422y x (舍去)∴在第一象限,抛物线上存在点)4,3(P ,使S △P AC =6.解法二:设AP 与y 轴交于点),0(m D (m >0)∴直线AP 的解析式为m mx y +=.⎩⎨⎧+=--=.,22m mx y x x y ∴02)1(2=--+-m x m x .∴1+=+m x x P A ,∴2+=m x P .又S △P AC =S △ADC +S △PDC =P x CD AO CD ·21·21+=)(21P x AO CD +.∴6)21)(2(21=+++m m ,0652=-+m m ∴6=m (舍去)或1=m .∴在第一象限,抛物线上存在点)4,3(P ,使S △P AC =6.提高题1.解:(1)∵抛物线c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点,∴方程02=++c bx x 有两个相等的实数根,即042=-c b .①又点A 的坐标为(2,0),∴024=++c b .②由①②得4-=b ,4=a .(2)由(1)得抛物线的解析式为442+-=x x y .当0=x 时,4=y .∴点B 的坐标为(0,4).在Rt △OAB 中,OA =2,OB =4,得5222=+=OB OA AB .∴△OAB 的周长为5265241+=++.2.解:(1)76)34()10710710(1022++-=--⨯++-⨯=x x x x x S .当3)1(26=-⨯-=x 时,16)1(467)1(42=-⨯-⨯-⨯=最大S .∴当广告费是3万元时,公司获得的最大年利润是16万元.(2)用于投资的资金是13316=-万元.经分析,有两种投资方式符合要求,一种是取A 、B 、E 各一股,投入资金为13625=++(万元),收益为0.55+0.4+0.9=1.85(万元)>1.6(万元);另一种是取B 、D 、E 各一股,投入资金为2+4+6=12(万元)<13(万元),收益为0.4+0.5+0.9=1.8(万元)>1.6(万元).3.解:(1)设抛物线的解析式为2ax y =,桥拱最高点到水面CD 的距离为h 米,则),5(h D -,)3,10(--h B .∴⎩⎨⎧--=-=.3100,25h a h a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,251h a ∴抛物线的解析式为2251x y -=.(2)水位由CD 处涨到点O 的时间为1÷0.25=4(小时),货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280,∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车的速度提高到x 千米/时,当2801404=⨯+x 时,60=x .∴要使货车安全通过此桥,货车的速度应超过60千米/时.4.解:(1)未出租的设备为10270-x 套,所有未出租设备的支出为)5402(-x 元.(2)54065101)5402(1027040(2++-=----=x x x x x y .∴540651012++-=x x y .(说明:此处不要写出x 的取值范围)(3)当月租金为300元时,租赁公司的月收益为11040元,此时出租的设备为37套;当月租金为350元时,租赁公司的月收益为11040元,此时出租的设备为32套.因为出租37套和32套设备获得同样的收益,如果考虑减少设备的磨损,应选择出租32套;如果考虑市场占有率,应选择出租37套.(4)5.11102)325(1015406510122+--=++-=x x x y .∴当325=x 时,y 有最大值11102.5.但是,当月租金为325元时,租出设备套数为34.5,而34.5不是整数,故租出设备应为34套或35套.即当月租金为为330元(租出34套)或月租金为320元(租出35套)时,租赁公司的月收益最大,最大月收益均为11100元.二次函数测试题(B)一、选择题(每小题4分,共24分)1.抛物线y=-3x2+2x-1的图象与坐标轴的交点情况是()(A)没有交点.(B)只有一个交点.(C)有且只有两个交点.(D)有且只有三个交点.2.已知直线y=x与二次函数y=ax2-2x-1图象的一个交点的横坐标为1,则a的值为()(A)2.(B)1.(C)3.(D)4.3.二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则△ABC的面积为()(A)6.(B)4.(C)3.(D)1.4.函数y=ax2+bx+c中,若a>0,b<0,c<0,则这个函数图象与x轴的交点情况是()(A)没有交点.(B)有两个交点,都在x轴的正半轴.(C)有两个交点,都在x轴的负半轴.(D)一个在x轴的正半轴,另一个在x轴的负半轴.5.已知(2,5)、(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点,则这个抛物线的对称轴方程是()(A)x=ab .(B)x=2.(C)x=4.(D)x=3.6.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示,那么能正确反映函数y=ax+b图象的只可能是()图1二、填空题(每小题4分,共24分)7.二次函数y=2x2-4x+5的最小值是______.8.某二次函数的图象与x轴交于点(-1,0),(4,0),且它的形状与y=-x2形状相同.则这个二次函数的解析式为______.9.若函数y =-x 2+4的函数值y >0,则自变量x 的取值范围是______.10.某品牌电饭锅成本价为70元,销售商对其销量与定价的关系进行了调查,结果如下:定价(元)100110120130140150销量(个)801001101008060为获得最大利润,销售商应将该品牌电饭锅定价为元.11.