数列通项的特殊方法归纳猜想

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高二数学

求数列通项的特殊方法归纳猜想

归纳猜想：给出或求出了数列的前几项可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之．

例1、已知点的序列*

),0,(N n x A n n ∈，其中01=x ，)0(2>=a a x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点，…，n A 是线段12--n n A A 的中点，…，⑴写出n x 与21,--n n x x 之间的关系式（3≥n ）；⑵设n n n x x a -=+1，计算321,,a a a ，由此推测{}n a 的通项公式，并加以证明．

解：（1）∵ n A 是线段32--n n A A 的中点， ∴12

(3)2

n n n x x x n --+=≥；

（2）由题意，得a a x x a =-=-=0121，

21

23222

x x a x x x +=-=

-=2111()22x x a --=-，3234332x x a x x x +=-=-=3211

()24

x x a --=，

猜想*)()

2

1

(1

N n a a n n ∈-=-，下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，a a =1显然成立；

（2）假设n=k 时命题成立，即*)()

2

1(1

N k a a k k ∈-=-，则当n=k+1时，

k k k k k k x x x x x a -+=

-=++++21121=k k k a x x 2

1)(211-=--+=1111

()()()222k k a a ---=-，

∴ 当n=k+1时命题也成立，故命题对任意*

N n ∈都成立．

练习：已知数列{}n a 满足189

a =

，12

2

8(1)(21)(23)

n n n a a n n ++=+

++，求通项n a ．

答案：22425

a =

，34849

a =

，48081

a =

，猜测22

(21)1(21)

n n a n +-=

+，

（1）当1n =时，189

a =

，所以等式成立；

（2）假设当n k =时等式成立，即22

(21)1(21)k k k a +-+=

， 1n k =+时等式也成立．