线性代数(人大版)第9讲60页PPT

例3.4 线性方程组中未知量的系数列向量 构成一个向量组, 矩阵的行, 列向量分别 构成向量组.
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定义3.3 设a1,a2, ,an,b为一组向量, 如
果存在n个数k1,k2, ,kn, 使得
k1a1+k2a2+ +knan=b, 则称向量b可由向量组a1,a2, ,an线性表 示, 用记号b{a1,a2, ,an}表示, 或者说 向量b是向量组a1,a2, ,an的一个线性组
,
x
2 1
.
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例3.3 给定线性方程组
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
a21x1
a22x2 L LLL
a2nxn L
b2
am1x1 am2x2 L amnxn bn
a11 a12 L Aa21 a22 L
M M am1 am2 L
a1n x1 b1
合.
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对于线性方程组AX=b, 若对矩阵A按列 分块, 即A=(a1,a2, ,an), 从而可以将该线
性方程组用向量表示为
x1a1+x2a2+ +xnan=b
如果线性方程组有解, 如x1=k1,x2=k2, , xn=kn是方程组的一个解, 则有
k1a1+k2a2+ +knan=b, 即常数列向量b可由未知量系数列向量组 a1,a2, ,an线性表示.
了平面直角坐标系后, 平面上的点 P 与二元
有序数组
x y
之间就有一个一一对应,
我们称
与
P
对应的有序数组
x y
为点
P
的坐标.
因此,
平面上的点的坐标就是一个二维向量. 同样
地, 当在空间建立了空间直角坐标系之后, 空
间中的点坐标就是一个三维向量.
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由于向量是特殊的矩阵, 因此我们也有向量 的加法运算以及数与向量的乘法运算. 如果
k1a1+k2a2+k3a3=b, 或者写为
1 0 2 1
k1
2 3
k2
1 4
k3
63
1 5
. 也
就
是说线性
1 0 2 x1 1
方程组
2 3
1 4
3 6
x2 x3
1 5
是否有解.
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102 由于 2 1 3 4 0故该线性方程组有唯一
bn
kan
称这两种运算为线性运算, 其运算规律遵从
矩阵的相关运算律
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例 3.2 已知向量 x 满足条件: 2x+3a=5x+2b,
1 3
其中α
23
,
β
0 3
,试求向量
x.
解 由题意得
1 3 9 3
3x
3α
2β
3
2 3
2
0 3
63
a1 b1
设α
a2
,
β
b2
,k
R,则
M M
an
bn
a1 b1
ka1
(1)α
β
a2
b2
; (2)kα
ka2
M
M
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an
bn
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kan
5
a1 b1
ka1
(1)α
β
a2
b2
; (2)kα
ka2
M
M
an
n维向量中的第i个数ai称为n维向量a的第i 个分量, 其中i=1,2, ,n. 约定用a,b,g等字母 表示列向量, 而用aT,bT,gT等表示行向量. 分
量全为零的向量称为零向量, 记为0.
除非特别声明, 后面只对列向量讨论.
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例 3.1 在平面解析几何中我们知道, 在取定
a2n
,Xx2,βb2
M M M
amn
xn bm
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a11 a12 L Aa21 a22 L
M M am1 am2 L
a1n x1 b1
a2n
,Xx2,βb2
M M M
amn
xn bm
则方程组可表示为AX=b.
而如果将A按列分块,
a1j
A(α1,α2,L
,αn),αj
15
1 0 2 1
例 3.5
设α1
2 3
,
α2
1 4
,
α3
3 6
,
β
1 5
,问b是否可由向量组a1,a2,a3 线性表示?如能,
试写出其表达式.
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解 b是否可由向量组a1,a2,a3 线性表示取决
于是否存在一组数 k1,k2,k3, 使得
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n
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因此, 一个线性方程组是否有解的问题就 归结为其常数列向量是否可由未知量的 列向量线性表示的问题, 而是否有唯一解 就是看该线性表达式是否唯一. 于是有
定理3.1 一个向量是否可由一个向量组 (唯一)线性表示等价于由它们决定的线 性方程组是否有(唯一)解.
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第三章 向量组的线性相关性 §1 向量与向量组
一，向量的概念及其运算 定义3.1 n1矩阵
a1
α
a
2
M
a
n
称为n维列向量,
而1n矩阵aT=(a1,a2, ,an)称为n维行向量, n
维列向量和n维行向量通称为n维向量.
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2
a1
α
a
2
M
a
n
aT=(a1,a2, ,an)
346
x1 1
解
X=A1b,
得
x2 x3
21
,于是b可被表示为:
b=a1+2a2a3.
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Leabharlann Baidu18
定义3.4 设A:a1,a2, ,am是一组由m个n维 向量组成的向量组, 而B:b1,b2, ,bs是由s
个n维向量组成的向量组. 如果向量组A
中每一个向量ai(i=1,2, ,m)均可由向量 组b1,b2, ,bs线性表示, 则称向量组 a1,a2, ,am可由向量组b1,b2, ,bs线性表
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反之, 如果一个向量b可由一个向量组
a1,a2, ,an线性表示, 即存在一组数k1,k2,
,kn使得
k1a1+k2a2+ +knan=b,
即
k1
(α1, α2 ,L
,
α
n
)
k
2
M
β.
k
n
则k1,k2, ,kn就是线性方程组AX=b的解, 其
中A=(a ,a , ,a ) 02.06.2020
a2j
(1
M
j
n)
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amj
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A (α 1 ,α 2 ,L ,α n)
则方程AX=b可表示为 x1a1+x2a2+ +xnan=b,
或者
x1
(α1, α2 ,L
,
α
n
)
x
2
M
β.
x
n
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二, 向量组及其线性组合
定义3.2 由维数相同的一些向量构成的 集合, 称为向量组.