函数y =ax 2-(a -3)x +1的图象与x 轴只有一个交点,那么a 的值和交点坐标分别为______.12.某涵洞是一抛物线形,它的截面如图3所示,现测得水面宽 1.6AB m ,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ,在图中的直角坐标系内,涵洞所在抛物线的解析式为________.三、解答题(本大题共52分)13.(本题8分)已知抛物线y =x 2-2x -2的顶点为A ,与y 轴的交点为B ,求过A 、B 两点的直线的解析式.14.(本题8分)抛物线y =ax 2+2ax +a 2+2的一部分如图3所示,求该抛物线在y 轴左侧与x 轴的交点坐标.图315.(本题8分)如图4,已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点是C(0,1),直线l:y=-ax+3与这条抛物线交于P、Q两点,且点P到x轴的距离为2.(1)求抛物线和直线l的解析式;(2)求点Q的坐标.图416.(本题8分)工艺商场以每件155元购进一批工艺品.若按每件200元销售,工艺商场每天可售出该工艺品100件;若每件工艺品降价1元,则每天可多售出该工艺品4件.问每件工艺品降价多少元出售,每天获得的利润最大?获得的最大利润是多少元?17.(本题10分))杭州休博会期间,嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施.若不计维修保养费用,预计开放后每月可创收33万元.而该游乐设施开放后,从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元),且y=ax2+bx;若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元),g也是关于x的二次函数.(1)若维修保养费用第1个月为2万元,第2个月为4万元.求y关于x的解析式;(2)求纯收益g关于x的解析式;(3)问设施开放几个月后,游乐场的纯收益达到最大?几个月后,能收回投资?18(本题10分)如图所示,图4-①是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图,拱高为30m,支柱A 3B 3=50m,5根支柱A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3、A 4B 4、A 5B 5之间的距离均为15m,B 1B 5∥A 1A 5,将抛物线放在图4-②所示的直角坐标系中.(1)直接写出图4-②中点B 1、B 3、B 5的坐标;(2)求图4-②中抛物线的函数表达式;(3)求图4-①中支柱A 2B 2、A 4B 4的长度.图4-①图4-②四、附加题(本题为探究题20分,不计入总分)19、(湘西自治州附加题,有改动)如图5,已知A (2,2),B (3,0).动点P (m ,0)在线段OB 上移动,过点P 作直线l 与x 轴垂直.(1)设△OAB 中位于直线l 左侧部分的面积为S ,写出S 与m 之间的函数关系式;(2)试问是否存在点P ,使直线l 平分△OAB 的面积?若有,求出点P 的坐标;若无,请说明理由.图5参考答案一、1.B 2.D 3.C 4.D 5.D 6.B二、7.38.y =-x 2+3x +49.-2<x <210.13011.a =0,(13-,0);a =1,(-1,0);a =9,(13,0)12.2154y x =-三、13.抛物线的顶点为(1,-3),点B 的坐标为(0,-2).直线AB 的解析式为y =-x -214.依题意可知抛物线经过点(1,0).于是a +2a +a 2+2=0,解得a 1=-1,a 2=-2.当a =-1或a =-2时,求得抛物线与x 轴的另一交点坐标均为(-3,0)15.(1)依题意可知b =0,c =1,且当y =2时,ax 2+1=2①,-ax +3=2②.由①、②解得a =1,x =1.故抛物线与直线的解析式分别为:y =x 2+1,y =-x +3;(2)Q (-2,5)16.设降价x 元时,获得的利润为y 元.则依意可得y =(45-x )(100+4x )=-4x 2+80x +4500,即y =-4(x -10)2+4900.故当x =10时,y 最大=4900(元)17.(1)将(1,2)和(2,6)代入y =ax 2+bx ,求得a =b =1.故y =x 2+x ;(2)g =33x -150-y ,即g =-x 2+32x -150;(3)因y =-(x -16)2+106,所以设施开放后第16个月,纯收益最大.令g =0,得-x 2+32x -150=0.解得x x ≈16-10.3=5.7(舍去26.3).当x =5时,g <0,当x =6时,g >0,故6个月后,能收回投资18.(1)1(30)B -,0,3(030)B ,,5(300)B ,;(2)设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+,把3(030)B ,代入得(030)(030)30y a =-+=.130a =-∴.∵所求抛物线的表达式为:1(30)(30)30y x x =--+.(3)4B ∵点的横坐标为15,4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=.3350A B =∵,拱高为30,∴立柱44458520(m)22A B =+=.由对称性知:224485(m)2A B A B ==.四、19.(1)当0≤m ≤2时,S =212m ;当2<m ≤3时,S =12×3×2-12(3-m )(-2m +6)=-m 2+6m -6.(2)若有这样的P 点,使直线l 平分△OAB 的面积,很显然0<m <2.由于△OAB 的面积等于3,故当l 平分△OAB 面积时,S =32.21322m =∴.解得m P 点,使l 平分△OAB 的面积.且点P ,0).。